精品解析：2025年河北省邯郸市邯山区第五中学、滏河学校联考八年级学业水平评估数学试题

2024-2025学年第二学期八年级学业水平综合评估（二） 数学（人教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 菱形具有而平行四边形没有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形和平行四边形的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的性质是解题的关键．根据菱形和平行四边形的性质，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、对角相等，菱形和平行四边形都具有，故此选项不符合题意； B、对角线相等，菱形和平行四边形都不具有，故此选项不符合题意； C、对角线互相平分，菱形和平行四边形都具有，故此选项不符合题意； D、对角线互相垂直，菱形具有，平行四边形不具有，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 在中，，若，则的长是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为，斜边为，那么．根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：B． 3. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 4. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点．若，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∵的周长是， ， ， ∵点分别是线段的中点， ， 故选：C． 5. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，根据边之间的等量关系，结合勾股定理逆定理来判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴能判定为直角三角形； B．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形； C．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形； D．∵， ∴， ∴不能判定为直角三角形． 故选：D． 6. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∵过点作的垂线交于点， ， ， 故选：C． 7. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 8. 已知，则实数的范围是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算进行解答即可．由得，那么，即可确定实数m的范围． 【详解】解：依题意，， ∵ 则， ∴， 即实数m的范围是， 故选：B． 9. 如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则四边形为矩形 B. 若，则四边形为菱形 C. 若四边形是平行四边形，则与互相平分 D. 若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形与菱形的判定、正方形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理和特殊四边形的判定与性质是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形为平行四边形，由此即可判断选项C错误；根据菱形与矩形的判定即可得选项A和B错误；根据正方形的性质可得，则可得，，由此即可判断选项D正确． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误； 若，则， ∴四边形为菱形，则选项A错误； 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B错误； 若四边形是正方形，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确； 故选：D． 10. 如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，证明是解题的关键．先证，推出，再证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，进而即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，边长为， ，， 点分别是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选C． 11. 如图，在中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据30度所对直角边等于斜边的一半求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图 根据题意可知，， ， ， 在，，， ， ， 在，， ， ， ． 故选：A． 12. 如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，则AP= +PC，PE=AP=+PC ，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC ，最后算出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2， ∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD， ∴∠CAE=30︒， ∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2， ∴AC=， ∴AP=+PC， 在直角△AEP中， ∵∠PAE=30°，AP=+PC， ∴PE=AP=+PC， 在直角△PFC中， ∵∠PCF=30°， ∴PF=PC， ∴=+PC-PC=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°． 卷II（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知直角坐标平面上点和点，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面内两点间距离公式，熟练掌握平面直角坐标系中两点间距离公式，是解题的关键．根据点和点，结合平面内两点间距离公式进行求解即可． 【详解】解：∵直角坐标平面上点和点， ∴． 故答案为：． 14. ，则x的值为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法， 先移项根据二次根式的加减法法则计算求出，再化简得出答案． 【详解】解：， ∴． 故答案为：18． 15. 如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点B直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在上，折痕交于点E，延长交于点G，则的度数为__________． 【答案】55度## 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质， 先根据菱形等腰三角形的性质得，再根据折叠的性质求出，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 由折叠的性质得， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，和均为直角三角形，且，点从点向点运动．在运动过程中，线段长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握直角三角形的相关性质是解题关键． 由和均为直角三角形和可知，当时，的值最小，根据30度角的性质即可求解． 【详解】解：和均为直角三角形， ， ， ， ， ， 当时，的值最小， 此时，． 故答案：3． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在9×9的正⽅形⽹格中，每个⼩正⽅形的边⻓均为1，各个⼩正⽅形的顶点称为格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上． （1）在图1中画⼀个三边长为5，，的直角三角形； （2）在图2中画⼀个⾯积等于12的等腰三角形，且这个等腰三角形的三边长均为整数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据格点的特征结合勾股定理求解即可； （2）根据格点的特征结合等腰三角形的定义和三角形面积求解即可； 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 如图所示， 【点睛】本题考查了网格作图的问题，掌握等腰三角形的概念，面积公式，勾股定理是解题的关键． 18. 如图，在中，、分别是、延长线上的点，且，连接交、于点、．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．由四边形是平行四边形，可得，，进而证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ． 19. 已知m、n为实数，且， （1）分别求出m、n的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和二次根式的非负性，二次根式的混合运算， （1）根据完全平方公式和二次根式的非负性求出答案； （2）将数值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 即； 【小问2详解】 解：当时，原式． 20. 如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合证明为矩形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，结合矩形的性质可得，，再解求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵， ∴且 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵是的平分线，， ∴，且， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合应用上述知识是解题的关键． 21. 在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． （1）货船从港口A航行到港口B需要多少时间； （2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】（1）5小时 （2）符合航行安全标准，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则（小时），即可作答． 小问1详解】 解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为10海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； 【小问2详解】 答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 22. 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）如图-1，连接，求证：； （2）如图-2，过点作交于点，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，可证明，即可得到结论； （2）连接，由（1）知，，得到，推出，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形，是对角线， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 23. 【问题提出】 （1）如图，和都是等边三角形，点在内部，连接，，． 求证：； 若，求证：； 问题探究】 （2）如图．和都是等边三角形，点在外部，若仍然成立，求的度数． 【答案】（）见解析；见解析；（）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等边三角形性质可得，，，然后利用“”证明即可； 由，则，再通过勾股定理得，又，从而求证； （）证明，则有，又，则，从而得出，最后用角度和差即可求解． 【详解】解：（）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由知， ∴； （）解：和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图-1，在平行四边形中，过点作，垂足分别为点交于点、． （1）若，求的度数； （2）如图-2，若四边形是菱形，延长，相交于点． ①求证：； ②当时，求证：． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】此题考查了菱形和平行四边形性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形的性质得到，然后根据平行线的性质求解即可； （2）①首先由菱形得到，然后得到，进而求解即可； ②首先得到，然后得到是等边三角形，得到，推出，得到，连接，得到是等边三角形，进而求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ． ， ． ， ． ， ， ； 【小问2详解】 证明：①四边形是菱形， ， ． ， ， ， ， ． ②， 点是直角三角形斜边的中点， ． 由①知， ， 是等边三角形， ， ． ， ， ， ， ． 如图，连接， ， 是等边三角形． ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期八年级学业水平综合评估（二） 数学（人教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 菱形具有而平行四边形没有性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 2. 在中，，若，则的长是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 2 3. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点．若，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 6. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作垂线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则实数范围是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则四边形为矩形 B. 若，则四边形为菱形 C. 若四边形是平行四边形，则与互相平分 D. 若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 10. 如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 3 12. 如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 卷II（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知直角坐标平面上点和点，则的长为____________． 14. ，则x值为________． 15. 如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点B的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在上，折痕交于点E，延长交于点G，则的度数为__________． 16. 如图，和均为直角三角形，且，点从点向点运动．在运动过程中，线段长的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在9×9的正⽅形⽹格中，每个⼩正⽅形的边⻓均为1，各个⼩正⽅形的顶点称为格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上． （1）在图1中画⼀个三边长为5，，的直角三角形； （2）在图2中画⼀个⾯积等于12的等腰三角形，且这个等腰三角形的三边长均为整数． 18. 如图，在中，、分别是、延长线上的点，且，连接交、于点、．求证：． 19. 已知m、n实数，且， （1）分别求出m、n的值； （2）求的值． 20. 如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长． 21. 在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． （1）货船从港口A航行到港口B需要多少时间； （2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 22. 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）如图-1，连接，求证：； （2）如图-2，过点作交于点，连接，求证：． 23. 【问题提出】 （1）如图，和都是等边三角形，点在内部，连接，，． 求证：； 若，求证：； 【问题探究】 （2）如图．和都是等边三角形，点在外部，若仍然成立，求的度数． 24. 如图-1，在平行四边形中，过点作，垂足分别为点交于点、． （1）若，求的度数； （2）如图-2，若四边形是菱形，延长，相交于点． ①求证：； ②当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$