精品解析：2025届山东省菏泽市高三二模数学试题

2025年高三二模考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】将复数分母实数化写成的形式，利用计算结果． 【详解】因为； 故． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集运算即可求解. 【详解】由，又因为 所以， 故选：C. 3. 某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为（ ） A. 32 B. 20 C. 16 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合数和对立事件来解决选取问题即可. 【详解】利用对立事件思想： 从6名同学中任选3名同学共有种方法， 这3名同学中没有甲乙同学的共有 种方法， 所以甲乙至少有一人参加的不同选法有种方法， 故选：C. 4. 已知，，且 ，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故选：B 5. 已知为等比数列前项和，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式来求解即可. 【详解】由等比数列公式可得：， 所以， 故选：A. 6. 已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得直线过定点 ，当时，弦长最短，结合勾股定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 令，解得， 所以直线过定点， 又圆的圆心，半径， 则， 当时，弦长最短， 此时. 故选：D 7. 对于任意 ，，且，则（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 4049 【答案】D 【解析】 【分析】利用数列递推思想，结合裂项法和累加法来求出即可. 【详解】由，当时，可得， 赋值可得：， 利用累加法可得：， 代入可得：， 故选：D. 8. 已知函数在上单调递增，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在单调递增，即 在恒成立，解得，再构造函数，通过导数求单调性即可求解. 【详解】由题意，函数 的定义域为， 导函数为， 因为函数在单调递增， 所以在恒成立， 所以，即， 故， 令，则， 令 ，则， 令 ，则， 所以 在单调递减，在 单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若数据的方差为8，则数据的方差为4 D. 若频率分布直方图呈现单峰不对称且左“拖尾”时，平均数大于中位数 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用正态分布对称性可判断其正误，对于B，根据二项分布的均值与方差公式求解后可判断其正误，对于C，根据方差的性质可判断其正误，对于D，根据频率分布直方图的性质可判断其正误.. 【详解】对于A选项:由正态分布曲线的性质知, , 因为对称轴为,故,故,正确; 对于B选项:由二项分布的均值和方差公式得,,故正确; 对于C选项:数据缩放后方差是原方差的平方倍,故数据的方差为,错误; 对于D选项:左拖尾分布 ,平均数受左侧极端值影响会更小,故平均数小于中位数,错误, 故选:AB. 10. 已知函数 ，函数，则下列结论正确的有（ ） A. 与的图象有相同的对称轴 B. 与有相同的最小正周期 C. 将的图象向右平移个单位，可得到的图象 D. 与的图象在上只有一个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用辅助角公式进行恒等式变形，再借助正弦型函数性质求周期和对称轴，可判断AB，利用平移思想可判断C，利用三角方程求解思想可判断D. 【详解】由，可得的最小正周期为 ， 由，可得的最小正周期为 ， 故B正确； 再由，可知图象的对称轴为， 再由，可知图象的对称轴为， 故A错误； 将的图象向右平移个单位可得的图象，故C正确； 由可得，， 由于， 所以， 其中只有一个解，故D正确； 故选：BCD. 11. 如图，在的方格表中，任意填入个互不相等的实数，取每行的最大数得到个数，其中最小的一个是，再取每列的最小数，又得到个数，其中最大的一个是，下列结论中可能成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由 的定义即可比较 的大小关系，然后构造方格表验证，即可得到结果. 【详解】设，因为是第 行的最大数，所以对于第 行的任意， 都有， 设，因为是第列的最小数，所以对于第列的任意， 都有， 因为是第 行的最大数，所以， 因为是第列的最小数，所以，所以， 构造方格表 1 2 3 4 则， 构造方格表 1 3 2 4 则，即 ， 所以， 当时，取，， ， 则，即. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】，， 由题意， 可得：， 得， 故答案为： 13. 一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为和，高为9，削成一个球，则所得球的体积最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出与正四棱台侧面及下底面都相切的球直径，再正四棱台的高比对即可得解. 【详解】把正四棱台还原成正四棱锥，过该正四棱锥底面一组对边中点及顶点的平面 截该棱锥及棱台分别得等腰 和等腰梯形，过作于，如图， 则等于正四棱台的高9，， 于是， 是正三角形，其内切圆半径， 因此正四棱台还原成正四棱锥的内切球半径为4，该球是与正四棱台侧面及下底面都相切的球， 即为正四棱台型的木块削成的最大球，所以所求最大体积为. 故答案为： 14. 已知 为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，结合等腰三角形和相似比性质来求解各线段长度，最后根据勾股定理找到等式关系，从而可求离心率. 【详解】 如图，由于，可作轴，垂足为，可知为中点， 由，可知， 由，可知， 令，则，即， 根据双曲线定义：， 即，， 再由勾股定理可得：， 即， 即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线与直线平行． （1）求的值： （2）求的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值. 【解析】 【分析】（1） 利用导数的几何意义来求参数； （2）利用导数来研究函数单调性，从而求解极值. 【小问1详解】 由题意得：， 因为在处的切线与直线平行， 所以，故. 【小问2详解】 由（1）得：，定义域为， 令，得，则， ，的变化情况如下表： 0 单调递增 单调递减 故的极大值为，无极小值. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求边上高的最大值． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）设外接圆的半径为，由即可求出，从而求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由等面积法计算可得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得：①， 因为 ，所以. 故①式可变形为， 即， 化简得：，因为 ，所以 ，故. 因为，故. 【小问2详解】 设外接圆的半径为， 由正弦定理得：，则，，， 又，故得， 由（1）知，故，则， 由余弦定理得： ，即， 则，当且仅当时等号成立， 设边上高为，由三角形的面积公式得：，即. 故边上高的最大值为. 17. 如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形． 为上底面圆上两点，为的中点，且平面 平面，． （1）求证： ； （2）若，求与平面 所成角正弦值的最大值． 【答案】（1） 证明：取的中点G，连交AF于H. 在正方形中，由于F为的中点， 可得 ，则 ， 因为，所以， 得到，即 因为 平面， 所以 平面，又 平面，故 由于平面 平面，平面 平面， ，故 平面 ，又 平面 ，则 . 因为 ， 平面， 所以平面，又因为 平面， 则，又点G是的中点，故 . （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明 ，再借助已知线线垂直可证明线面垂直，再利用面面垂直可证明线面垂直，从而可得线线垂直，即证中点； （2）利用空间向量法来研究线面角的正弦值，然后借助函数的单调性求出最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于圆O的半径为，则正方形的边长为2， 又，则. 以O为坐标原点，过点O作平行的直线分别为x轴，y轴， 所在的直线为z轴建立如图空间直角坐标系. 则， 易求上底面圆的半径为1，故. 故，，. 设平面 的法向量为，由， 得 取，，故， 设与平面 所成角为，则， ， 令得， ， 所以 在 上单调递增， 故. 所以与平面 所成角正弦值的最大值为． 18. 抛物线的焦点为，且过点． （1）求的方程； （2）过点的一条直线与交于 、两点（ 在线段之间），且与线段 交于点 ． ①证明：点 到和 的距离相等； ②若 的面积等于 的面积，求点 的坐标． 【答案】（1） （2）①证明：设直线方程为 ， ， ， 由得： ，则 ， ， ， 又， ， 易知点，所以 垂直于轴， 所以 ，所以 点到和 的距离相等. ②P. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入计算，即可得到抛物线方程； （2）①联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到 ，即可证明；②由题意可得点P在线段AF的中垂线上，即可得到结果. 【小问1详解】 因为抛物线过点 ，所以 ，得： ，所以C的方程为： . 【小问2详解】 ①略 ②因为，所以， 故直线PA//FQ，所以 ， 由①知 ，所以 ， 所以点P在线段AF的中垂线上，点 的纵坐标为1，代入抛物线方程可得点P. 19. 某选数游戏规则：给定个不同数（参与者不知道具体数值但知道的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按Y键选择该数，或按N键跳过继续查看下一个数，一旦按Y键选择，该游戏结束；若前个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数．最终所选数若为这个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败．小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的，前 个数均按N键跳过（ ，表示直接选取第一次出现的数），从第 个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择，否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为． （1）当 时，写出的值； （2）当 时，求，并证明当最大时， 满足 （3）已知当 时， （ 为欧拉常数）．在本次游戏中，如果 ，最大时，求 的估计值． 【答案】（1）；； （2）， 证明: ， 同理 ， 因此，当时，最大. （3） . 【解析】 【分析】（1）设三个数是1，2，3，通过列举法，由古典概率模型计算公式求解即可； （2）设最大数在（ ）次出现，要想获胜，前 个数中的最大值必出现在前 次中，且第次取到最大值，得到 ，结合 ， ，即可求证； （3）由（2）得到 ，再由条件得到 ①， ②， ③，联立可得， ，即可求解. 【小问1详解】 不妨设三个数是1，2，3，三个数的大小排列有6种情形：123，132，213，231，312，321. 当时，取到最大的情形有：312，321. 所以； 当时，取到最大的情形有：132，213，231，所以； 当时，取到最大的情形有：123，213. 所以. 【小问2详解】 当最大数在第 次出现时，均有可能获胜.设最大数在（ ）次出现，要想获胜，前 个数中的最大值必出现在前 次中，且第次取到最大值，所以 证明略. 【小问3详解】 首先对于 ，当最大时， . 否则若 ， 则 . ①， ②， ③， ①②得 ，所以 ， ①③得 ，所以 ， 所以， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三二模考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为（ ） A. 32 B. 20 C. 16 D. 10 4. 已知，，且 ，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 5. 已知为等比数列前项和，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 6. 已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 7. 对于任意 ，，且，则（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 4049 8. 已知函数在上单调递增，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若数据的方差为8，则数据的方差为4 D. 若频率分布直方图呈现单峰不对称且左“拖尾”时，平均数大于中位数 10. 已知函数 ，函数，则下列结论正确的有（ ） A. 与的图象有相同的对称轴 B. 与有相同的最小正周期 C. 将的图象向右平移个单位，可得到的图象 D. 与的图象在上只有一个交点 11. 如图，在的方格表中，任意填入个互不相等的实数，取每行的最大数得到个数，其中最小的一个是，再取每列的最小数，又得到个数，其中最大的一个是，下列结论中可能成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为______． 13. 一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为和，高为9，削成一个球，则所得球的体积最大值为______． 14. 已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线与直线平行． （1）求的值： （2）求的极值． 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求边上高的最大值． 17. 如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形． 为上底面圆上两点，为的中点，且平面 平面，． （1）求证： ； （2）若，求与平面 所成角正弦值的最大值． 18. 抛物线的焦点为，且过点． （1）求的方程； （2）过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点． ①证明：点到和 的距离相等； ②若 的面积等于 的面积，求点的坐标． 19. 某选数游戏规则：给定个不同数（参与者不知道具体数值但知道的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按Y键选择该数，或按N键跳过继续查看下一个数，一旦按Y键选择，该游戏结束；若前个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数．最终所选数若为这个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败．小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的，前 个数均按N键跳过（ ，表示直接选取第一次出现的数），从第个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择，否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为． （1）当时，写出的值； （2）当 时，求，并证明当最大时，满足 （3）已知当 时， （ 为欧拉常数）．在本次游戏中，如果 ，最大时，求的估计值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $