精品解析：辽宁省阜新市第四中学2024-2025学年七年级下学期5月期中考试数学试题

2024—2025学年度（下）第四中学质量检测（期中）七年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 新冠病毒的直径大约是0.00000008米，将0.00000008用科学记数法可表示为（ ） A. 8×10-7 B. 8×10-8 C. 0.8×10-9 D. 8×10-9 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000008=8×10-8， 故选：B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法等知识，根据运算法则计算后即可得到答案. 【详解】解：A. 和不是同类项，不能进行合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C 3. 如图，在中，平分交于点，，，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用外角的性质求出，再利用平分，求出，再利用三角形的内角和，即可求出的度数． 【详解】∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴. 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质定理，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解题关键． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 5. 在中，，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据，求出该三角形中最大角的度数，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴为锐角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，以及三角形的分类，解题的关键是掌握三角形的内角和为，以及三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角为直角的三角是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 6. 一副一副扑克牌（除去大小王），从中任抽一张，则抽到红心3的概率（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率的求法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先求出一副扑克牌，去掉大小王的张数，红心3张数为1，再根据概率公式解答． 【详解】解：由题意得： 恰好抽到的牌是红心3的概率为， 故选A． 7. 在学习三角形的高线时，小明利用直角三角板的直角，作△ABC中AC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高线的定义即可得出结论． 【详解】解： A，B， D都不是△ABC的AC边上的高线， 故选C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 8. 若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 8cm B. 13cm C. 8cm或13cm D. 11cm或13cm 【答案】D 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当3是腰时， ∵3＋3＞5， ∴3，3，5能组成三角形， 此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm）， 当5是腰时， ∵3＋5＞5， 5，5，3能够组成三角形， 此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm）， 则三角形的周长为11cm或13cm． 故选：D 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 9. 如图，已知，下面四个三角形中，与全等的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析判断即可． 【详解】解：． A．a与c的夹角相等，故根据可知该三角形与全等，故符合题意； B．a与b的夹角不相等，该三角形与不全等，故不符合题意； C．a与c的夹角不相等，该三角形与不全等，故不符合题意； D．夹b的两角不相等，该三角形与不全等，故不符合题意； 故选：A． 10. 在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的性质逐项分析即可得出答案． 【详解】根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CE，判定①正确； 设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠CNG=90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确； 过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确， 全等三角形对应边相等可得EP=AH，同理可证GQ=AH，从而得到EP=GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=GM，从而得到AM是△AEG的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确． 故选A． 考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键． 二、填空题（本大题共5小题，每空3分，共15分） 11. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______度． 【答案】120 【解析】 【分析】根基三角形全等的性质得到∠C=∠C′=24°，再根据三角形的内角和定理求出答案. 【详解】∵， ∴∠C=∠C′=24°， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°， ∴∠B=120°， 故答案为：120. 【点睛】此题考查三角形全等的性质定理：全等三角形的对应角相等，三角形的内角和定理. 12. 如果和互余，则下列式子中：①；②；③；④能表示补角的是_____．（填序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据：“和为的两角互余，和为的两角互补”，进行求解即可． 题目主要考查余角和补角的计算，理解题意，进行等量代换是解题关键． 【详解】解：∵和互余， ∴， ∴补角为：，故①正确； ，故④正确； ，故③错误； 无法得出②中结果， 综上：能表示补角的是①④； 故答案为：①④． 13. 若，则a的值为______，b的值为______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：5；． 14. 把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图所示的大正方形，若图中每个小长方形的面积均为6，大正方形的面积为25，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去先正方形的面积列出等式即可． 【详解】解：∵图中每个小长方形的面积均为6，大正方形的面积为25， ∴中间的小正方形的面积为：=-4ab=25-6×4=1， ∴的值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观得出面积之间的关系是解决问题的关键． 15. 如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，设∠B′FE＝x，根据折叠的性质得∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，则∠BFC＝x−24°，再由第2次折叠得到∠C′FB＝∠BFC＝x−24°，于是利用平角定义可计算出x＝68°，接着根据平行线的性质得∠A′EF＝180°−∠B′FE＝112°，所以∠AEF＝112°． 【详解】解：如图，设∠B′FE＝x， ∵纸条沿EF折叠， ∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF， ∴∠BFC＝∠BFE﹣∠CFE＝x﹣24°， ∵纸条沿BF折叠， ∴∠C′FB＝∠BFC＝x﹣24°， 而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE＝180°， ∴x+x+x﹣24°＝180°，解得x＝68°， ∵A′D′∥B′C′， ∴∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝180°﹣68°＝112°， ∴∠AEF＝112°． 故答案为：112°． 【点睛】本题考查了，平行线的性质，折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后得图形． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，整式的乘法运算； （1）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）先计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，乘方运算，再合并即可； （3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要查了整式的混合运算—化简求值．先根据平方差公式和完全平方公式计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ； 当时， 原式． 18. 如图，在中，，F、G是、上的两点，． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 19. 如图，在中，点D在延长线上，，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． 在和中， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）先证明，再利用证明两个三角形全等即可． （2）证明，，再利用线段的和差计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 20. 如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方法从下面三种中任选一种： （1）猜“是奇数”或“是偶数”； （2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”； （3）猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？请通过计算说明． 【答案】 选择第（2）种猜数方法，理由如下： （是奇数）（是偶数）； （是3的倍数）；（不是3的倍数）； （是大于6的数）；（不是大于6的数）； 则， ∴选择第（2）种猜数方法，即猜“不是3的倍数”获胜的可能性最大． 【解析】 【分析】本题考查由概率大小确定游戏获胜的可能性大小问题，涉及简单概率公式求概率，读懂题意，按照要求分别求出各种情况的概率，比较大小即可确定答案，掌握简单概率公式求概率的方法是解决问题的关键． 【详解】略 21. 如图，射线平分， （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，已知外一条射线，过点D作交于点F，若平分交于点P，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得出，再求出，利用角的和差求出的度数即可； （2）作，利用平行线性质证明，再利用角平分线性质得出即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当作辅助线，建立角之间的关系． 22. 【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图2的长方形． （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，求的值； （3）计算的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解的含义，掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题时关键． （1）利用两个面积相等列式即可； （2）利用（1）中的公式计算即可； （3）把原式化为：，再利用（1）中的公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 因此可以得到乘法公式； 故答案为：． （2），， ， ； （3） ． 23. 等腰△ABC，CA＝CB，D为直线AB上一动点，以CD为腰作等腰三角形△CDE，顶点C、D、E按逆时针方向排列，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接BE． （1）若∠ACB＝60°，当点D在线段AB上时，如图（1）所示，此时AD与BE的数量关系为______； （2）若∠ACB＝90°，当点D在线段BA延长线上时，如图（2）所示，AD与BE有什么关系，说明理由； （3）当时，若△CAD中最小角为15°，试探究∠CDA的度数（直接写出结果）． 【答案】（1）AD=BE； （2） AD=BE，理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠ACB＝∠DCE， ∴∠ ACB=∠DCE=90°． ∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE， 即∠DCA=∠ECB． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE． （3）105°或45°或15°． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定可以得出△ACD≌△BCE，从而得出结论； （2）根据全等三角形的判定可以得出△ACD≌△BCE，从而得出结论； （3）分D在线段AB上、当点D在BA的延长线上、点D在AB的延长线上三种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 ∵∠ACB＝60°，∠ACB＝∠DCE， ∴∠ ACB=∠DCE=60°． ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB， 即∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE． 故答案为：AD=BE； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当D在线段AB上时， ∵BECA， ∴∠CBE=∠ACB， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE， ∴∠CAD=∠ACB，又∠CAB=∠CBA， ∴△CAB为等边三角形， ∴∠CAB=60°， 当△CAD中的最小角是∠ACD=15°时， ∴∠CDA=180°-60°-15°=105°， 当点D在BA的延长线上时， ∵BECA， ∴∠ACE=∠CEB，∠ABE=∠CAB， ∵△DCA≌△ECB， ∴∠CDA=∠CEB，∠CAD=∠CBE， ∴∠ACB=∠ACE+ECB=∠CEB+∠ECB=180°-∠CBE=180°-∠CAD=∠CAB=∠CBA， ∴△CAB是等边三角形， 当△CAD中的最小角是∠ACD=15°时，∠CDA=∠CAB-∠ACD=45°， 当△CAD中的最小角是∠CDA时，∠CDA=15°； 当点D在AB的延长线上时，只能∠CDA=15°， 综上所述，∠CDA的度数为105°或45°或15°． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度（下）第四中学质量检测（期中）七年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 新冠病毒的直径大约是0.00000008米，将0.00000008用科学记数法可表示为（ ） A. 8×10-7 B. 8×10-8 C. 0.8×10-9 D. 8×10-9 2. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，平分交于点，，，则的度数是( ) A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 6. 一副一副扑克牌（除去大小王），从中任抽一张，则抽到红心3的概率（ ） A. B. C. D. 1 7. 在学习三角形的高线时，小明利用直角三角板的直角，作△ABC中AC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是 A. B. C. D. 8. 若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 8cm B. 13cm C. 8cm或13cm D. 11cm或13cm 9. 如图，已知，下面四个三角形中，与全等的是（ 　） A. B. C. D. 10. 在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共5小题，每空3分，共15分） 11. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______度． 12. 如果和互余，则下列式子中：①；②；③；④能表示补角的是_____．（填序号） 13. 若，则a的值为______，b的值为______． 14. 把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图所示的大正方形，若图中每个小长方形的面积均为6，大正方形的面积为25，则的值为______． 15. 如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，，F、G是、上的两点，． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 19. 如图，在中，点D在延长线上，，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方法从下面三种中任选一种： （1）猜“是奇数”或“是偶数”； （2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”； （3）猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？请通过计算说明． 21. 如图，射线平分， （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，已知外一条射线，过点D作交于点F，若平分交于点P，求证：． 22. 【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图2的长方形． （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，求的值； （3）计算的值． 23. 等腰△ABC，CA＝CB，D为直线AB上一动点，以CD为腰作等腰三角形△CDE，顶点C、D、E按逆时针方向排列，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接BE． （1）若∠ACB＝60°，当点D在线段AB上时，如图（1）所示，此时AD与BE的数量关系为______； （2）若∠ACB＝90°，当点D在线段BA延长线上时，如图（2）所示，AD与BE有什么关系，说明理由； （3）当时，若△CAD中最小角为15°，试探究∠CDA的度数（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $