精品解析：北京市第八中学2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024－2025学年度第二学期期中练习题 考生须知： 1．本试卷共6页，共4道大题，27个小题，1-25题共100分，附加题共10分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名、学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．考试结束，将试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（每题2分，共16分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的。 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各数为三角形的边长．能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，2 B. ，， C. 4，5，6 D. ，， 3. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. （）2＝2 4. 如图，在矩形中，两条对角线交于点O，，则长为（　　） A. B. 3 C. D. 6 5. 一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 6. 如图，长方形中，，，点为边上的点，将沿折叠得到，点的对应点为，射线恰好经过的中点，则的长为（ ）     A. 2 B. 3 C. 4 D. 7. 有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等．把和这9个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（ ） A. 新数据的平均值比原数据的平均值小 B. 新数据的方差比原数据的方差大 C. 这两组数据的中位数可能相同 D. 以上结论都不正确 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标为，若点和点均在直线上，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 9 二、填空题（每空2分，共18分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是______． 11. 如图，在矩形中，直线分别交于点E，F，O，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）． 12. 若，则k=__________；比较大小：________． 13. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加掷标枪比赛，下表记录了四人选拔测试（每人掷5次）的相关数据： 甲 乙 丙 丁 平均距离 45 54 48 54 方差 根据表中数据，四名运动员中选成绩又好又稳定的是______． 14. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是_____度． 15. 如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______． 16. 一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图象交于点，下列结论正确的序号是________． ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图象上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． 三、解答题（17题12分，18-19题每题6分，20-25题每题7分，共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点C是x轴上一点，且的面积是5，求点C的坐标．（可以借助图象解决问题） 19. 如图，在中，．点是延长线上的点，连接． （1）若，，．求的长； （2）若平分，，，直接写出的长． 20. 已知：如图1，线段a，b． 求作：矩形ABCD，使得，． 作法：如图2． 1．在直线上截取． 2．过点B作直线，在直线m上截取． 3．分别以点A和点C为圆心，b，a的长为半径画弧，两弧的交点为D． (点D与点C在直线的同侧) 4．连接． 则四边形为所求的矩形． 根据上面设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明： 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形(___________)．(填推理的依据) ∵直线， ∴___________， ∴四边形ABCD是矩形(___________)．(填推理的依据)． 21. 如图，在四边形中，，，，平分交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 22. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由； （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离． 23. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ （3）根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 24. 如图，在正方形中，是上一点（不与点重合），点在上，且，连接． （1）判断与的数量关系并证明； （2）求的大小； （3）作点关于直线的对称点，连接．请补全图形，并直接用等式写出之间的数量关系． 25. 在平面直角坐标系中，对于任意两点和，称点为点A和B的加合点，如和的加合点是，对于点和直线，点D是直线上任意一点，则称点C和点D的所有加合点组成的线为点和直线的加合线． （1）点和的加合点的坐标是______； （2）已知点和直线，则点M和直线的加合线上的点与原点的距离的最小值为______； （3）在平面直角坐标系中，边长为的正方形对角线交于点，已知点，直线，点和直线的加合线记为，当与正方形有公共点时，记的最大值为，最小值为，若，则的取值范围是______． 四、附加题（26题3分，第27题7分，共10分） 26. 在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为_______． 27. 对于任意正实数，，，，只有当时，等号成立．结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题． （1）正实数，则的最小值为______； （2）正实数满足，则的最小值为______； （3）如图，已知，，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于、两点，长方形的面积始终为48，求四边形面积的最小值为______，此时点的坐标为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期中练习题 考生须知： 1．本试卷共6页，共4道大题，27个小题，1-25题共100分，附加题共10分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名、学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．考试结束，将试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（每题2分，共16分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的。 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.”是解题的关键． 【详解】解：A.是最简二次根式，故符合题意； B.，不是最简二次根式，故不符合题意； C.，不是最简二次根式，故不符合题意； D.，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：A． 2. 以下列各数为三角形的边长．能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，2 B. ，， C. 4，5，6 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握“三角形的三边为，，，若，则三角形是直角三角形．”是解题的关键． 【详解】解：A.，不能构成直角三角形，故不符合题意； B.，能构成直角三角形，故符合题意； C.，不能构成直角三角形，故不符合题意； D.，不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. （）2＝2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案； 【详解】解：，选项A错误； 与不是同类二次根式，不能合并，选项B错误； ，选项C错误； （）2＝2，选项D正确； 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 4. 如图，在矩形中，两条对角线交于点O，，则长为（　　） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质，根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到的长，再根据勾股定理，即可得到的长，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式，涉及正方形性质、正方形周长等知识，根据题意，正方形各边长减少后，得到的新正方形的边长为，从而表示出周长即可得到答案，熟记正方形性质及周长求法是解决问题的关键． 【详解】解：一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的边长为， 得到的新正方形的周长为， 故选：C． 6. 如图，长方形中，，，点为边上的点，将沿折叠得到，点的对应点为，射线恰好经过的中点，则的长为（ ）     A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得，，，，结合，勾股定理，求得，解答即可． 【详解】解：∵长方形中，，，将沿折叠得到，射线恰好经过的中点， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 7. 有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等．把和这9个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（ ） A. 新数据的平均值比原数据的平均值小 B. 新数据的方差比原数据的方差大 C. 这两组数据的中位数可能相同 D. 以上结论都不正确 【答案】D 【解析】 【分析】设9个数据为，则，根据平均数，方差，中位数的定义计算判定即可． 本题考查了中位数，方差，平均数的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：设9个数据为，且， 则， 则 ， 故平均数不变， 故A错误； 根据方差定义，得起始数据的方差为：， 新数据的方差为： ， 分子相同，分母变大， 故新方差变小， 故B错误； 根据，则起始数据的中位数为， 新数据的中位数是中间两个数的平均数，即第5个，第六个数据的平均数， 故， 若，则， 这与有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等矛盾． 故C错误， 故D正确， 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标为，若点和点均在直线上，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】设的解析式为，把各点分别代入解析式，解答即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二元一次方程的解法，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】设的解析式为， 点的坐标为，点B的坐标为，点和点均在直线AB上， 故，， 故，， 故． 故选：A． 二、填空题（每空2分，共18分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的性质得，即可求解；掌握性质“当时，的值随的值增大而增大；当时，的值随的值增大而减小．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，在矩形中，直线分别交于点E，F，O，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得出，确定，再由全等三角形的判定即可证明． 【详解】解：添加条件为：， 证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若，则k=__________；比较大小：________． 【答案】 ①. 3 ②. ＜ 【解析】 【分析】把化为最简二次根式得结论；先把2、3化为“”的形式，再比较被开方数得出结论． 【详解】解：∵ =3， ∴k=3． 故答案为：3． ∵2=×=， 3=×=， 又∵＞， ∴3＞2． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，掌握二次根式的性质和实数大小的比较方法是解决本题的关键． 13. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加掷标枪比赛，下表记录了四人选拔测试（每人掷5次）的相关数据： 甲 乙 丙 丁 平均距离 45 54 48 54 方差 根据表中数据，四名运动员中选成绩又好又稳定的是______． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了利用平均数和方差进行决策，从平均数来看平均成绩最好的是乙、丁，再比较方差，即可求解；理解平均数及方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由表格得 平均成绩最好的是乙、丁， ， 乙的成绩稳定， 四名运动员中选成绩又好又稳定的是乙， 故答案为：乙． 14. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是_____度． 【答案】22.5 【解析】 【详解】∵ABCD是正方形， ∴∠DBC=∠BCA=45°， ∵BP=BC， ∴∠BCP=∠BPC=（180°-45°）=67.5°， ∴∠ACP度数是67.5°-45°=22.5° 15. 如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，先证明，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，证明直线是线段的垂直平分线，利用勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线性质，三角形面积性质，解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线性质熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， 且， ∴， 直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图象交于点，下列结论正确的序号是________． ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图象上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①； 利用待定系数法求出，结合一次函数的性质即可判断②； 求出，求出，得出，可判断③； 得出，且，画出大致图像，可判断④正确． 【详解】解：∵一次函数与的图像交于点， ∴方程的解为， 即方程的解为，故①正确； 将代入，得：， 解得， ∴． ∵， ∴对于一次函数，y的值随x的增大而减小， ∴当时，；当时，， ∴无论何时与都为异号， ∴，故②正确； 将代入，得：， ∴． ∵（）， ∴， ∴或，故③错误； ∵，且， ∴，且， ∴画出图像如图所示． 由图可知当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方， ∴当时，，故④正确． 综上，正确的为①②④． 三、解答题（17题12分，18-19题每题6分，20-25题每题7分，共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算； （1）先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解； （2）先利用平方差公式进行运算，同时进行二次根式化简，最后进行加减运算，即可求解； 掌握二次根式混合运算的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点C是x轴上一点，且的面积是5，求点C的坐标．（可以借助图象解决问题） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，待定系数法求解析式即可； （2）设点，根据三角形的面积公式以及已知条件建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， 一次函数的图象经过点与， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设点， 如图，有两种情况： ， 解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴围成的三角形面积，利用数形结合的思想是解题的关键． 19. 如图，在中，．点是延长线上的点，连接． （1）若，，．求的长； （2）若平分，，，直接写出的长． 【答案】（1）4 （2）18 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质等．掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由勾股定理得，，即可求解； （2）过作交于，由角平分线的性质得，由勾股定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解； 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：过作交于， ， ，， ， 平分，， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 解得：． 故的长为． 20. 已知：如图1，线段a，b． 求作：矩形ABCD，使得，． 作法：如图2． 1．在直线上截取． 2．过点B作直线，在直线m上截取． 3．分别以点A和点C为圆心，b，a的长为半径画弧，两弧的交点为D． (点D与点C在直线的同侧) 4．连接． 则四边形为所求的矩形． 根据上面设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明： 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形(___________)．(填推理的依据) ∵直线， ∴___________， ∴四边形ABCD是矩形(___________)．(填推理的依据)． 【答案】（1）见解析 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；；有一个内角是直角的平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）按照步骤操作即可； （2）根据矩形的判定定理推导，填空即可. 【小问1详解】 解：补全图形如下： 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． ∵直线， ∴， ∴四边形ABCD是矩形(有一个内角是直角的平行四边形是矩形)． 故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；；有一个内角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查尺规作图，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，，，，平分交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握矩形的判定和特殊角锐角三角函数是解题的关键． （1）根据三个角是直角的四边形是矩形进行证明即可； （2）证明是等边三角形，则，在中，，．在中，由勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 证明：，， ． ，平分， ． 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：如图， ，， ． ∵， 是等边三角形． ． 在中，， ． 在中，． 22. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由； （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离． 【答案】（1），理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的特征等； （1）计算得出，由勾股定理逆定理可判定为直角三角形，即可求解； （2）过作交的延长线于，过C作于M，延长交于K，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，由三角形面积得，即可求解； 能熟练利用勾股定理及其逆定理进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 理由如下： ， ， ， 为直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：过作交的延长线于，过C作于M，延长交于K， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ∴购物车把手到的距离为． 23. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ （3）根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 【答案】（1）98，93，10 （2）450人 （3）男生更喜欢《哪吒2》，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义求得a，b，进而得出评分在B的人数，求得m的值； （2）用400和500分别乘以评分在D组的占比，即可求解； （3）根据中位数和众数分析，即可求解． 【小问1详解】 解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98， 98出现最多，则， 根据统计表可得男生满分的有人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83， 则按从小到大排列，第5个数据为86，由满分占比，可得第6个数据为100， 则， 评分分数为A和B的人数和为，都不为0， 评分分数为A和B的人数都是1人， ，即， 故答案为：98，93， 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人； 【小问3详解】 解：男生更喜欢《哪吒2》， 根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》． 24. 如图，在正方形中，是上一点（不与点重合），点在上，且，连接． （1）判断与的数量关系并证明； （2）求的大小； （3）作点关于直线的对称点，连接．请补全图形，并直接用等式写出之间的数量关系． 【答案】（1），见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，后根据等量代换解答即可． （2）过点G作于点M，点G作于点N，利用三角形的全等，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质解答即可． （3）连接，过点P作交的延长线于点H，根据点P，C关于直线对称，得到，根据（2）得，得到， 证明，得到，得到，继而证明． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：过点G作于点M，点G作于点N， 则四边形是矩形， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 证明：连接，过点P作交的延长线于点H， ∵点P，C关于直线对称， ∴， 根据（2）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，对称思想，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，对于任意两点和，称点为点A和B的加合点，如和的加合点是，对于点和直线，点D是直线上任意一点，则称点C和点D的所有加合点组成的线为点和直线的加合线． （1）点和的加合点的坐标是______； （2）已知点和直线，则点M和直线的加合线上的点与原点的距离的最小值为______； （3）在平面直角坐标系中，边长为的正方形对角线交于点，已知点，直线，点和直线的加合线记为，当与正方形有公共点时，记的最大值为，最小值为，若，则的取值范围是______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，点和的加合点的坐标是即，解答即可； （2）根据点，设直线的点，则点M和的加和点坐标为，故，得到加和线为，确定加和线与x轴交点，与y轴交点坐标，计算，根据垂线段最短，计算上的高即为所求； （3）如图，设直线上的点，可得点和直线的加合线为，与轴的交点，由点和直线的加合线与正方形的上下两个交点关于原点对称，可得，可得点和直线的加合线为或，当正方形的对角线加合线时，正方形的边长最小，如图，正方形的边在加合线上时，正方形的边长最大，再进一步求解即可； 【小问1详解】 解：根据定义，点和的加合点的坐标是即， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由点，设直线的点， 则点M和的加和点坐标为， 故，得到加和线为， 故加和线与x轴交点，与y轴交点坐标， 过点O作与点C， ∴， 根据垂线段最短，上的高为； ∴点M和直线的加合线上的点与原点的距离的最小值为. 【小问3详解】 解：如图，设直线上的点， ∴点和直线的加合点为， ∴点和直线的加合线为， ∴与轴的交点， ∵边长为的正方形对角线交于点，当与正方形有公共点时， ∴点和直线的加合线与正方形的上下两个交点关于原点对称， ∴点和直线的加合线与轴的两个交点关于原点对称，且一个对应的最大值为，另一个对应最小值为， ∵， ∴， ∴点和直线的加合线为或， 当正方形的对角线加合线时，正方形的边长最小， ∴与轴的交点，与轴的交点， ∴， 此时正方形的边长， 如图，正方形的边在加合线上时，正方形的边长最大， 过作加合线的垂线， 同理可得：， 结合正方形的性质可得：， ∴； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，一次函数的几何应用，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，本题的难度大，熟练的画图是解本题的关键. 四、附加题（26题3分，第27题7分，共10分） 26. 在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为_______． 【答案】或9或3 【解析】 【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可． 【详解】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°， ∴， ∴， 当点P在线段AB上时，如图， ∵， ∴∠BPC=90°，即PC⊥AB， ∴； 当点P在AB的延长线上时， ∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB， ∴∠CPB=30°， ∴∠CPB=∠PCB， ∴PB=BC=3， ∴AP=AB+PB=9； 当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图， ∴， ∵， ∴∠APC=60°， ∴∠ACP=60°， ∴∠APC=∠PAC=∠ACP， ∴△APC为等边三角形， ∴PA=AC=3． 综上所述，的长为或9或3． 故答案为：或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键． 27. 对于任意正实数，，，，只有当时，等号成立．结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题． （1）正实数，则的最小值为______； （2）正实数满足，则的最小值为______； （3）如图，已知，，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于、两点，长方形的面积始终为48，求四边形面积的最小值为______，此时点的坐标为______． 【答案】（1） （2） （3）96， 【解析】 【分析】本题考查了坐标与平面，涉及完全平方公式，利用平方根解方程等知识点，正确理解“均值不等式”是解题的关键． （1）根据题干所给方法得到，即可求解； （2）将化为，然后展开，再利用题干所给方法求解即可； （3）设，则，则，那么得到，化简得到，再由题干所给方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵正实数， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵正实数满足， ∴， 当且仅当时，即，时等号成立， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意得，， 设，则， ∴， ∴，， ，， 化简得：． ，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 四边形的面积有最小值， ∴此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $