精品解析：2025届新疆维吾尔自治区喀什地区普通高考5月适应性检测数学试题

喀什地区2025年普通高考5月适应性检测 数学试题 （卷面分值：150 分；考试时长：120 分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为， ，故. 故选：C. 2. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算计算可得. 【详解】因为在复平面内对应的点为， 又点关于直线对称的点为，所以， 所以. 故选：A 3. 已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 4. 某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由排列数的计算以及古典概型概率计算公式即可得解. 【详解】在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩， 在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是. 故选：A. 5. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由向量垂直的坐标表示求出，然后再由模长的计算可得. 【详解】若，则， 即 又， . 故选：D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先切化弦，得到，再结合两角和与差的正弦公式可求值. 【详解】由. 由. 由. 所以. 故选：B 7. 已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三棱锥补形成正三棱柱，利用它们有相同的外接球，结合正三棱柱的结构特征求出球半径即可. 【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：，而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：A 8. 已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解方程，得到的表达式，再结合函数的图象，分析取不同值时方程根的个数，进而确定的取值范围. 【详解】令，则方程可转化为. 对进行因式分解可得，则，. 所以或.  当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且.  当时，，对其求导，. 令，即，解得（）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值，.   对于： 当时，，即，，解得，有个根.  因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根. 结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根.   的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数和，下列说法中正确的是（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最小值 C. 函数的图象与的图象有相同的对称轴 D. 的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例令代入可得A错误；由正余弦函数的值域可得B正确；由余弦函数的对称轴方程代入正弦函数可得C错误；由函数平行的性质可得D正确. 【详解】对于A，令中，可得， 但，故A错误； 对于B，由正余弦函数的值域可得两函数具有相同的最小值为，故B正确； 对于C，函数的对称轴方程为，即， 所以，故C错误； 对于D，的图象向左平移个单位得到，故D正确； 故选：BD 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（ ） A. 直线与恰有两个公共点 B. 双曲线的离心率为 C. 当时，的面积为 D. 当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【答案】BC 【解析】 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可判断A选项；直接求出双曲线的离心率可判断B选项；利用双曲线的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，联立可得， 所以，直线与恰有只有一个公共点，A错； 对于B选项，对于双曲线，则，，， 所以，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理可得， 可得，则，C对； 对于D选项，设点、，线段的中点为， 则，，则， 由题意可得，所以，，则，D错. 故选：BC. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 当时，函数在定义域上单调递增 C. 曲线是中心对称图形 D. 若，且的最小值是0 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用对数函数定义域求法可得A正确，由复合型对数函数单调性可判断B正确，利用函数对称性定义代入计算可得，因此C正确，求导可得，再由基本不等式计算可得即可，可判断D错误. 【详解】对于A，由函数解析式可得，解得，因此函数的定义域为，显然A正确； 对于B，当时， 易知函数单调递增，单调递减，所以函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，令，， 因此的图象关于点中心对称， 易知满足， 可得的图象关于点中心对称，可得C正确； 对于D，时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故， 而成立，故，即，所以的最小值为，即D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．有2个空的，第一个空做对得2分，第二个空做对得3分. 12. 等比数列中，，则的前4项和等于______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列项间关系列式求出公比，进而求出前4项和. 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 解得，因此， 所以的前4项和等于5. 故答案为：5 13. 中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可知，然后根据三点共线得出，再通过基本不等式求解即可. 【详解】如下图所示： 因为，为边的中点，所以， 又三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】第一空：直接代入，分和解不等式，再取并集即可；第二空：将题设转化为和的实数根的个数为2，分、和依次讨论根的情况，即可求解. 【详解】第一空：若，则，当时，由解得，则； 当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为； 第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2. 当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意； 当时，显然无解；的判别式，设的两根为， 则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意； 当时，令的对称轴为，则在单减，则，则无解； ，显然时不成立，则，令，则，显然在上单减，在单增， 则，又，，则时，有2个根，即恰有两个零点； 综上：. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，的面积为，求边上的高. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，可把转化成，再借助辅助角公式和三角形内角的取值范围，可求角. （2）借助，可得，再利用余弦定理可求边，再利用三角形面积公式可求边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理，得，又，所以， 所以， 整理，得，即， 又，所以， 所以，故. 【小问2详解】 由的面积为，得，所以. 由余弦定理，得， 所以， 设边上的高， 由，解得. 16. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性． 【小问1详解】 当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 17. 如图，直三棱柱中，分别为棱，上的点，为的中点，且. （1）求证：平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图，连接，设，连接. 四边形为平行四边形，. 为的中点，即. 又平面平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接，可证得四边形为平行四边形，进而可得，利用线线平行可得平面； （2）当时，三棱锥的体积最大.，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，求得平面的一个法向量，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，而， 当时，取最大值2， 即当时，三棱锥的体积最大. 又三棱柱为直三棱柱，. 当时，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系. 则. 设平面的法向量为， 则，令，则. 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. （1）估计甲队每局获胜的概率； （2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； （3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 （3）两队积分相等的概率小于 【解析】 【分析】（1）计算6场比赛甲赢的频率即可； （2）利用第1问求出的概率，分类列出其分布列，再求期望； （3）设第场甲、乙两队积分分别为，，求两者之间的关系，将问题转化为时的概率，再结合第2问可求其概率. 【小问1详解】 由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为， 用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为. 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 可得：，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望． 【小问3详解】 记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2， 因两队积分相等，所以，即，则， 而，， ， 所以 ， 因为，所以两队积分相等的概率小于 19. 已知椭圆的离心率为，左右两顶点分别为，过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时，点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点关于原点的对称点为，设直线与直线相交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由. 【答案】（1） （2）是定值， 设，直线的方程为.此时. 联立直线与椭圆方程消去得， 则有 不妨设，因为三点共线，则， 所以则有， 因为三点共线，则则有， 所以 ， 所以，所以， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，解方程求出，再结合，即可得出答案. （2）设，直线的方程为，联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系、斜率公式即可求得为定值. 【小问1详解】 依题意可知， 由于，则直线的方程为， 因为点到直线的距离为. 所以，解得， 所以，则， 所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 喀什地区2025年普通高考5月适应性检测 数学试题 （卷面分值：150 分；考试时长：120 分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 4. 某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数和，下列说法中正确的是（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最小值 C. 函数的图象与的图象有相同的对称轴 D. 的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（ ） A. 直线与恰有两个公共点 B. 双曲线的离心率为 C. 当时，的面积为 D. 当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 当时，函数在定义域上单调递增 C. 曲线是中心对称图形 D. 若，且的最小值是0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．有2个空的，第一个空做对得2分，第二个空做对得3分. 12. 等比数列中，，则的前4项和等于______． 13. 中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为________. 14. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，的面积为，求边上的高. 16. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 17. 如图，直三棱柱中，分别为棱，上的点，为的中点，且. （1）求证：平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. （1）估计甲队每局获胜的概率； （2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； （3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 19. 已知椭圆的离心率为，左右两顶点分别为，过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时，点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点关于原点的对称点为，设直线与直线相交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $