精品解析：四川省泸州市龙马潭区田家炳中学联考2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

2025年四川省泸州市田家炳中学联考高一半期测试 数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足则其共轭复数在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，则 C. 零向量没有方向 D. 模为0的向量与任意非零向量共线 3. 在如图中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A B. C. D. 5. 已知函数在处取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 6. 记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知角终边在第二象限，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. 12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知,则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 图象的一个对称中心是 D. 上单调递增 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的表达式可以写成 C. 图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数 D. 若方程在上有且只有8个根，则 11. 已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 取值范围为 C. 若为线段上的动点，则 D. 过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为共线向量，且，则__________. 13. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，BC边上的高为，则________． 14. 对于三角形形状的判断，以下说法正确的有：__________ ①若，则为等腰三角形； ②若，则为等边三角形． ③，则为直角三角形． ④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 ⑤若，则为钝角三角形． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不共线向量满足的夹角为. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 已知分别为三个内角的对边，. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间(天)的函数，日销售量(为常数)，且时，日销售量为26千克，日销售单价满足函数. （1）写出该商品日销售额关于时间的函数(日销售额=日销售量×销售单价)； （2）求这段时间内该商品日销售额的最大值. 18. 已知函数. （1）写出函数的最小正周期； （2）若是偶函数，求的减区间； （3）求在区间上的值域. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量， （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，且，求证：． （3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川省泸州市田家炳中学联考高一半期测试 数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算求出，然后由复数的几何意义和共轭复数概念可得. 【详解】由得， 所以，对应点为，在第一象限. 故选：A 2. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，则 C. 零向量没有方向 D. 模为0的向量与任意非零向量共线 【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A，单位向量的方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B，取非零向量，此时满足，但不成立，故B错误． 对于C，零向量有方向，其方向任意，故C错误； 对于D，模为的向量为零向量，零向量与任意非零向量共线，故D正确； 故选：D． 3. 在如图中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线， 所以， 因为为的中点， 所以可得， 故选: B. 4. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为，， 所以，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C 5. 已知函数在处取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据辅助角公式得，，可得，进而可得. 【详解】， 设，则， 则当时，取得最大值，故， 故， 故选：A 6. 记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换，根据正弦函数的性质，可得答案. 【详解】由，，则， 根据正弦定理，可得 ， 在中，，则， ， 在中，易知，当时，. 故选：B. 7. 已知角终边在第二象限，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系可得，，进而代值计算即可. 【详解】由，角终边在第二象限， 则， ， 所以 故选：C. 8. 设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，得到，再根据，得到，进而求出的取值范围，再根据，即可求解． 【详解】因为，所以，所以， 由，所以，化简得到， 所以，则，当且仅当时，等号成立， 所以，则的最小值为. 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知,则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 图象的一个对称中心是 D. 上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】因为,根据偶函数的定义判断A;根据最小正周期公式判断B;将代入验证C的正误;求解函数的单调递增区间即可判断D. 【详解】因为,定义域为, ,所以是偶函数,故A正确; 的最小正周期为,故B正确; ,所以是图象的一个对称中心,故C正确; 令, 解得, 即的单调递增区间为,故D错误. 故选:ABC. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的表达式可以写成 C. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数 D. 若方程在上有且只有8个根，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据经过及的范围得到的解析式，判断A选项，利用诱导公式判断B选项，根据图象平移判断C选项，利用整体代换及正弦函数的图象判断D选项. 【详解】因为经过点，所以， 因为，所以，A正确； ，因为过，所以， 因为，所以， 所以， 所以，B正确； 图象向右平移个单位长度后得到 的图象， 该函数是奇函数，C错误； 因为，所以，由得， 要使得方程在上有且只有8个根，则， 所以，D错误； 故选：AB. 11. 已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 的取值范围为 C. 若为线段上的动点，则 D. 过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】依次判断每个选项，直接计算A正确；当时，，B错误；当三点共线时最小，根据余弦定理计算得到C正确；计算截面，根据均值不等式计算得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：母线长，侧面积为，正确； 对选项B：中，，，则当时， ，错误； 对选项C：为等腰直角三角形，，将放平得到，如图2所示，当三点共线时最小，为中点，连接，则，， ，正确； 对选项D：如图3，设截面为，为中点，连接，设，，则 ，当，即时等号成立，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中侧面积，截面积和线段和的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和空间想象能力，其中，将空间的线段和转化为平面的距离是解题的关键. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为共线向量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共线向量，求出 【详解】根据为共线向量，且, 则，解得. 故答案为：. 13. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，BC边上的高为，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，结合三角形的面积公式可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 若，则，与矛盾，所以， 则，又，所以， 由可得， 再由余弦定理可得，代入，， 可得，化简可得，即， 解得或（舍）. 故答案为：3 14. 对于三角形形状判断，以下说法正确的有：__________ ①若，则为等腰三角形； ②若，则为等边三角形． ③，则直角三角形． ④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 ⑤若，则为钝角三角形． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】根据正弦定理边化角，可推得或，判断①；根据向量数量积的运算律可判断②；举反例可判断③；根据向量数量积的运算律结合向量的模可判断④；利用正弦定理角化边结合余弦定理可判断⑤. 【详解】对于①，，则, 即，由于，则， 则或，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，①错误； 对于②，由可得， 即，故， 同理由可得, 故为等边三角形，②正确． 对于③，不妨取,满足，但不是直角三角形．③错误； 对于④，因为 ，故， 即， 又，所以 ， 故，由于，故， 同理可得，结合 ， 故≌≌,可得， 故为等边三角形，④正确； 对于⑤，由得， 即，即， 由于，故为钝角，故为钝角三角形，⑤正确， 故答案为：②④⑤ 【点睛】方法点睛：判断三角形形状问题可以利用正余弦定理，根据角的范围进行判断，注意正余弦定理边角互化的应用，也可以利用向量的线性运算或者数量积的运算进行判断. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不共线的向量满足的夹角为. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对式子进行平方运算，即可得到答案； （2）根据向量垂直，数量积为0，即可得到答案； 【小问1详解】 （1） 【小问2详解】 （2），， ， ， ， . 16. 已知分别为三个内角的对边，. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角关系，利用三角形内角和定理及三角函数恒等变换化简可得，即可得角的大小； （2）由余弦定理得，利用均值不等式得，结合已知得，应用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由，则， 所以， 即，又， ，即， . 【小问2详解】 ， ， ， ，即，又， （当时等式成立）， . 17. 据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间(天)的函数，日销售量(为常数)，且时，日销售量为26千克，日销售单价满足函数. （1）写出该商品日销售额关于时间的函数(日销售额=日销售量×销售单价)； （2）求这段时间内该商品日销售额的最大值. 【答案】（1）；（2）最大日销售额为625元. 【解析】 【分析】（1）由已知求得参数，然后由可得日销售额函数； （2）分别求出两段中的最大值，比较后可得结论． 【详解】解：（1）由题意可知，解得. ∴. 所以. （2）当时，， 当且仅当，即时，. 当时，，当或时，. 因为，所以时，. 答：时销售额最大，最大日销售额为625元. 【点睛】关键点点睛：：本题考查函数模型的应用，已知函数模型，解题关键是根据已知条件求出参数值得函数解析式．在求分段函数的最大值时，需要分段求解，然后比较两个最大值． 18. 已知函数. （1）写出函数的最小正周期； （2）若是偶函数，求的减区间； （3）求在区间上的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的周期性求解即可； （2）先根据三角函数的奇偶性求出，再根据余弦函数的单调性求解即可； （3）根据正弦函数的值域求解即可. 【小问1详解】 函数的最小正周期为； 【小问2详解】 因， 则， 因是偶函数，则， ∵，∴， 所以， 由，得，， 所以的减区间是； 【小问3详解】 当，则，∴ 所以在区间上的值域为. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量， （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，且，求证：． （3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可； （2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由三角形内角和为以及两角和与差的正弦公式求得以及，作比可求出结果； （3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得. 【小问1详解】 因为， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得. ，① 因，则， ②+①可得：，②-①可得， 两式相比可得：，即 【小问3详解】 依题意，， 由可得， 即， 当或时，； 当时，， 作出函数在上的图象. 因方程在上有且仅有四个不相等的实数根 等价于函数与函数的图象在上有四个交点. 由图知，当且仅当或时，两者有四个交点. 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$