精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区实验中学2024-2025学年度下学期八年级数学期中试题

2024-2025学年度下学期八年级期中调研 八年级 数学学科 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长：120分钟） 注意事项：请将答案写在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数（单位：米）与方差如下表所示． 运动员 甲 乙 丙 丁 1.90 1.85 1.90 1.85 2.9 2.65 0.16 7.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 4. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直平分 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线平分一组对角 D. 平行四边形的对角线互相垂直 5. 若点在平面直角坐标系的第三象限，则一次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于一次函数y＝﹣2x＋2的图象的说法中，错误的是（ ） A 函数图象经过第一、二、四象限 B. 函数图象与x轴的交点坐标为（2，0） C. 当x＞0时，y＜2 D. y的值随着x值的增大而减小 7. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 8. 定义运算：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 9. 如图，在矩形中，，．点是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（　　） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示：给出下列说法：①比赛全程1500米．②2分时，甲乙相距300米．③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点．④3分40秒时，乙追上甲．其中正确的个数（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占，计算选手的综合成绩（百分制）已知选手甲的单项成绩如下表所示： 演讲内容 演讲能力 演讲效果 85 95 95 那么选手甲的综合成绩等于________． 12. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是________________． 13. 若关于一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______． 14. 已知一次函数．若当时，函数有最小值，则的值为________． 15. 如图，在正方形中，O为对角线的交点，E、F分别为边上一点，且，连接．若，，则的长为________． 三、解答题：（本题共75分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3）． 17. 为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两线相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 19. 近日，我省体育总局发布了2025年体育赛事活动名录，共有88项赛事活动，贯穿全年，涵盖了各级各类人群，做到了“周有活动、月有赛事、季有大赛”，同时也促进体育赛事活动健康有序发展，扩大赛事活动影响．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 a 8 4.4 九年级 8 85 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中________，________； （2）A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生： （3）若该校八年级学生有420人，九年级学生有580人，请估计该校八、九年级锻炼时间每周达到九小时及以上的学生共有多少人． 20. 如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为1． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在轴上，且满足，求点的坐标； （3）请直接写出时的取值范围． 21. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形； (2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 23. 【探索发现】如下图，等腰直角三角形中，，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型“K型全等”． 【迁移应用】如下图，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、B． （1）直接写出_________，__________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； （3）如下图，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】如下图，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在直线上，且点C坐标为，点E坐标为，连结，点P为直线上一点，满足，请直接写出点P坐标：___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期八年级期中调研 八年级 数学学科 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长：120分钟） 注意事项：请将答案写在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为熟记：． 【详解】解：、是一元一次方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、中含有一个未知数，但未知数的最高次数为，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、是一元二次方程，此选项符合题意； 、中，有个未知数，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 故选：． 2. 甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数（单位：米）与方差如下表所示． 运动员 甲 乙 丙 丁 1.90 1.85 1.90 1.85 2.9 2.65 0.16 7.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：由表中数据可知，成绩的平均数最大的是甲和丙，成绩方差最小的是丙， 从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丙． 故选：C． 3. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定方法，解决本题的关键是根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判断． 【详解】解：如下图所示， A选项：在中，当时，与一定不垂直， 平行四边形一定不是菱形， 故A选项错误，符合题意； B选项：当时，平行四边形是矩形， 故B选项正确，不符合题意； C选项：当时，平行四边形是菱形， 故C选项正确，不符合题意； D选项：当且时，平行四边形是正方形， 故D选项正确，不符合题意． 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直平分 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形对角线平分一组对角 D. 平行四边形的对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形，菱形，正方形，平行四边形的性质，根据矩形，菱形，正方形，平行四边形的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，原说法错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等，原说法错误，不符合题意； C、正方形的对角线平分一组对角，原说法正确，符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，原说法错误，不符合题意； 故选C． 5. 若点在平面直角坐标系的第三象限，则一次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在第三象限可以得到m、n的取值范围，从而可以判断一次函数的大致图象． 【详解】解：∵在第三象限， ∴， ∴经过二、三、四象限， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中每个象限点的坐标特征，一次函数图象与其系数之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 6. 下列关于一次函数y＝﹣2x＋2的图象的说法中，错误的是（ ） A. 函数图象经过第一、二、四象限 B. 函数图象与x轴的交点坐标为（2，0） C. 当x＞0时，y＜2 D. y的值随着x值的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、∵k＝﹣2＜0，b＝2＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限，说法正确； B、∵y＝0时，x＝1，∴函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），说法错误； C、当x=0时，y=2，由k＝﹣2＜0，∴y的值随着x值的增大而减小，∴当x＞0时，y＜2，说法正确； D、∵k＝﹣2＜0，∴y的值随着x值的增大而减小，说法正确； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数图像性质，利用数形结合思想解题是关键． 7. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 8. 定义运算：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，先利用新定义得到方程，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，．点是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，由折叠可得，，由矩形可得，，，利用勾股定理求出，得到，设，则，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 10. 甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示：给出下列说法：①比赛全程1500米．②2分时，甲乙相距300米．③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点．④3分40秒时，乙追上甲．其中正确的个数（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①由函数图象可以得； ②根据图象列式计算即可得出结论； ③由函数图象可以得答案； ④求出两分钟后，甲、乙图象表示的函数，再联立即可求解． 【详解】解：①由函数图象可得比赛全程1500米，故①正确； ②甲的速度米/分， ∴2分时甲、乙相距为米，故②正确； ③由函数图象可以得；乙比甲领先秒到达终点，故③错误； ④设两分钟后，，将，代入， ∴， 解得：， ∴， 设甲的函数解析式，，将，代入， 得， 解得， ∴， 联立， 解得， 即乙追上甲用分钟=3分钟40秒，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，认真观察函数图象从中获得有效信息是解题关键． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占，计算选手的综合成绩（百分制）已知选手甲的单项成绩如下表所示： 演讲内容 演讲能力 演讲效果 85 95 95 那么选手甲的综合成绩等于________． 【答案】90分 【解析】 【分析】根据加权平均数计算，解答即可． 本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据加权平均数计算， 故答案为：90． 12. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与的图象相交于点A，得于是得到点，根据交点的意义，得到方程组的解． 本题考查了一次函数的交点，方程组的解与一次函数交点的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：一次函数图象与的图象相交于点A， 得， 解得 于是得到点， ∴方程组的解为， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据医院二次方程的定义和根的判别式的定义得到，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：且． 14. 已知一次函数．若当时，函数有最小值，则的值为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得：； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得：； ∴k的值为5或． 故答案为：5或． 15. 如图，在正方形中，O为对角线的交点，E、F分别为边上一点，且，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到，， 确定，求得，得到，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 根据对等角相等和三角形内角和定理，得 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本题共75分） 16. 用适当方法解下列方程 （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． （3）利用公式法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， 解得． 【小问3详解】 解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 17. 为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x，根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题的解法是解题的关键． 【详解】解：设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该社区2023年至2025年投入资金的增长率为． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两线相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）先证明是矩形，然后利用矩形的性质可得出，最后利用菱形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理求出，利用等积法求出，然后利用面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明∶∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过A作于E， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 19. 近日，我省体育总局发布了2025年体育赛事活动名录，共有88项赛事活动，贯穿全年，涵盖了各级各类人群，做到了“周有活动、月有赛事、季有大赛”，同时也促进体育赛事活动健康有序发展，扩大赛事活动影响．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 a 8 4.4 九年级 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中________，________； （2）A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生： （3）若该校八年级学生有420人，九年级学生有580人，请估计该校八、九年级锻炼时间每周达到九小时及以上的学生共有多少人． 【答案】（1）8，9 （2）八 （3）估计该校八、九年级锻炼时间每周达到九小时及以上的学生共有人 【解析】 【分析】本题考查了求中位数、求众数，样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据中位数的定义即可得出结论； （3）根据样本估计总体列式计算即可． 【小问1详解】 解：将八年级10名学生的平均每周锻炼时长从小到大顺序排列，中位数为第5位和第6位的平均数， 中位数， 由九年级10名学生的平均每周锻炼时长可得，众数， ，． 故答案为：8，9； 【小问2详解】 解：A同学平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是八年级的学生． 故答案为：八． 【小问3详解】 解：根据题意：（人） 答：估计该校八、九年级锻炼时间每周达到九小时及以上的学生共有人． 20. 如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为1． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在轴上，且满足，求点的坐标； （3）请直接写出时的取值范围． 【答案】（1） （2）点坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，把代入中得：，可得，根据待定系数法即可求解； （2）先求出△AOB的面积，即可得△BOC的面积，设，即有，则C点坐标可求； （3）根据（1）的结果可知不等式为：，该不等式的含义为求一次函数的图象在正比例函数图象上方时，自变量x的取值范围，即根据B点坐标以及图象即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴， 把代入中得：， ∴， 把，代入得： ， ∴， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵点在轴上，设， ∴， 即：，解得：， ∴点坐标为或； 【小问3详解】 根据（1）的结果可知不等式为：， 根据可知，一次函数的图象在正比例函数图象上方时，自变量x的取值范围为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求解一次函数解析式、一次函数与三角形面积以及根据一次函数图象求解不等式解集等知识，理解不等式所体现的函数图象的意义是解答本题的关键． 21. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A型电脑的单价是100元，B型电脑的单价是150元 （2）购进A型电脑34台，B型电脑66台，利润最大，最大为13300元 【解析】 【分析】设A型电脑的单价是x元，B型电脑的单价是y元，根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进A型电脑x台，则B型电脑台，根据题意，这100台电脑的销售总利润为y元，则，根据一次函数的性质，不等式的解集求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组。一次函数的性质是解题的关键． 小问1详解】 解：设A型电脑的单价是x元，B型电脑的单价是y元， 由题意得： 解得：， 答：A型电脑的单价是100元，B型电脑的单价是150元． 【小问2详解】 解：设购进A型电脑x台，则B型电脑台， 根据题意， 解得， 由x是正整数， 故x最小为34台， 由这100台电脑的销售总利润为y元， 则， 由y随x的增大而减小，得当时，利润最大，最大为13300元．  故购进A型电脑34台，B型电脑66台，利润最大，最大为13300元． 22. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形； (2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 【答案】(1)见解析；(2) OF =. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论． 【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB∥CD. ∵DF=CE， ∴DF+DE=CE+ED， 即:FE=CD. ∵点F、E在直线CD上 ∴AB=FE，AB∥FE. ∴四边形ABEF是平行四边形 又∵BE⊥CD，垂足是E， ∴∠BEF=90°. ∴四边形ABEF是矩形. (2)解:∵四边形ABEF矩形O， ∴∠AFC=90°，AB=FE. ∵AB=6，DE=2， ∴FD=4. ∵FD=CE， ∴CE=4. ∴FC=10. 在Rt△AFD中，∠AFD=90°. ∵∠ADF=45°， ∴AF=FD=4. 在Rt△AFC中，∠AFC=90°. ∴. ∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点， ∴O为AC中点 在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点. ∴OF=AC=. 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 23. 【探索发现】如下图，等腰直角三角形中，，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“K型全等”． 【迁移应用】如下图，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、B． （1）直接写出_________，__________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； （3）如下图，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】如下图，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在直线上，且点C坐标为，点E坐标为，连结，点P为直线上一点，满足，请直接写出点P的坐标：___________． 【答案】（1）2，1；（2）；（3）；【拓展应用】或 【解析】 【分析】（1）分别将，代入求解即可； （2）过点作轴交于点，利用“K型全等”模型可得，求出，，进而可得点E的坐标； （3）过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，利用“K型全等”模型可得，求出点坐标，再利用待定系数法即可求解； 拓展应用：分两种情况，在射线或射线上时，分别利用全等三角形的判定与性质求出直线的解析式，然后联立解析式求出点P的坐标即可． 【详解】解：（1）将代入可得，即， 将代入可得，即， 故答案为：2，1； （2）过点作轴于点F， ∵， ∴由“K型全等”模型可得， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为； （3）过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， 由“K型全等”模型可得， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 拓展应用：当点在射线上时，作交于点，过作x轴的垂线，作，，如图： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点C坐标为，点E坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立：， 解得， ∴P， 当在射线上时，作，作，，且，如图： 则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵点C坐标为，点E坐标为， ∴，， 由勾股定理可得：， 解得， 由勾股定理可得：，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立， 解得 ∴， 综上，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，解二元一次方程组等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础知识. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$