【T8联考】2025年普通高中学业水平选择性考试压轴卷数学（二）（河南版）

2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟) 数学试题（二） 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知复数之=一3十4，则之十g在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.某玩具加工厂生产A,B两种盲盒，其生产量之比为3：2，其中每种盲盒有大号和小号两 种类型，且A,B两种盲盒中大号盲盒所占比例相等，现从流水线上随机取一个盲盒，已知 取到大号A盲盒和小号B盲盒的概率相等，则大号盲盒的占比为 A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 3.设集合M={mm=x+2y,x,y∈Z},N={nn=x+3y,x,y∈Z,则 A.M=N B.MN C.NM D.M∩N=☑ 4.(1十3x)“的展开式中x的系数为 A.164 B.252 C.256 D.504 5.设a=b”,b=log2c,c=24,则 A.atb>c B.a+b<e C.abc2 D.ab<c 6.已知“函数fx)=2cos2or一哥】-1o>0)在区间0，上存在最小值-3产为假命题， 则，的取值范围为 A. c 数学试题（二）第1页共4页 7.某日，某研究所对一种冷冻了9个月的微生物群进行解冻，在理想情况下，其数量将会每 周翻倍.若该微生物群的数量为20万，按照理想情况估算，截止至2025年10月31日，其 数量将会到达2×105，故该生物群开始冷冻的时间大约在 A.2022年3月 B.2022年8月 C.2023年2月 D.2023年7月 8已知FF分别为双曲线C:-=1(6>0)的左，有焦点A,B分别为C左，右支上 的点，且F1,A,B三点共线.若∠AF,B=∠AF,F2,则2F,F十|BF:的最小值为 A.16 B.18 C.20 D.22 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知点A(m,1),B(3,2),C(一1,4)，D(x,y),则 A.若AB∥BC,则m=5 B.|BC|=6 C若AB上BC,则m=号 D.若BC+2CD=0,则x+y=4 Q已知曲线Ccsg十img1,其中gE0,2,则 A.若C表示圆，则0= 4 B.若C表示椭圆，则其离心率为二cos20 sin C.0三父时，C的焦距为2 D.若矩形的四个顶点均在C上，则该矩形面积的最大值为1 11.已知在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2,AA:=3,E,F分别为AB,B,C,的中点， P为线段AC上的动点，A1,E,C,F四点均在球O的表面上，则 A.三棱锥A1-EFC的体积为1 B.球O的表面积为7π C.AP+PE≥√7 D.球O的表面与侧面ABB,A的交线长为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.直线l1:x-y+1=0与直线l2:W3x-y+2025=0的夹角为 13.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=5,c=4,inA=5 16,则6= 14.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)一f(一x)=一2x,其导函数g(x)满足g(x) +g(2-x)=0,则2g(n) 数学试题（二）第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 2024年12月20日，在西昌卫星发射基地成功发射了通信技术试验卫星十二号，并与中 国空间站成功对接.为弘扬航天精神，某高中举办了一次“逐梦星辰大海一航天杯”知 识竞赛.比赛规则为每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比 赛结束假定小张同学答对这5道题的概常依次为号，，日，且各怎是香答对互不 影响。 (1)求小张同学连续答对四道题的概率： (2)记小张同学比赛结束时已答题的个数为X,求X的分布列及数学期望， 16.(本小题满分15分) 如图，圆锥PO的轴截面是正三角形，AB是底面的一条直径，PB的中点为M,C是底 面圆周上异于A,B的一点。 (1)求证：OM∥平面PAC: (2)若BO=BC,求平面COM与平面AOP夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(x一x3)lnx十1. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程： (2)求证：f(x)有且仅有一个零点， 数学试题（二）第3页共4页 18.(本小题满分17分) 记S。为数列{am}的前n项和，已知a1=3,且{S.十am}是公差为d(0<d<3)的等差 数列 (1)求数列{a.}的通项公式（结果用含d的式子表示）： (2)若等比数列6，满足对任意n∈N海有。司私，<。十d,求6，的公比. 19.(本小题满分17分) 过三角形的重心作一条直线，若这条直线将该三角形分成面积比为m：的两部分，则 称这条直线为m十n型直线，其中m,n∈N',且m≥n.等边三角形ABC的边长为 4√3，重心为点G,以动点D为圆心，CD|为半径作圆，该圆与线段AB相切，记点D 的轨迹为T. (1)探究△ABC是否存在与T相切的m十n型直线： (2)若点C在△DAB的2型直线上，T在点D处的切线与△ABC交于M,N两点， 求MN: (3)若△CGD的外接圆与直线AC相切，且与△ABC的一条m十n型直线相切，求m 的值 数学试题（二）第4页共4页2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟) 数学试题（二） 参考答案及多维细目表 题号 2 3 7.【答案C 【解析】20万即2×10°，即截止至2025年10月 答案 D A A B D B 31日，生物群的数量已经达到最初的10倍.10” 题号 1 9 10 11 =1000°≈1024=2.即大约翻倍了100次， 答案 C ACD AD BCD 1.【答案】D 即从第10个月起大约又经过了10周，由于3 【解析】由题意可得=一3一4i,1x| ≈52，即一年大约有52周，故100周大约为1年 又11个月，加之前期的9个月，总共经历约2年 √(-3)2+4=5，故x+x=-3-4i+5=2 又8个月，从2025年10月31日往前计算2年 4i,在复平面内对应的点为(2，一4)，位于第四 又8个月，得到该生物群开始冷冻的时间应在 象限 2023年2月. 2.【答案】A 8.【答案C 【解析】设A,B两种盲盒的数量分别为3a,2a(a 【解析】在△AF:B和△F:F,B中，，∠AF:B= ∈N·).大号盲盒占比为x,由题意可得3a.x= ∠AF,F·∠ABF,=∠FBF1,∴.△AF:BO 2a(1一x),解得x=0.4. 3.【答案】A △F,FB.不妨设AB=x,AB=X,则BF, 【解析】通过列举与赋值可得M=N=Z. 4.【答案】B 江尚相似比一器可得BF,=即 2 【解析】(1十3.x)°的展开式的通项公式为T,+1 -BF=2-)x=2,因此x=x二aa> C1(3x),.T=C·1·(3.x)=252.x2,其 2 1)∴AF,=BF,-AB=A=A=天 2 2 系数为252. 5.【答案】D 2AP,=AR,+2=是+尚相似比船 【解析】由题意可得c=2=2,由指数函数单调 =A得F1F2=AAF:=4入十2.∴.2F,F:+BF,= 性可得a=b.a=b2,故a=b=1,e=2,或a 2 2 b=0,c=1,只有选项D满足题意. 8x+4+气=8(8-1)+x二1十12≥20，当且 6.【答案】B 2 【解析rxe[02ar-∈[- 仅当8以-1）-名”即%=多”时等号成立. 9.【答案】ACD 【解析】AB=(3-m,1),BC=(-4.2),若AB∥ 36 ,由题意可转化为函数「(x)在区间 BC,则-4=2(3一m),解得m=5,.选项A [0,]上不存在最小值-3号 <，解得 6 正确： BC=(-4,2),∴.BC1=√-4)+2=25， 7 W< 2,故的取值范围为0,2 选项B错误： 数学试题（二）参考答案第1页共6页 由Ai=(3-m,1).BC=(-4,2),AB,BC= = V三核柱AxA:B1白 一3V=1一 一4(3-m)+2=0,解得m=2选项C正确： 由BC=(-4,2),CD=(x+1,y-4), BC=-2C市，可得厂4=-2x-2 1X5X,B-子∴选项A错误。 2=-2y+8, 解得1， y=3. 故x十y=4,选项D正确. 10.【答案】AD 【解析】由圆的定义可得sin0=cos0,解得0= 牙造项A正确， 当0∈（0，时，cos0>sin0.此时C的离心率 ,△A:EC与△A:FC均为以AC为斜边的直 角三角形，∴.O为AC的中点，∴球O的表面 为 cos 0-sin0 V√c0s20 AC) cos0 cos0，当0∈ 积为42】 =xA,C=π(A1A2+AC2) (任引时，os0<sin0,此时C的离心率为 7π，.选项B正确： √sin'0-cos20 √-cos20 AE=AA+AE2=2=ACCE=CC ∴.选项B错误； sin sin0 =3,CE⊥A:E,AC1⊥CC1,△AEC≌ 0-号时，鱼线C了+ =1,其焦距为 △A,CC,.PE=PC1,.AP+PE≥AC1= 3 4 7,.选项C正确； 取A:E的中点Q,A:B,的中点M,连接ME, 2?--反∴选项C错误 QM,OQ,则ME⊥AB1,OQ∥CE,OQ⊥平面 设C上的任一点Q(cos0cosg,sin0sine),则 ABB1A1..球O的表面与侧面ABB:A1相交 四个顶点均在C上的任一矩形均可看作以Q, 所得截面圆的半径r=QM-QE=QA,=A:E 2 Q关于y轴的对称点，Q关于原点的对称点，Q 关于x轴的对称点为顶点的矩形.故该矩形的 =1,易知∠MQE-至球0的表面与侧面 面积可以表示为2|cos0 cos X2sin0sing, 变形得|sin20sin2g,由于sin20sin2g≤1，当 ABBA,的交线长为1X名元 、3云—多、二选顶 且仅当0=至9=十2x∈Z)时取等，故该 正确 矩形面积的最大值为1，∴选项D正确。 12【答案】5（或 11.【答案】BCD 【解析】直线1，的斜率为1，则其与x轴非负半 【解析】如图，正三棱柱ABCA1B,C,中，E,F 轴的夹角0满足tan0=1,即0=45°.直线l:的 分别为AB,B,C1的中点， 斜率为3，则其与x轴非负半轴的夹角3满足 .A,F⊥平面BCC,B,CE⊥平面ABB,A1· tan0=√3，即B=60°，由于直线与直线之间的夹 又AB=2,AA=√3，.V=三做能A10= 角的取值范围为[0,90]，故两直线夹角为60 V=三酸柱ABeA11C4一V长第A1-F一V三枚每ALAr -45°-15°. V三标rA11E一V阳酸泰EF· V三我作A1ER=V三检位AA:LC一V三装都A1FT 18【答案5或号 V三装 V三A1A一V三装额A1E一2 【解标mA-5.A∈（0.osA 数学试题（二）参考答案第2页共6页 9 土√1一nA=±16，由余弦定理可得a2=6 X 2 4 53 +c”-2 bccos A,即b-9-8 bcos A=0.将 20 10 16 80 A=土分别代人，解得6=6，或6=2（负 3 1 1 ..E(X)=2× +3×10 4X16 5× 53357 20 80801 值舍去). ……13分 14.【答案】2145 16.(1)证明：，AB是底面的一条直径， 【解析】：f(x)一f(一x)=一2x,∴.两边取导 .O为AB的中点 数可得g(x)+g(一x)=一2①. ,M为PB的中点，.OM∥PA.…2分 又g(x)十g(2-x)=0②， ,C是底面圆周上异于A,B的一点， ∴.①-②可得g(-x)一g(2-x)=-2 ∴.OM丈平面PAC. ·g(2十x)一g(x)=2,则数列(g(n)1中所有 又PAC平面PAC,.OM∥平面PAC.… 奇数项是公差为2的等差数列，所有偶数项是 ……………………5分 公差为2的等差数列.在g(x)+g(-x)=一2 (2)解：不妨设圆锥PO的底面半径为2，以点) 中，令x=0,得g(0)=-1.在g(x)+g(2-x) 为坐标原点，OB,OP方向分别为y轴，x轴，建 =0中，令x=1.得g(1)=0.在g(x)+g(2 立如图的空间直角坐标系。……7分 x)=0中，令x=0,得g(0)+g(2)=0, 2 ∴g(2)=1,∴.数列{g(n)是以0为首项，1为 公差的等差数列∴g(m)=n-1,则父g(m)= 66×(66-1D=2145. 2 15.解：(1)记小张同学连续答对四道题为事件A, …1分 31.1+1×3×。× 则P(A)==5×X2× .O(0,0,0),P(0,0,23),M(0,1,3), B(0,2,0),…8分 1.127 2×2-160 …4分 若BO=BC,则△BOC为等边三角形，故点C 在BO的垂直平分线上，故解得C(3,1,0), 之小张同学连续答对四道题的概率为0 9分 …5分 易知平面AOP的法向量为n=(1,0,0),… (2)由题可得X的可能取值为2,3,4,5.… ……10分 ……6分 设平面COM的法向量为m=(x,y,g),则 且P0X=2》=日× …7分 O·m=0…:P+5x=0 不妨令x=1,则 41、11 O元·m=0,3.x+y=0, P(X=3)=5×4×210 …8分 y=一3,2=1，故m=(1,-√3,1)，…12分 设平面COM与平面AOP夹角为9，则cos0= m·n15 13 216 …9分 m·n5……14分 P(X=5)=1 11353 *”10分 故平面COM与平面AOP夹角的余弦值为。 20101680' 则X的分布列如下， ……15分 数学试题（二）参考答案第3页共6页 17.(1)解：f(1)=1,…1分 f'(x)=(1-3x2)lnx十1-x2,…2分 又2>0，则①式两边同除2得写≤ f(1)=0,……3分 d ……9分 故曲线y=f(.x)在点(1，f(1)处的切线方程 为y一1=0。…4分 由3>0得g>0.则（侵）6<3a (2)证明：当x∈(1，+o)时，lnx>0,1-3x2< 0,1一x2<0,f'(x)<0,f(x)单调递减， ………6分 此时f(1)=1>0,f(3)=1-24ln3<0,故 3-d 1 ,…11分 f(x)在区间(1,3)上有一个零点， 3-d十2可 由单调性知f(x)在区间(1，十)上有一个零点. …8分 则-小>-号品<0可 下面证明f(x)在区间(0,1)上无零点。 设函数gx)=上+1nx,则g(x)=-】 11 得 2不，…12分 x-1 2, …9分 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 小 =1,当g≥2时，1≤0<，】 …………10分 是d 此时gx)>g(1)=1>0,故1nx>-】 符合题意： ……11分 0<g<2时，1>0，当≥1-1og1时，1≥，】 且当x∈(0,1)时，x>x3, 不符合题意，故q≥2.…13分 故f(x)=(x-x2)lnx+1>(x-x3)· (+1=>0 同理，（6，<a+且（）6≥ 1 d 于是f(x)在区间(0,1)上无零点.…14分 3-d十2 综上所述，f(x)有且仅有一个零点.…15分 1 2 3-d 18.解：(1)由题意可得S+1+a+1一S。一am= …………*…………14分 2w+1一4n=d,…2分 即小 1 故2am+-2d=2(a+1-d)=aw一d,…3分 2…15分 则{a,-d)是公比为2，首项为a1-d=3一d 的等比数列，……………4分 d =m,当0<q≤2时，m≤0< 故a.-1-2则0.-多+d.…6分 (2)设数列{b.}的公比为q,则b.=g”-1b,… 2,符合题意： …………7分 g>2时m>0,当n>≥-logm时，m≥ 2不符 由1)可得1= 2-1 a。—32则32‘么 合题意，故0<g≤2.…16分 2"-1 又g≥2，故g=2.…17分 3-4+d.① 19.解：(1)如图，建立平面直角坐标系Oxy,使得C 数学试题（二）参考答案第4页共6页 (0,3),根据对称性不妨设A(-25,一3) 由平面几何知识A,B任CE,∴.D∈CE, B(23,-3),G(0,-1),设D(x,y),则x∈ 于是CD=λCE(a∈R),解得x。=0,于是直线 1的解析式为y=0,…10分 [-25,23],……1分 不妨设点M在点N左侧，则M(一√3,0)， ⊙D与线段AB相切，.√x+(y-3) =y+3|, N(3,0),.MN|=25.…11分 化简得Ty=花x∈[-23,25.…3分 (3)线段CG的垂直平分线为直线y=1,.设 △CGD的外接圆的圆心为P(t,I). :oP与直线AC相切，+1=+4 2 解得t=25, ∴.圆心P(23,1),半径为4， .⊙P:(x-25)+(y-1)2=16.…13分 设T在点(，司)处的切线为直线1 设该m十n型直线的斜案为k,则其解析式为y =kx-1. “y-看则直线1的解析式为y=名红一 ⊙P与此直线相切，点G在⊙P上，∴G为 切点k·11=-1,解得k=-5. 十2 ……4分 23-0 化简得y-看一位由G0,-D,可知x ∴.该m十n型直线的解析式为y=一√3x一1， …15分 =士23，根据对称性，只需考虑x。=23,此 如图，不纺设该直线与AB交于点E5,-】 时y= 31-1…6分 与Ac交于点F(-2]小 当x=-23时，y=-3,则A∈1. :点G为△ABC的重心，∴直线（为△ABC 的中线，故只需要m=n∈N即可. 综上所述，△ABC存在与T相切的m十n型直 线。…7分 (2)设Dx12 △DAB的重心为点 台籍小 2 ,2=1+1,.直线CE把△DAB分成面积比 53,SN边5m=SAAm-SaAr会 33 为1：1的两部分，又CE过△DAB的重心， .S网边形：S△A=5:4,…16分 CE为△DAB的中线，于是CE经过△DAB的 =5 顶点，…9分 见=4…17分 数学试题（二）参考答案第5页共6页 多维细目表 学科素养 预估难度 题型 题号分值 必备知识 数学抽 数 理 学建模 观想象 数学 易 中 难 析 选择题 1 复数的概念与四则运算 选择题 2 5 古典概型概率计算 选择题 3 5 集合间的基本关系 选择题 4 5 二项式定理 选择题 5 函数的性质 选择题 6 三角函数的图象与性质 选择题 指数的实际应用 √ 选择题 8 5 双曲线定义与几何性质 选择题 9 平面向量综合 选择题 10 6 椭圆与圆的定义及三角恒等变换综合 选择题 11 立体几何综合 填空题12 直线夹角问题 填空题 13 5 正余弦定理的应用 填空题 14 5 抽象函数与数列综合 解答题 15 13 概率统计综合 解答题 16 15 立体几何 解答题 17 15 函数导数零点问题 解答题 18 17 数列综合 解答题 19 17 新定义问题与抛物线综合 数学试题（二）参考答案第6页共6页■a DmD 2025年普通高等学校招牛全国统一考试压轴卷(T8联盟 的C位，色亚的E W证四的装山门。w电限定的故 5.(3分) 16.(15分1 数学试题（二）答题卡 学校 准考证号 生名 座位号■■ 璃涂 贴条形码区城 标例 情民境峰：的0四国 ,著题前，专生导心清地接特已前性%准发证号。老场号，序位得性可食说定的值置 笔合请是、 主专于色河在销理卡香强的龙位等题民城内消圆.组出指理区城面用想写的热星无难：走 样同单，山鱼后上常起无效 该辑题{每小题5分，共40分) 1四D回四 5四四四 ■ 1由面g▣ 6中四回回 ■ 3西四回口 7四四四回 ■ 4四中回▣ 非四四回回 选择显每题8分，共18分) 9山0回回 0四D回四 ■ 1四D回回 填空理每小抛5分，共15分 12 13 情各■日的感现内作养，超里色形边迎区收的济多无数 济在各用的养区内作，型国色形边果花区线的养发无数 客的内，区无数 情在各海山的督进《减内作香，指出国色托形边区收时管室大效 请在各日的普收城内作容，相出圆色托形边限区域齿容室无效 请位子日的容图域片作于，州出里色地边配果定区线的室无效 17.15分) 18.17分) 19,17分) 请在遥石的著线内作若。出色配移边南取定区荐正凌 市在超甘药客城内多，无功阳3域的荐金无蔬 请在各酒H羽荐通城内.山色室形迈配限史《或的洋无效2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟) 数学试题（二） 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知复数之=一3十4，则之十g在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.某玩具加工厂生产A,B两种盲盒，其生产量之比为3：2，其中每种盲盒有大号和小号两 种类型，且A,B两种盲盒中大号盲盒所占比例相等，现从流水线上随机取一个盲盒，已知 取到大号A盲盒和小号B盲盒的概率相等，则大号盲盒的占比为 A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 3.设集合M={mm=x+2y,x,y∈Z},N={nn=x+3y,x,y∈Z,则 A.M=N B.MN C.NM D.M∩N=☑ 4.(1十3x)“的展开式中x的系数为 A.164 B.252 C.256 D.504 5.设a=b”,b=log2c,c=24,则 A.atb>c B.a+b<e C.abc2 D.ab<c 6.已知“函数fx)=2cos2or一哥】-1o>0)在区间0，上存在最小值-3产为假命题， 则，的取值范围为 A. c 数学试题（二）第1页共4页 7.某日，某研究所对一种冷冻了9个月的微生物群进行解冻，在理想情况下，其数量将会每 周翻倍.若该微生物群的数量为20万，按照理想情况估算，截止至2025年10月31日，其 数量将会到达2×105，故该生物群开始冷冻的时间大约在 A.2022年3月 B.2022年8月 C.2023年2月 D.2023年7月 8已知FF分别为双曲线C:-=1(6>0)的左，有焦点A,B分别为C左，右支上 的点，且F1,A,B三点共线.若∠AF,B=∠AF,F2,则2F,F十|BF:的最小值为 A.16 B.18 C.20 D.22 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知点A(m,1),B(3,2),C(一1,4)，D(x,y),则 A.若AB∥BC,则m=5 B.|BC|=6 C若AB上BC,则m=号 D.若BC+2CD=0,则x+y=4 Q已知曲线Ccsg十img1,其中gE0,2,则 A.若C表示圆，则0= 4 B.若C表示椭圆，则其离心率为二cos20 sin C.0三父时，C的焦距为2 D.若矩形的四个顶点均在C上，则该矩形面积的最大值为1 11.已知在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2,AA:=3,E,F分别为AB,B,C,的中点， P为线段AC上的动点，A1,E,C,F四点均在球O的表面上，则 A.三棱锥A1-EFC的体积为1 B.球O的表面积为7π C.AP+PE≥√7 D.球O的表面与侧面ABB,A的交线长为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.直线l1:x-y+1=0与直线l2:W3x-y+2025=0的夹角为 13.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=5,c=4,inA=5 16,则6= 14.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)一f(一x)=一2x,其导函数g(x)满足g(x) +g(2-x)=0,则2g(n) 数学试题（二）第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 2024年12月20日，在西昌卫星发射基地成功发射了通信技术试验卫星十二号，并与中 国空间站成功对接.为弘扬航天精神，某高中举办了一次“逐梦星辰大海一航天杯”知 识竞赛.比赛规则为每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比 赛结束假定小张同学答对这5道题的概常依次为号，，日，且各怎是香答对互不 影响。 (1)求小张同学连续答对四道题的概率： (2)记小张同学比赛结束时已答题的个数为X,求X的分布列及数学期望， 16.(本小题满分15分) 如图，圆锥PO的轴截面是正三角形，AB是底面的一条直径，PB的中点为M,C是底 面圆周上异于A,B的一点。 (1)求证：OM∥平面PAC: (2)若BO=BC,求平面COM与平面AOP夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(x一x3)lnx十1. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程： (2)求证：f(x)有且仅有一个零点， 数学试题（二）第3页共4页 18.(本小题满分17分) 记S。为数列{am}的前n项和，已知a1=3,且{S.十am}是公差为d(0<d<3)的等差 数列 (1)求数列{a.}的通项公式（结果用含d的式子表示）： (2)若等比数列6，满足对任意n∈N海有。司私，<。十d,求6，的公比. 19.(本小题满分17分) 过三角形的重心作一条直线，若这条直线将该三角形分成面积比为m：的两部分，则 称这条直线为m十n型直线，其中m,n∈N',且m≥n.等边三角形ABC的边长为 4√3，重心为点G,以动点D为圆心，CD|为半径作圆，该圆与线段AB相切，记点D 的轨迹为T. (1)探究△ABC是否存在与T相切的m十n型直线： (2)若点C在△DAB的2型直线上，T在点D处的切线与△ABC交于M,N两点， 求MN: (3)若△CGD的外接圆与直线AC相切，且与△ABC的一条m十n型直线相切，求m 的值 数学试题（二）第4页共4页 2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟) 数学试题（二） 参考答案及多维细目表 题号 1 2 3 7.【答案C 【解析】20万即2×10°，即截止至2025年10月 答案 0 A A D B 31日，生物群的数量已经达到最初的10倍.100 题号 9 10 11 =1000°≈1024=2m.即大约翻倍了100次， 答案 ACD AD BCD L.【答案】D 即从第10个月起大约又经过了10周，由于3 【解析】由题意可得=一3一4i,|x| ≈52，即一年大约有52周，故100周大约为1年 又11个月，加之前期的9个月，总共经历约2年 (-3)+4平=5，故z+x=-3-4i+5=2 又8个月，从2025年10月31日往前计算2年 4i,在复平面内对应的点为(2，一4)，位于第四 又8个月，得到该生物群开始冷冻的时间应在 象限 2023年2月. 2.【答案】A 8.【答案C 【解析】设A,B两种盲盒的数量分别为3a,2a(a 【解析】在△AF:B和△F:F,B中，：∠AF2B= ∈N·).大号盲盒占比为x,由题意可得3a.x ∠AF,Fg,∠ABF,=∠FBF1,∴.△AF:B∽ 2a(1-x),解得x=0.4. 3.【答案】A △FFB,不妨设AB=x,=,则BP, 【解析】通过列举与赋值可得M=N=Z. 4.【答案】B 江，南相数比眼一可得BE,一， 2 【解析】(1十3.x)°的展开式的通项公式为T,+1 -BF:=2.A-A)x=2,因此x=x二Aa> C1(3x)y,.T=C·18·(3.x)=252.x2,其 21 系数为252. 1)∴AF,=BF,-AB=A-A= 22 5.【答案】D 2AP,=AR,十2=是+尚相似比-船 【解析】由题意可得c=2一2，由指数函数单调 =A得F1F2=AF=4入+2.∴.2F,F:+BF,= 性可得a=b.a=b2,故a=b=1,c=2,或a 2 2 b=0,c=1,只有选项D满足题意. 8x+4+气=8(8-1)+x二1+12≥20，当且 6.【答案】B 2 【解析：xe[o]2ar-∈[- 仅当81-1）-名”即=多”时等号成立. 9.【答案】ACD 【解析】AB=(3-m,1),BC=(-4,2),若AB∥ 36 ,由题意可转化为函数「(x)在区间 BC,则一4=2(3一m),解得m=5,∴.选项A [0,]上不存在最小值-3智 <，解得 6 正确： 7 BC=(-4,2),∴.BC1=√-4)+2=25， @ ,故的取值范围为0,2》 选项B错误： 数学试题（二）参考答案第1页共6页 由Ai=(3-m,1),B元=(-4,2)，Ai.BC= = V三按性AxA:向 一3V三m1一 一4(3-m)+2=0,解得m=2选项C正确： 由BC=(-4,2),CD=(x+1,y-4), BC=-2C币，可得厂4=-2x-2 1X5X,B-子∴选项A错误： 2=-2y+8. 解得x1, (y=3. 故x十y=4,∴选项D正确. 10.【答案】AD 【解析】由圆的定义可得sin0=cos0,解得0= 牙港项A正确， 当0∈（0，时，cos0>sin0.此时C的离心率 ,△A:EC与△A:FC均为以A,C为斜边的直 角三角形，∴.O为AC的中点，∴球O的表面 为 cos 0-sin0 cos 20 cos0 cos0，当0∈ A:C)2 积为42) =xA:C=π(A1A2+AC2)= (任引时，os<sim0.此时C的离心率为 7π，.选项B正确： √sin'0-cos0 √-cos20 AE=AA+AE=2=ACCE=CC ∴.选项B错误； sin sin 0 =5,CE⊥A:E,A:C,⊥CC1,△AEC≌ 0-号时，鱼线c三+ y =1,其焦距为 △AC:C,∴.PE=PC1,∴.AP+PE≥AC1= 3 7,.选项C正确： 取A:E的中点Q,A,B,的中点M,连接ME, 2?-反∴选项C错误： QM,OQ,则ME⊥AB1,OQ∥CE,OQ⊥平面 设C上的任一点Q(cos0cos9,sin0sine),则 ABB1A1..球O的表面与侧面ABB1A1相交 四个顶点均在C上的任一矩形均可看作以Q, 所得截面圆的半径r=QM-QE=QA,=A:E 2 Q关于y轴的对称点，Q关于原点的对称点，Q 关于x轴的对称点为顶点的矩形.故该矩形的 =1,易知∠MQE-至球0的表面与侧面 面积可以表示为2cos0 cos X2sin0sing, 变形得|sin20sin2g,由于sin20sin2g≤1，当 ABBA,的交线长为1X名元 元一三元，”选顶 且仅当0=至9=十2x∈Z)时取等，故该 正确 矩形面积的最大值为1，∴选项D正确。 12【答案】5（或 11.【答案】BCD 【解析】直线1，的斜率为1，则其与x轴非负半 【解析】如图，正三棱柱ABCA1B:C1中，E,F 轴的夹角0满足tan0=1,即0=45°.直线l:的 分别为AB,B,C1的中点， 斜率为3，则其与x轴非负半轴的夹角3满足 .A,F⊥平面BCC,B,CE⊥平面ABB,A1· tan0=√3，即B=60°.由于直线与直线之间的夹 又AB=2,AA1=√3，.V三酸EA1e 角的取值范围为[0,90]，故两直线夹角为60° V三按柱ABA11C4一V酸第A1-R一V三枚每A1A -45°-15. V三技标FA11g一V阳设擦EF:· V三技作A1ER=V三检挂ACA:LC一V三检都A1F 13【答案15或号 V三 V三非A1A一V三装额A1一2 【解析mA-5.A∈0.oA 数学试题（二）参考答案第2页共6页 9 土√1一nA=±16，由余弦定理可得a=b X 2 4 1 53 +c2-2 bccos A,即b-9-8 bcos A=0,将 20 10 16 80 sA=±分别代人，解得6=6，或6=2（负 3 1 .E(X)=2× +3×10 4×1 +5× 53357 20 8080 值舍去) ……13分 14.【答案】2145 16.(1)证明：，AB是底面的一条直径， 【解析】.f(x)一f(一x)=一2x,∴.两边取导 .O为AB的中点。 数可得g(.x)+g(一x)=一2①. ,M为PB的中点，.OM∥PA.…2分 又g(x)十g(2-x)=0②， ,C是底面圆周上异于A,B的一点， ∴.①-②可得g(-x)一g(2-x)=-2 ∴.OM丈平面PAC. ·g(2十x)一g(x)=2,则数列(g(n)》中所有 又PAC平面PAC,.OM∥平面PAC.… 奇数项是公差为2的等差数列，所有偶数项是 4………………5分 公差为2的等差数列.在g(x)十g(一x)=一2 (2)解：不妨设圆锥PO的底面半径为2，以点O 中，令x=0,得g(0)=-1.在g(x)+g(2-x) 为坐标原点，OB,OP方向分别为y轴，x轴，建 =0中，令x=1.得g(1)=0.在g(x)+g(2 立如图的空间直角坐标系。…7分 x)=0中，令x=0,得g(0)十g(2)=0, 2 g(2)=1,∴.数列{g(n)是以0为首项，1为 公差的等差数列.g(m)=n-1,则父g(m)= 66×(66-1D=2145. 2 15.解：(1)记小张同学连续答对四道题为事件A, …1分 31、111×3×× 则P(A)==×了× 2大 .O(0,0,0),P(0,0,23),M(0,1,3), 、2 B(0,2,0),…8分 1.127 2×2-160 ………4………4分 若BO=BC,则△BOC为等边三角形，故点C 在BO的垂直平分线上，故解得C(3,1,0), 飞小张同学连续答对四道题的概率为60 …9分 …5分 易知平面AOP的法向量为n=(1,0,0),… (2)由题可得X的可能取值为2,3,4,5.… 4…**…*4…4*4…10分 ……6分 设平面COM的法向量为m=(x,y,g),则 且PX=2》=号×动 …7分 O·m=0…:P+8x=0 不妨令x=1,则 4、1、11 O元.m=0,3.x+y=0, P(X=3)=×4×210 …8分 y=一3,2=1，故m=(1,-√3,1)，…12分 1 设平面COM与平面AOP夹角为9，则cos0= 1m·n15 13 216 …9分 m·n5=5…14分 11353 P(X=5)=1-20-101680' *…10分 故平面COM与平面AOP夹角的余弦值为。 则X的分布列如下， …15分 数学试题（二）参考答案第3页共6页 17.(1)解：f(1)=1,…1分 f(x)=(1-3.x2)nx+1-x2,…2分 又2>0，则①式两边同除2得3≤ f(1)=0,…3分 d ……9分 故曲线y=f(.x)在点(1，f(1)处的切线方程 为y1=0。……4分 由>0得g>0.则（侵）6，<3a (2)证明：当x∈(1，十o)时，lnx>0,1-3.x2< 0,1一x2<0,f'(x)<0,f(.x)单调递减， ………6分 1 此时f(1)=1>0,f(3)=1-24ln3<0,故 3-d 1 d,…11分 f(x)在区间(1,3)上有一个零点， 3-d十2 由单调性知f(x)在区间(1，十)上有一个零点. …8分 则-小3a>-号·品由-<0可 下面证明f(x)在区间(0,1)上无零点。 设函数gx)=上+1nx,则g(x)=-】 -小 1 得 2",…12分 x-1 …9分 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 小 =1,当g≥2时，1≤0< 2 …………10分 d 此时g(x)>g(1)=1>0,故1nx>-】 符合题意； ……11分 0<g<2时，1>0，当n≥1-1og1时，1≥，】 2-1 且当x∈(0,1)时，x>x3, 不符合题意，故q≥2.…13分 故f(x)=(x-x2)lnx+1>(x-x3)· （+1=>0 同理()6，<+且()6≥ 1 d 于是f(x)在区间(0,1)上无零点.…14分 3-d十2 综上所述，f(x)有且仅有一个零点.…15分 1 2 3-d 18.解：(1)由题意可得S+1+a+1一S。一am= ……………*………14分 2w+1一dn=d,…2分 1 故2a+1-2d=2(am+1-d)=aw一d,…3分 2…15分 则{a。-d)是公比为2，首项为a1一d=3-d d 的等比数列，……………4分 =m,当0<q≤2时，m≤0< d 故a.-1-则0.-多+d.…6分 (2)设数列{b.}的公比为q,则b.=g”-1b,… 2,符合题意： q>2时m>0,当n≥-1ogm时，m≥ 2不符 由1)可得1=2 a。—之·贝则≤4“16， 合题意，故0<g≤2.…16分 2-1 又g≥2，故g=2.…17分 3-4+d.① 19.解：(1)如图，建立平面直角坐标系Oxy,使得C 数学试题（二）参考答案第4页共6页 (0,3),根据对称性不妨设A(一25，-3) 由平面几何知识A,B任CE,∴D∈CE, B(23,-3),G(0,-1),设D(xy),则x∈ 于是CD=λCE(a∈R),解得x。=0,于是直线 1的解析式为y=0,…10分 [-25,23],……1分 不妨设点M在点N左侧，则M(一√3,0)， ⊙D与线段AB相切，.x+(y-3) =y+3|, N(3,0),.MN|=23.…11分 化简得T:y=花x∈[-28,25.…3分 (3)线段CG的垂直平分线为直线y=1,∴.设 △CGD的外接圆的圆心为P(t,1I). :oP与直线AC相切，+1=+4 2 解得t=25, ∴.圆心P(23,1),半径为4， .⊙P:(x-25)°+(y-1)2=16.…13分 设T在点(，号)处的切线为直线1. 设该m十n型直线的斜案为k,则其解析式为y =kx-1. “y-看则直线1的解析式为y=名红一 ,⊙P与此直线相切，点G在⊙P上，∴G为 切点k·11=-1,解得k=-5， 十2 ……4分 23-0 化简得y-看一位由G0,-1D∈，可知x ∴.该m十n型直线的解析式为y=一√3x一1， …15分 =士23，根据对称性，只需考虑x=23,此 如图，不锁设该直线与AB交于点小 时y= 31-1…6分 与Ac交于点F(-2]小 当x=-23时，y=-3,则A∈1 :点G为△ABC的重心，∴直线（为△ABC 的中线，故只需要m=n∈N·即可. 综上所述，△ABC存在与T相切的m十n型直 线。…7分 (2)设Dx12 △DAB的重心为点 台籍 2 ,2=1+1,.直线CE把△DAB分成面积比 155Sna6=5么Am一SaA】 33 为1：1的两部分，又CE过△DAB的重心， .S网边形：S△A=5:4,…16分 CE为△DAB的中线，于是CE经过△DAB的 5 顶点，…9分 n=4…17分 数学试题（二）参考答案第5页共6页 多维细目表 学科素养 预估难度 题型 题号分值 必备知识 数学抽 学建模 观想象 数学 数 易 中 难 理 析 选择题 1 复数的概念与四则运算 选择题 2 5 古典概型概率计算 选择题 3 5 集合间的基本关系 选择题 4 5 二项式定理 选择题 5 函数的性质 选择题 6 三角函数的图象与性质 选择题 7 指数的实际应用 选择题 8 5 双曲线定义与几何性质 选择题 9 6 平面向量综合 选择题 10 6 椭圆与圆的定义及三角恒等变换综合 选择题 11 公 立体几何综合 √ 填空题12 直线夹角问题 填空题 13 5 正余弦定理的应用 填空题 14 5 抽象函数与数列综合 解答题 15 13 概率统计综合 解答题 16 15 立体几何 解答题 17 15 函数导数零点问题 解答题 18 17 数列综合 解答题 19 17 新定义问题与抛物线综合 数学试题（二）参考答案第6页共6页