【T8联考】2025年普通高中学业水平选择性考试压轴卷数学（一）（湖北版）

2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟) 数学试题（一） 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.在复平面内，点（一1,1）对应的复数为i(a十i),则实数a= A.-2 B.-1 C.1 D.2 2命题“Yx∈0，引e+2sinx>2x”的否定是 A.“3xe0,2c+2simx≤2x Byze0,}e+2imz2” C.“vxe0,}e+2sinx≥2x” D.“3x∈0,8}e+2sinx<2x” 3.已知向量a与b的夹角为60°，|a|=3,a+b|=√13，则向量b在a方向上的投影向量 的模长为 A日 B.1 c D.2 4.若数列{an}满足2am+1=am十am+2,其前n项和为Sm,若a5=0,a1o十a1=11,则S11= A.0 B.1 C.5 D.11 5.若an0=2ana,sin(0-a)-,则cos20+a)= A- c D 数学试题（一）第1页共4页 6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上，MN⊥y轴于点N,若|MN| =3,∠NMF=子，则SAN= A.3 B.32 C.33 D.6 7.已知函数f(x)=2cos2wx十2 sin wx cos wx(w>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点， 则w的取值范围是 Ag别 别 B c层 设椭圆十=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆上的一点，且∠F1PF2 △F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R,r,当R=3r时，椭圆的离心率为 A是 B号 n号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,bc,已知simA-石 =cos B,b=2, c=3,则 A.C-3 B.a=√2+3 C.sinA3 6 D.△ABC的面积为3,2+3 2 10.化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度ρH 值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差X和乙小组的实验数据的误差 Y均符合正态分布，其中X~N(0.3,0.0001),Y~N(0.28,0.0004),已知正态分布密 度函数f(x)= 1e,记X和Y所对应的正态分布密度函数分别为f(x), √2πσ f2(x),则 A.f1(0.3)>fz(0.28) B.乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C.P(X<0.28)+P(X≤0.32)=1 D.P(Y<0.31)<P(X<0.31) 11.已知函数f(x)的定义域为R,当p>0时，f(p)>0,且对于任意的pq<1,都有f(p) p+g,则 +f(q)=f八1- A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数 C.当-1<x<0时，f(x2)>f(x) D.当0<x<1时，f(x2)<f(x) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.棱长均相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1=2MB1,AN=NB,若三棱锥MNBC1 的体积为2得 ,则该正三棱柱的棱长为 数学试题（一）第2页共4页 13.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A,B,C,D,E,F,G,H共 G 八个点，一枚棋子起始位置在点A处，每个相邻的两点间称为1步， 抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为i(i=1,2,·,6), 则棋子按顺时针方向前进步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏 结束试问游戏结束时棋子回到点A处的概率为 14.已知关于x的方程2aar+1+2ax=1有两个实根，则正数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 在压力日益增大的当下，越来越多的人每日的休息时间无法满足缓解压力的需要.某研 究小组随机调查了某地工作人员每日的休息时间，其中一周内（含周末）个人平均休息 时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周休日无差异： 休息时长/小时 5.75～6.256.25~6.756.757.257.25~7.757.75~8.25 8.25~8.75 人数 12 28 36 1 2 (1)估计该地内所有工作人员的平均休息时长（同一组的数据用该组区间的中点值 为代表)； (2)在被调查的100名工作人员中，有40人表示“近期内压力过大”.利用相应的统计学 知识，设在该地的所有工作人员随机调查3人，合理估计表示“近期内压力过大”的 人数为X,求X的分布列和期望 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=号+2x一3nx. (1)求函数f(x)的极值； (2)求不等式f)≥2(x-1D2+的解集。 数学试题（一）第3页共4页 17.(本小题满分15分) 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC∥AD,AB⊥BC,AB=BC=1,AD=AA1= 2,点M为棱AA1中点 D (1)求证：BC∥平面ADD1A1; (2)求证：AC1⊥平面MCD: (3)求平面MB,C与平面MCD夹角的正切值. D 18.(本小题满分17分) 已知双曲线W:x-茶=1的左顶点为A,右焦点为F,P,Q是W上的两点，线段PQ 的中点为R.当直线PA的倾斜角为时，有PF|=AF1, (1)求双曲线W的离心率； ②)若R合，引，求直线PQ的一般式方程： (3)若A,P,Q三点不共线，且2|AR|=|PQ,求证：直线PQ过定点. 19.(本小题满分17分) 现定义：对于实数a,b,c,若b2≥ac,则称b是a和c的加比中项；若b2≤ac,则称b是a 和c的减比中项.已知数列{am}满足a1=1,a2=1,且存在正数m,使√mam+1是am+2和 a。的加比中项与减比中项. (1)若a3是a1与a5的等比中项，求m; (2)数列{bm}满足b1=2,b2=2,且m满足√mbm+1是bm+2和bm的减比中项.记数列 an一b。_}的前n项和为S am+1一bm+1 (i)求证：√am+1bm是am和bm+1的减比中项； (D当m>1时，求证：5.<” 数学试题（一）第4页共4页2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟 数学试题(一) 试卷满分:150分 考试用时:120分钟 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题 卡上,写在本试卷上无效 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 在复平面内,点(一1,1)对应的复数为i(a十i),则实数a B.-1 A.-2 C.1 D.2 2.命题“V(0.)1ec+去2sin2:”的否定是 A.“(0-)+2sin:<2 B.“(0.+2:in:2: C.“01t2:n2 D.“(0#+sin:2: 3. 已知向量a与b的夹角为60{}al-3,a十b- /13,则向量b在a方向上的投影向量 的模长为 C B.1 D.2 4.若数列a。满足2a。,=a.十a+,其前n项和为S。,若a=0,a。+an=11,则S= B.1 A.0 C.5 D.11 . . D. 数学试题(一) 第1页 共4页 6.已知抛物线y{}-2x(>0)的焦点为F,点M在抛物线上,MN1y轴于点N,若|MN B.3/2 C.33 A.3 D.6 7. 已知函数f(x)-2cos}x+2sinaxcosax(>0)在区间[0,2x]上有且仅有3个零点 则的取值范围是 A.7 B.7 C.(7 D.7 △F。PF。的外接圆和内切圆的半径分别为R,r,当R一3r时,圆的离心率为 1 . C 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 c-3,则 B.a-/2十③ 2{ 3/2十3 C.sinA- D. △ABC的面积为 2 10. 化学课上,老师带同学进行酸碱平衡测量实验,由于物质的量浓度差异,测量酸碱度pH 值时会造成一定的误差,甲小组进行的实验数据的误差X和乙小组的实验数据的误差 Y均符合正态分布,其中X~N(0.3,0.0001),Y~N(0.28,0.0004),已知正态分布密 /2rπo f(),则 A.f(0.3)>/。(0.28) B. 乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C. P(X<0.28)+P(X<0.32)-1 D. P(Y0.31)<P(X0.31) 11.已知函数f(x)的定义域为R,当0时,f()0,且对于任意的pq 1,都有f() #(###,则# A.f(0)-0 B. f(x)为偶函数 C.当-1<x0时,f(x)>f(x) D.当0x1时,f(x)<f(x) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.校长均相等的正三校柱ABC-A.BC.中,BB$-2MB ,AN-NB,若三校锥M-NBCt 的体积为^{① .92 ,则该正三梭杜的校长为 数学试题(一)第2页 共4页 13.有一个游戏,规则如下;如图,在圆上有A,B,C,D,E,F,G,H共 八个点,一枚棋子起始位置在点A处,每个相邻的两点间称为1步. 抛掷一枚均匀的般子,若般子正面向上的点数为i(i一1,2,...,6); 则棋子按顺时针方向前进i步到另一个点,抛掷两次般子后,游戏 结束,试问游戏结束时棋子回到点A处的概率为 14. 已知关于x的方程2a*1+2ax-1有两个实根,则正数a的取值范围是 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在压力日益增大的当下,越来越多的人每日的休息时间无法满足缓解压力的需要,某研 究小组随机调查了某地工作人员每日的休息时间,其中一周内(含周末)个人平均休息 时长如下表所示,实际数据处理及分析中,认为工作日与周休日无差异; 休息时长 小时 5.75~6.25 6.25~6.75 6.757.25 7.25-7.75 7.75-8.25 8.25-8.75 人数 12 28 36 5 17 2 (1)估计该地内所有工作人员的平均体息时长(同一组的数据用该组区间的中点值 为代表); (2)在被调查的100名工作人员中,有40人表示“近期内压力过大”.利用相应的统计学 知识,设在该地的所有工作人员随机调查3人,合理估计表示“近期内压力过大”的 人数为X,求X的分布列和期望 16.(本小题满分15分) (1)求函数/(x)的极值 (2)求不等式f(x)二2(x-1)②+ 数学试题(一) 第3页 共4页 17.(本小题满分15分) 如图,直四柱ABCD-AB C D 中,BC/AD,AB IBC,AB=BC=1,AD=AA 2.点M为梭AA:中点. 寸 (1)求证:BC/平面ADDA: (2)求证:ACI平面MCD; B (3)求平面MBC与平面MCD夹角的正切值 B 18.(本小题满分17分) 的中点为R.当直线PA的倾斜角为"时,有|PF|-{AF. (1)求双曲线W的离心率; (3)若A,P,Q三点不共线,且2AR =PQl,求证:直线PQ过定点 19.(本小题满分17分) 现定义:对于实数a,b,c,若bac,则称b是a和c的加比中项;若b ac,则称b是 和c的减比中项,已知数列a满足a一1,a。一1,且存在正数m,使ma是a。和 a. 的加比中项与减比中项 (1)若a是a与a:的等比中项,求m (2)数列。满足一2,b。一2,且n满足。是b和.的减比中项,记数列 {_-。的前n项和为S.. l-b+1) (i)求证:a是a和。的减比中项; (iì)当n>1时,求证:s._” n-1 数学试题(一) 第4页 共4页 2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟) 数学试题(一) 参考答案及多维细目表 【解析】:'tan=2tana.. sin 题号 5 2sina 2 ) .cos= cos. 答案 B C A A 乙 C sin fcosa-2sinacosf. 10 题号 7 0 11 .sin(一a)- 1 答案 AC AD ACD D 4 . sinacos-. 1.【答案】C 1 .cosasin)二 2。 【解析】:i(a+D-i?+ai--1+ai,对应点为 '.sin(0十a)-sinfcosa+cosθsina= 3 (-1,a)..-1. 4 2.【答案】A 【解析】依题意,全称量词命题“Vxe(0.).e 8。 6.【答案】C 【解析】:抛物线-2px的焦点为f(0). +2sinx>2x”的否定为存在量词命题“习x6 (6#+2;in2. 3.【答案】A 【解析】:向量a与b的夹角为60{,a一3,a +b-13. 设点M在第一象限,过点F作FAIMN于点 '. a+bl-a+2a·b+b-al+2la|. A,则AV- bcos60*+b1}-13,即9+3b|+|b|}-13, 整理可得b+3b-4-0,解得b -1(负值 3一 已舍去),..向量b在a方向上的投影向量的模 长为lblcos 60{-1. 2 ..1AM|-2.1AFI-2③..SMr= 4.【答案】D 【解析】:数列a。满足2a一a.十a。..,数 2③-33. 列。为等差数列 设数列(a的公差为d,则a。十a:一a+5d十 a+6d-11d-11,可得d-1. .=a。+d-1,.S= l1(a.+a) 2 7.【答案】D 5.【答案】B 【解析】f(x)-2cos{ax+2sinxcosax= 数学试题(一) 参考答案 第1页 共6页 #2sn(20+)1- 选项D正确. 10.【答案】AC 【解析】由正态分布密度函数曲线可知,数据的 标准差越小,数据越集中在均值附近,峰值越 2π1-20+(40#. 大;反之,标准差越大,数据越分散,峰值越小. 令(-2aux+,由y-sin 的图象得3r+< 对于两个小组的误差,甲组的标准差。 0.0001-0.01,乙组的标准差:-0.0004 . 一0.02,显然甲组的标准差更小,故峰值更大, 8 数据相对乙组更集中,故选项A正确,选项B 1 错误; P($ 0.28)-P($<-2 )=P($>+ $o.).P(X 0.32)=P(X +2o). P($<0.28)+P(<0.32)=P(X+2o 8.【答案】B +P(X+2o)-1,故选项C正确; 2、③ (Y<0.31)-P(<#^+。)>(Y<# 【解析】:2R2 43 n} 33C..: 3。 又S△rlr:-6*tan π3 (a:-c)一(a十c)r. P(X<0.31)=P(X<+o)- #(a一c). .X十),而对于任何正态分布都有 2③ 又R-3r..2 P(-。<x<+o=P('-<Y '+ a (),故P(Y<0.31)P(X0.31),故选项D 9.【答案】AD 错误. 【解析】由题意可得 sin{A-)-sin(-B), 11.【答案】ACD 【解析】令,=q=0../(0)十f(0)=f(0),解 由 A,BE(0),得 A-E6#(#). 得f(0)一0,故选项A正确; 令q=-,.f()+f(-)=f(0)=0. 2 '.f(x)为奇函数,故选项B错误; 当一1<r<0时,x0>x..当 >0时 3,故选项A正确; /()0,/(x)为奇函数,.当0时,/() 由余弦定理可得a{十b{-c-2abcosC,解得a 0..f(x)0/(x).故选项C正确; 一、/6+1,故选项B错误 设-1<r<x。<0,令 =,q=-x,则pq$ =-rx。1.f(r)=-f(-x。).f(x) 2 (_.→0 .故选项C错误: ()→0.因此(c:)-/(x)>0. 3v2③ 故△ABC的面积S一 ## 即f(x)在(一1,0)上单调递增.·:f(x)为奇函 数学试题(一)参考答案 第2页 共6页 数,&f(x)在(-1,1)上单调递增,当0<x<1 则一 时,x}<x,故f(x})<f(x),故选项D正确. 12.【答案】3 8$17+8.5×2)-7.27(小时)..............4分 【解析】设正三校柱ABC-A.B.C.的校长为a, 估计该地内所有工作人员的平均休息时长为 7.27小时. ......................................分 ③ 则点C 到平面BMN的距离为h= 2,故三 (2)被调查的100名工作人员中有40名表示 “近期内压力过大”,则表示“近期内压力过大” 的频率为100 3 402 9③ ,解得a-3. 16 由频率估计概率,并以样本估算总体,在该地的 所有工作人员随机调查1名工作人员,表示“近 【解析】举出在点数中能够使得两次数字和为8 故X~(32). 的有;(2,6).(3,5).(4.4).(5,3),(6,2).共有 .................分 5种结果;抛2次毂子共有36种结果. 分布列如下表所示: 故抛掷两次般子后棋子恰好又回到点A处的 0 。 3 概率为36 5。 寸 7 54 30 P 8 125 125 14.【答案】(0,e)U(e.1) 【解析】由2a{-1+2ax=1可得ax- 1 2 2 ......... 1..分 -,-1n--1na,等价 16.解:(1)f(x)的定义域为(0,十o),f'(x)=x十 1 2,..1分 7 二 于lna“--a{r1ln 一#。 令/'(x)-0,得x-1(舍负). 当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,1)上 ln-{ 单调....................................4分. 1-2lnx,当o<x<e{时,g'(x)>0,g(x)单 当x1时,f(x)>0,f(x)在区间(1,十o)上 单调递增。 .................................6分 调递增;当xe时,g'(x)<0,g(x)单调递 5 '.f(x)的极小值为/(1)= 减.当x>1时,g(x)>0,且当x趋向于正无 ................ 穷大时,g(x)无限趋近于0..若方程2a{l 3 (2)原不等式等价于一 1()一 0 +2ax=1有两个实根,由 2 0. “(^-)知,只雷满足1<<e{或→, 3 0 令(x)-一 'a的取值范围是(0,e)U(e,1) .h'()=-3x+6-3-3(x-1) 15.解:(1)记这100名工作人员的平均休息时长为 0... 2 了小时,................. ..................................... .2分 数学试题(一) 参考答案 第3页 共6页 ..(x)在区间(0,十)上单调递减,且h(1)- 设平面MB.C的法向量n=(x,y,z),则 0.得h(x)0的解集为(0.1............14分 (n·MB-0, '即 (r十:-0. ............. 15分 '.原不等式的解集为(0,1]. 可取n-(-1. n.MC-0. 1r+y-z-0. [BC/AD. 2.1). 17.(1)证明:由ADC平面ADDA,可知BC/ ........................................ 1.分 BCC平面ADDA. 记平面MBC与平面MCD的夹角为9,则 平面..................................3分 lAC.n3 (2)证明:连接AC.易知CC.1CD,由平面几何 cos0一 知识知CDIAC,而ACOCC.=C,ACC平面 由 [6知一故 tun一.故平面 ACC..CC.C平面ACC.故CDI平面ACC. ........................................4分 MB.C与平面MCD夹角的正切值为③,...... 又ACC平面ACC,故AC1CD......5分 ......................................5分 而AC-AC+AA,MC-AC- 18.(1)解:当直线PA的倾斜角为哥时,'|PFl= 2AA,易知 AA IAC,故AA.AC=0.于是AC·MC AF .'PF AF,故点P的横坐标为c,代人 双曲线W的方程,得y}一b^}-b^{}....2分 “c-1+b,.一6,故y=士b,...3分 .........................................分 '.c十1=,故c}=c十2,解得c=2(负值舍 又由AC,MC是AC,MC的方向向量知AC 去), 1MC. .....................................分 故双曲线W的离心率为--2. ........4分 而MCOCD=C.MCC平面MCD,CDC平面 ..............9分 3 MCD,故AC平面MCD. -1,设P(x.y) A. 。 Q(r..)......................分 ## -1. 。) “.P.Q是W上的两点: _)1 两式相减 .一 3 一yi 得一r一 -0. 3 整理得-y:3(xi+x。) (3)解:以A为坐标原点,AB为x轴正方向, ............7分 r一r2 y+y AD为v轴正方向,AA为:轴正方向,建立如 图所示的空间直角坐标系..................0分 y.+y:-3. 故A(0,0,0),M(0.0.1).C(1,1,0).C.(1,1. ................................. .分 3(x十x) 2).B(1,0.2),于是MB=(1,0,1),MC=(1 -1,.....9分 *1一x: 十y 1.-1.).................................1分 .直线PQ的方程为y-(-)+3-十1. 易知平面MCD的法向量AC.=(1,1.2)...... ........................分 即-.-.. ......................... .10分 数学试题(一)参考答案 第4页 共6页 (3)证明:.2lAR -PQl,而R是线段PQ的 项,则n}<. 中点,符合直角三角形的定义,.AP1AQ,进 由于a:-1,a-1,b-2,b-2,且m为正数 而AP·.............11分 故a。与.均为正数数列...........7分 一1联立,得 证明a。是a。和b。的减比中项等价于证 (3m-1)y}+6mny+3n}-3=0 a。 b -6mn 3n-3 'y十y= 由于nb<b·b. b._.n” b.1m{ bm #。) .一n”. A-(x+1,y)=(my+n+1.y).A b。 b.-1 b1 (my:+n+1,y)..'(my:+n+1)(my:+n十 ........................................9分 1)+yy=o,展开得(n+1)yy+n(n+1)· 同理,由于ma,=a。·a。. ..................4分 (y十y)十(n+1)?-0. 故_m ____.__” a。 3-3 一: -6nt 1 3代人,等式 将y:十y 3m-1'y1y:= 3n{-1 #战。# a。: 两边同时乘3n-1, a。 -b。 得(n{}+1)(3n{}-3)-6nn(n+1)+(3n}- 得证..................1分 b。 ..................分 a D(n十1)-0, b,- (ii)证明:由(2)(i)可知 b。_= '6_: 其中含n的项均可抵消,展开剩余2n{}一2x-4 #,累积得_~# b.a:b.>a.二 -0,解得n-2或n三-1,..............16分 a.-: 当n二一1,直线PQ经过点A,不符合题意,舍 .......12分 去,故”-2, aw *.直线PQ:x=my+2,即经过定点(2,0).. 则{-b_.-6。 一,两边同乘- b.得 b。 b.: ........................................ .7分 {-b1 #ba。-b 19.(1)解:由于存在正数m,使na是a 和 611-b1 ........................ ..分 a。的加比中项与减比中项,故由定义,有na a..与maa.·a..........2分 “1-61n-· 则必有......... ........... 3分 ......................14分 由a=l,a=1,则ma^{}=a:·aì,解得a:=m. a.-b<1 a-b:-b a-b1 .......................................4分 。 同理,解得a=n,三n。 1 1- -...- 由于a:是a与a:的等比中项,故n}=m。 n 1- ....................5分 n 由于n为...,....1.............6分 n (2)(i)证明:由mb。:是:和b。的减比中 数学试题(一) 参考答案 第5页 共6页 多维细目表 学科素养 预估难度 料 数料出型 题号 题型 分值 必备知识 命 中 # 难 2 选择题 复数的概念与几何意义 选择题 5 2 逻辑连接词 5 1. 投影向量 选择题 / 选择题 5 等差数列 。 选择题 7 三角函数恒等变形 7 # 选择题 5 抛物线 6 选择题 三角函数与零点 2 # 选择题 8 5 圆的性质 。 解三角形 ## 选择题 6 10 正态分布 选择题 6 11 # 选择题 6 抽象函数 12 V 5 过。 填空题 立体几何初步 概率 13 填空题 5 14 导函数应用 填空题 5 #。 15 V 解答题 概率统计综合 / 16 15 解答题 函数导数与不等式问题 17 解答题 15 立体儿何与空间向量的应用 18 17 解答题 双曲线综合 解答题 19 新定义问题与数列综合 数学试题(一) 参考答案 第6页 共6页2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟) 数学试题（一） 参考答案及多维细目表 题号 1 2 6 【解析】：tan8=2tana,, sin 2sin a cos 0 cosa 答案 A A B sin Ocos a=2sin acos 0, 题号 1 9 10 11 1 1 'sin(0-a)= 答案 0 AD AC ACD sin Ocos a-cos Osin a= 1.【答案】C .'sin acos 0= 4'cos asin -1 , 【解析】，i(a+i)=2十ai=一1+ai,对应点为 (-1,a),∴a=1. sin(a)-sin Ocosa+cos 0sina 2.【答案】A cos2(0+a)=1-2sin2(0+a)=-1. 【解析】依题意，全称量词命题Vx∈0，© 6.【答案C 十2sinx>2x”的否定为存在量词命题“3x∈ 【解析：抛物线y2=2px的焦点为F(台0： （o,}e+2sinx≤2x 雀线方程为x=-台，MN1=3,MF1=3 3.【答案】A 【解析】向量a与b的夹角为60°，a|=3,a +b|=√13， 设点M在第一象限，过点F作FA⊥MN于点 ∴.a+bl2=a2+2a·b+b2=a2+21a|, A,则AN=多，AM=3-:∠NMF 1b|cos60°+|b12=13,即9+31b|+1b|2=13, 整理可得b12+3|b一4=0，解得1b=1(负值 3、p 已會去)，.向量b在a方向上的投影向量的模 3,cos∠NMF=21 2…p=2, 3+ 长为1b1cos60=2 2 1 ∴AM|=2,|AF|=2√5，.S△MF= 4.【答案】D 【解析】，数列{an}满足2am+1=am十a,+2,.数 25=35. 列{a.}为等差数列. 设数列{a.}的公差为d,则ao十an=as十5d十 as+6d=11d=11,可得d=1, a=as +d =1.:Su=H(artan) 2 11×2a4=11a6=11×1=11. 2 7.【答案D 5.【答案】B 【解析】f(x)=2cos2mx+2 sin wxcos wr= 数学试题（一）参考答案第1页共6页 V2sin[2ur++1, 选项D正确. 10.【答案】AC 令f)-0得nr+到=o 【解析】由正态分布密度函数曲线可知，数据的 标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越 22ar+∈[任4w+] 大：反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小. 对于两个小组的误差，甲组的标准差1= 令t=2wx+4,由y=sint的图象得3π+ 4 √0.0001=0.01，乙组的标准差a?=√/0.0004 4十受<4-化简得<< =0.02,显然甲组的标准差更小，故峰值更大， 数据相对乙组更集中，故选项A正确，选项B 错误 v=sin P(X<0.28)=P(X<u-2a1)=P(X>4+ 2π 4 2a1),P(X≤0.32)=P(X≤a十2a1), P(X<0.28)+P(X≤0.32)=P(X>4+2a1) 8.【答案】B 十P(X≤以十2a1)=1,故选项C正确； 2c 【解析】，2R= =4 3c, PY<03iD=P<+2小>PY<+ sin 3cR=2 3 02）= 2+2P(u'-a:<Y<u'+o:). 又s△m=ban6-3(a-c2)=(atc)r, PX<0.31)=PX<+o,)=+2Pu 3(a-c). o1<X<以十1)，而对于任何正态分布都有 又R=3r,23 =5a-ee-后- 3 P(μ-o1<X<μ+o1)=P('-a2<Y<μ'+ 2),故P(Y<0.31)>P(X<0.31),故选项D 9.【答案】AD 错误 【解析】由题意可得simA-君)=sin(合-B, 11.【答案】ACD 【解析】令p=q=0,,f(0)十f(0)=f(0),解 由A,B∈0，}得A-吾，2-B∈o, 得f(0)=0,故选项A正确： 令q=-p,.f(p)+f(-)=f(0)=0, 则A一 62 -B.又A十B+C=π，解得C .f(x)为奇函数，故选项B错误： 哥，故选项A正确， 当-1<x<0时，x2>0>x.,当p>0时， f(p)>0,f(x)为奇函数，∴.当p<0时，f(p) 由余弦定理可得a2十b2-c2=2 abcos C,解得a <0,∴∫(x)>0>∫(x),故选项C正确： =√6十1，故选项B错误； 设-1<x1<x2<0,令p=x1,9=一x,则g 由正弦定理可得品A一品C·解得如A一号 =-x1xg<1.f(x)=-f(-x2),f(x2) 2 /xx1-x1>0, 1+x1x2 6,故选项C错误： -f(x)=f+x1x 年》>0，因此fx,-f红)>0 故△ABC的面积S= c血A-3+9故 2 即(x)在（一1,0）上单调递增.：f(x)为奇函 数学试题（一）参考答案第2页共6页 数，∴.f(x)在(-1,1)上单调递增，当0<x<1 则云=06X5+65X12+7×28+71.5×36+ 时，x<x,故f(x2)<f(x),故选项D正确. 8×17+8.5×2)=7.27(小时).…4分 12.【答案】3 估计该地内所有工作人员的平均休息时长为 【解析】设正三棱柱ABCA,B1C1的棱长为a, 7.27小时.……5分 则点C,到平面BMN的距离为h=尽。 2a,放三 (2)被调查的100名工作人员中有40名表示 “近期内压力过大”，则表示“近期内压力过大” 棱维MNBC,的体积为V-号SanA 3 2ax。=9g 的颜率为品一 5 ,”7分 22ax 2a=16,解得a=3. 由频率估计概率，并以样本估算总体，在该地的 所有工作人员随机调查1名工作人员，表示“近 13.【答案)号 2 期内压力过大”的概率为行.…8分 【解析】举出在点数中能够使得两次数字和为8 的有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共有 故X~B3,5 …9分 5种结果：抛2次骰子共有36种结果， 分布列如下表所示： 故抛掷两次骰子后棋子恰好又回到点A处的 X 0 1 2 3 餐市为品 27 54 36 8 125 125 125 125 14.【答案】(0，e)U(e,1) …12分 【解析】由2amt1+2ax=1可得ax一2 其期望E(X)=3×2=6 5=5 …13分 16.解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞)，(x)=x十 1 n- 2-3=x+2x-3_x+3)(x-1 ,.1分 于lna吉=a如1n】,变形可得 x 1 令f'(x)=0,得x=1(舍负). 当0<x<1时，f'(x)<0,f(x)在区间(0,1)上 In a 02导设函数g(红)-，则g) 单调递减；…………4分 当x>1时，f(x)>0,f(x)在区间(1，+co)上 1-21n工，当0<x<c时，g'(x)>0,g(x)单 单调递增.………………………6分 调递增；当x>e时，g'(x)<0,g(x)单调递 六fx)的极小值为f0)=号，无极大值.… 减.：当x>1时，g(x)>0,且当x趋向于正无 …7分 穷大时，g(x)无限趋近于0，若方程2a+ 9 +2a:=1有两个实根，由g(日) ②)原不等式等价于-名+6红-hx- ≥0， ga-)知，只需满足1<<e或>e, a a 令h(x)=- +6x-3t-号…10分 3 ∴a的取值范围是(0，e)U(e立，1). 15.解：(1)记这100名工作人员的平均休息时长为 h'(x)=-3z+6-3=-3(x-1)2 0，… 小时，… …1分 …………12分 数学试题（一）参考答案第3页共6页 ,h(x)在区间(0，+o∞)上单调递减，且h(1) 设平面MB,C的法向量n=(x,y,z),则 0,得h(x)≥0的解集为(0,1门，…14分 ∴.原不等式的解集为(0,1].…15分 ·MB=0即+x=0, 可取n=(-1, n.M元=0， x十y-z=0, BC∥AD, 2,10. 17.(1)证明：由ADC平面ADD1A,可知BC∥ …………13分 BC在平面ADD1A:, 记平面MB,C与平面MCD的夹角为8，则 平面ADD1A1.…3分 AC·nl31 (2)证明：连接AC.易知CC1⊥CD,由平面几何 cos 0= 1 AC:lIn6X6=2…14分 知识知CD⊥AC,而AC∩CC1=C,ACC平面 ACC1,CC1C平面ACC1,故CD⊥平面ACC1. 由9∈[0，]知0=号故am0=5,放平面 ……4分 MB1C与平面MCD夹角的正切值为√3.… 又AC1C平面ACC1,故AC1⊥CD.…5分 …15分 面AC=AC+AA,MC=AC-号AA,易知 18.(1)解：当直线PA的倾斜角为牙时，：PF= AA,⊥AC,故AA·AC=0,于是AC.M元= |AF,∴.PF⊥AF,故点P的横坐标为c,代入 双曲线W的方程，得y2=b2c2-b2.…2分 AC:-ZAA-AB*+BC-7AAI-0. c2=1十b2,y2=b,故y=士b2,…3分 …7分 ∴c+1=b2,故c2=c十2，解得c=2(负值舍 又由AC,M元是AC1,MC的方向向量知AC 去)， LMC,…8分 故双曲线W的离心率为二=2. …4分 a 而MC∩CD=C,MCC平面MCD,CDC平面 (2)解：由(1)知，W:x3 y MCD,故AC:⊥平面MCD. …9分 3=1,设P(x1,y), Q(xg,y2）. …5分 -- 3 :P,Q是W上的两点， 两式相减 得-x-生-0， 3 (3)解：以A为坐标原点，AB为x轴正方向， 整理得一y:-3(x1十x) ……7分 x一x2 y+y: AD为y轴正方向，AA1为之轴正方向，建立如 图所示的空间直角坐标系.……10分 R合，)是线段PQ的中点+红：=1. 故A(0,0,0),M(0,0,1),C(1,1,0),C1(1,1, y1十y2=3,…8分 2),B1(1,0,2),于是MB=(1,0,1),MC=(1, 则二=k0 3(x1十x2) =1,…9分 x1一x2 y1+y2 1,1),……11分 易知平面MCD的法向量AC1=(1,1,2).… “直线PQ的方程为y=(-)十号=x+1, …12分 即x-y+1=0. 10分 数学试题（一）参考答案第4页共6页 (3)证明：2AR|=|PQ|,而R是线段PQ的 项，则mb+1≤bn+2·b 中点，符合直角三角形的定义，AP⊥AQ,进 由于a1=1,ag=1,b1=2,bg=2,且m为正数， 而A户，AQ=0.…11分 故{an》与{b.}均为正数数列.…7分 设直线PQ:x=my十，与x-号-1联立，得 证明√a.+1bm是a.和b.+,的减比中项等价于证 (3m2-1)y2+6mny+3n2-3=0, 明a6<a6…即证2<会…8分 a。 -6mn ∴y+ya=2y1y=3m-'”12分 由于mb+1≤b+g·bn, AP=(x1+1,y1)=(my1+n+1,y1),AQ 故之m≥m3之≥m ba+1 b.- b=m” b (myg+n+1,y2),∴.(my1+n+1)(my2+n+ 1)+y1y2=0,展开得(m2+1)y1y2十m(n+1)· 同理，由于ma+1=am+2·am, (y1十y2)+(n+1)2=0,…14分 故+=m出1=ma1=…=m2=m 将+：=曾=二代人，等式 一6mn an as-1 两边同时乘3m2一1， 傲≥m也即<出故原命题 an+I an b. 得(m2+1)(3n2-3)-6m2n(n+1)+(3m2 得证.……11分 1)(n十1)7=0，……15分 ≥，6≥ 其中含m的项均可抵消，展开剩余2n2一2n一4 (证明：由(2))可知.， =0,解得n=2或=一1，…16分 as-1 ,2≥，累积得2≥，…b.>a.≥ an-2 b a 当n=一1，直线PQ经过点A,不符合题意，舍 去，故n=2, 1,且由2<会公会12分 ∴.直线PQ:x=my十2，即经过定点(2,0).… 则+1一≤a"。,两边同乘。 得 ……17分 b+1 an+1-bs+1 19.(1)解：由于存在正数m,使√mam+1是a+2和 b≥a,-b. ,…13分 b+1a+1-b+1 a.的加比中项与减比中项，故由定义，有ma+1 b≤1 ≥aw+2·aw与ma员+1≤am+2·am,…2分 由(2)(i),有 则b<1 “aw+1一bn+1m", 则必有ma是+1=a+2·a.…3分 ……14分 由a1=1,a2=1,则ma号=a,·a1,解得a,=m, 故S.-二b+二+…+，a.二h.≤1 …4分 a:-b2 aa-ba aw+1一bn+1 同理，解得a4=m3,a5=m 1 1-1 m* 由于ag是a1与a5的等比中项，故m2=m. 十…十 1-1m>1时，有S< ……5分 由于m为正数，故m=1.……6分 一1得让。*”**”**“****…。17分 (2)(i)证明：由√mb.+1是b.+和b。的减比中 数学试题（一）参考答案第5页共6页 多维细目表 学科素养 预估难度 题型题号分值 必备知识 数学抽 直 数 学建模 易 中难 理 象 析 选择题 1 5 复数的概念与几何意义 选择题 2 5 逻辑连接词 选样题 3 5 投影向量 选择题 4 5 等差数列 选择题 5 5 三角函数恒等变形 选择题 6 S 抛物线 √ 选择题 5 三角函数与零点 选择题 8 5 椭圆的性质 选择题 6 解三角形 选择题 10 6 正态分布 √ √ 选择题 11 6 抽象函数 √ √ 填空题 12 5 立体几何初步 填空题 13 5 概率 √ 填空题 14 5 导函数应用 解答题 15 13 概率统计综合 解答题 16 15 函数导数与不等式问题 √ 解答题 17 15 立体几何与空间向量的应用 √ 解答题 18 17 双曲线综合 √ 解答题 19 17 新定义问题与数列综合 数学试题（一）参考答案第6页共6页■wa DmD 2025年普通高等学校招牛全国统一考试压轴卷(T8联盟 的C位，色亚的E 四的山。厘限定的春上数 5.(3分) 16.(15分1 数学试题（一）答题卡 学校 准考证号 生名 座位号■■ 璃涂 贴条形码区城 标例 情民境峰：的0四国 ,著题前，专生导心清地接特已前性%准发证号。老场号，序位得性可食说定的值置 笔合请是、 主专于色河在销理卡香强的龙位等题民城内消圆.组出指理区城面用想写的热星无难：走 样同单，山鱼后上常起无效 该辑题{每小题5分，共40分) 1四D回四 5四四四 ■ 1由面g▣ 6中四回回 ■ 3西四回口 7四四四回 ■ 4四中回▣ 非四四回回 选择显每题8分，共18分) 9山0回回 0四D回四 ■ 1四D回回 填空理每小抛5分，共15分 12 13 情各■日的感现内作养，超里色形边迎区收的济多无数 济在各用的养区内作，型国色形边果花区线的养发无数 客的内，区无数 情在各海山的督选《城内作香，指出色电形边是区收时管室无效 请在各超山时普收城内作容.出国色托步边限区C以的许无效 请位子容图城内个子，相出围色形边配果定区线的养室无效 17.15分) 18.17分) 19,17分) 请在遥石的暮线内作若。出色配移返南取定仪荐正袋 市在超甘药著城内多，出无市功阳3域的荐金无蔬 请在务酒药浮通城内器。山色形边配限卫家城的器无效