【T8联考】2025年普通高中学业水平选择性考试压轴卷数学（二）（山西版）

2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟 数学试题(二) 试卷满分:150分 考试用时:120分钟 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题 卡上,写在本试卷上无效 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知复数。一一3十4i,则十z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 某玩具加工厂生产A,B两种盲盒,其生产量之比为3:2,其中每种盲盒有大号和小号两 种类型,且.A,B两种盲盒中大号盲盒所占比例相等,现从流水线上随机取一个盲盒,已知 取到大号A盲盒和小号B盲盒的概率相等,则大号盲盒的占比为 A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 3.设集合M-mm=x+2y,x,yz.N-nn-x+3y,x,yZ,则 A.M-N B.MN C.NM D.MON- 4.(1十3x)*的展开式中c*的系数为 A.164 B.252 C.256 D.504 5.设a-b*,b-logc,c-2*,则 A.十> C.bc2} B.a十b D.ab<c2 则的取值范围为 1#7 .# D.7. 数学试题(二) 第1页 共4页 7.某日,某研究所对一种冷冻了9个月的微生物群进行解冻,在理想情况下,其数量将会每 周翻倍,若该微生物群的数量为20万,按照理想情况估算,截止至2025年10月31日,其 数量将会到达2×10*,故该生物群开始冷冻的时间大约在 A.2022年3月 B.2022年8月 C.2023年2月 D.2023年7月 一1(6>0)的左、右焦点,A,B分别为C左、右支上 b2 的点,且F,A,B三点共线,若 AF。B= AFF。,则2 FF。+BF。的最小值为 A.16 B.18 C.20 D.22 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知点A(n,1),B(3,2),C(-1,4),D(x.y),则 A.若AB/BC,则n-5 B.BC-6 C.若ABBC,则m- 。 D.若BC+2CD-0,则x+y-4 1.其中(0,则 A.若C表示圆,则0-” 4 /-cos20 B. 若C表示圆,则其离心率为 sinf D. 若矩形的四个顶点均在C上,则该矩形面积的最大值为1 11. 已知在正三梭柱ABC-A.B.C.中,AB=2,AA.=3,E,F分别为AB,B.C. 的中点 P为线段AC上的动点,A.,E,C,F四点均在球O的表面上,则 A.三校锥A-EFC的体积为1 B.球O的表面积为7n C. AP+PE二/7 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.直线/;x-y十1-0与直线/.3x-y+2025-0的夹角为 5/7 13.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a-5,c三4,sinA- 16,则- 14.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)一f(一x)=一2x,其导函数g(x)满足g(x) 二 数学试题(二) 第2页 共4页 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 2024年12月20日,在西昌卫星发射基地成功发射了通信技术试验卫星十二号,并与中 国空间站成功对接,为弘扬航天精神,某高中举办了一次“逐梦星辰大海--航天杯”知 识竞赛.比赛规则为每位参赛者依次回答5道题,连续答错2道题或5道题都答完,则比 43111 赛结束,假定小张同学答对这5道题的概率依次为 影响. (1)求小张同学连续答对四道题的概率 (2)记小张同学比赛结束时已答题的个数为X,求X的分布列及数学期望 16.(本小题满分15分) 如图,圆锥PO的轴截面是正三角形,AB是底面的一条直径,PB的中点为M,C是底 面圆周上异于A,B的一点: (1)求证:OM/平面PAC; (2)若BO一BC,求平面COM与平面AOP夹角的余弦值 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)-(x-x)lnx十1. (1)求曲线y三f(c)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求证:f(x)有且仅有一个零点 数学试题(二) 第3页 共4页 18.(本小题满分17分) 记S.为数列a。的前n项和,已知a,-3,且S。十a。)是公差为d(0<d<3)的等差 数列. (1)求数列a的通项公式(结果用含/的式子表示); 十d,求的公比 a-d -d 19.(本小题满分17分) 过三角形的重心作一条直线,若这条直线将该三角形分成面积比为n;”的两部分,则 称这条直线为n十n型直线,其中n,nN,且n.等边三角形ABC的边长为 4./3,重心为点G,以动点D为圆心,CD|为半径作圆,该圆与线段AB相切,记点D 的轨迹为T. (1)探究△ABC是否存在与T相切的n十,型直线; (2)若点C在△DAB的2型直线上,T在点D处的切线与△ABC交于M,N两点 求|MN; (3)若△CGD的外接圆与直线AC相切,且与△ABC的一条m十n型直线相切,求” 7 的值. 数学试题(二) 第4页 共4页 2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟) 数学试题(二 参考答案及多维细目表 题号 2 5 7.【答案】C ) 4 答案 D B 【解析】20万即2×10,即截止至2025年10月 D A A 10 11 题号 31目,生物群的数量已经达到最初的10{*倍,10 7 8 0 -1000*~1024*-2*,即大约翻倍了100次 答案 C ACD AD C BCD 即从第10个月起大约又经过了100周,由于 365 7 1.【答案】D 【解析】由题意可得-一3-4i,1|= ~52,即一年大约有52周,故100周大约为1年 又11个月,加之前期的9个月,总共经历约2年 (-3)+4-5,故+|z--3-4i+5-2 又8个月,从2025年10月31日往前计算2年 4i.在复平面内对应的点为(2,一4),位于第四 象限. 又8个月,得到该生物群开始冷冻的时间应在 2023年2月. 2.【答案】A 8.【答案】C 【解析】设A,B两种盲盒的数量分别为3a,2a(a 【解析】在△AF。B和△FF:B中,.AF。B CN'),大号盲盒占比为x,由题意可得3ax= AFF, ABF =FBF,.△AFB 2a(1-x),解得x-0.4. △F。FB.不妨设AB-X,AB BF: -.则BF:= 3.【答案】A BF B可得BF-:.'BFf 【解析】通过列举与赋值可得M一N一乙 x.由相似比BF:BA 4.【答案】B 【解析】(1十3x)的展开式的通项公式为T,一 2 -(> C1(3c)'.T-C·1.(3x)-252x.其 2) 2 1)..'AF.-BF-AB- , 系数为252. :--× 2+4.由相似比FABA 5.【答案】D 2 F.F:BF: 2.AF-AF+2- 【解析】由题意可得c一2一2,由指数函数单调 -A得F.F-AF:=4+2..'.2F F+BF。 性可得a-b.'.a-b,故a-b-1,c-2,或a 4_ 2 b-0,c-1,只有选项D满足题意. 6.【答案】B 仅当“8(-1)-” 【解析】. 0.2a-[- 9.【答案】ACD 【解析】AB-(3-m,1).BC-(-4.2),若AB/ BC,则-4-2(3-m),解得n-5...选项A 6 正确: BC-(-4,2)..BC|-(-4+2-2v5. '.选项B错误; 数学试题(二) 参考答案 第1页 共6页 由AB-(3-m,1),BC-(-4,2),AB·BC- Ve社AncAiBC1 3V=根A1P0' 5 -4(3-n)+2=0,解得m= ③ 5..项$项C正确; ×4×3- 9 由BC=(-4,2),CD=(r+1,y-4). 。 BC--2CD,可得 -4--2-2. '解得 r-1. 12=-2y+8. y-3. 故文+v=4..选项D正确 10.【答案】AD 【解析】由圆的定义可得sin0一cos*0,解得0- ...选项A正确; 当o(6.]时.coso>sinoO,此时C的离心率 ·△A.EC与△A.FC均为以A.C为斜边的直 角三角形,.'.O为AC的中点,..球O的表面 cos{6-sin6 书 cos 20 cos0 cos, 当 BE (1]时cos0<sin0.此时C的离心率为 7..'选项B正确; sin0-cos0 -cos 20 .AE-AA+AE-2-AC,CE-CC sinf sin0 ..选项B错误; -3.CEAE,ACICC..AEC 。 一1:其焦距为 △ACC..'PE=PC..'.AP+PEAC = /7..选项C正确; 取AE的中点Q,A.B:的中点M,连接ME. QM.OQ.则MEIA:B.OQ/CE.OQI平面 设C上的任一点Q(coscos,sinosin),则 ABB;A...球O的表面与侧面ABB.A;相交 四个顶点均在C上的任一矩形均可看作以Q. Q关于y轴的对称点,Q关于原点的对称点,Q 2π 关于:轴的对称点为顶点的矩形,故该矩形的 -1.易知 MQE 面积可以表示为2lcosecosel×2lsinfsinl. 变形得lsin20sin2 |,由于sin20sin2e 1,当 且仅当一 正确. 12.【答案】150(或) 矩形面积的最大值为1,.*.选项D正确 11.【答案】BCD 【解析】直线/.的斜率为1,则其与x轴非负半 【解析】如图,正三校杜ABC-A,BC 中,E,F 轴的夹角0满足tan0-1,即0-45{,直线/:的 分别为AB,BC的中点, 斜率为3,则其与x轴非负半轴的夹角8满足 '.A.F1平面BCC.B.,CE1平面ABB;A. tan6一3,即一60{*}由于直线与直线之间的夹 又AB-2,AA.=3,.V=Arc= 角的取值范围为[0,90],故两直线夹角为60。 V三校杜ABCAInC -VA!-rCC: -V三校班A!-AEC -45-15。 V三校推下A甘-V阅:ac日. V三梳纸A-Fre-V三梳班AcABC -V=梳mA1-Fcr 5/7 V三校A!AB:-V三PAa1r- 【解析】:'sinA-5 数学试题(二) 参考答案 第2页 共6页 9 x 2 4 3 5 10 20 { P + }-2bccosA,即b-9-8bcosA-0,将 0 3 cosA-士 .E(X)-2×20 35× 1 1 ) 53357 16 8080 值舍去). .........................................13分 14.【答案】2145 16.(1)证明;,AB是底面的一条直径, 【解析】·f(x)一f(一x)=一2x,..两边取导 '.O为AB的中点 数可得g(x)+g(-x)--2①. .M为PB的中点..'.OM//PA.........2分 又g(x)+g(2-x)-0②. .C是底面圆周上异于A,B的一点; *①-②可得g(-x)-g(2-x)=-2. ..OM平面PAC. '.g(2十x)-g(x)-2,则数列(g(n))中所有 又PAC平面PAC..OM/平面PAC...... 奇数项是公差为2的等差数列,所有偶数项是 公差为2的等差数列,在g(r)十g(一x)=-2 (2)解:不妨设则锥PO的底面半径为2,以点0 中,令x-0,得g(0)=-1.在g(x)+g(2-x) 为坐标原点,OB,OP方向分别为y轴,:轴,建 -0中,令x-1,得g(1)-0.在g(x)+g(2 立如图.的空间直角坐标系............分 x)-0中,令x=0,得g(0)十g(2)=0 .g(2)=1.数列g(n)是以0为首项,1为 公差的等差数列..g(n)-n-1.则g(n)= 66X(66-1) -2145. 2 15.解:(1)记小张同学连续答对四道题为事件A ............................................分 则P(A)二二 X .'.O(0,0.0).P(0.0.2③).M(0.1.3). 5 B(o...0..................................分 若BO=BC,则△BOC为等边三角形,故点C 27 _. 在BO的垂直平分线上,故解得C(3,1,0). '.小张同学连续答对四道题的概率为 160 .......................... ............................分 易知平面AOP的法向量为n三(1,0,0),..... (2)由题可得X的可能取值为2,3,4,5...... ..................................... ..分 ......................................6分 设平面COM的法向量为m一(x,y,z),则 且P(x-2)- ...............分 (y+③:-0. 不妨令x一1,则 lQC.m-0. 3x+-0. P(X-3)- ## y=-3,-1,故m-(1.-3,1),.12分 3 1 x ) P(X-4)- 设平面COM与平面AOP夹角为9,则cos0 5 5 13 m n5 P(X-5)-1- 11353 5 .....10分 故平面COM与平面AOP夹角的余弦值为 20101680' 5/ 则X的分布列如下. ......................................分 数学试题(二) 参考答案 第3页 共6页 17.(1)解:f(1)-1. ..........................分 f'(x)=(1-3*)入x+1-r②........2分 (2)### '()......................................3分 ...............分 故曲线y一f(x)在点(1,f(1))处的切线方程 为y-.... ..............................4分 (2)证明:当x (1,+oo)时,lnx>0,1-3xr 0.1-x<0,f'(x)<0.f(x)单调递减,..... ........................................6分 3- 此时f(1)-1>0,/(3)-1-24ln3<0,故 .....1分. f(x)在区间(1,3)上有一个零点. 由单调性知f(x)在区间(1,+o)上有一个零点 ##一)## ##2#,由# <0可 .............................................分 下面证明((x)在区间(0,1)上无零点. ### #### r .: -1 ##### 当x(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,.. ### ..........................1.分 此时g(x)>g(1)-1>o,故lnx>-1 符合题意; 0<<2时,:>o,当”1-log:t时, ......................................分 且当x(0,1时,x>x. 不符合题意....2..............1.分 故f(x)-(r-x)lnx+1>(x-x)· 同理。({)#<且()# (-1)+1-0. #_ 于是/(x)在区间(0.1)上无零点.....14分 ......... 综上所述,f(x)有且仅有一个零点.......15分 3-d 18.解:(1)由题意可得S,十a一S.-a。= ......................................4分 2a-.-.....................分. ##) 故2a。-2d-2(a.-d)-a.-d,..3分 即 d 则a。-d)是公比为,首项为a-d-3-d ## 的等.数列..................................4分 d =m,当0q2时,m<0 3-d 2-,则= (2)设数列(。)的公比为g,则。一”b.... .........................................分 2^i 由(1)可得一 合题意,故0<o2. .....................6分 2- 又...-2............1..分. 3-+.① 19.解:(1)如图,建立平面直角坐标系Oxy,使得C 数学试题(二) 参考答案 第4页 共6页 (0.3),根据对称性不妨设A(-2③,一3) 由平面儿何知识A,BCE。'DECE 于是CD-aCE(aER),解得x。=0,于是直线 B(2③,-3).G(0.-1).设D(x,y),则 1的解析式为y-0, .................1.分 [-2..................................1分 .D与线段AB相切,'&十(y-3){ 不妨设点M在点N左侧,则M(一③,0). -y+3, N 3.0..'MN-.23. ..........11分 r2 (3)线段CG的垂直平分线为直线y一1...设 △CGD的外接圆的圆心为P(7,1). #### 解得1-2③, '圆心P(2/③,1),半径为4. $P:(x-23)+(y-1)=16..... 13分 设在点) 处的切线为直线7. 设该n十n型直线的斜率为,则其解析式为3 --1. “.P与此直线相切,点G在P上,..G为 23-0 '.该m十n型直线的解析式为y=一3x-1. 化简得y___ .........................分 一士23,根据对称性,只需考虑x。三23,此 时y ③ 与#AC交于点#{20). 当x=-23时,y--3,则Al .点G为△ABC的重心,..直线/为△ABC 。 的中线,故只需要n二nEN即可. 综上所述,△ABC存在与T相切的n十n型直 线.............................分 .$s- 131 2020一 ###).# ·.2-1+1...直线CE把△DAB分成面积比 为1;1的两部分,又CE过△DAB的重心.. .Srr...SAr.-54......... 16分 CE为△DAB的中线,于是CE经过△DAB的 ._5 顶点......................................分 1 数学试题(二) 参考答案 第5页 共6页 多维细目表 学科素养 预估难度 料批 #### 数批基 题号 题型 分值 必备知识 命 中 # 难 5 选择题 1 复数的概念与四则运算 固 _ 选择题 2 5 古典概型概率计算 选择题 5 集合间的基本关系 二项式定理 选择题 乙 ) 选择题 5 5 函数的性质 。 选择题 5 三角函数的图象与性质 选择题 7 5 指数的实际应用 / 双曲线定义与几何性质 选择题 8 5 V 选择题 9 平面向量综合 6 10 选择题 圆与圆的定义及三角恒等变换综合 ### 选择题 11 6 立体几何综合 # 12 填空题 5 直线夹角问题 / ## 13 5 填空题 正余弦定理的应用 {14 5 ## 填空题 抽象函数与数列综合 15 概率统计综合 解答题 16 解答题 立体几何 ## / 解答题 # 17 函数导数零点问题 而18 17 解答题 数列综合 解答题 19 17 新定义问题与抛物线综合 数学试题(二) 参考答案 第6页 共6页2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟) 数学试题（二） 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知复数x=一3+4i,则z十z|在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.某玩具加工厂生产A,B两种盲盒，其生产量之比为3：2，其中每种盲盒有大号和小号两 种类型，且A,B两种盲盒中大号盲盒所占比例相等现从流水线上随机取一个盲盒，已知 取到大号A盲盒和小号B盲盒的概率相等，则大号盲盒的占比为 A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 3.设集合M={mm=x+2y,x,y∈Z,N={nn=x+3y,x,y∈Z,则 A.M-N B.M年N C.NM D.M∩N-☑ 4.(1十3x)8的展开式中x2的系数为 A.164 B.252 C.256 D.504 5.设a=b2,b=log2c,c=2,则 A.a+b>c B.a+b<c C.ab>c2 D.ab<c2 6.已知“函数f(x)=2cos2x-}-1o>0)在区间0，上存在最小值-3”为假命题， 则ω的取值范围为 A. B,引 c( n4 数学试题（二）第1页共4页 7.某日，某研究所对一种冷冻了9个月的微生物群进行解冻，在理想情况下，其数量将会每 周翻倍.若该微生物群的数量为20万，按照理想情况估算，截止至2025年10月31日，其 数量将会到达2×105，故该生物群开始冷冻的时间大约在 A.2022年3月 B.2022年8月 C.2023年2月 D.2023年7月 8.已知F1,P分别为双曲线C:x-=1(b>0)的左右焦点，A,B分别为C左，右支上 的点，且F1,A,B三点共线.若∠AF2B=∠AF1F2,则2F1F2+|BF2|的最小值为 A.16 B.18 C.20 D.22 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知点A(m,1),B(3,2),C(-1,4),D(x,y),则 A.若AB∥BC,则m=5 B.|BC|=√6 C着A⊥配，则n号 D.若BC+2CD=0,则x+y=4 0.已知曲线C:x29+9=1,其中002物 A.若C表示圆，则0=T 4 B若C表示椭圆，则其离心率为二cos20 sin C0=时，C的焦距为 2 D.若矩形的四个顶点均在C上，则该矩形面积的最大值为1 11.已知在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2,AA1=√3，E,F分别为AB,B1C1的中点， P为线段AC上的动点，A1,E,C,F四点均在球O的表面上，则 A.三棱锥A1-EFC的体积为1 B.球O的表面积为7π C.AP+PE≥√7 D,球O的表面与侧面ABB,A的交线长为号元 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.直线l1:x一y+1=0与直线l2:W3x-y+2025=0的夹角为 13.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=5,c=4,sinA=5y7 16,则6= 14.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)一f(一x)=一2x,其导函数g(x)满足g(x) +g(2-x)=0,则登gn)= 数学试题（二）第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 2024年12月20日，在西昌卫星发射基地成功发射了通信技术试验卫星十二号，并与中 国空间站成功对接.为弘扬航天精神，某高中举办了一次“逐梦星辰大海一航天杯”知 识竞赛.比赛规则为每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比 赛结束假定小张同学答对这5道题的横水依次为号，，号宁宁，且各慧是香答对互不 影响。 (1)求小张同学连续答对四道题的概率； (2)记小张同学比赛结束时已答题的个数为X,求X的分布列及数学期望， 16.(本小题满分15分) 如图，圆锥PO的轴截面是正三角形，AB是底面的一条直径，PB的中点为M,C是底 面圆周上异于A,B的一点， (1)求证：OM∥平面PAC: (2)若BO=BC,求平面COM与平面AOP夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(x一x3)lnx十1. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求证：f(x)有且仅有一个零点. 数学试题（二）第3页共4页 18.(本小题满分17分) 记S.为数列{am}的前n项和，已知a1=3,且{Sm十am}是公差为d(0<d<3)的等差 数列 (1)求数列{a.}的通项公式（结果用含d的式子表示）： (2)若等比数列(b.)满足对任意n∈N都有1 ≤6，<a十d求6.的公比 19.(本小题满分17分) 过三角形的重心作一条直线，若这条直线将该三角形分成面积比为m：n的两部分，则 称这条直线为m+n型直线，其中m,n∈N·,且m≥n.等边三角形ABC的边长为 43,重心为点G,以动点D为圆心，|CD|为半径作圆，该圆与线段AB相切，记点D 的轨迹为T. (1)探究△ABC是否存在与T相切的m十n型直线； (2)若点C在△DAB的2型直线上，T在点D处的切线与△ABC交于M,N两点， 求|MN|: (3)若△CGD的外接圆与直线AC相切，且与△ABC的一条m十n型直线相切，求”m 的值 数学试题（二）第4页共4页2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟) 数学试题(二 参考答案及多维细目表 题号 2 5 7.【答案】C ) 4 答案 D B 【解析】20万即2×10,即截止至2025年10月 D A A 10 11 题号 31目,生物群的数量已经达到最初的10{*倍,10 7 8 0 -1000*~1024*-2*,即大约翻倍了100次 答案 C ACD AD C BCD 即从第10个月起大约又经过了100周,由于 365 7 1.【答案】D 【解析】由题意可得-一3-4i,1|= ~52,即一年大约有52周,故100周大约为1年 又11个月,加之前期的9个月,总共经历约2年 (-3)+4-5,故+|z--3-4i+5-2 又8个月,从2025年10月31日往前计算2年 4i.在复平面内对应的点为(2,一4),位于第四 象限. 又8个月,得到该生物群开始冷冻的时间应在 2023年2月. 2.【答案】A 8.【答案】C 【解析】设A,B两种盲盒的数量分别为3a,2a(a 【解析】在△AF。B和△FF:B中,.AF。B CN'),大号盲盒占比为x,由题意可得3ax= AFF, ABF =FBF,.△AFB 2a(1-x),解得x-0.4. △F。FB.不妨设AB-X,AB BF: -.则BF:= 3.【答案】A BF B可得BF-:.'BFf 【解析】通过列举与赋值可得M一N一乙 x.由相似比BF:BA 4.【答案】B 【解析】(1十3x)的展开式的通项公式为T,一 2 -(> C1(3c)'.T-C·1.(3x)-252x.其 2) 2 1)..'AF.-BF-AB- , 系数为252. :--× 2+4.由相似比FABA 5.【答案】D 2 F.F:BF: 2.AF-AF+2- 【解析】由题意可得c一2一2,由指数函数单调 -A得F.F-AF:=4+2..'.2F F+BF。 性可得a-b.'.a-b,故a-b-1,c-2,或a 4_ 2 b-0,c-1,只有选项D满足题意. 6.【答案】B 仅当“8(-1)-” 【解析】. 0.2a-[- 9.【答案】ACD 【解析】AB-(3-m,1).BC-(-4.2),若AB/ BC,则-4-2(3-m),解得n-5...选项A 6 正确: BC-(-4,2)..BC|-(-4+2-2v5. '.选项B错误; 数学试题(二) 参考答案 第1页 共6页 由AB-(3-m,1),BC-(-4,2),AB·BC- Ve社AncAiBC1 3V=梳A+ P 5 -4(3-n)+2=0,解得m= ③ 5..项$项C正确; ×4×3- 9 2 由BC=(-4,2),CD=(r+1,y-4). BC--2CD,可得 -4--2-2. '解得 r-1. 12=-2y+8. y-3. 故文+v=4..选项D正确 10.【答案】AD 【解析】由圆的定义可得sin0一cos*0,解得0- ...选项A正确; 当o(6.]时.coso>sinoO,此时C的离心率 ·△A.EC与△A.FC均为以A.C为斜边的直 角三角形,.'.O为AC的中点,..球O的表面 cos{6-sin6 书 cos 20 cos0 cos, 当 BE (1]时cos0<sin0.此时C的离心率为 7..'选项B正确; sin0-cos0 -cos 20 .AE-AA+AE-2-AC,CE-CC sinf sin0 ..选项B错误; -3.CEAE,ACICC..AEC 。 一1:其焦距为 △ACC..'PE=PC..'.AP+PEAC = /7..选项C正确; 取AE的中点Q,A.B:的中点M,连接ME. QM.OQ.则MEIA:B.OQ/CE.OQI平面 设C上的任一点Q(coscos,sinosin),则 ABB;A...球O的表面与侧面ABB.A;相交 四个顶点均在C上的任一矩形均可看作以Q. Q关于y轴的对称点,Q关于原点的对称点,Q 2π 关于:轴的对称点为顶点的矩形,故该矩形的 -1.易知 MQE 面积可以表示为2lcosecosel×2lsinfsinl. 变形得lsin20sin2 |,由于sin20sin2e 1,当 且仅当一 正确. 12.【答案】150(或) 矩形面积的最大值为1,.*.选项D正确 11.【答案】BCD 【解析】直线/.的斜率为1,则其与x轴非负半 【解析】如图,正三校杜ABC-A,BC 中,E,F 轴的夹角0满足tan0-1,即0-45{,直线/:的 分别为AB,BC的中点, 斜率为3,则其与x轴非负半轴的夹角8满足 '.A.F1平面BCC.B.,CE1平面ABB;A. tan6一3,即一60{*}由于直线与直线之间的夹 又AB-2,AA.=3,.V=Arc= 角的取值范围为[0,90],故两直线夹角为60。 V三校杜ABCAInC -VA!-rCC: -V三校班A!-AEC -45-15。 V三校推下A甘-V阅:ac日. V三梳纸A-Fre-V三梳班AcABC -V=梳mA1-Fcr 5/7 V三校A!AB:-V三PAa1r- 【解析】:'sinA-5 数学试题(二) 参考答案 第2页 共6页 9 x 2 4 3 5 10 20 { P + }-2bccosA,即b-9-8bcosA-0,将 0 3 cosA-士 .E(X)-2×20 35× 1 1 ) 53357 16 8080 值舍去). .........................................13分 14.【答案】2145 16.(1)证明;,AB是底面的一条直径, 【解析】·f(x)一f(一x)=一2x,..两边取导 '.O为AB的中点 数可得g(x)+g(-x)--2①. .M为PB的中点..'.OM//PA.........2分 又g(x)+g(2-x)-0②. .C是底面圆周上异于A,B的一点; *①-②可得g(-x)-g(2-x)=-2. ..OM平面PAC. '.g(2十x)-g(x)-2,则数列(g(n))中所有 又PAC平面PAC..OM/平面PAC...... 奇数项是公差为2的等差数列,所有偶数项是 公差为2的等差数列,在g(r)十g(一x)=-2 (2)解:不妨设则锥PO的底面半径为2,以点0 中,令x-0,得g(0)=-1.在g(x)+g(2-x) 为坐标原点,OB,OP方向分别为y轴,:轴,建 -0中,令x-1,得g(1)-0.在g(x)+g(2 立如图.的空间直角坐标系............分 x)-0中,令x=0,得g(0)十g(2)=0 .g(2)=1.数列g(n)是以0为首项,1为 公差的等差数列..g(n)-n-1.则g(n)= 66X(66-1) -2145. 2 15.解:(1)记小张同学连续答对四道题为事件A ............................................分 则P(A)二二 X .'.O(0,0.0).P(0.0.2③).M(0.1.3). 5 B(o...0..................................分 若BO=BC,则△BOC为等边三角形,故点C 27 _. 在BO的垂直平分线上,故解得C(3,1,0). '.小张同学连续答对四道题的概率为 160 .......................... ............................分 易知平面AOP的法向量为n三(1,0,0),..... (2)由题可得X的可能取值为2,3,4,5...... ..................................... ..分 ......................................6分 设平面COM的法向量为m一(x,y,z),则 且P(x-2)- ...............分 (y+③:-0. 不妨令x一1,则 lQC.m-0. 3x+-0. P(X-3)- ## y=-3,-1,故m-(1.-3,1),.12分 3 1 x ) P(X-4)- 设平面COM与平面AOP夹角为9,则cos0 5 5 13 m n5 P(X-5)-1- 11353 5 .....10分 故平面COM与平面AOP夹角的余弦值为 20101680' 5/ 则X的分布列如下. ......................................分 数学试题(二) 参考答案 第3页 共6页 17.(1)解:f(1)-1. ..........................分 f'(x)=(1-3*)入x+1-r②........2分 (2)### '()......................................3分 ...............分 故曲线y一f(x)在点(1,f(1))处的切线方程 为y-.... ..............................4分 (2)证明:当x (1,+oo)时,lnx>0,1-3xr 0.1-x<0,f'(x)<0.f(x)单调递减,..... ........................................6分 3- 此时f(1)-1>0,/(3)-1-24ln3<0,故 .....1分. f(x)在区间(1,3)上有一个零点. 由单调性知f(x)在区间(1,+o)上有一个零点 ##一)## ##2#,由# <0可 .............................................分 下面证明((x)在区间(0,1)上无零点. ### #### r .: -1 ##### 当x(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,.. ### ..........................1.分 此时g(x)>g(1)-1>o,故lnx>-1 符合题意; 0<<2时,:>o,当”1-log:t时, ......................................分 且当x(0,1时,x>x. 不符合题意....2..............1.分 故f(x)-(r-x)lnx+1>(x-x)· 同理。({)#<且()# (-1)+1-0. #_ 于是/(x)在区间(0.1)上无零点.....14分 ......... 综上所述,f(x)有且仅有一个零点.......15分 3-d 18.解:(1)由题意可得S,十a一S.-a。= ......................................4分 2a-.-.....................分. ##) 故2a。-2d-2(a.-d)-a.-d,..3分 即 d 则a。-d)是公比为,首项为a-d-3-d ## 的等.数列..................................4分 d =m,当0q2时,m<0 3-d 2-,则= (2)设数列(。)的公比为g,则。一”b.... .........................................分 2^i 由(1)可得一 合题意,故0<o2. .....................6分 2- 又...-2............1..分. 3-+.① 19.解:(1)如图,建立平面直角坐标系Oxy,使得C 数学试题(二) 参考答案 第4页 共6页 (0.3),根据对称性不妨设A(-2③,一3) 由平面儿何知识A,BCE。'DECE 于是CD-aCE(aER),解得x。=0,于是直线 B(2③,-3).G(0.-1).设D(x,y),则 1的解析式为y-0, .................1.分 [-2..................................1分 .D与线段AB相切,'&十(y-3){ 不妨设点M在点N左侧,则M(一③,0). -y+3, N 3.0..'MN-.23. ..........11分 r2 (3)线段CG的垂直平分线为直线y一1...设 △CGD的外接圆的圆心为P(7,1). 解得1-2③, '圆心P(2/③,1),半径为4. $P:(x-23)+(y-1)=16..... 13分 设在点) 处的切线为直线7. 设该n十n型直线的斜率为,则其解析式为3 --1. “.P与此直线相切,点G在P上,..G为 23-0 '.该m十n型直线的解析式为y=一3x-1. 化简得y___ .........................分 一士23,根据对称性,只需考虑x。三23,此 时y ③ 与#AC交于点#{20). 当x=-23时,y--3,则Al .点G为△ABC的重心,..直线/为△ABC 的中线,故只需要n二nEN即可. 综上所述,△ABC存在与T相切的n十n型直 线。..........................分 .$s- 131 2020一 ###).# ·.2-1+1...直线CE把△DAB分成面积比 为1;1的两部分,又CE过△DAB的重心.. .Srr...SAr.-54......... 16分 CE为△DAB的中线,于是CE经过△DAB的 ._5 顶点......................................分 1 数学试题(二) 参考答案 第5页 共6页 多维细目表 学科素养 预估难度 料批 #### 数批基 题号 题型 分值 必备知识 命 中 # 难 5 选择题 1 复数的概念与四则运算 固 _ 选择题 2 5 古典概型概率计算 选择题 5 集合间的基本关系 二项式定理 选择题 乙 ) 选择题 5 5 函数的性质 。 选择题 5 三角函数的图象与性质 选择题 7 5 指数的实际应用 / 双曲线定义与几何性质 选择题 8 5 V 选择题 9 平面向量综合 6 10 选择题 圆与圆的定义及三角恒等变换综合 ### 选择题 11 6 立体几何综合 # 12 填空题 5 直线夹角问题 / ## 13 5 填空题 正余弦定理的应用 {14 5 ## 填空题 抽象函数与数列综合 15 概率统计综合 解答题 16 解答题 立体几何 ## / 解答题 # 17 函数导数零点问题 而18 17 解答题 数列综合 解答题 19 17 新定义问题与抛物线综合 数学试题(二) 参考答案 第6页 共6页a■aa ■■■ 2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(T8联盟 W在各城内h春，出■色线的养室无效 ■请在合的普城内山誉格出色起边业区城的普美无效■ 15.(13分1 16.(55分】 数学试题（二）答题卡 学校 准考证号 姓名 ■■■ 座位号■ 填意 贴杀形码区城 样例 怪操维蜂：B的口四国 ,等稻育，香生务品清更城精自已的性名，液号请号：考场厚，原位得蝶可业规完的位置。 上速利形多铜旋降绝销牵，售感标圆州便说来用怎是水套字着付答字体著 笔逢销楚， 王考生必州色葡理卡杏题】纳规金等园区速内等商短山春厘区域面明特写的菌案无地：走 平具虽.通6上#服无效 4情，不新。不得果感 这排是每小题5分，共40分) 1四D四四 5四过四四 2由D口的 6国▣的回 3四四四四 7四面四回 4四mo回 8四四回的 选择是（每小题8分，共18分） 9团D回口 0四0回▣ ■ 1四四回回 填空是{每小魏5分，共15分) 12 为 14. 请夜各题口的答题区项内作客，超出国色能形边职配区城的著炎无效 请在各日的答愿区现内作养，超出圆色形边记区城的答炎无效 请在各的春球两作，超田和感迈区线春装 请色各圈日的程区城内作香，出国色电形边限建区线的餐案无效 请在各日的挥是区城内作养，帽出国色形边限电区减的养室无效 请在各日的将图区城内作养，提出侧色形边配果定区收的容案无效 17.(15分) 18.17分) 1917分} 请在名超的普线内作客.丛出色加松边南限正区的答案无效 请在各者日的答海区城为善，出用色彩形边数根电以或的答金无效一 请在各道的答通区域内作答。出出色据边配限卫《碱的答套无效