精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市初中联盟校2024-2025学年八年级下学期5月期中学科素养评价数学试题

乌兰察布市初中联盟校2024-2025学年度第二学期期中素养评价 八年级数学 分值：100分 时间：90分钟 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共24分） 1. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，有一根电线杆在离地面处的A点断裂，此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部B点远的地方，则此电线杆原来长度为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ） A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 5. 在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里，在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，则灯塔O位于渔船B的（ ） A. 北偏西方向 B. 南偏西方向 C. 北偏西方向 D. 南偏西方向 6. 如图，在正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若．则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，已知，，则留下的阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 14 D. 8. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（　　） A. B. 3 C. D. 二、填空题．（每题3分，共12分） 9. 在中，，则的度数为______． 10. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 11. 定义新运算：对于任意实数a、b，都有． 例如：，则的值为______． 12. 如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线l上，且，，给出下列结论：①，②，③△COF的面积，④，其中正确的是______． 三、解答题．（本大题6个小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 问题情境： 学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组遇到了以下问题：如图，的对角线与相交于点O，点E、F分别在和上． 问题1：当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 小明：当时，四边形是平行四边形． 理由如下： ， ． 即． ∴． ∵四边形是平行四边形， ．（依据1） 又， ． ． ∴四边形是平行四边形．（依据2） 问题2：当满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 小红：当时，四边形是平行四边形． 理由如下：…… 数学思考： （1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”； 依据1：__________________； 依据2：__________________． （2）请你帮助小红写出问题2的证明过程． 15. 如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4， （1）求OC的长； （2）求BD的长． 16. 如图1，在ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，，． （1）求证：四边形BFCE是矩形； （2）如图2，连接EF与BC交于点O，当四边形ABCD是矩形时，试判断EF与BC关系，并说明理由． 17. 直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． （1）图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； （2）如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 18. 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． （1）现有下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中，一定是“神奇四边形”的是 ；（填序号） （2）如图1，在正方形中，E为边上一点，连接．过点B作，垂足为H，交于点G．连接、． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，M、N、P、Q分别是、、、的中点，试判断四边形是不是“神奇四边形”，并说明理由； （3）如图3，点F、R分别在正方形的边、上．把正方形沿直线折叠，使的对应边恰好经过点A．上的点E是点A关于的对称点．连接，交于点O．若，正方形的边长为6，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌兰察布市初中联盟校2024-2025学年度第二学期期中素养评价 八年级数学 分值：100分 时间：90分钟 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共24分） 1. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，二次根式的性质及化简，解题的关键是用二次根式的性质分别对选项进行化简，再判断是否可以合并． 【详解】A．与不能合并，不符合题意； B．与不能合并，不符合题意； C．与能合并，符合题意； D．与不能合并，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 3. 如图，有一根电线杆在离地面处的A点断裂，此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部B点远的地方，则此电线杆原来长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中利用勾股定理求出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：在中，，， ∴， 故这根高压电线杆断裂前高度为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 4. 如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ） A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 5. 在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里，在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，则灯塔O位于渔船B的（ ） A. 北偏西方向 B. 南偏西方向 C. 北偏西方向 D. 南偏西方向 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，方位角，解题的关键是利用勾股定理的逆定理求出，再求出，再根据方位角求解即可． 【详解】解：在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里， ， 所以， 在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，如下图： ， ， 则灯塔O位于渔船B的北偏西方向， 故选：C． 6. 如图，在正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质求得，进而求得与，再由勾股定理求得，最后根据轴对称性质求得． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形关于对称， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是由正方形的性质与勾股定理求得的长度． 7. 如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，已知，，则留下的阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是理解留下的阴影部分的面积为，再利用平方差公式进行求解． 【详解】解：从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形， 则留下的阴影部分的面积为， ，， 则留下的阴影部分的面积为， 故选：B． 8. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的面积以及的长，求得的长，勾股定理求得边长，进而根据菱形的面积等于，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， OA＝4，S菱形ABCD＝24， 即 中， 连接 PE⊥AB，PF⊥AD， S菱形ABCD＝24， 故选D 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 二、填空题．（每题3分，共12分） 9. 在中，，则的度数为______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，两邻角互补．根据平行四边形对角相等，可求出． 【详解】解：在平行四边形中， ， ， 故答案为：． 10. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】没有变形 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆用，解题的关键是得出三边满足勾股定理即可求解． 【详解】解： 和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为， ， ， 则小红家的木门没有变形， 故答案为：没有变形． 11. 定义新运算：对于任意实数a、b，都有． 例如：，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新运算问题，二次根式的运算，解题的关键是利用定义进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线l上，且，，给出下列结论：①，②，③△COF的面积，④，其中正确的是______． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】由正方形的性质得出△OEF是等腰直角三角形，∠DOE＝45°，∠COE＝∠AOC＝90°，OA＝AB＝6，得出OE＝EF＝4，∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝45°，①正确，求出AE＝OA+OE＝6+4＝10，②错误；作FG⊥CO交CO延长线于G，连接DF交OE于M，作DH⊥AB于H，则OG＝FG＝OM＝OE＝2，AH＝DM＝DF＝OE＝2，DH＝AM＝OA+OM＝8，得出S△COF＝×6×2＝6，③正确；由勾股定理得出CF＝2，BD＝4，CF≠BD，④不正确；即可得出结论． 【详解】解：∵正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6， ∴△OEF是等腰直角三角形，∠DOE＝45°，∠COE＝∠AOC＝90°，OA＝AB＝6， ∴，∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝45°， ∴ OE＝EF＝4， 故①正确， ∴AE＝OA+OE＝6+4＝10， 故②错误； 作FG⊥CO交CO延长线于G，连接DF交OE于M，作DH⊥AB于H，如图所示： 则∠ FMO＝∠MOG＝∠ G＝90°，∠AHD＝∠OAH＝∠DMO＝90°， ∴四边形MFGO是矩形，四边形AHDM是矩形， ∵∠MOF＝45°， ∴△MOF是等腰直角三角形， ∴MO＝MF， ∴四边形MFGO是正方形， ∴OG＝FG＝OM＝OE＝2，AH＝DM＝DF＝OE＝2，DH＝AM＝OA+OM＝6+2＝8， ∴S△COF＝×CO×FG＝6， 故③正确； ∵CG＝OC+OG＝6+2＝8， ∴CF＝， ∵BH＝AB﹣AH＝4， ∴BD＝， ∴CF≠BD， 故④错误； 故答案为：①③． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题．（本大题6个小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是利用完全平方公式，平方差公式进行求解； （1）利用完全平方差公式，平方差公式进行计算； （2）利用根式的乘法进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 问题情境： 学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组遇到了以下问题：如图，的对角线与相交于点O，点E、F分别在和上． 问题1：当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 小明：当时，四边形是平行四边形． 理由如下： ， ． 即． ∴． ∵四边形是平行四边形， ．（依据1） 又， ． ． ∴四边形是平行四边形．（依据2） 问题2：当满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 小红：当时，四边形是平行四边形． 理由如下：…… 数学思考： （1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”； 依据1：__________________； 依据2：__________________． （2）请你帮助小红写出问题2的证明过程． 【答案】 （1）依据1：平行四边形的对角线互相平分； 依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质和判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】略 15. 如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4， （1）求OC的长； （2）求BD的长． 【答案】（1）20 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）及勾股定理可直接进行求解． 【小问1详解】 解：在Rt△AOB中， 由勾股定理得，OA＝， ∵AC＝4． ∴OC＝OA﹣AC＝24﹣4＝20； 【小问2详解】 解：在Rt△COD中， 由勾股定理得，OD＝， ∴BD＝OD﹣OB＝15﹣7＝8． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练运用勾股定理进行计算是解题的关键． 16. 如图1，在ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，，． （1）求证：四边形BFCE是矩形； （2）如图2，连接EF与BC交于点O，当四边形ABCD是矩形时，试判断EF与BC关系，并说明理由． 【答案】（1） ∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ABC， ∠ECB＝∠BCD， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，        ∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠EBC＋∠ECB＝（∠ABC＋∠BCD）＝×180°＝90°，    ∴∠BEC＝90°， 又∵BFCE，CFBE， ∴四边形BFCE是平行四边形， ∴平行四边形BFCE是矩形； （2）EF⊥BC，EF＝BC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，        ∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠BCD＝45°， ∴ BE＝CE， 由（1）得：四边形BFCE是矩形， ∴四边形BFCE是正方形， ∴EF⊥BC，EF＝BC． 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，得∠BEC＝90°，即可得答案； （2）根据四边形ABCD是矩形，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，得BE＝CE，又因为四边形BFCE是矩形，得四边形BFCE是正方形，即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，解题的关键是掌握相关性质． 17. 直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． （1）图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； （2）如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】（1） 证明：， ∴梯形的面积为或， ， ， 即， （2）新路比原路少0.5千米 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用； （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 在中，， 即，解得：，即， （千米）， 答：新路比原路少千米， 【小问3详解】 解：由题得，， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 18. 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． （1）现有下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中，一定是“神奇四边形”的是 ；（填序号） （2）如图1，在正方形中，E为边上一点，连接．过点B作，垂足为H，交于点G．连接、． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，M、N、P、Q分别是、、、的中点，试判断四边形是不是“神奇四边形”，并说明理由； （3）如图3，点F、R分别在正方形的边、上．把正方形沿直线折叠，使的对应边恰好经过点A．上的点E是点A关于的对称点．连接，交于点O．若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】（1）④ （2） ①证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“神奇四边形”； ②解：四边形是“神奇四边形”，理由如下： ，为，的中点， 为的中位线， ，， 同理：，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 四边形为正方形， 四边形是“神奇四边形”； （3） 【解析】 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论； ②由三角形中位线定理得出，，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“神奇四边形”， 故答案为：④； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，延长交于， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为6， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即线段的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $