精品解析：湖南省衡阳市衡东一中教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2025年上学期衡东一中集团校期中联考 七年级数学 本卷共4页．时量：120分钟 满分：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，即为一元一次方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、中的的次数是1，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、属于一元一次方程，故该选项符合题意； D、不是一元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列变形中，运用等式的性质变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据等式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、若，则，故B正确； C、若，则，故C错误； D、，当时，不成立，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质进行解题． 3. 若是方程的解，则a的值是（ ） A. B. 5 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，将代入方程得出，求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故选：A． 4. 下列方程组的解为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】把代入选项A第2个方程不成立，故错误； 把代入选项B第2个方程不成立，故错误； 把代入选项C第1个方程不成立，故错误； 把代入选项D两个方程均成立，故正确； 故选D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，解题的关键是通过移项，将不等式化为或的形式． 利用移项解不等式． 【详解】解：， 移项，得， 即． 故选：A． 6. 不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别解两个不等式得到x≤1和x＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x＞-3，于是可得到正确的选项． 【详解】解不等式x-1≤0得x≤1， 解不等式x+3＞0得x＞-3， 所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 7. 植树节这天有名同学共种了棵树苗，其中男生每人种树棵，女生每人种树2棵．设男生有人，女生有人，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键． 根据题意，列二元一次方程组即可． 【详解】解：设男生有人，女生有人， 根据题意，列方程组：， 故答案为：D 8. 把方程＝1去分母后正确的是（　　） A. 4x﹣3（x﹣1）＝1 B. 4x﹣3x﹣3＝12 C. 4x﹣3（x﹣1）＝12 D. 4x+3x﹣3＝12 【答案】C 【解析】 【分析】方程两边乘以12得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程＝1， 去分母得：4x﹣3（x﹣1）＝12． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． 9. 足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（ ） A. 2场 B. 3场 C. 4场 D. 5场 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用，准确理解等量关系是解题的关键．设该队胜了场，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该队胜了场，故平了场， ， 解得． 故一共胜了场． 故选：D． 10. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ） A. 60厘米 B. 80厘米 C. 100厘米 D. 120厘米 【答案】D 【解析】 【分析】设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米，根据题意列出二元一次方程组求解即可； 【详解】设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米， 根据题意可得：， 解得：， ∴每个小长方形的周长是 （厘米） 故选D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 方程的根是________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，先移项再合并同类项即可解决． 【详解】解：移项，得：， 合并同类项，得：， 故答案为：2024． 12. 已知方程3x-y=6，用含x的代数式表示y，则y=______． 【答案】##-6+3x 【解析】 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：方程3x-y=6， 解得：y=3x-6， 故答案为：y=3x-6． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 13. 已知和互为相反数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用互为相反数的两数的和为0，可得关于x的方程，继而可求出x的值，代入进行计算即可. 【详解】和互为相反数， ， 解得：， 故， 故答案为1． 【点睛】本题考查了互为相反数的定义以及一元一次方程的解法，正确解方程是解题关键． 14. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 解不等式得，即可得到答案． 【详解】解： 解得：， 故答案为：． 15. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是_________． 【答案】42 【解析】 【分析】设小朋友为x人，根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，表示出苹果的个数，再由每位小朋友分8个苹果，根据人数为x人，用总苹果数减去前x-1人、每人8个所分的苹果数，即为最后一名小朋友分到的苹果数，再利用最后一位小朋友分到了苹果，但不足5个列出关于x的不等式，求出不等式的解集，在解集中找出正整数解得到x的值，即为小朋友的人数，即可得到一箱苹果的个数． 【详解】解：设有x位小朋友，则苹果为（5x+12）个， 依题意得：0≤5x+12-8（x-1）＜5， 可化为：， 解得：5＜x≤， ∵x是正整数， ∴x=6， 当x=6时，5x+12=42； ∴这一箱苹果有42个， 故答案为：42． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，其中根据题意表示出最后一名小朋友分到的苹果数是解本题的关键． 16. 用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a，b，规定，那么当时，x的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，由题意得，，解方程可得x的值． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：4． 17. 若不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的整数解的个数求未知系数问题，涉及一元一次不等式组的解法．首先确定不等式组整数解，然后根据不等式的整数解得到一个关于m的不等式组，从而求解． 【详解】解不等式组： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴该不等式组的解集为： 又要求有且只有三个整数解， ∴不等式组三个非负整数解是， ∴． 故答案为：． 18. 已知方程组的解是则方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，利用换元思想是解决本题的关键．将方程组中的两个方程两边同除以4，整理得，运用换元思想，得，进而可求得方程组的解． 【详解】解：∵， ∴ ∵的解是， ∴ 解得， 故答案为：． 三．解答题（本大题共8小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分） 19. 解方程(组)： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程以及二元一次方程组． （1）去分母，去括号，然后移项并合并同类项，最后化系数为1即可求解． （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1：． 【小问2详解】 解：， ①②，可得， 解得， 把代入①，解得， ∴原方程组的解是； 20. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可得出不等式组的解集，进而得出整数解． 【详解】解：， 解①得：； 解②得：， ∴， 故不等式组的整数解为，，． 21. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为，乙看错了方程组中的b，而得到解为． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的解． 【答案】（1）a=4 b=5（2）x=—2，y=—1.8 【解析】 【详解】分析：（1）把代入方程组的第二个方程，把代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于a，b的方程组，即可求解； （2）把a，b的值代入原方程组，然后解方程组即可． 详解：（1）根据题意得： 解得： （2）原方程组是： 利用加减消元法解得：. 点睛：本题主要考查了方程组的解的定义，正确解方程组是解题的关键． 22. 已知关于x，y的方程组的解均为非负数， （1）用a的代数式表示方程组的解； （2）求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，正确求出方程组的解是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）根据（1）所求结合题意可得，解不等式组即可得到答案； 【小问1详解】 解：， 得：， 解得， 把代入②得：， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：∵关于x，y的方程组的解均为非负数， ∴， ∴； 23. 学校计划购进一批笔记本电脑和投影仪．经过市场考察得知，购买1台笔记本电脑和2台投影仪需要3.8万元，购买2台笔记本电脑和1台投影仪需要3.4万元． （1）求每台笔记本电脑、每台投影仪各多少万元； （2）根据学校实际，需购进笔记本电脑和投影仪共30台，如果总费用不超过40万元，那么至少购进笔记本电脑多少台？ 【答案】（1）每台笔记本电脑1万元，每台投影仪1.4万元 （2）5台 【解析】 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用， （1）设每台笔记本电脑万元，每台投影仪万元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购进笔记本电脑台，则购进投影仪台，列不等式求解． 【小问1详解】 解：设每台笔记本电脑万元，每台投影仪万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台笔记本电脑1万元，每台投影仪1.4万元； 【小问2详解】 设购进笔记本电脑台，则购进投影仪台， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：至少购进笔记本电脑5台． 24. 某中学七年级（1）班4名老师决定带领本班m名学生去某革命胜地参观，该革命胜地每张门票的票价为30元，现有A、B两种购票方案可供选择： 方案A：教师全价，学生半价； 方案B：不分教师与学生，全部六折优惠； （1）若按方案A购票，需付款___元（用含m的代数式表示）；若按方案B购票，需付款_____元（用含m的代数式表示）； （2）当学生人数m为何值时，选择两种方案的费用相同？ （3）当学生人数时，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠？ 【答案】（1）； （2） （3）方案A 【解析】 【分析】（1）根据题意，由A，B两种方案进行表示即可； （2）根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案 （3）当时，代入（1）中的两个代数式，比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：4名老师，m名学生， 按方案A购票，需付款：元； 按方案B购票，需付款：元； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵选择两种方案的费用相同， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时， 按方案A购票，需付款：（元）； 按方案B购票，需付款：（元）； ∵， ∴选择方案A购票更为优惠． 【点睛】本题考查了列代数式及代数式求值，解一元一次方程，理解题意正确列出代数式是解决问题的关键． 25. 阅读下列素材，解决水费及用水量问题： 素材1 为增强居民节水意识，某地城市居民同水收费实行“阶梯收费”机制，即根据家庭每月用水量的不同，将水价分为三个档次，用水量越多，水价越高． 素材2 该地城市居民应缴纳水费由两部分组成，第一部分为实际用水费用，第二部分为污水处理费：按实际用水量每吨收取1元． 素材3 实际用水费用收费标准 等级 用水量 单价（元/吨） 第一阶梯 不超过22吨的部分 3.5 第二阶梯 超过22吨，不超过30吨的部分 4.5 第三阶梯 超过30吨的部分 6 任务一 确定水费 小实家2024年12月用水24吨，则小实家2024年12月应缴纳水费______元． 任务二 确定污水处理费 小实家2025年1月应缴纳水费中，实际用水费用为104元，求小实家1月缴纳污水处理费多少元？ 任务三 确定用水量 如果小实家2024年7，8月份共用水60吨（8月份用水量比7月份用水量多），应缴纳水费共290.5元，则小实家7，8月份各用水多少吨？ 【答案】任务一：；任务二：小实家1月缴纳污水处理费元； 任务三：小实家7，8月份各用水吨，吨 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 任务一：根据题意列式计算即可； 任务二：设1月实际用水吨，列方程得，解方程即可； 任务三：设月份用水量为吨，则8月份用水量为吨，分两种情况讨论：当时，当时，分别列方程求解即可． 【详解】解：任务一：（元）， 污水处理费为：（元） ∴缴纳水费（元） 故答案为：； 任务二：设1月实际用水吨， 根据题意得：， 解得：， （元）， 小实家1月缴纳污水处理费元； 任务三：小实家7，8月实际用水费用为（元） 吨， 8月份用水量超过吨， 设月份用水量为吨，则8月份用水量为吨， 当时， 根据题意得：， 解得：， ， 舍去， 当时， 根据题意得， 解得：， （吨）， 小实家7，8月份各用水吨，吨． 26. 不妨约定：关于的二元一次方程， 若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： （1）判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；②______．③______； （2）若关于的“开心”方程组的解为，求的值． （3）关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，求的值，并求此“开心方程组”的解． 【答案】（1）①不是；②是；③不是； （2）有． （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组： （1）根据“开心”方程的定义求解即可； （2）解方程组得，代入原方程组得，求出； （3）根据“开心”方程的定义将方程组整理为，解得，由求得，得到代入原方程可求解， 【小问1详解】 解：对于方程，， ∵, ∴方程不是开心方程； 对于方程，， ∵ ∴方程是开心方程； 对于方程，，所以，方程不是开心方程； 故答案为：不是，是，不是 【小问2详解】 解：由题意可知：， 解得：， 将代回原方程组得： 由①＋②得：， ∵， ∴有． 【小问3详解】 解：由题可知： 化简可得：． 解得， ∵， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴或2 根据新定义，所以舍去1，则 ∴， 代入原方程得：， 消去y化简可得； ∵， 所以：“开心方程组”的解为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期衡东一中集团校期中联考 七年级数学 本卷共4页．时量：120分钟 满分：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列变形中，运用等式的性质变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 若是方程的解，则a的值是（ ） A. B. 5 C. 1 D. 4. 下列方程组的解为的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 植树节这天有名同学共种了棵树苗，其中男生每人种树棵，女生每人种树2棵．设男生有人，女生有人，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 把方程＝1去分母后正确的是（　　） A. 4x﹣3（x﹣1）＝1 B. 4x﹣3x﹣3＝12 C. 4x﹣3（x﹣1）＝12 D. 4x+3x﹣3＝12 9. 足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（ ） A. 2场 B. 3场 C. 4场 D. 5场 10. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ） A. 60厘米 B. 80厘米 C. 100厘米 D. 120厘米 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 方程的根是________． 12. 已知方程3x-y=6，用含x的代数式表示y，则y=______． 13. 已知和互为相反数，则______． 14. 不等式的解集为________． 15. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是_________． 16. 用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a，b，规定，那么当时，x的值是________． 17. 若不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是________． 18. 已知方程组的解是则方程组的解是________． 三．解答题（本大题共8小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分） 19. 解方程(组)： （1）； （2）． 20. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 21. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为，乙看错了方程组中的b，而得到解为． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的解． 22. 已知关于x，y的方程组的解均为非负数， （1）用a的代数式表示方程组的解； （2）求a的取值范围． 23. 学校计划购进一批笔记本电脑和投影仪．经过市场考察得知，购买1台笔记本电脑和2台投影仪需要3.8万元，购买2台笔记本电脑和1台投影仪需要3.4万元． （1）求每台笔记本电脑、每台投影仪各多少万元； （2）根据学校实际，需购进笔记本电脑和投影仪共30台，如果总费用不超过40万元，那么至少购进笔记本电脑多少台？ 24. 某中学七年级（1）班4名老师决定带领本班m名学生去某革命胜地参观，该革命胜地每张门票的票价为30元，现有A、B两种购票方案可供选择： 方案A：教师全价，学生半价； 方案B：不分教师与学生，全部六折优惠； （1）若按方案A购票，需付款___元（用含m的代数式表示）；若按方案B购票，需付款_____元（用含m的代数式表示）； （2）当学生人数m为何值时，选择两种方案的费用相同？ （3）当学生人数时，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠？ 25. 阅读下列素材，解决水费及用水量问题： 素材1 为增强居民节水意识，某地城市居民同水收费实行“阶梯收费”机制，即根据家庭每月用水量的不同，将水价分为三个档次，用水量越多，水价越高． 素材2 该地城市居民应缴纳水费由两部分组成，第一部分为实际用水费用，第二部分为污水处理费：按实际用水量每吨收取1元． 素材3 实际用水费用收费标准 等级 用水量 单价（元/吨） 第一阶梯 不超过22吨的部分 3.5 第二阶梯 超过22吨，不超过30吨的部分 4.5 第三阶梯 超过30吨的部分 6 任务一 确定水费 小实家2024年12月用水24吨，则小实家2024年12月应缴纳水费______元． 任务二 确定污水处理费 小实家2025年1月应缴纳水费中，实际用水费用为104元，求小实家1月缴纳污水处理费多少元？ 任务三 确定用水量 如果小实家2024年7，8月份共用水60吨（8月份用水量比7月份用水量多），应缴纳水费共290.5元，则小实家7，8月份各用水多少吨？ 26. 不妨约定：关于的二元一次方程， 若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： （1）判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；②______．③______； （2）若关于的“开心”方程组的解为，求的值． （3）关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，求的值，并求此“开心方程组”的解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $