专项5 三角形与四边形-【授之以渔】备考2025年中考数学模拟卷（河北专版）

专项提办原 专项五三角形与四边形 1.我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分 同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能沿着伞柄滑 动.图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A,B, D'三点共线，AD'=40cm,B为AD'的中点.当∠BAC=140时，伞完全张开 (1)AB的长为 cm; (2)当伞从完全张开到完全收拢时，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离. (参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)】 B(C 图1 图2 2.在□ABCD中，AB=AC,点E,F分别在边AD,BC上，将□ABCD沿直线EF折叠，使 点A,C重合，点B落在点G的位置 (1)求证：△CED≌△CFG; (2)若∠AEF=35°，求∠ECD的度数； (3)连接AF,求证：四边形AFCE是菱形 11 中考模拟卷数学 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=2α(45°<a<90),D是BC的中点，E是BD 的中点，连接AE.将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM,过点E作EF⊥AE 交射线AM于点F. (1)依题意补全图形； (2)求证：∠B=∠AFE; (3)连接CF,DF,用等式表示线段CF,DF之间的数量关系，并证明. B E D 12 专项超办虎 4如图1，在△ABC中，∠A=90°，AC=2,mB=子，P为边AB上一动点。 (1)求BC的长； (2)若动点P满足∠PCB=45°，求tan∠ACP的值； (3)如图2，若D为BC的中点，连接PD,以PD为折痕，在平面内将△APD折叠， 点A的对应点为A',当A'P⊥AB时，求AP的长； (4)如图3，若E为AC边上一点，且AE=2CE,连接EP,将线段EP绕点E沿逆时 针方向旋转60得线段EQ,连接CQ,直接写出CQ的最小值 0 E Q B A P B 图1 图2 图3 13 中考模拟卷数学 5.【问题提出】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上，连接 AD,DE,有∠ADE=45°，求证：△BDA∽△CED; 【问题探究】 (2)如图2，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.若AB=3, AD=5,求DE的长； 【问题解决】 (3)如图3，菱形ABCD是一座避暑山庄的平面示意图，其中∠BAD=60°，AB= 120m,现计划在山庄内修建个三角形花园APQ,点P,Q分别在线段BC,CD上，根 据设计要求要使∠APQ=120°，且AP=3PQ,问能否建造出符合要求的三角形花园 APQ?若能，请找出点P,Q的位置（即求出BP与DQ的长）；若不能，请说明理由. D D B 图1 图2 图3 14 专项是办虎 6.在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究： 问题背景：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=6,D为AB边上一动点， 连接CD,E为CD边上一动点，连接BE,以BE为边在BE的右侧作等边三角形 BEF,连接CF (1)如图1，当BC=BD时，求证：△BDE≌△BCF; (2)如图2，当点D运动到AB的四等分点（靠近点B)时，点D停止运动，此时点E 从点C运动到点D,试判断点E从点C运动到点D的过程中线段CF和BF的数量 关系，并说明理由； (3)如图3，点D从AB的四等分点（靠近点B)处出发，向终点A运动，同时，点E从 点D出发，向终点C运动，运动过程中，始终保持∠BEC=90°，求CF的最小值， D D 图1 图2 图3 15 中梦模拟卷数学 7.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=8,AD=6,动点P以每秒2个单位长度的 速度从点A出发，沿折线AD一DC向点C运动.点Q与点P关于点D对称，过点P 作PE⊥AC于点E,分别以PE,PQ为边作平行四边形PQFE.设点P的运动时间为 ts(0<t≤7且t≠3). (1)求点D到AC的距离； (2)设PE的长为y,求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当平行四边形PQFE为菱形时，求t的值； (4)设点F关于直线PE的对称点为H,当点H落在△ACD的内部（不包含边界） 时，直接写出t的取值范围 B 16参考答案渔 C(6.5,-14) 地面2m时，它离出发点的水平距离最远为 ∴.y=a(x-6.5)2-14. 17m. 把M(9,-10)代入， (3)设0A=AB=4,则yw=2(u-4)2,x= 得-10=a×(9-6.5)2-14. 解得a=0.64. 2(2-43 当人水后的抛物线过点N(12,-10)时，C(8, -14). AM+CM+BN+DN=2u-4)2++2(2- 同理可得a=0.25 ∴.当点D在MW之间时，a的取值范围为 4+2=-9+16=引-+78 0.25≤a≤0.64. 3.解：(1)由题图可知E(4,0),F(0,8) 2>0, 设抛物线F→E→G的函数解析式为y= ∴.抛物线开口向上 a(x-4)2(a≠0) 当：=号时，总长度最短，最短为器 9 把F(0,8)代入，得8=a(0-4)2 解得a=2 最低造价为8×800=6320（元）。 ∴，抛物线F→E→G的函数解析式为y= 当CM=号m,AM= 9 50m,DW=18 5 m,BN= 2(x-4月 云▣时，会使造价最低，最低造价为632m元 （2)令=2-42-是， 专项五三角形与四边形 解得x1=7,2=1. 1.解：(1)20 ,点P在点G的左侧， (2)如图，过点B作BE⊥AD于点E. P4),c,》 .PG=7-1=6(m) GK∥x轴，GK=5m, ∴.PK=PG+GK=11m. ,抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→ AB=BD,∴.AD=2AE. E→G完全相同， :AP平分∠BAC,∠BAC=140°， ∴.抛物线K→H→Q是由抛物线P→E→ &LBAE=7∠BAC=70 G向右平移11m得到的， 在Rt△ABE中，AB=20cm, ∴.抛物线K→H→Q的函数解析式为y= ∴.AE=AB·cos70°≈20×0.34=6.8(cm). 2(x-4-102=2(x-15)月 .AD =2AE =13.6 cm. 令y=7(x-15)2=2, .AD'=40cm, ∴.AD'-AD=26.4cm. 解得x1=17,x2=13(舍去). ∴.伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离约为26.4cm ∴.在从G到Q的运动过程中，当过山车距离2.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ·33. 中考模拟卷数学 ∴，AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠B=∠D :AB=AC,D是BC的中点， 由折叠的性质，得AB=CG,∠B=∠G,∠BAD= ∴，AD⊥BC,AD平分∠BAC ∠GCE. ∠BAC=2a(45°<a<90),∴.∠BAD=. ∴.∠BCD=∠GCE,CD=CG,∠D=∠G .∠B=90°-a ,'∠ECD+∠BCE=∠BCD,∠FCG+∠BCE= ,EF⊥AE,.∠AEF=90 ∠GCE, 又，射线AM是由射线AE逆时针旋转a得 ∴.∠ECD=∠FCG 到的， ∴.△CED△CFG(ASA). ∴.∠EAF=. (2)解：由折叠的性质，得∠AEC=2∠AEF= .∠AFE=90°-x. 70°，AC⊥EF, .∠B=∠AFE. ∴.∠OAE=90°-∠AEF=55. (3)CF=DF. .AB=CD,AB=AC, 证明：如图3，延长FE至点H,使得EH=EF, .AC CD. 连接BH,AH. ∴.∠D=∠CAD=55 H .∠ECD=∠AEC-∠D=15° (3)证明：.四边形ABCD是平行四边形， ∴.AE∥CF '△CED≌△CFG..CE=CF 由折叠的性质，得AE=CE, ∴.AE=CF M ∴.四边形AFCE是平行四边形 又，·AE=CE,∴.四边形AFCE是菱形 图3 3.(1)解：如图1. :E为BD的中点，∴，EB=ED 又：EH=EF,∠HEB=∠FED, ∴.△HBE≌△FDE(SAS).∴.BH=DF :AE⊥HF,EH=EF, ∴.AH=AF .△AHF是等腰三角形 ∴.∠HAE=∠FAE=a ∴.∠BAC=∠HAF=2a 图1 ,∠HAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF, (2)证明：连接AD,如图2. 即∠BAH=∠CAF 又：AH=AF,AB=AC, ∴，△AHB≌△AFC(SAS). ∴.BH=CF.∴.CF=DF 4解：(1)：LA=90°，AC=12,anB=3 图2 ·AB=AC tan B=16. ·34· 参考答案侣丝 .BC=√AB2+AC2=20. (4)CQ的最小值为8. (2)如图，过点P作PM⊥BC于点M. 5.（1)证明：.∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠B=∠C=45°=∠ADE. :∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE, ∴.∠BAD=∠CDE. .△BDA∽△CED. AP (2)解：四边形ABCD是矩形， ∠PCB=45°，.PM=CM. ∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=3,AD= 设PM=CM=x,则BM=20-x BC=5. ,·∠MBP=∠ABC,∠BMP=∠BAC, 由折叠的性质，得AF=AD=5,∠AFE=∠D= ∴.△BPM∽△BCA. 90°， 能光瑞袋 42012=16 ..BF=VAF2 AB2 =4. ∴.CF=BC-BF=1. :∠BAF+∠AFB=90°，∠AFB+∠EFC= ·3=20-x解得x=60 4 180°-∠AFE=90°， ∴.∠BAF=∠EFC. BP=19AP=AB-BP=号 ∴.△ABFn△FCE. tan∠ACP=4C=L AC=7 &8明G (3)设A'D交AB于点N. :A'P⊥AB,∴.∠A'PN=90° 6=号 :∠BAC=90°，D为BC的中点， 0E=cD-cE=号 .AD-BD-BC-10.:.LPAD-ZB. (3)解：能建造出符合要求的三角形花园APQ, 由折叠的性质，得A'P=AP,A'D=AD=10, 如图，在BC上截取CE,使得CE=CQ,连接QE. ∠A'=∠PAD. .∠B=∠A 又，·∠BND=∠A'NP ∴.∠BDN=∠A'PN=90 B 同理易得△BDN∽△BAC, ,:四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°， 船-8-DN=号 ∴.∠B=120°，∠C=60° ∴.△CQE是等边三角形 .A'N-AD-DN- ∴.CQ=CE=QE,∠QEC=∠C=60°. ∴.∠PEQ=120°=∠B. 同理易得△A'PN∽△BAC, ∠APQ=120°， 16204"P=2. ∴.∠QPE+∠APB=60 :∠PAB+∠APB=60°， ∴.AP=A'P=2. ∴.∠PAB=∠QPE. ·35· 中考模拟卷数学 ∴.△ABP∽△PEQ. ∴.△BDE≌△BGF(AAS). BP AB AP ∴.BD=BG QEPEPO CD⊥BH,∠ABC=60°，∴.∠BCD=30 ,四边形ABCD是菱形， ∴.BC=2BD,.BD=BG=CC. ∴.BC=CD=AB=120m. :FG⊥BC,∴.FG垂直平分BC. ·AP=3PQ, .BF CF. .PE=AB=40m.BP=3QE=3CE. (3)解：如图2，以BC为边作等边三角形 BCM,连接MF .3CE+40+CE=120. ∴.CQ=CE=20m. .BP=3CE =60 m,DO CD-CO =100 m. .能建造出符合要求的三角形花园APQ,此 时BP的长为60m,DQ的长为100m. 图2 6.(1)证明：，△BEF是等边三角形， :△BEF,△BCM是等边三角形， ∴.BE=BF,∠EBF=6O ∴∠EBF=∠CBM=6O°，BE=BF,BC=BM. .∠ABC=60° ∴.∠CBE=∠MBF ∴.∠ABC-∠CBE=∠EBF-∠CBE, ,△BCE≌△BMF(SAS). 即∠DBE=∠CBF .∠BEC=∠BFM=90. 又，BD=BC, ∴.点F在以BM为直径的⊙O上运动，起点为 ∴.△BDE≌△BCF(SAS). BC的中点N,终点为点M (2)解：BF=CF 由三角形三边关系可知CF≥C0-OF, 理由如下： ∴.F为⊙O与OC的交点时，CF取得最小值. 如图1，过点F作FG⊥BC,垂足为G,取AB的 :△BCM是等边三角形，O是BM的中点， 中点H,连接CH. BC=6, .OC⊥BM,OB=3. ∴.0C=√BC2-OB2=33 .CF=0C-0F=35-3. 图1 ∴，CF的最小值为33-3. ,:∠ACB=90°，∠ABC=60° 7.解：(1)：四边形ABCD是矩形， BAC-30"C. ∴.∠ADC=90°，CD=AB=8. .AC=√AD2+CD2=10. ,H是AB的中点，∠ACB=90°， ∴.CH=BC=AH=BH. 过点D作DM⊥AC于点M,则之AD·CD= :H是AB的中点，D是AB的四等分点， ∴.DH=BD. AC DM. ,CH=BC,∴.CD⊥BH ∴.DM=4.8. 由(1)得∠EBD=∠FBG .点D到AC的距离为4.8. 又：∠EDB=∠FGB=90°，BE=BF, (2)①如图1，当0<t<3时，点P在AD上运 ·36· 参考答案丝 动，此时AP=2t. ∴.PQ=4t-12. .·PE⊥AC,∴.∠PEA=∠ADC=90 当PE=PQ时，- 6 42 又，∠PAE=∠CAD,∴.△APE∽△ACD. 5t+5 =4t-12. 北器即治音 51 解得t=13 y=g0<1<30 综上所述，当：的值为号安时，平行四边形 PQFE为菱形 B (4)唱<1<3或3<<号 专项六圆的综合题 1.(1)解：0C=BCAC=子AB 图1 图2 由平移的性质，得O0=AC=子4B,CD=AB, ②如图2，当3<t≤7时，点P在DC上运动， 此时PC=14-2t. AD=AC+CD=B+AB=子B ,PE⊥AC,∴.∠PEC=∠ADC=90° 00'3 又：∠PCE=∠ACD,∴.△PCE∽△ACD. “AD=7 光器4.2” (2)证明：连接0E,0'F 6 AF是半圆O的切线，DE是半圆O的切线， ∴y=- 5t3 ±42(3<≤7 ∴.∠OED=∠O'FA=90° OC +BC=0'B+BC,..OC=0'B. P (0<1<3), ..OC CD=0'B+AB...OD =AO'. 综上所述，y= -+号3<s7. .OE=0'F, ∴.Rt△OED≌Rt△O'FA(HL).∴.DE=AF (3)经分析可知当PE=PQ时，平行四边形 (3)d>2. PQFE为菱形. 2.解：(1)①120 分两种情况讨论： ②由题意，得1允=120×π×10_20m 180 3 ①当点P在AD上运动时，PE=号 20m>20,.BC的长度更长. 3 :点P,Q关于点D对称，且PD=6-2t, ∴.PQ=12-4t (2)如图，过点O作ON⊥BC,交BC于点M,交 半圆O于点N,则MN的长为汤的最大深度 当PB=P0时，g=2-4 解得1=只 ②当点P在DC上运动时，PE=- 42 31+ 5 点P,Q关于点D对称，且PD=2t-6, :BC=16cm,OM⊥BC, ·37·