专项3 二次函数的图象和性质-【授之以渔】备考2025年中考数学模拟卷（河北专版）

专项超办虎 专项三二次函数的图象和性质 1.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c(b,c是常数)与x轴交于点A(-1, 0),B(3,0),与y轴交于点C.P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点 P的横坐标为m. (1)直接写出b,c的值； (2)如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线1的右侧时，连接PA,过点P作 PD⊥PA,交直线I于点D.若PA=PD,求m的值； (3)过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q,线段PQ的长记为d. ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况 D B 备用图 5 中考模拟卷数学 2.如图，二次函数y=ax2-2ax+c(a,c均为常数，且a>0)的图象L交y轴于点A(0, -3),点B在L上，且AB∥x轴 (1)求L的对称轴及点B的坐标； (2)当L经过点(-1,3)时： ①求L的解析式； ②M为L上任意一点，其横坐标为m,过点M作MN∥x轴，点N的横坐标为-3m+6. 已知点M与点N不重合，线段MN的长度随m的增大而减小.当MW≤1O,且线段MW 与二次函数y=am-2ax+d-1≤x<)的图象有2个交点时，求m的取值范围： (3)P(x1,y1),Q(x2,2)是L上的两点，若t≤x1≤t+1,当x2≥3时，均有y1≤y2,直 接写出t的取值范围. 6 专项堡升常 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点C(0,-4),交x轴于 A,B两点（点A在点B的左侧），OC=2OB. (1)求a,b满足的数量关系； (2)已知a=0,过点B的直线PB:y=:+(6≠0)交y轴于点E,交抛物线于另一 点P ①若∠PBC=∠ACB,求点P的坐标； ②当k=1时，过直线PB上的一动点M作y轴的平行线交抛物线于点N,直线CM 交抛物线于另一点H,直线HN交y轴于点Q,求OE+OQ的值. 2 B 1参考答案鱼 ②当直线L2过点D(0,14)时，解析式为y= 当小火车从左向右运动时，s1+52+1=180, kx+14. s1=81 将C(-2,-2)代人，得k=8. .s2=180-s1-1=180-8t-1. 综上，k的值为-2或8 .s=s1-s2=8t-(180-81-l)=16t-180+1. 31-25<k<3且k40 ∴.s是1的一次函数 3 :当1=8时，s=-32, 3.解：(1)A'(-2,5) ∴.16×8-180+1=-32.解得1=20. (2):直线l:y=mx+n经过点(-2,5)和点 ∴.小火车的长度为20cm. (8,0), (2)小火车从点A到点B用时(180-20)÷8= 「-2m+n=5解得 m=- 20(s). 2 l8m+n=0. ,小火车的整个运动过程用时54s,当小火车 ln=4. 右端到达点B时，小火车停顿2s, 直线1的解析式为y=-2x+4, ∴.小火车从点B到返回点A用时54-20- 2=32(s). (3)①令y=-7+4=2,解得x=4, ∴.小火车返回的速度是(180-20)÷32= ∴点B横坐标的最小值为4. 5(cm/s). :直线1经过点(8,0)， 当22≤1≤54时，s2=5(t-22)=51-110, 点B横坐标的最大值为8+1=9。 ∴.31=180-20-s2=270-51. ∴.点B横坐标的最大值比最小值大9-4=5. ∴.s=1-2=270-5t-(51-110)=-10t+ ②-≤m≤- 380. ,∴.小火车从点B到点A的运动过程中，s与 专项二实际问题与一次函数 的函数解析式为s=-10t+380(22≤t≤54). 1.解：(1)设yz与t之间的函数关系式是yz= (3)分两种情况讨论： H+b(k≠0) 当0≤1≤20时，16t-160=40,解得1=12.5. r5k+b=0, k=120, 当22≤1≤54时，-101+380=40，解得1=34. 由题意，得 18k+b=360. 解得 b=-600. 综上，当s=40时，1的值为12.5或34. .yz与t之间的函数关系式是yz=120t (4)s的最小值为64. 600(5≤1≤8). 专项三二次函数的图象和性质 (2)由题图可得，甲加工零件的速度为120÷ 1.解：(1)b=2,c=3. 3=40(个/时)， (2)如图1，过点P作PE⊥AB于点E,过点D ∴.a=120+40×(8-4)=280. 作DF⊥EP交EP的延长线于点F, a的实际意义是：当甲加工8小时时，一共加 工了280个零件 (3)由题意，得120+40(1-4)+(120 600)=480. 解得t=7. 答：甲组加工7小时时，甲、乙两组加工零件的 总数为480个 2.解：(1)设小火车的长为lcm. 图1 ·29· 中考模拟卷数学 ∴.∠PEA=∠F=90° 当0<d<?时，m的值有3个，故点P有3个： ∴.∠PAE+∠APE=90°. .PD⊥PA 当d=?时，m的值有2个，故点P有2个： ∴.∠DPF+∠APE=90. ∴.∠PAE=∠DPF 当？<d<4时，m的值只有1个，故点P只有 ,PA=PD.∴.△PAE≌△DPF(AAS). 1个. ∴.PE=DF P(m,-m2+2m+3), 2.解：(1)儿的对称轴为直线x=-,20=1. 2a ∴.点D的横坐标为m-(-m2+2m+3)= 点A,B在L上，且AB∥x轴， m2-m-3. .点A(0,-3),B关于直线x=1对称 :直线l:x=1,点D在直线I上， .B(2,-3) ∴.m2-m-3=1,且1<m<3. (2)①将点(0，-3)，(-1,3)分别代入y= m=1+7 ax2-2ax +c, 2 (3)①抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, 得3， la+2a+c=3. 解得=2， c=-3. 当x=0时，y=3,即C(0,3) .L的解析式为y=2x2-4x-3. 设直线BC的解析式为y=x+b,: 得3， ②当点M在点N的右侧时， k=-1, 解得{ 3 3k+b,=0.lb,=3. m>-3m+6.解得m>2 ∴.直线BC的解析式为y=-x+3. 此时MN=m-(-3m+6)=4m-6. 当y=-x+3=-m2+2m+3时，x=m2- 2m, 当m>号时，线段N的长度随m的增大而 即Q(m2-2m,-m2+2m+3). 增大，不符合题意，舍去 当-1<m<0时，点P在点Q的左侧， 当点M在点N的左侧时， d PQ =m2-2m-m =m2 -3m. 当0<m<3时，点P在点Q的右侧， m<-3m+6解得m<号 d=PQ=m-(m2-2m)=-m2+3m. 此时MN=(-3m+6)-m=-4m+6. rm2-3m(-1<m<0), 综上，d= 当m<时，线段MN的长度随m的增大而 -m2+3m(0<m<3). 减小，符合题意 ②如图2，绘制d= m-3m(-1<m<0)的 -m2+3m(0<m<3） 又.MN≤10，即-4m+6≤10.解得m≥-1. 函数图象。 .-1≤m<2 d (-1,4) 直线x=弓关于直线：=1对称的直线为 1 x2 如图1，当-1≤m≤时，线段MN与二次函 -10 图2 数y=2x-4x-3(-1≤x<）的图象有1个 ·30· 参考答案鱼 交点： 令y=2+-4=0. 如图2，当)<m<1时，线段N与二次函数 得x1=2(舍去)，x2=-4. y=2x-4-3(-1≤x<)的图象有2个 ∴.A(-4,0) 如图，连接AC,BC,过点C作CD⊥BC,使CD= 交点； BC,连接BD交y轴于点K,过点K作K1 如图3，当1≤m<时，线段MN与二次函数 BD,使KF=BK,作直线BF交抛物线于另一 y=2x2-4-3(-1≤x<)的图象有1个 点P,过点F作FG⊥y轴于点G 41 交点 综上，当线段MN与二次函数y=2x2-4x-3 (-1≤x<)的图象有2个交点时，m的取值 范围为对<m<1. Bc=2,tan∠BC0=OB-1 tan∠DBC=CD-1 0C=2 ∴.tan∠DBC=tan∠BCO. ∴.∠DBC=∠BCO..BK=CK. 在Rt△BK0中，OK2+OB2=BK2, .0K2+22=(4-0K)2. 六0K=2k=0K 21 KF=BK,∠BKF=90°，∠KBF=45 图1 图2 图3 .0A=0C,∠A0C=90°，∴.∠AC0=45°. (3)1的取值范围为-1≤1≤2. .∠KBF=∠ACO. 3.解：(1)：C(0,-4),∴.0C=4. ∴.∠KBF+∠DBC=∠ACO+∠BCO. 即∠PBC=∠ACB. .0B=20C=2..B(2,0). ,∠KGF=∠BOK=∠BKF=90°， :点C(0,-4)在抛物线y=ax2+bx+c上， ∴.∠FKG+∠BKO=∠BKO+∠KBO=90°. .c=-4.∴.y=ax2+bx-4. ∴.∠FKG=∠KBO. 又：点B(2,0)在抛物线y=ax2+bx-4上， ∴.△KFG≌△BKO(AAS). .a×22+b×2-4=0. FG=0K=号KG=0B=2 ∴.2a+b=2. 0G=KG-0K= 2 (2)① 2a+b=2,lb=1. -2》 y=7x2+x-4 把B2.0).(-号代入y=+, ·31 中考模拟卷数学 2k+1=0. k= ∴.消防员第一次灭火时水流所在的抛物线的 7 得 解得 解析式为y=- 32 1 8x+3x+10. 2 2 = (2)不能 2 .直线PB的解析式为y=- 7t+ 7 理由如下： 依题意，得消防员第二次灭火时水流所在的抛 2 令2+x-4=- 7t+ 71 物线是第一次灭火时水流所在的抛物线向左 解得=2（舍去），6=-30 平移2个单位长度得到， 7 ∴.消防员第二次灭火时水流所在的抛物线的解 当x=9时y=7×(-9》+号特 析式为y=- 8(x-4+2)2+16=- 8(x 川-9特 2)2+16. 2设，2+s-4, 当x=0时，y=- 8(x-2)2+16=14.5≠15. ∴.消防员第二次灭火时水流所在的抛物线不 直线CH的解析式为y=(分+小-4。 能到达点B. (3)1的值为8 令x+1=(分+小-4，得2=1+4 2.解：(1)抛物线的顶点A(1,1.25), 六25·x=1+4. ∴.可设抛物线的函数解析式为y=m(x-1)2+ 1.25 设直线HN的解析式为y=mx+n 把(0,0)代入，得0=m×(0-1)2+1.25. 令mr+n=+-4, 解得m=-1.25. ∴.抛物线的函数解析式为y=-1.25(x 得+(1-m)x-a-4=0, 1)2+1.25. (2)该运动员此次跳水失误了· ∴.8·xw=-8-2n 2·w=-4-n 理由如下：由题意，得运动员在空中调整好入 MN∥y轴，∴.xw=xw 水姿势时的点的横坐标为-1.5+5=3.5. .1+4=-4-n.∴.-t-n=8 当x=3.5时， 0E=-t,0Q=-n,∴.0E+0Q=8. y=-1.25×(3.5-1)2+1.25=-105 专项四实际问题与二次函数 16 1.解：(1)依题意，得抛物线的顶点坐标为 ·、105 -(-102<5 (4,16), ,该运动员此次跳水失误了 :设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+16 (3),EM=10.5m.EN=13.5m,E(-1.5, (a≠0) -10), 将点A(0,10)代入，得10=a(0-4)2+16. ∴.M(9,-10),N(12,-10) 解得a=-3 -8 令y=-1.25(x-1)2+1.25=-10, 解得x1=-2(舍去)，x2=4.∴.B(4,-10) .y=-2(x=4)2+16=-8x2+3x+10 ∴.当入水后的抛物线过点M(9,-10)时 ·32·