专题14 函数不动点问题的综合应用（4大题型）-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题14 函数不动点问题的综合应用 【题型归纳】 题型一：函数不动点的判断 题型二：求参数的范围 题型三：利用函数不动点的性质解题 题型四：判断变量的范围问题 【方法技巧总结】 函数不动点指满足​的点，即函数图像与直线交点的横坐标。 解题时可分三步：①转化方程：将原问题转化为的形式； ②求解方法：利用因式分解、图像法或迭代法求解，如高次方程可通过拆分项或换元降次处理； ③验证解：检查解是否符合定义域等条件。 关键技巧与注意事项： 单调性等价性：若函数单调递增，则不动点与稳定点（满足的点）完全等价。 【典型例题】 题型一：函数不动点的判断 【典例1-1】对于连续函数，若，则称为的不动点.下列所给的函数中，没有不动点的是（ ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·安徽池州·模拟预测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·湖南·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L·E·J·Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·陕西西安·三模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：求参数的范围 【典例2-1】对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为函数的“稳定点”．已知的稳定点都是它的不动点，则实数的范围是（    ）． A． B． C． D． 【典例2-2】给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点;若实数使得，则称为函数的次不动点.若函数在区间上有且仅有一个不动点和一个次不动点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】对于函数，若存在，则称为的不动点．若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】对于函数，若存在，则称为的不动点.若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：利用函数不动点的性质解题 【典例3-1】（2025·广西柳州·模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·安徽阜阳·二模）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·河南郑州·一模）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·河北衡水·一模）设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型四：判断变量的范围问题 【典例4-1】（多选题）（2025·高三·湖南娄底·期末）已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·山东菏泽·一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石. 简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.设函数，.若在区间上存在不动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．对于连续函数，若，则称为的不动点．下列所给的函数中，没有不动点的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南开封·一模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．对于函数，把满足的实数叫做函数的不动点.设，若有两个不动点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）设函数，若曲线上存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点，则下列说法正确的（    ） A．为“不动点”函数 B．的不动点为 C．恰好有两个不动点 D．若定义在上仅有一个不动点的函数满足，则 8．（多选题）已知函数，若存在，使得，则称为函数的不动点.下列函数中，有且只有一个不动点的函数为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点.则下列结论正确的是（    ） A．函数有且只有1个不动点 B．函数有且只有1个不动点 C．函数有2个不动点 D．函数有3个不动点 10．对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围是 ． 11．对函数，满足的实数称为的不动点设，其中且有下列四个结论： ①当时，函数仅有一个不动点； ②当时，函数仅有一个不动点； ③当时函数有两个不动点； ④当时函数有两个不动点. 其中，所有正确结论的序号是 . 12．对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．若，函数总存在不动点，则实数的取值范围是 ；若，且，则实数的取值范围是 13．（2025·高三·上海·开学考试）设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是 ． 14．设函数（，为自然对数的底数）.若曲线 上存在使得，则的取值范围是 . 15．设函数，若曲线上存在点,使得成立，求实数的取值范围为 . 16．设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 函数不动点问题的综合应用 【题型归纳】 题型一：函数不动点的判断 题型二：求参数的范围 题型三：利用函数不动点的性质解题 题型四：判断变量的范围问题 【方法技巧总结】 函数不动点指满足​的点，即函数图像与直线交点的横坐标。 解题时可分三步：①转化方程：将原问题转化为的形式； ②求解方法：利用因式分解、图像法或迭代法求解，如高次方程可通过拆分项或换元降次处理； ③验证解：检查解是否符合定义域等条件。 关键技巧与注意事项： 单调性等价性：若函数单调递增，则不动点与稳定点（满足的点）完全等价。 【典型例题】 题型一：函数不动点的判断 【典例1-1】对于连续函数，若，则称为的不动点.下列所给的函数中，没有不动点的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得.令. 对于选项A，，则. 令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，即有不动点1，故选项A错误； 对于选项B，， 则. 令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 又，且当时，， ∴由零点存在性定理可知：存在，使， 即有不动点，故选项B错误； 对于选项C，，则. 令，解得；令，解得或， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 又，且当时，， ∴由零点存在性定理可知：存在，使， 即有不动点，故选项C错误； 对于选项D，，则. 令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，故函数无不动点，故选项D正确. 故选：D. 【典例1-2】（2025·安徽池州·模拟预测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，令，即． 因为满足，所以在区间上单调递增， 所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误； 对于B，令，即． 易判断在区间上单调递增， 所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误； 对于C，由，得， 易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点； 当时，单调递减，且； 当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点． 所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误； 对于D，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点， 即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确． 故选：D. 【变式1-1】（2025·湖南·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，令，即． 因为均为的单调递增函数，所以在区间上单调递增，所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误； 对于B，令，即． 由于均为的单调递增函数，所以在区间上单调递增，所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误； 对于C，由，得， 易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点； 当时，单调递减，且； 当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点． 所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误； 对于D，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点， 即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确． 故选：D. 【变式1-2】在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L·E·J·Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项，，方程无解，则不是“不动点”函数，A错误； B选项，，方程判别式，方程无解， 则不是“不动点”函数，B错误； C选项，，方程无解，则不是“不动点”函数，C错误； D选项，，方程有两解，则是“不动点”函数，D正确. 故选：D 【变式1-3】（2025·陕西西安·三模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：令，即，令， 则，令，得，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减， 所以，所以方程无根，所以函数不是“不动点”函数，故A不正确； 对于B：令，即， 令，函数的图象连续不断，且，由零点存在性定理知，函数在上有零点，即有根，所以函数是“不动点”函数，故B正确； 对于C：令，即，令，则，得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以，所以方程无根，所以函数不是“不动点”函数，故C不正确； 对于D：令，即，而，所以方程无根，所以函数不是“不动点”函数，故D不正确； 故选：B 题型二：求参数的范围 【典例2-1】对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为函数的“稳定点”．已知的稳定点都是它的不动点，则实数的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为函数的“不动点”， 则方程，即有实根， 则，解得， 方程可化为， 即， 分解因式得， 即， 因为函数的稳定点都是它的不动点， 上述满足上述方程的，都满足， 即满足， 所以方程无实根或的根都是的根， 当方程无实根，，解得； 当方程的根都是的根，由韦达定理可得两方程不能完全同解，所以，，此时方程的根为，也是方程的一个根，满足题意； 综上， 故选：D. 【典例2-2】给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点;若实数使得，则称为函数的次不动点.若函数在区间上有且仅有一个不动点和一个次不动点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数在区间上有且仅有一个不动点和一个次不动点， 所以以及，都有且仅有1个零点， （1）由，即，即在有且仅有1个零点， 函数是上的增函数， 所以有，即， （2）由，即， 即在有且仅有1个零点， 函数在上单调递增， 则，即， 综合（1）、（2）可知，， 故选：A 【变式2-1】对于函数，若存在，则称为的不动点．若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数恒有两个不动点，即恒有两个不等实根， 显然，整理得， 所以，即，对恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 【变式2-2】对于函数，若存在，则称为的不动点.若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数恒有两个相异的不动点，即恒有两个不等实根， 整理得， 所以，即，对恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【变式2-3】在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得：在上恰有两个解， 即在区间上恰有两个零点， 所以或， 解得或. 故选：C. 题型三：利用函数不动点的性质解题 【典例3-1】（2025·广西柳州·模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意， 存在，使成立， 即存在，使成立， 所以，即， 所以 所以存在，使与有交点， 对，，求导得， 设，则， 令，即；令，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 又， ， 要使与有交点，则， 所以的取值范围是. 故选：A. 【典例3-2】（2025·安徽阜阳·二模）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ,所以 在 上有解 因为 ,( 易证 ) ,所以函数 在 上单调递增,因此由得 在 上有解，即 ,因为 ，选C. 【变式3-1】（2025·河南郑州·一模）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵曲线上存在点 ∴ 函数（）在上是增函数，根据单调性可证    即在上有解，分离参数，，，根据是增函数可知，只需故选A. 【变式3-2】设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：由题意可得， ， 而由可知， 当时，＝为增函数， ∴时，． ∴ 不存在使成立，故A，B错； 当时，＝， 当时，只有时才有意义，而，故C错．故选D． 法二：显然，函数是增函数，，由题意可得， ，而由可知， 于是，问题转化为在上有解． 由，得，分离变量，得， 因为，， 所以，函数在上是增函数，于是有， 即，应选D． 【变式3-3】（2025·河北衡水·一模）设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】， 当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 即函数的取值范围为，， 若上存在点，使得成立， 则，. 又在定义域上单调递增. 所以假设，则（c），不满足. 同理假设，也不满足. 综上可得：.，. 函数，的定义域为， 等价为，在，上有解 即平方得， 则， 设，则， 由得，此时函数单调递增， 由得，此时函数单调递减， 即当时，函数取得极小值，即（1）， 当时，（e）， 则. 则. 故选：. 题型四：判断变量的范围问题 【典例4-1】（多选题）（2025·高三·湖南娄底·期末）已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为在R上的不动点集为， 所以， 即方程在R上存在3个实数根，，， 所以 ， 从而，所以A正确，B错误； 令，则， 当和时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则，解得. 因为， 所以C错误，D正确. 故选：AD. 【典例4-2】（2025·山东菏泽·一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得，，则， 且，所以. 又，. 令，，则恒成立， 所以，在上单调递增，所以，所以. 所以，，即. 令，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减，且， 根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以在上单调递减. 又，，所以. 因为在上单调递减，，所以. 又，所以，即. 令，，则恒成立， 所以，在上单调递减. 又，， 所以. 综上可得，. 故选：C. 【过关测试】 1．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石. 简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，令，得，无解， 所以函数不是“不动点”函数，故A不正确； 对于B，令，不难看出是该方程的根， 所以是“不动点”函数，故B正确； 对于C，令，即. 令，则， 令，解得, 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以， 所以方程无解， 所以函数不是“不动点”函数，故C不正确； 对于D，令,得， 因为， 所以方程无解， 所以函数不是“不动点”函数，故D不正确. 故选:B. 2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.设函数，.若在区间上存在不动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，在上有解， 即有解， 令，，则， 令函数，， 当时，，所以在上单调递增， ，所以为偶函数， 所以在上单调递减. ，， 故，， 故选：A. 3．对于连续函数，若，则称为的不动点．下列所给的函数中，没有不动点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，令 A选项，，则.在上单调递增，在上单调递减，则，即有不动点1，故A错误； B选项，，则.在上单调递增，在上单调递减，则，即有不动点0，故B错误； C选项，.则. 在上单调递增， 或在上单调递减，注意到，时，，则 存在使，即有不动点，故C错误； D选项，，则，得在上单调递减，又，则此时方程无解，即函数无不动点，故D正确. 故选：D 4．（2025·河南开封·一模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】题意得若函数为不动点函数，则满足 ，即，即 设， 令，解得 当时，，所以在上为增函数 当时，，所以在上为减函数 所以 当时， 当时， 所以的图象为： 要想成立，则与有交点，所以， 对应区间为 故选：B. 5．对于函数，把满足的实数叫做函数的不动点.设，若有两个不动点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，令，则， 得在单调递增，得在和单调递减， 所以的极小值为，图象如图所示，由图可知，时，有两个不动点， 故选：B. 6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）设函数，若曲线上存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，即， 所以由题意存在使得成立， 即在区间上有解，也即方程有解， 所以问题转化为方程有解， 令， 则， 故函数单调递增，又， 所以，. 故选：D． 7．（多选题）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点，则下列说法正确的（    ） A．为“不动点”函数 B．的不动点为 C．恰好有两个不动点 D．若定义在上仅有一个不动点的函数满足，则 【答案】AD 【解析】对于A，由，得，而，解得，因此为“不动点”函数，A正确； 对于B，由，得，即，即，解得， 经检验符合题意，因此的不动点为，B错误； 对于C，当时，，由，得，解得； 当时，，由，得，无解， 因此函数只有一个不动点，C错误； 对于D，设该不动点为，即，由， 得，即，于是，解得或， 当时，，由，得，解得或，此时有两个不动点，不符合题意， 当时，，由，得，解得，只有一个不动点，符合题意， 因此，D正确. 故选：AD 8．（多选题）已知函数，若存在，使得，则称为函数的不动点.下列函数中，有且只有一个不动点的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，令可得，， 所以，故， 所以函数只有一个不动点，A正确； 对于B，令可得，， 所以，化简可得， 故，经检验为方程的解， 所以函数只有一个不动点，B正确； 对于C，令可得，， 所以， 不是方程的根， 所以， 方程的解即函数的图象与函数的图象的交点的横坐标， 作函数，的图象如下： 观察图象可得函数的图象与函数的图象有且只有一个交点， 所以只有一个根， 所以函数只有一个不动点，C正确； 对于D，令可得，， 所以，， 方程的解即函数与函数的图象的交点横坐标， 作函数与函数的图象， 观察图象可得两函数的图象有两个交点，即方程有两个解， 所以函数有两个不动点，D错误； 故选：ABC. 9．（多选题）对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点.则下列结论正确的是（    ） A．函数有且只有1个不动点 B．函数有且只有1个不动点 C．函数有2个不动点 D．函数有3个不动点 【答案】BCD 【解析】对于选项A，因为，由，解得或，所以有两上不动点，所以选项A错误， 对于选项B，因为，由，得到， 令，易知在区间上单调递增，又当时，，所以选项B正确， 对于选项C，因为，由，得到， 当时，，当时，，所以和是的两个不动点， 在同一坐标系中，作出的图象， 由图知，只有两个不动点，所以选项C正确， 对于选项D，因为，由， 令，在同一坐标系中，作出的图象， 由图知，与有三个交点，即有三个不动点，所以选项D正确， 故选：BCD. 10．对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】依题意在上无实数根，即在上无实数根， 即在上无实数根， 令，，则在上单调递增， 又，，即， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 11．对函数，满足的实数称为的不动点设，其中且有下列四个结论： ①当时，函数仅有一个不动点； ②当时，函数仅有一个不动点； ③当时函数有两个不动点； ④当时函数有两个不动点. 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【解析】令，得，即，所以，令， ，令得， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 所以， 当趋近于0时，趋近于；趋近于时，趋近于0， 当，即时，函数与的图象只有一个交点， 所以方程只有一个根，即方程只有一个根， 所以函数只有一个不动点，故正确； 当，即时，函数与的图象只有一个交点， 所以方程只有一个根，即方程只有一个根， 所以函数只有一个不动点，故正确； 当，即时，函数与的图象有两个交点， 所以方程有两个根，即方程有两个根，所以函数有两个不动点； 当，即时，函数与的图象没有交点， 所以方程没有根，即方程没有根，所以函数没有不动点； 又由可知，当，有一个不动点； 所以当时，可能有两个不动点，也可能有一个不动点，也可能没有不动点，故错误； 当时，，函数与的图象没有交点， 所以方程没有根，即方程没有根， 所以函数没有不动点，故错误； 故答案为：. 12．对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．若，函数总存在不动点，则实数的取值范围是 ；若，且，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】由，函数总存在不动点，得有解， 则方程，即有实数解， 因此，即恒成立， 而恒成立，当且仅当时取等号，因此，解得， 所以实数的取值范围为； 集合中的元素是方程，即的实根， 由，得或，解得， 集合中元素是方程，即的实根， 由知，方程左边含有一个因式， 即方程化为：， 若，则方程要么没有实根，要么实根是方程的根， 若没有实根，当时，方程为，不成立，此时没有实数根； 当时，，解得，此时且； 若有实根且其实根是的实根， 由，得，联立消去，解得， 因此，解得，则， 所以的取值范围为. 故答案为：； 13．（2025·高三·上海·开学考试）设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是 ． 【答案】． 【解析】由曲线上存在点，使得，即， 下面证明，因为在定义域上严格递增， 假设，则， 不满足，同理，不满足， 所以，那么函数， 即函数在有解，所以， 即，，令， 则， ，，单调递增， 又，所以，所以a的取值范围是． 故答案为： 14．设函数（，为自然对数的底数）.若曲线 上存在使得，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由已知可得，且， 由已知存在，使得，则， 所以，存在，使得，可得， 因为函数在上单调递增，则，则. 易知函数在上单调递增. 若，则，不合乎题意； 若，则，不合乎题意； 若，则，合乎题意. 故存在，使得，可得，则， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 15．设函数，若曲线上存在点,使得成立，求实数的取值范围为 . 【答案】, 【解析】， 当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 即函数的取值范围为,， 若上存在点,使得成立，则,. 又在定义域上单调递增. 假设，则，不满足； 假设，也不满足； 综上可得：，,. 函数有解，等价为，在,上有解，即平方得，则， 设，则， 由得，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减， 即当时，函数取得极小值，即， 当时，， 则.则， 故实数的取值范围为,. 故答案为：,. 16．设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为在曲线上，，∴. 由于在定义域内是增函数， 所以若，则，与矛盾， 若，则，与矛盾，所以， 则问题转化为在内有解，即方程在内有解， 得方程在内有解，令， 则，∴时，， 即在上单调递增，所以. 故答案为： 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$