专题03 函数的周期性与对称性的综合灵活应用-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题03 函数的周期性与对称性的综合灵活应用 【方法技巧总结】 周期性技巧 1、利用定义求周期：对于形如或等式，通过连续代入T，推导出的形式，从而确定最小正周期nT． 2、结合图象分析：画出函数的大致图象，观察其重复出现的模式，特别是波峰、波谷或零点的位置，以直观判断周期． 对称性技巧 1、轴对称应用：若函数关于对称，则．利用此性质，可将复杂函数值转化为已知区间内的函数值进行计算． 2、中心对称应用：若函数关于点(a，b)对称，则．此性质常用于求解函数值或证明等式，通过构造对称点简化问题． 综上，掌握周期性、对称性的定义及性质，灵活运用这些技巧，能有效解决函数压轴题． 【典型例题】 例1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数有，，则函数关于直线对称， 由，则函数关于点对称， 所以，所以得， 则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数， 因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图： 由对称性可得， 所以 ，故A错误； 由于，，所以，故B错误； 又，，所以，故C正确； ，且， 因为，所以，故， 所以，故D错误. 故选：C. 例2．（2025·四川·模拟预测）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A．4040 B．4044 C．4046 D．4048 【答案】D 【解析】由为奇函数，得，即， 由为偶函数，则，即，即， 则，即，于是， 因此，函数是周期为4的函数， 由，，得， 所以. 故选：D 例3．（2025·高三·河南周口·期末）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则且，可得，A错； 令，则，可得，即，B错； 由上分析，，，则， 所以，C对； 当且时，，所以，D错. 故选：C 例4．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，，设，， 则，，，，， 所以函数的周期为6， 故，，，． 由，则，即， 由，则，即， 所以，可得无法确定． 所以，无法判断． 综上所述，． 故选：B. 例5．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，令，得，故A正确；对于B，由，得的图象关于直线对称，故B错误； 对于C，把中的替换为（关键：对任意实数成立，则对任意也成立），得，故C正确； 对于D，因为是上的奇函数，所以，，所以， 所以，所以是以4为周期的函数， 所以，，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 法二：由，得函数的图象关于直线对称， 由为上的奇函数，得，，，，所以是以4为周期的函数， 不妨设，，由对称性得，又， 所以，且，解得，，所以，； 当时，，由得. 对于A，，故A正确； 对于B，，从而的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，等价于的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，， 则结合解析式得， 从而，故D正确. 故选：ACD. 例6．（多选题）（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ABC 【解析】因为与均为奇函数，所以， ，即， 令有：， 由， 所以，故A正确； 对求导有， 即的图象关于直线对称，故B正确； 由， 对求导有，即为偶函数， 即得， 所以的周期为2，所以，故C正确； 因为的周期为2，所以， 所以，故D错误. 故选：ABC 例7．（多选题）（2025·四川绵阳·模拟预测）函数满足，且，，下列说法正确的有（   ） A．为的一个周期 B．为奇函数 C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，当有意义，且，时， 则， 则， . 当时，(无意义)， 可得, 所以, 所以. 当时，, 可得, 综上，总有. 故为的一个周期，故A正确； 对于B，，即，函数关于点对称. 又由为的一个周期，所以， 所以，故为奇函数，故B正确； 对于C，为奇函数，但无法直接判定有意义. 但已知，可得有意义，故有意义，, 所以分母不为零，有意义，从而,即, 所以，故C正确； 对于D，. 因为， ，， 满足题设所有条件，但是不存在（），故D错误. 故选：ABC. 例8．（多选题）（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 【答案】ACD 【解析】A选项，中，令得， 又，故，解得， 中，令得，故，A正确； D选项，中，令得 ，即，， 中，令得 ，即， 因为，所以，故， 故的一个周期为1， 故，所以，故为偶函数，D正确； B选项，中，令得 ， 由于，，故， 由于的一个周期为1，故， 所以，解得， 中，令得 ， 又，故，， 所以，故， 故不存在，，B错误； 由上可知，，故的图象关于点对称，C正确. 故选：ACD 例9．（多选题）（2025·辽宁辽阳·一模）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BC 【解析】对于A，令，得，所以， 令，得，即，所以为偶函数， 所以，则为奇函数，故A错误； 对于B，令，，即， 所以4是的一个周期，8也是的一个周期，故B正确； 对于C，令，， 所以，所以关于对称，且， 又周期为4，所以，故C正确； 对于D，令，得，即， 令，，得，所以， 所以， 所以，故D错误； 故选：BC． 例10．（2025·青海海南·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，则 ． 【答案】1 【解析】令，得， 令，得，所以． 将代入，可得． 令，得， 又因为恒成立，且不恒为， 所以，从而为奇函数， 又由，可得， 所以，所以为的周期， 于是， 故答案为：. 例11．（2025·河北沧州·一模）已知函数满足：，，，若，则 . 【答案】2024 【解析】依题意，因为，则， 令，则，因为，所以， 又因为，则，即， 令，则，即， 令，则，所以，故得， 又 ； 又 ， 所以，即. 故答案为：2024. 例12．（2025·高三·安徽·阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ． 【答案】 【解析】由为偶函数，，即， 由为奇函数，，即， 所以，即，即， 所以，即是周期为4的函数， 所以，又， 所以. 故答案为： 例13．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知函数的定义域为R，．若函数为奇函数，为偶函数，则 ． 【答案】2 【解析】因为函数为奇函数，为偶函数， 所以，， 则，所以为周期函数，且周期为4， 因为，所以为周期函数，且周期为4， 所以． 故答案为：2 例14．（2025·高三·山东青岛·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则 ． 【答案】 【解析】令，可知， 又因为，可得，所以； 令，可得， 所以， 因为是奇函数，可知为偶函数， 因此； 由两式相减可得； 即， 可得； 所以，即函数的周期为3，所以的周期也为3； 可得 . 故答案为： 例15．（2025·高三·浙江·开学考试）已知定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则 . 【答案】1 【解析】因为函数是偶函数， 所以， 因为函数是奇函数， 所以，即， 取可得， 令可得， 令可得，， 所以， ， 所以， 所以函数为周期函数，是该函数的一个周期， 所以. 故答案为：. 例16．（2025·高三·江西·期中）已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ． 【答案】2 【解析】因为为偶函数，则，即， 又因为为偶函数，则. 由，求导得，即， 所以，则， 所以是以4为周期的周期函数. 由，可得，即， 由，得， 所以， 所以. 故答案为：2 例17．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的前项和为，满足，函数定义域为R，对任意都有，若，则的值为 . 【答案】/0.5 【解析】因为， 当时，，， ，则， 所以， 所以是等比数列，公比为，， 所以， ，则， 所以，即是周期函数，且周期为4， ，则， ， 上述展开式中，从第二项开始每一项都是8的倍数，也是4的倍数， 所以， 故答案为：． 【过关测试】 1．（2025·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．2025 【答案】B 【解析】由，得，又因为， 所以，故，， 所以，所以是以4为周期的周期函数， 由，得，所以， 所以也是以4为周期的周期函数， 因为当时，，所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 又因为，所以，所以. 故选：B. 2．（2025·山西·一模）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A．0 B．2025 C． D．1013 【答案】D 【解析】由得，且函数关于点对称； 由得. 又由得， 所以，得函数是周期为2的函数， 当时，，故. 故选：D 3．（2025·陕西西安·二模）已知是定义在R上的奇函数且满足，当时，．若，则实数a的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 又因为，所以函数的图象关于直线对称， 且，所以函数是以4为周期的周期函数. 因为当时，，所以函数在上单调递增. 函数的草图如下： 根据图象可知，若，则，， 解得，. 所以实数的取值范围是：，. 故选：D 4．（2025·安徽蚌埠·二模）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，令，得； 令，得），所以； 用替换，可得，所以， 所以函数为偶函数.令，得， 所以； 用替换，可得， 所以，所以， 所以， 即.所以， 故是以6为周期的周期函数，又， 所以. 故选：C. 5．（2025·贵州铜仁·模拟预测）设函数的定义域为，且，若，且不恒等于0，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由， 令则； 所以可得：， 也即， 令，有， 即， 所以， 两式相加得到：，即 所以， 所以的周期为， 令，有，则或． 若，则令，有，得，与已知矛盾， 所以． 令，有，则，得． 令，，有，得． 所以， 故选：A 6．（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题故．又，，故． 结合周期性可知， 故． 故选：C 7．（多选题）（2025·青海海东·二模）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BC 【解析】对于A，令，得，则， 令，得，函数为偶函数， 则，因此函数为奇函数，A错误； 对于B，令，， 于是，函数周期为4，则8也为函数的一个周期，B正确； 对于C，由选项B知，函数的图象关于对称， 又周期为4，，因此的图象关于点对称，C正确； 对于D，由，得， 所以，D错误. 故选：BC 8．（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数为定义在上的连续函数，为的导函数，，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以的图象关于直线对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增，故A正确； 对两边求导得，令，得，故B错误； 对于，当时，因为在上单调递减，所以，不符合题意； 当2时，因为在上单调递增，所以，且； 当时，因为，所以，所以，所以，由，可得， 因为，所以，又在上单调递增，所以，所以，故C正确； 因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，， 当时，，且，所以，，所以对，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选题）（2025·河南郑州·二模）已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（   ） A． B．关于点中心对称 C．关于轴对称 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由可得； 对于B，由可得，即， 所以关于点中心对称，故B正确； 对于C，由可得，所以关于轴对称，故C错误； 对于D，由中令可得， 设，① 又，② 由①②可得， 所以，即， 所以，所以 所以，故D正确； 故选：ABD 10．（多选题）（2025·高三·云南昭通·阶段练习）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．曲线是中心对称图形 D．若，且的最小值是0 【答案】ABC 【解析】对于A，由函数解析式可得，解得，因此函数的定义域为，显然A正确； 对于B，当时， 易知函数单调递增，单调递减，所以函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，令，， 因此的图象关于点中心对称， 易知满足， 可得的图象关于点中心对称，可得C正确； 对于D，时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故， 而成立，故，即，所以的最小值为，即D错误. 故选：ABC. 11．（多选题）（2025·重庆·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 【答案】BCD 【解析】因为函数是定义域为的奇函数，，且，， 对于A选项，因为，则，A错； 对于B选项，由可得， 整理可得， 当时，则有，即， 当时，，也满足， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为是定义域为的奇函数， 且，所以，函数是周期为的周期函数，C对； 对于D选项，因为函数是定义域为的奇函数， 则，，，， ，所以，， 因为，则，D对. 故选：BCD. 12．（多选题）（2025·四川·一模）已知函数满足：，且，那么（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A，令，， 因为，所以，故A正确； 设，则 显然满足条件，但是，故B错误； 对于C，令， ， 所以， 又，所以为偶函数， 即，故C正确； 对于D，设，类似A中推导，可知满足题设条件， 但最小正周期是，故D错误， 故选：AC 13．（多选题）（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 【答案】ACD 【解析】为奇函数，即其函数图象关于点中心对称， 将其向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到函数的图象， 则的图象关于点中心对称，即①，故选项A正确； 选项B错误，理由如下：由②可得，，则，若B选项正确，则，矛盾，故选项B错误； ①②两式相加可得，，则 ，， 则 ，故选项C正确； 对①②两式分别求导得，③，④， ③④两式联立可得，⑤，再将替换为， 得⑥，⑤⑥两式联立可得，， 则的周期为4，故， 在④式中令得，，在③式中令得，，故，选项D正确. 故选：ACD. 14．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若是奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，令，则， 即，即， 又是奇函数，即，即， 则， 故A错误； 又，由，令，则， 由，令，则， 令，则，故B正确； 由，两边求导可得，即，故C正确； 由A可知，，两边求导可得， 即，所以是周期为的函数， 又，两边求导可得， 即，令，则，又， 则，令，则，又， 所以，即， 所以，故D正确； 故选：BCD 15．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的为（    ） A．4是的一个周期 B．是偶函数 C． D． 【答案】ABD 【解析】因为函数的图象关于点对称， 所以，即， 用代换上式中的可得，所以关于点对称， 因为函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称，即， 又， 所以，所以， 所以，所以， 所以函数的周期为，故正确； 因为，所以， 因为函数的图象关于直线对称，所以， 所以，所以是偶函数，故正确； 因为，所以， 即，故正确； 因为关于点对称，， 因为，令可得， 又关于直线对称，所以， 所以， 所以，故不正确. 故选：. 16．（多选题）（2025·河北保定·模拟预测）已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B．4为的一个周期 C． D． 【答案】ABD 【解析】在中用代替， 得，即， 所以，则的图象关于点对称，A正确； 又，且为上的偶函数， 所以，用代替得，2）， 所以，所以为周期函数，且4为其一个周期，B正确； 由得，，， 所以， 所以C错误； 由得，，且， 所以，D正确. 故选：ABD. 17．（多选题）（2025·高三·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 【答案】AB 【解析】对于A选项，设，因为函数的图象关于点对称， 即函数的的图象关于点对称，则， 所以，令，可得， 可得，所以的图象关于点对称，则A正确． 对于B选项，由已知得， 设，则， 所以，所以是偶函数，则B正确； 对于C选项，若函数是奇函数，则，可得， 即函数的图象关于点对称， 但函数的图象关于点对称，题中条件无法推出函数的图象关于点对称，则C错误； 对于D选项，若函数的周期为，则， 事实上，在等式中，令，则，则，矛盾，故D错误. 故选：AB. 18．（2025·江苏南通·一模）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则 ． 【答案】3 【解析】因为是定义域为的偶函数，所以，即. 两边求导，可得：，可得. 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替可得. 将代入中，可得 ①. 用代替可得 ②. 由②-①可得：. 所以是周期为的周期函数. 所以. 在中，令，可得. 又因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得， 所以，即. 故答案为：3. 19．（2025·高三·海南·开学考试）若函数定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，则 ． 【答案】 【解析】因为函数定义域为，为偶函数， 所以， 用替换可得， 因为的图象关于点成中心对称， 所以的图象关于原点成中心对称， 所以， 所以， 又，， 所以，故， 所以， 所以函数为周期函数，周期为， 由，可得，，， 又，故， 所以， 所以，， ，， 所以. 故答案为：. 20．（2025·高三·河南周口·开学考试）已知，函数，若，则 ． 【答案】1 【解析】令，可得，所以， 所以，又， 所以，则，即， 因为，所以，，经验证满足题设， 所以． 故答案为：1 21．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 . 【答案】5 【解析】函数的图象是中心对称图形，对称中心为. 定义在上的偶函数满足， 则函数有对称轴为轴，对称中心；又当时，， 在同一坐标系在内作出与的图象， 当，， 令， 则，且， 所以存在，使得当时，，单调递增， 所以当时，，即， 结合图象可得，与的图象有5个交点， 又均是与的图象的对称中心， 则两函数所有交点的横坐标之和为5. 故答案为：5 22．（2025·高三·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【解析】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 23．（2025·高一·江西景德镇·期中）已知函数，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 故， 故答案为： 24．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数关于直线对称，则函数的所有零点之和为 ，的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意，函数的定义域为， 由函数关于直线对称，得， 令，则，即， 令，则，即， 联立，解得， 则， 令，解得， 所以函数的所有零点之和为； ， 令，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以时，有最小值，最小值为，则， 所以，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 由，得，解得， 所以复合函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，结合函数的对称性可知，当或时，函数值最小， 即的最小值为. 故答案为：；. 25．（2025·高三·北京丰台·期末）已知函数，，，，则 ；方程的所有实数解的和为 . 【答案】 0 16 【解析】， 而， ，故的对称中心为， 在平面直角坐标系中，画出和在上的图像， 由图象可得的图象在上共有4个不同的交点， 它们的横坐标的和为， 故答案为：. 26．（2025·高三·湖南郴州·期末）已知函数的图象关于直线对称，则 . 【答案】3 【解析】由知，即， 所以函数的定义域为 由函数的图象关于直线对称， 所以，且恒成立， 即， 所以，整理得， 所以，故 故答案为：3 27．（2025·高三·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得， 当时，， ， ， 于是，即，， 所以数列的通项公式为. 故答案为：；. 28．（2025·高三·江苏镇江·期中）定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】关于对称，则 ∴，则关于对称， ， ∴，则． 故答案为：；． 29．（2025·高三·福建福州·期中）若函数的图象关于点成中心对称，则 . 【答案】 【解析】因为的定义域为， 又的图象关于点成中心对称， 所以在函数的图象上取两点，， 则它们关于点对称的点，也在函数的图象上， 所以，即， 解得， 经检验，满足题意，所以. 故答案为：. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的周期性与对称性的综合灵活应用 【方法技巧总结】 周期性技巧 1、利用定义求周期：对于形如或等式，通过连续代入T，推导出的形式，从而确定最小正周期nT． 2、结合图象分析：画出函数的大致图象，观察其重复出现的模式，特别是波峰、波谷或零点的位置，以直观判断周期． 对称性技巧 1、轴对称应用：若函数关于对称，则．利用此性质，可将复杂函数值转化为已知区间内的函数值进行计算． 2、中心对称应用：若函数关于点(a，b)对称，则．此性质常用于求解函数值或证明等式，通过构造对称点简化问题． 综上，掌握周期性、对称性的定义及性质，灵活运用这些技巧，能有效解决函数压轴题． 【典型例题】 例1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·四川·模拟预测）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A．4040 B．4044 C．4046 D．4048 例3．（2025·高三·河南周口·期末）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C． D． 例4．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 例5．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 例6．（多选题）（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 例7．（多选题）（2025·四川绵阳·模拟预测）函数满足，且，，下列说法正确的有（   ） A．为的一个周期 B．为奇函数 C． D． 例8．（多选题）（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 例9．（多选题）（2025·辽宁辽阳·一模）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 例10．（2025·青海海南·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，则 ． 例11．（2025·河北沧州·一模）已知函数满足：，，，若，则 . 例12．（2025·高三·安徽·阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ． 例13．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知函数的定义域为R，．若函数为奇函数，为偶函数，则 ． 例14．（2025·高三·山东青岛·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则 ． 例15．（2025·高三·浙江·开学考试）已知定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则 . 例16．（2025·高三·江西·期中）已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ． 例17．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的前项和为，满足，函数定义域为R，对任意都有，若，则的值为 . 【过关测试】 1．（2025·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．2025 2．（2025·山西·一模）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A．0 B．2025 C． D．1013 3．（2025·陕西西安·二模）已知是定义在R上的奇函数且满足，当时，．若，则实数a的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（2025·安徽蚌埠·二模）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州铜仁·模拟预测）设函数的定义域为，且，若，且不恒等于0，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（多选题）（2025·青海海东·二模）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 8．（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数为定义在上的连续函数，为的导函数，，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B． C．若，则 D． 9．（多选题）（2025·河南郑州·二模）已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（   ） A． B．关于点中心对称 C．关于轴对称 D． 10．（多选题）（2025·高三·云南昭通·阶段练习）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．曲线是中心对称图形 D．若，且的最小值是0 11．（多选题）（2025·重庆·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 12．（多选题）（2025·四川·一模）已知函数满足：，且，那么（   ） A． B． C． D．若，则 13．（多选题）（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 14．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若是奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 15．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的为（    ） A．4是的一个周期 B．是偶函数 C． D． 16．（多选题）（2025·河北保定·模拟预测）已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B．4为的一个周期 C． D． 17．（多选题）（2025·高三·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 18．（2025·江苏南通·一模）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则 ． 19．（2025·高三·海南·开学考试）若函数定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，则 ． 20．（2025·高三·河南周口·开学考试）已知，函数，若，则 ． 21．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 . 22．（2025·高三·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ． 23．（2025·高一·江西景德镇·期中）已知函数，则 . 24．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数关于直线对称，则函数的所有零点之和为 ，的最小值为 . 25．（2025·高三·北京丰台·期末）已知函数，，，，则 ；方程的所有实数解的和为 . 26．（2025·高三·湖南郴州·期末）已知函数的图象关于直线对称，则 . 27．（2025·高三·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 28．（2025·高三·江苏镇江·期中）定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 ． 29．（2025·高三·福建福州·期中）若函数的图象关于点成中心对称，则 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$