专题04 随机变量及其分布（六大题型）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与独立事件 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的均值与方差 题型05二项分布与超几何分布 题型06正态分布 ( 题型01 ) 条件概率与独立事件 1．（23-24高二下·福建厦门·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对立事件概率公式和条件概率公式求得结果； 【详解】， 又，则； 故选：C. 2．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知事件相互独立，且，，那么（    ） A．0.12 B．0.3 C．0.4 D．0.75 【答案】B 【分析】利用两事件独立得到，然后用条件概率的定义即可得到结果. 【详解】由于相互独立，故. 而，故. 故选：B. 3．（23-24高二下·福建泉州·期末）设A，B为随机事件，，则下列能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据，知道有样本点，掌握条件概率、积事件的概率的求法，借助图形来直观的进行判断． 【详解】解：，利用韦恩图来形象表示， A．从图象上看， 满足的样本点的部分为， 满足的样本点的部分为， ， 相等， ， ，正确，符合题意； B．从图象上看， 满足的样本点的部分， 满足的样本点的部分为， ， 相等， ， ，正确，符合题意； C． 从图象上看， 满足的样本点的部分为， 满足的样本点的部分为， ， 相等， ， ，正确，符合题意； D． 从图象上看， 满足的样本点的部分为， 满足的样本点的部分为， ，从图形上看表示为相同的部分， 不能直接推出，错确，不符合题意； 故选：ABC． 4．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知事件A，B满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件概率公式求解 【详解】. 故选：. ( 题型02 ) 全概率公式 5．（23-24高二下·福建泉州·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用概率的加法公式求解选项A即可。 【详解】选项A： 所以故选项A正确. 选项B：所以所以事件和事件相互独立， 所以事件和事件相互独立，则 故选项B错误. 选项C:故选项C正确， 选项D：因为事件和事件相互独立，所以事件和事件相互独立， 所以故选项D正确. 故选：ACD. 6．（23-24高二下·福建泉州·期末）某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用互斥事件的概率加法公式、积事件的乘法公式进行计算求解. 【详解】设“王同学第i天去A餐厅就餐”，“王同学第i天去B餐厅就餐”，， 依题意，，，，则， 由有：， 因为，所以 ， 所以. 故选：B. 7．（23-24高二下·福建泉州·期末）在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为 . 【答案】// 【分析】由题意，分别求出此人来自A，B，C三个地区的概率，再利用条件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率. 【详解】设事件D为“从这三个地区中任意选取一人，此人是患流感者”，事件，，分别表示此人来自A，B，C三个地区， 由题意得，，， ，，， 由全概率公式得 . 故答案为：. 8．（23-24高二下·福建三明·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件. (1)求取出的零件是次品的概率； (2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式即可得解； （2）根据条件概率公式可得解. 【详解】（1）设事件“从第箱中取一个零件”， 事件“取出的零件是次品”， 则，且互斥， 则，， 所以，， 所以 ， 所以取出的零件是次品的概率为； （2）取出的是次品是从第一箱取出的概率 ， 所以已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为. ( 题型0 3 )离散型随机变量及其分布列 9．（23-24高二下·福建莆田·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下 则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据条件，利用分步列的性质建立方程，即可求出结果. 【详解】由题知，，解得或，又，所以， 故选：C. 10．（23-24高二下·福建宁德·期末）一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】B 【分析】利用概率之和为1求出，然后令，即可求解. 【详解】， ，即. 故选：B. ( 题型0 4 ) 离散型随机变量的均值与方差 11．（23-24高二下·福建泉州·期末）随机变量的分布列如下: 1 2 a b 若，则（     ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据分布列的性质和离散型随机变量的数学期望公式，列出方程求出的值，最后利用方差公式求出方差即可. 【详解】根据各离散型随机变量对应的概率和为1，可得， 又因为，解得， 所以. 故选：B. 12．（23-24高二下·福建南平·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（    ） X 0 1 P n A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用概率分布列的性质求出，再求出X的期望和方差，然后利用方差的性质计算即得. 【详解】依题意，，解得，， ，而， 所以. 故选：A 13．（23-24高二下·福建南平·期末）已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同． (1)若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望． (2)若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球． （ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率； （ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为2； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）求出的可能值及各值对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）（ⅰ）利用古典概型及全概率公式计算即得；（ⅱ）利用条件概率公式计算得解. 【详解】（1）依题意，的可能值为， ，， ， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. （2）（ⅰ）设事件“从甲盒中摸出2个白球”，事件“从甲盒中摸出1个白球和1个黑球”， 事件“从甲盒中摸出2个黑球”，事件“从乙盒中摸出1个黑球”， 显然，且两两互斥，， ， 则， 所以在乙盒中摸出的是黑球的概率是. （ⅱ）在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的事件是在事件发生的条件下，事件发生， 因此， 所以在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的概率为. 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 14．（23-24高二下·福建泉州·期中）某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分．假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率． (1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的分布列； (2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复． （i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率； （ii）求甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数． 【答案】(1)分布列见解析 (2)（i）；（ii），2天 【分析】（1）随机抽取三人，用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3，4，5，6，再分别计算概率即可得分布列； （2）（i）分别分析前后两天选择的情况，再分情况求概率即可； （ii）设甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，再根据题意得出递推公式，进而可得通项公式，再根据题意可得，代入通项公式分析即可. 【详解】（1）由题意，每位游客得1分的概率为，得2分的概率为， 随机抽取三人，用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3，4，5，6， ，， ，， 所以X的分布列为： X 3 4 5 6 P （2）第一天选择“单车自由行”的概率为，则第一天选择“观光电车行”的概率为， 若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为， 若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为， 则后一天选择“单车自由行”的概率为， （i）甲第二天选择“单车自由行”的概率． （ii）甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，有， ，， 又， ∴数列是以为首项，以公比的等比数列， ， 由题意知，，即，， 即， 显然n必为奇数，当n＝1，3，5，…，15时，有即可， n＝1时，成立；n＝3时，成立； n＝5时，，则n＝5时，不成立， n＞5时，不成立． 综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天． ( 题型0 5 )二项分布与超几何分布 15．（23-24高二下·福建南平·期末）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项分布的期望公式求出，再利用独立重复试验的概率公式计算得解. 【详解】随机变量，由，得，解得， 所以. 故选：B 16．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知，且，则 . 【答案】5 【分析】由二项分布的期望公式求出，再根据线性关系公式求出. 【详解】，则有， 由，则. 故答案为：5 17．（23-24高二下·福建龙岩·期末）手机芯片（以下简称“芯片”）是手机中的核心组件之一，负责处理和控制手机的各种功能和任务.某大型企业准备把芯片的生产任务交给甲工厂或乙工厂，经过调研和抽样调查发现：甲工厂试生产的一批芯片的次品率为6%；乙工厂试生产的另一批芯片的次品率为2%；若将这两批芯片混合放在一起，则次品率为3%. (1)从混合放在一起的芯片中随机抽取3颗，用频率估计概率，记这3颗芯片中来自甲工厂的颗数为X，求X的数学期望； (2)为了获得芯片的生产订单，甲工厂通过采用最新的制造工艺，可以提高芯片的性能.记在甲工厂提高芯片性能的条件下，该大型企业把芯片交给甲工厂生产的概率为，在甲工厂不提高芯片性能的条件下，该大型企业把芯片交给甲工厂生产的概率为，已知.设事件 “甲工厂提高了芯片性能”，事件“该大型企业把芯片交给甲工厂生产”，其中，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先应用对立事件概率和为1再结合全概率公式计算可得独立事件的概率，最后应用二项分布求出数学期望； （2）应用条件概率公式结合对立事件概率和为1证明即可. 【详解】（1）设事件“混合放在一起的芯片来自甲工厂”，事件“混合放在一起的芯片是次品”， 设，则， 所以， 计算得．的可能取值为0，1，2，3，，. （2）依题意得：．即． 因为，，所以． 因为，， 所以．即得， 所以．     即． 又因为，，所以． 因为，，所以． 即得证． 18．（23-24高二下·福建三明·期末）根据超几何分布概念及分布列性质计算 .（用组合数表示） 【答案】 【分析】举实例，利用超几何分布概率公式以及概率之和等于1、组合数的性质求解即可. 【详解】可将问题转化为：从个黄球，个白球中随机抽取个球，表示抽到黄球的个数， ，则， 则， 即， 由组合数的性质可得，. 故答案为： ( 题型0 6 )正态分布 19．（23-24高二下·福建三明·期末）现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，测量结果的误差，要控制的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（    ） （参考数据： A．288 B．188 C．72 D．12 【答案】C 【分析】根据题意得，可得，然后根据正态分布的概率求法可求得结果. 【详解】因为，所以， 根据题意得，则， 即， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以至少要测量的次数为72次， 故选：C 20．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知随机变量X服从正态分布，则（    ） （参考数据：，） A．0.3413 B．0.4772 C．0.6826 D．0.9544 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质写出，再根据正态分布知识即可求解. 【详解】随机变量X服从正态分布, , , 根据正态分布对称性可得. 故选：B. 21．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知某次考试的成绩，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正态分布的对称性求解概率. 【详解】由正态分布对称性可知，. 故选：A 22．（23-24高二下·福建南平·期末）已知随机变量，若，则 ． 【答案】0.2/ 【分析】根据正态分布概率曲线图，结合对称性可解. 【详解】如图，画出正态分布的曲线图，，即，即红色区域面积为. 根据对称性，知，则 故答案为：0.2. 23．（23-24高二下·福建福州·期末）已知随机变量，随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合对称性得出，再由对称性得出. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又，所以A正确； 故选：A 24．（23-24高二下·福建·期末）某校联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若联考的学生有500人，则成绩超100过分的人数约为（   ） A．100 B．120 C．125 D．150 【答案】A 【分析】根据总体密度函数可知，结合对称性求出，再估计人数即可. 【详解】因为总体密度函数为：， 所以，即， 由，所以, 所以数学成绩超过100分的人数大约为人. 故选：A. 一、单选题 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知随机变量服从正态分布，则（     ） A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，，则，且， 所以. 故选：A. 2．（23-24高二下·福建福州·期末）A校和校进行排球决赛，决赛规则为“5局3胜”，已知每局比赛A校获胜的概率为0.6，各局比赛相互间没有影响，则A校在先失一局的情况下，战胜校的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记相应事件，根据独立重复性事件求，进而结合条件概率公式运算求解. 【详解】因为每局比赛A校获胜的概率为0.6，即， 记“A校在先失一局”为事件M，“A校战胜校”为事件N， 则， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二下·福建漳州·期末）在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（    ） A．0.56 B．0.66 C．0.76 D．0.86 【答案】C 【分析】直接由全概率公式进行计算即可求解. 【详解】由全概率公式可知，所求准确率为. 故选：C. 二、多选题 4．（23-24高二下·福建福州·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数据的第50百分位数为32 B．已知随机变量服从正态分布，则 C．一组数据的频率分布直方图如图所示，则该组数据的平均数一定小于中位数 D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为4 【答案】BC 【分析】根据第50百分位数为中位数判断A，根据正态分布的性质判断B，选项C则根据直方图中数据分布的形态比较中位数与平均数的大小关系；选项D根据方差的性质判断. 【详解】A项，对数据从小到大排列：， 因为第50百分位数即为中位数，所以50百分位数为，故A错误； B项，因为随机变量服从正态分布，， 所以，，所以， 所以， 所以，故B正确； C项，由频率分布直方图可知是单峰的，直方图在左边“拖尾”， 所以平均数小于中位数.故C正确； D项，因为样本数据的方差为2， 所以数据的方差为，故D错误. 故选：BC. 5．（23-24高二下·福建福州·期末）已知甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，现同时从甲、乙两盒中各取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于AB，当时，可能取2，3，4，可能取1，2，3，根据题意求出相应的概率，从而可求出，进行判断， 对于CD，当时，可能取1，2，3，4，5，可能取0，1，2，3，4，根据题意求出相应的概率，从而可求出，进行判断. 【详解】对于AB，当时，， ， ， 所以，， 所以，， 所以A正确，B错误， 对于CD，当时，， , ， ， ， 所以， ， 所以，， 所以，所以C错误，D正确， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：此题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题的关键是要弄清每次交换球后，盒子中蓝球和黄球的个数，考查计算能力，属于中档题. 6．（23-24高二下·福建莆田·期末）甲箱中有4个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球，2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球.用，，分别表示从甲箱取出的球是红球，白球，黑球；用表示从乙箱取出的球是红球.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．和相互独立 【答案】AB 【分析】选项A，利用条件概率公式即可求解；选项B，利用全概率公式即可求解；选项C，利用条件概率公式即可求解；选项D，分别求出和，利用相互独立事件的判定方法即可求解. 【详解】由题知， ， 对于A，因为，所以A正确， 对于B，因为 ，所以B正确， 对于C，，所以C错误， 对于D，， ，所以D错误， 故选：AB. 7．（23-24高二下·福建·期末）已知事件A，B，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，由条件概率公式，乘法公式以及全概率公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以，故A正确； 因为，故B正确； 因为，， 所以，故D错误； 因为，， 因为，故C正确； 故选：ABC 8．（23-24高二下·福建宁德·期末）有甲乙两个袋子，甲袋中装有2个白球，1个红球，乙袋中装有1个白球，2个红球，除颜色外，各个球完全相同.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球，记事件表示从甲袋中取出的球是白球，表示从甲袋中取出的球是红球，事件表示从乙袋中取出的球是白球，则下列选项中正确的是（    ） A．事件与事件不相互独立 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题可得、，可判断B选项；利用乘法公式求，可判断C选项；利用全概率公式可判断D选项；利用独立事件的定义可判断A选项； 【详解】，，，， ，故B正确，C错误； 由全概率公式可得，D正确， ， 所以事件与事件不相互独立，A正确. 故选：ABD 三、填空题 9．（23-24高二下·福建泉州·期末）有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为；邮件在被标记为垃圾邮件的条件下，它是正常邮件的概率为；邮件在被标记为正常邮件的条件下，它是垃圾邮件的概率为，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率等于 . 【答案】 【分析】设事件表示“正常邮件”，事件表示“标记为正常邮件”，根据题意有，，，再结合对立事件，条件概率及全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“正常邮件”，事件表示“标记为正常邮件”， 则，，， ，， 故， . 故答案为：. 10．（23-24高二下·福建厦门·期末）某一地区某种疾病的患病率为，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.1.该地区现有3人的试验反应均是阳性，则这3人中恰有1人患该疾病的概率是 . 【答案】/ 【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式求出一个人试验反应是阳性且这个人是患疾病得概率，再根据二项分布即可求解. 【详解】设事件表示抽查的人是患这种疾病的，事件表示试验反应是阳性，则事件表示抽查的人是不患这种疾病的，事件表示试验反应是阴性， 所以， 有1人的试验反应均是阳性，则这1人患该疾病为事件， 则， 现有3人的试验反应均是阳性，则这3人中患该疾病的人数为随机变量，则随机变量服从二项分布，， 当时，. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高二下·福建福州·期末）某企业研发一种新产品，要用A与B两套设备同时生产，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产的新产品合格率为0.9，设备B生产新产品合格率为0.6，且设备A与B生产的新产品是否合格相互独立． (1)从该公司生产的新产品随机抽取一件，求所抽产品为合格品的概率； (2)从某批新产品中随机抽取4件，设X表示合格品的件数，求X的分布列、期望和方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析；； 【分析】（1）利用全概率公式可求出结果； （2）由题意，根据二项分布的概率公式及方差公式计算可得. 【详解】（1）设事件表示“随机抽取一件新产品，来自设备生产”， 事件表示“随机抽取一件新产品，来设备生产”， 事件表示“随机抽取一件新产品为合格品”， 因为设备的生产效率是设备的2倍，所以，， ，， 所以由全概率公式得 ， 所以所抽产品为合格品的概率为. （2）表示抽取合格品的件数，的可能取值为，则由题意， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以，. 12．（23-24高二下·福建福州·期末）游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱.某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的2×2列联表： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 40 女 60 合计 50 (1)完成上述2×2列联表，根据以上数据，根据小概率值的独立性检验，能否认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？ (2)某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球.游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔.现有3名同学参加该游戏，表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量的数学期望. 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关； (2). 【分析】（1）列出列联表，再进行独立性检验即可. （2）先求出一次游戏中取出2个红球的概率，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】（1）由题可得2×2列联表如下： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 90 40 130 女 60 10 70 合计 150 50 200 提出假设：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关， 根据列联表中的数据，可以求得 ， 因为当成立时，的概率大于1%， 所以没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关. （2）一次游戏中取出2个红球的概率， 由题可知，则， 所以. 13．（23-24高二下·福建泉州·期末）某城市拟建立一个艺术公园，为此对资格初审入围的两家设计公司A，B进行招标问题测试，并聘请专家制定方案如下：先从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，A公司能正确回答其中4道题目，而B公司能正确回答每道题目的概率均为.假设A公司答对题数为X，B公司答对题数为Y，A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求的概率； (2)试从期望和方差的角度分析哪家公司通过测试的可能性更大？ (3)设，求Z的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)分布列见解析，数学期望. 【分析】（1），运用独立事件概率乘法公式计算即可； （2）分布求出随机变量的数学期望和方差，后进行比较即可； （3），得，1，2，3，与（1）方法一样分布求出概率,最后求期望即可. 【详解】（1）因为A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立， 所以 ， （2）当时，， 所以，. 又，2，3， ，，， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 故， ． 因为，， 所以A公司竞标成功的可能性更大． （3）由，得，1，2，3， 因为A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立， 所以 . 所以Z的分布列为： Z 0 1 2 3 P 故. 14．（23-24高二下·福建莆田·期末）甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分. (1)若， （i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率； （ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率. (2)若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？ 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）根据条件，利用相互独立事件和对立事件的概率公式，即可求出结果； （ii）记事件：甲进球个，乙进球个或个，事件：甲进球个，乙进球个，分别求出事件和事件的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出结果； （2）根据条件求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率，设轮比赛后，乙累计得分为，则，再根据条件，即可求出结果. 【详解】（1）（i）因为甲和乙每次进球的概率分别是和， 所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为. （ii）由题知甲进球个，乙进球个或个，或甲进球个，乙进球个，乙获得1分， 记事件：甲进球个，乙进球个或个，事件：甲进球个，乙进球个，事件表示乙获得1分， 则，， 易知互斥，所以. （2）因为一轮比赛结束后，乙获得1分的概率为， 设轮比赛后，乙累计得分为，则， 由题知，又，函数在上单调递增， 所以， 由，得到，所以至少进行轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分，此时. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，利用相互独立事件的概率公式求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率，从而得到轮比赛后，乙累计得分满足，再根据条件，即可求解. 15．（23-24高二下·福建宁德·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），.现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为，求随机变量的期望．（结果精确到0.01）； (3)全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为，已知甲同学第一关通过的概率为，记甲同学通过第关的概率为，请写出的表达式，并求出的最大值. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)． (2)0.23 (3)， 【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由正态分布的概率公式可得，再由二项分布的期望公式，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由全概率公式可得，再由等比数列的通项公式可得，即可得到其最大值. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 解得． （2）由题意得，， ，， . （3）记甲同学第关通过为事件，依题意，， 当时，， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，，又，所以的最大值为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与独立事件 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的均值与方差 题型05二项分布与超几何分布 题型06正态分布 ( 题型01 ) 条件概率与独立事件 1．（23-24高二下·福建厦门·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知事件相互独立，且，，那么（    ） A．0.12 B．0.3 C．0.4 D．0.75 3．（23-24高二下·福建泉州·期末）设A，B为随机事件，，则下列能推出的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知事件A，B满足：，，则（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 全概率公式 5．（23-24高二下·福建泉州·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·福建泉州·期末）某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·福建泉州·期末）在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为 . 8．（23-24高二下·福建三明·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件. (1)求取出的零件是次品的概率； (2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. ( 题型0 3 )离散型随机变量及其分布列 9．（23-24高二下·福建莆田·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下 则（    ） A． B． C． D．或 10．（23-24高二下·福建宁德·期末）一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ ( 题型0 4 ) 离散型随机变量的均值与方差 11．（23-24高二下·福建泉州·期末）随机变量的分布列如下: 1 2 a b 若，则（     ） A．0 B．2 C．3 D．4 12．（23-24高二下·福建南平·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（    ） X 0 1 P n A．5 B． C． D． 13．（23-24高二下·福建南平·期末）已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同． (1)若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望． (2)若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球． （ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率； （ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率． 14．（23-24高二下·福建泉州·期中）某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分．假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率． (1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的分布列； (2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复． （i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率； （ii）求甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数． ( 题型0 5 )二项分布与超几何分布 15．（23-24高二下·福建南平·期末）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知，且，则 . 17．（23-24高二下·福建龙岩·期末）手机芯片（以下简称“芯片”）是手机中的核心组件之一，负责处理和控制手机的各种功能和任务.某大型企业准备把芯片的生产任务交给甲工厂或乙工厂，经过调研和抽样调查发现：甲工厂试生产的一批芯片的次品率为6%；乙工厂试生产的另一批芯片的次品率为2%；若将这两批芯片混合放在一起，则次品率为3%. (1)从混合放在一起的芯片中随机抽取3颗，用频率估计概率，记这3颗芯片中来自甲工厂的颗数为X，求X的数学期望； (2)为了获得芯片的生产订单，甲工厂通过采用最新的制造工艺，可以提高芯片的性能.记在甲工厂提高芯片性能的条件下，该大型企业把芯片交给甲工厂生产的概率为，在甲工厂不提高芯片性能的条件下，该大型企业把芯片交给甲工厂生产的概率为，已知.设事件 “甲工厂提高了芯片性能”，事件“该大型企业把芯片交给甲工厂生产”，其中，证明：. 18．（23-24高二下·福建三明·期末）根据超几何分布概念及分布列性质计算 .（用组合数表示） ( 题型0 6 )正态分布 19．（23-24高二下·福建三明·期末）现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，测量结果的误差，要控制的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（    ） （参考数据： A．288 B．188 C．72 D．12 20．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知随机变量X服从正态分布，则（    ） （参考数据：，） A．0.3413 B．0.4772 C．0.6826 D．0.9544 21．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知某次考试的成绩，若，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·福建南平·期末）已知随机变量，若，则 ． 23．（23-24高二下·福建福州·期末）已知随机变量，随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·福建·期末）某校联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若联考的学生有500人，则成绩超100过分的人数约为（   ） A．100 B．120 C．125 D．150 一、单选题 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知随机变量服从正态分布，则（     ） A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.7 2．（23-24高二下·福建福州·期末）A校和校进行排球决赛，决赛规则为“5局3胜”，已知每局比赛A校获胜的概率为0.6，各局比赛相互间没有影响，则A校在先失一局的情况下，战胜校的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建漳州·期末）在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（    ） A．0.56 B．0.66 C．0.76 D．0.86 二、多选题 4．（23-24高二下·福建福州·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数据的第50百分位数为32 B．已知随机变量服从正态分布，则 C．一组数据的频率分布直方图如图所示，则该组数据的平均数一定小于中位数 D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为4 5．（23-24高二下·福建福州·期末）已知甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，现同时从甲、乙两盒中各取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·福建莆田·期末）甲箱中有4个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球，2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球.用，，分别表示从甲箱取出的球是红球，白球，黑球；用表示从乙箱取出的球是红球.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．和相互独立 7．（23-24高二下·福建·期末）已知事件A，B，且，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·福建宁德·期末）有甲乙两个袋子，甲袋中装有2个白球，1个红球，乙袋中装有1个白球，2个红球，除颜色外，各个球完全相同.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球，记事件表示从甲袋中取出的球是白球，表示从甲袋中取出的球是红球，事件表示从乙袋中取出的球是白球，则下列选项中正确的是（    ） A．事件与事件不相互独立 B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高二下·福建泉州·期末）有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为；邮件在被标记为垃圾邮件的条件下，它是正常邮件的概率为；邮件在被标记为正常邮件的条件下，它是垃圾邮件的概率为，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率等于 . 10．（23-24高二下·福建厦门·期末）某一地区某种疾病的患病率为，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.1.该地区现有3人的试验反应均是阳性，则这3人中恰有1人患该疾病的概率是 . 四、解答题 11．（23-24高二下·福建福州·期末）某企业研发一种新产品，要用A与B两套设备同时生产，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产的新产品合格率为0.9，设备B生产新产品合格率为0.6，且设备A与B生产的新产品是否合格相互独立． (1)从该公司生产的新产品随机抽取一件，求所抽产品为合格品的概率； (2)从某批新产品中随机抽取4件，设X表示合格品的件数，求X的分布列、期望和方差． 12．（23-24高二下·福建福州·期末）游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱.某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的2×2列联表： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 40 女 60 合计 50 (1)完成上述2×2列联表，根据以上数据，根据小概率值的独立性检验，能否认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？ (2)某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球.游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔.现有3名同学参加该游戏，表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量的数学期望. 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 13．（23-24高二下·福建泉州·期末）某城市拟建立一个艺术公园，为此对资格初审入围的两家设计公司A，B进行招标问题测试，并聘请专家制定方案如下：先从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，A公司能正确回答其中4道题目，而B公司能正确回答每道题目的概率均为.假设A公司答对题数为X，B公司答对题数为Y，A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求的概率； (2)试从期望和方差的角度分析哪家公司通过测试的可能性更大？ (3)设，求Z的分布列和数学期望. 14．（23-24高二下·福建莆田·期末）甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分. (1)若， （i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率； （ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率. (2)若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？ 15．（23-24高二下·福建宁德·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），.现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为，求随机变量的期望．（结果精确到0.01）； (3)全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为，已知甲同学第一关通过的概率为，记甲同学通过第关的概率为，请写出的表达式，并求出的最大值. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$