2025年山东省临沂市莒南县九年级初中学业水平考试数学模拟试题二

2025年山东省临沂市莒南县九年级初中学业水平考试数学模拟试题二 本试卷共4页.满分120分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 　　1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 　　2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 　　3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.-的相反数是(　　) A.2026 B.-2026 C.- D. 2.2025年春节是申遗成功后的第一个春节，春晚中出现大量非遗文化，其中团扇又称“宫扇”“纨扇”“合欢扇”，有数千年的历史.古人寄情于物，将团扇喻为圆月，蕴含了团圆的寓意.下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　) 3.下列运算正确的是(　　) A.(a2)3=a6 B.(3a)2=6a2 C.a8÷a2=a4 D.a2·a3=a6 4.如图，直线a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC.若∠1=35°，则∠2等于(　　) A.35° B.50° C.55° D.65° 5.如图，点A和点B表示的数分别为a和b，下列式子中正确的是(　　) A.-a>b B.a+b<0 C.|b|>|a| D.(a+1)(b-1)<0 6.在一个口袋中有5个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，5，从中一次性随机摸出两个小球，则摸出的两个小球的标号之和为5的概率是(　　) A. B. C. D. 7.一个几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为4，底边长为2的等腰三角形，则这个几何体侧面展开图的面积是(　　) A.2π B.4π C.6π D.8π 8.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点，且点C为 的中点，连接CD，CB，OD，CD与AB交于点F.若∠AOD=100°，则∠ABC的度数为(　　) A.15° B.20° C.25° D.30° 9.如图，在等边三角形ABC中，AB=4，点D在△ABC的外部，且∠ADC =90°，连接BD交AC于点E，BE=2ED，则AD的长为(　　)  A.2 B.2 C.3 D.2 10.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，BC⊥CD，∠ADC=90°，AB=BC=4，动点P，Q同时从点A出发，点Q以每秒2个单位长度的速度沿折线A-B-C向终点C运动；点P以每秒1个单位长度的速度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，△APQ的面积为y个平方单位，则y随x变化的函数图象大致为(　　) 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.2025年春晚，中国传统建筑创演秀《栋梁》舞台背景出现的北京中轴线上的建筑给我们带来了一场视觉盛宴.如图，故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积约720 000 m2，在世界宫殿建筑群中面积最大.将数据“720 000”用科学记数法表示为_________.  12.如图，由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠1=30°，则∠2+∠3的度数为_____度.  13.如图，点A的坐标是(1，1)，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转135°，点A的对应点为点A'，则直线AA'的解析式为________________.  14.某公园儿童滑梯的截面示意图如图所示，已知立柱BC，EF垂直于地面AD且高度相同，平台BG平行地面AD，台阶AB的坡度为1∶，∠GDF=30°.若AC=2 m，则滑道DG的长为_____m.  15.若关于x的方程-=-2的解为非负整数，则符合条件的整数a的值可以为______________ .(写出一个即可)  16.在2025年央视春晚的舞台上，《秧BOT》节目中16个身着花袄、手持花绢的机器人“福兮”带来的扭秧歌表演，令观众眼前一亮，也使得人形机器人再次成为焦点.已知某机器人根据指令[S，A](S≥0，0°<A<180°)，在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离S.例如：机器人在平面直角坐标系的坐标原点，面对x轴正方向，如果给出指令[，45°]，机器人就会运动到平面直角坐标系中的点(1，1)的位置；如果要让机器人在面对x轴正方向的情况下，从原点运动到平面直角坐标系中的点(-1，)的位置，那么机器人需要接收的指令是___________.  三、解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题每小题3分，共6分) (1)解方程组： (2)先化简，再求值：(1-)÷，其中x=1. 18.(本小题满分7分) 为了解我校七年级男生、女生数学计算水平，学校举行了数算大赛，现从七年级学生中随机抽取了男、女各20名学生的成绩进行整理、描述和分析，并将成绩分为A，B，C，D，E五个等级：A.90≤x≤100，B.80≤x<90，C.70≤x<80，D.60≤x<70，E.50≤x<60，并绘制了如下不完整的统计图表. 20名男生的数算成绩分别为51，57，64，76，77，78，79，87，87，88，88，89，89，89，92，93，95，97，98，98； 女生数算成绩在C等级和B等级的分别为73，75，76，77，78，79，87，87，87，88. 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 性别 平均数 中位数 众数 男生 83.6 88 b 女生 83.6 a 87 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空a=________ __，b=________，并补全频数分布直方图.  (2)在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数是________.  (3)根据以上数据，你认为在此次比赛中，男生成绩好还是女生成绩好？并说明理由. (4)为了鼓励学生，学校准备给获得A等级的每名学生颁发一张“数算能手”获奖证书.若我校七年级有男生1 200名，女生1 120名，请估计学校需要制作多少张获奖证书. 19.(本小题满分8分) (1)如图，四边形ABCD，AD∥BC，BD2=AD·BC. ①求证：△ADB∽△DBC； ②若AB=1，BD=2，BC=3，求CD的长. (2)在(1)的条件下求作：菱形BEDF，且点E在边AD上，点F在边BC上. 20.(本小题满分9分) 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销量为50个，12月份销量为72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为每个30元，商家经过调查统计发现，当销售单价为40元时，月销售量为500个，若在此基础上单价每上涨1元，则月销售量将减少10个，要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔的销售单价应定为多少元？ 21.(本小题满分9分) 如图，以△ABC的边AB为直径的☉O交AC于点E，BE平分∠ABC，P是BA延长线上一点，且☉O的切线PE交BC于点D. (1)求证：PE⊥BC； (2)若PO=3BO，PE=2，求AC的长. 22.(本小题满分10分) 已知反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于点P，点P的坐标为(2，a)，PA⊥x轴，垂足为A，M为双曲线上点P右侧的一点. (1)求a，k的值. (2)如图，过点M作MB⊥AP于点B.若=，求点M的坐标. (3)在(2)的条件下，N是射线OP上一点.若△PMN的面积为3，求点N的坐标. 23.(本小题满分10分) 如图，已知二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象交x轴于 点A(1，0)，B(4，0)，交y轴于点C. (1)求这个二次函数的表达式； (2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值； (3)把抛物线y=ax2+bx+4向上平移4个单位长度，再向左平移m个单位长度，使顶点落在△ABC内部(不包括边界)，直接写出m的取值范围. 24.(本小题满分13分) △ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE. 【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD，AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系. 【探究证明】如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转一定角度α(0°<α<90°)，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. 【拓展应用】如图3，在△ACD中，∠ADC=45°，CD=，AD=4，将线段AC绕点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，AB，求BD的长. 1.D。【解析】-的相反数是.故选D. 2.B。【解析】A，C，D选项的图形是轴对称图形，不是中心对称图形；B选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.故选B. 3.A。【解析】A.(a2)3=a6，运算正确，符合题意；B.(3a)2=9a2，运算错误，不符合题意； C.a8÷a2=a6，运算错误，不符合题意；D.a2·a3=a5，运算错误，不符合题意.故选A. 4.C。【解析】∵AB⊥BC，∠1=35°， ∴∠BCA=90°-∠1=55°. ∵a∥b， ∴∠2=∠BCA=55°.故选C. 5.C。【解析】由数轴知-1<a<0，b>1， ∴-a<b，a+b>0，|b|>|a|，(a+1)(b-1)>0.故选C. 6.A。【解析】列表如下. 第一个数 第二个数 1 2 3 4 5 1 — 3 4 5 6 2 3 — 5 6 7 3 4 5 — 7 8 4 5 6 7 — 9 5 6 7 8 9 — 共有20种等可能的结果，其中摸出的两个小球的标号之和为5的结果有4种， ∴摸出的两个小球的标号之和为5的概率P==.故选A. 7.B。【解析】由三视图知该几何体是底面直径为2、母线长为4的圆锥， ∴它的侧面展开图是一个扇形，面积为π×1×4=4π.故选B. 8.B。【解析】如图，连接BD. ∵∠AOD=100°， ∴∠OBD=∠AOD=50°，∠BOD=180°-∠AOD=180°-100°=80°， ∴∠DCB=∠BOD=40°. ∵点C为的中点，∴DC=CB， ∴∠CDB=∠CBD==70°， ∴∠ABC=∠CBD-∠OBD=70°-50°=20°. 故选B. 9.A。【解析】如图，分别取AC，BC的中点F，G，连接AG和BF交于点O，连接OE，FD. ∵△ABC是等边三角形， ∴点O是△ABC的重心，AG⊥BC，BF⊥AC，∴=2. ∵BE=2ED，∴=，∴=. ∵∠OBE=∠FBD，∴△OBE∽△FBD， ∴==，∠BEO=∠BDF，∴OE∥DF. ∵∠ADC=90°，点F是AC的中点， ∴FD=AC=2，∴OE=. ∵AF=AC=2，∠OAF=∠BAC=30°， ∴OF=AF·tan∠OAF=，∴sin∠OEF==， ∴∠OEF=60°=∠ACB，∴OE∥BC，∴DF∥BC， ∴∠DFC=∠ACB=60°. ∵FD=FC，∴△FDC是等边三角形，∴CD=CF=2. ∵AC=4，∠ADC=90°，CD=2， ∴AD===2. 故选A. 【解析】如图1，过点Q作QN⊥AD于点N，当0≤x<2时，点Q在AB上. ∵∠ABC=120°，∴∠A=60°，∴∠AQN=90°-60°=30°， ∴AN=AQ=×2x=x，∴QN==x， ∴y=AP·NQ=x×x=x2. 如图2，当2≤x≤4时，点Q在BC上，过点B作BM⊥AD于点M，过点Q作QN⊥AD于点N. ∵BM⊥AD，∠A=60°， ∴∠ABM=30°， ∴AM=AB=×4=2， ∴BM==2. ∵∠ADC=90°，∴CD⊥AD. ∵QN⊥AD，∴QN∥CD， ∴∠BQN=∠BCD=90°. ∵BM⊥AD，QN⊥AD，∴四边形BMNQ是矩形， ∴QN=BM=2，∴y=AP·QN=x×2=x. 综上所述，当0≤x<2时，函数图象是开口向上的抛物线的一部分；当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分，且当x=2时，y=2；x=4时，y=4.故选D. 11. 7.2×105【解析】720 000=7.2×105. 故答案为7.2×105. 12.102【解析】如图. ∵四边形、五边形、六边形的各内角相等， ∴四边形的每个内角是90°，五边形的每个内角是108°，六边形的每个内角是120°， ∴∠2+∠BAC=90°，∠3+∠BCA=90°，∠1+∠ABC=360°-108°-120° =132°. ∵∠1=30°，∴∠ABC=132°-30°=102°， ∴∠BAC+∠BCA=180°-102°=78°. ∵∠2+∠BAC+∠3+∠BCA=90°+90°=180°， ∴∠2+∠3=180°-78°=102°. 故答案为102. 13. y=(-1)x+2-.【解析】∵A(1，1)，∴OA=. 如图，旋转后点A的对应点A'的坐标为(-，0). 设直线AA'的解析式为y=kx+b，将点A，A'的坐标代入得解得 ∴直线AA'的解析式为y=(-1)x+2-. 故答案为y=(-1)x+2-. 14.2【解析】如图，过点G作GH⊥AD于点H. 由题意得∠ACB=90°，台阶AB的坡度为1∶，AC=2 m， ∴=，∴BC= m. ∵平台BG平行于地面AD，立柱BC垂直于地面AD，GH⊥AB， ∴GH=BC= m. 在Rt△GDH中，∠GDH=30°，sin∠GDH=， ∴GD===2(m). 故答案为2. 15.1【解析】解方程-=-2得x=. 依题意得为非负整数且≠2， ∴a≤4且-a+4为3的倍数且a≠-2， ∴当-a+4=0时，a=4， 当-a+4=3时，a=1， 当-a+4=6时，a=-2(舍去)， 当-a+4=9时，a=-5，…… ∴a的值可以为1(答案不唯一). 故答案为1(答案不唯一). 16.[2，120°]【解析】如图. ∵P(-1，)，∴OA=1，AP=. 在Rt△AOP中，OP===2， ∴sin∠AOP==，∴∠AOP=60°， ∴∠DOP=180°-∠AOP=120°， ∴机器人需要接收的指令是[2，120°]. 故答案为[2，120°]. 17.(1)【考点】解二元一次方程组、分式的化简求值. 解：(1) ②×2得2x+4y=6，③ ①-③得x=1，　…………2分 将x=1代入②得1+2y=3，解得y=1， ∴原方程组的解是　…………3分 (2)原式=· =.　…………5分 当x=1时，原式=-.　…………6分 解：(1)87　89　…………2分 补全的频数分布直方图如图.  …………3分 (2)108°　…………4分 (3)男生成绩好. 理由：∵男生成绩的平均数与女生成绩的平均数相同，但男生成绩的中位数88高于女生成绩的中位数87，∴男生成绩好于女生成绩.　…………6分 (4)×1 200+×1 120=752(人). 答：估计学校需要制作752张获奖证书.　…………7分 19.【考点】相似三角形的判定与性质、尺规作图. (1)①证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC. ∵BD2=AD·BC，∴=，∴△ADB∽△DBC.　…………3分 ②解：∵△ADB∽△DBC，∴=， ∴=，∴CD=.　…………5分 (2)解：如图，四边形BEDF即为所求. …………8分 20.解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x. 由题意得50(1+x)2=72，　…………2分 解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去).　…………3分 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%.　…………4分 (2)设该品牌头盔销售单价为y元，利润为w元. 由题意得w=(y-30)[500-10(y-40)]=-10y2+1 200y-27 000=-10(y-60)2+9 000. …………6分 ∵-10<0，∴当y=60时，w取得最大值，最大值为9 000. 　…………8分 答：要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，该品牌头盔的销售单价应定为60元.　…………9分 21.【考点】切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质. (1)证明：如图，连接OE. ∵PE切☉O于点E， ∴PE⊥OE，∴∠PEO=90°.　…………2分 ∵BE平分∠ABC， ∴∠1=∠2.　…………3分 又∵在☉O中，OE=OB， ∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OE∥BD， ∴∠PDB=∠PEO=90°，　…………4分 ∴PE⊥BC.　…………5分 (2)解：设BO=x，则PO=3x. 在Rt△EPO中，PO2-OE2=PE2，即(3x)2-x2=， 解得x=1(负值已舍去)，∴BO=1，PO=3.　…………6分 如图，过点E作EF⊥AB于点F. ∵=PO·EF=PE·OE，∴EF==.　…………7分 ∵在Rt△EFO中，FO===， ∴AF=AO-OF=1-=， ∴在Rt△AEF中，AE===. 　…………8分 ∵AB为☉O的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠4=90°-∠1=90°-∠2=∠C， ∴BC=BA. 又∵∠1=∠2，∴AC=2AE=2×=.　…………9分 22.解：(1)∵点P(2，a)在正比例函数y=3x的图象上， ∴a=2×3=6，　…………1分 ∴点P的坐标为(2，6)，　…………2分 ∴k=2×6=12.　…………3分 (2)设PB=3m，则BM=2m，点M(2m+2，6-3m). 将点M的坐标代入反比例函数y=得 12=(2m+2)(6-3m)， 解得m=0(舍去)或1，　…………5分 ∴点M的坐标为(4，3).　…………6分 (3)由(2)易知点B的坐标为(2，3). ∵S△PBM=BM·PB=×2×3=S△PMN， ∴如图，过点B作直线l∥PM交直线OP于点N，连接MN， 则此时△PMN的面积为3. 由点P，M的坐标得直线PM的表达式为y=-x+9， 则直线l的表达式为y=-x+6.　…………7分 联立解得∴N(，4).　…………8分 当点N(N')在PM上方时， 则点N，N'关于点P对称，即点P是NN'的中点， 由中点坐标公式得点N'(，8). 综上所述，点N的坐标为(，4)或(，8).　…………10分 23.【考点】二次函数的综合. 解：(1)将点A(1，0)，B(4，0)分别代入y=ax2+bx+4得 解得　…………1分 ∴y=x2-5x+4.　…………2分 (2)令x=0，则y=4，∴C(0，4).　…………3分 设直线BC的表达式为y=kx+n，将B(4，0)，C(0，4)分别代入得解得∴y=-x+4.　…………4分 如图，过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，交AB于点E. 设P(t，t2-5t+4)，0<t<4，则D(t，-t+4)， ∴PD=-t+4-(t2-5t+4)=-t2+4t. ∵S△BCP=S△PDB+S△PDC=PD·EB+PD·OE=PD·OB=(-t2+4t)×4=-2t2+8t= -2(t-2)2+8， ∴当t=2时，△BCP的面积最大，最大值为8.　…………6分 (3)∵y=x2-5x+4=(x-)2-， ∴顶点坐标为(，-)， ∴平移后的顶点坐标为(-m，).　…………7分 ∵A(1，0)，C(0，4)， 设直线AC的表达式为y=k'x+4，将A(1，0)代入， ∴0=k'+4，解得k'=-4，∴直线AC的表达式为y=-4x+4. 当y=时，-4x+4=，解得x=， 即-m>，解得m<，　…………8分 当y=时，-x+4=，解得x=， 即-m<，解得m>. 综上所述，m的取值范围为<m<.　…………10分 24.解：【观察猜想】AE⊥BD，AE=BD.　…………3分 提示：在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD. 又∵∠ADF=∠BDC，∠ACB=90°， ∴∠AFD=90°，∴AE⊥BD. 【探究证明】线段BD和线段AE的数量关系和位置关系仍然成立.　 …………4分 证明：∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD， 即∠ACE=∠BCD. 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD. 又∵∠AGF=∠BGC，∠ACB=90°， ∴∠AFG=90°，∴AE⊥BD.　…………7分 【拓展应用】如图，在CD的左侧作以点C为直角顶点的等腰直角三角形CDE，连接AE， ∴∠DCE=90°，CE=CD=，∠CDE=45°， ∴DE==2.　…………10分 ∵∠ADC=45°， ∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=45°+45°=90°， ∴AE===2.　…………11分 ∵将AC绕点C逆时针旋转90°至BC， ∴∠ACB=90°，AC=BC， 由【探究证明】知BD=AE， ∴BD=2.　…………13分 学科网（北京）股份有限公司 $$