精品解析：山东省烟台龙口市（五四制）2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024—2025学年第二学期期中阶段性测试 初三数学试题（120分钟） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；作图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. x2﹣3x＝0 B. x﹣3y＝0 C. x2+＝1 D. 2x﹣3＝0 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 6 B. 3 C. D. 8. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”．其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图所示，所求竿长为（ ） A. 10尺 B. 12尺 C. 2尺或10尺 D. 12尺或10尺 10. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 请写出一个二次根式__________，使它满足只含有一个字母，且当时有意义． 12. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 14. 关于x的方程的两个根是和3，则因式分解的结果是____________． 15. 如果实数x，y满足，则的值为____________． 16. 已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，求代数式的值． 19. 解方程： （1）； （2）；（用配方法解） （3）．（用公式法解） 20. 【阅读理解】阅读下列材料： ∴，即， ∴的整数部分为1，小数部分为． 根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是______，的小数部分是______； （2）如果小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 21. 已知关于的方程，其中分别为三边的长． （1）若是方程的根，试判断的形状； （2）若方程有两个相等的实数根，试判断的形状． 22. 课本知识再现：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）化简：= ；= ； （2）在有关二次根式的计算中，当出现分母且分母中出现二次根式时，我们往往将分母中的二次根式通过相关知识使分母不含二次根式，如：；我们继续思考如何化简的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“，其特点是类比分数的基本性质和平方差公式，使进行变形：，这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请把式子和分别进行分母有理化； （3）计算：． 23. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 24. 阅读材料：如果关于x一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． （1）问题解决：请你判断方程否是连根方程； （2）问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； （3）方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期中阶段性测试 初三数学试题（120分钟） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；作图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. x2﹣3x＝0 B. x﹣3y＝0 C. x2+＝1 D. 2x﹣3＝0 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】解：A、它是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意； D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要是是考查了一元二次方程定义，一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，是整式方程． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不合题意； B. ，不是最简二次根式，不合题意； C. ，不是最简二次根式，不合题意； D. ，是最简二次根式，符合题意； 故选择：D 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的判断，准确分析计算是解题的关键． 3. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程式是解题的关键．利用因式分解法即可求得方程的解． 【详解】解：， ， ，， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式运算法则，逐项判断即可． 【详解】解：A. 被开方数不同，不能合并，不符合题意； B. 被开方数不同，不能合并，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，符合题意； 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，将方程化为一般形式，再根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解： 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式是非负数得到，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C 7. 已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：方程整理得：， a，b是方程的两个根， ，， ． 故选：C． 8. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分情况讨论：当时，求出方程的解；当时根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可． 【详解】解：当时， 原方程为， 解得，符合题意； 当时， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴且， 综上，， 故选：B． 9. 《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”．其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图所示，所求竿长为（ ） A. 10尺 B. 12尺 C. 2尺或10尺 D. 12尺或10尺 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设竿长为尺，则为尺，为尺，利用勾股定理，可得出关于的一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设竿长为尺，则为尺，为尺， 根据题意得：． 解得：（舍去）或 故选：A． 10. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于关于x的一元二次方程有一根为，则把方程看作关于的一元二次方程时有，解得，于是可判断一元二次方程必有一根为． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的一个根， ∴也是的一个根， 即， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 请写出一个二次根式__________，使它满足只含有一个字母，且当时有意义． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：， ， 满足条件， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】k＜6且k≠2 【解析】 【分析】根据关于x的方程有两个不相等的实数根得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：k＜6且k≠2． 故答案为：k＜6且k≠2． 【点睛】本题考查了一元二次方程a＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝−4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 14. 关于x的方程的两个根是和3，则因式分解的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、因式分解，根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再分解因式即可得解． 【详解】解：∵关于x的方程的两个根是和3， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如果实数x，y满足，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的计算，熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，，得出，代入等式求出的值，即可求解． 【详解】解：有意义， ，， 解得：， 代入得，， 解得：， ． 故答案为：． 16. 已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程得出，，结合题意得出，解一元一次不等式即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴此方程总有两个实数根， ∴， ∴，， ∵关于x一元二次方程恰有一个根小于， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则以及最简二次根式的概念是解题的关键． （1）先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，最后进行二次根式的加减运算． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解代数式的值，先求解，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 19. 解方程： （1）； （2）；（用配方法解） （3）．（用公式法解） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程的方法解答即可； （2）根据配方法解一元二次方程的方法解答即可； （3）先化为一元二次方程的一般式，再利用公式法求解． 【小问1详解】 解：， 整理，得． ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：． ∴， ∴， 即， 所以； 【小问3详解】 解：， 整理，得． ∴， ， ， 即． 20. 【阅读理解】阅读下列材料： ∴，即， ∴的整数部分为1，小数部分为． 根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是______，的小数部分是______； （2）如果小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的整数部分以及小数部分、即无理数的估算， （1）因为，得出的整数部分是，则的小数部分是，即可作答． （2）与（1）同理，求出，，再代入，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， 即， ∴的整数部分为．小数部分为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， 即， ∴的整数部分为， ∴． ∵，即． ∴的整数部分为， ∴， ∴． 21. 已知关于的方程，其中分别为三边的长． （1）若是方程的根，试判断的形状； （2）若方程有两个相等的实数根，试判断的形状． 【答案】（1）为等腰三角形； （2）为直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握根的判别式，等腰三角形的定义，勾股定理判定直角三角形的计算是关键． （1）把代入方程得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）根据根的判别式列式得，结合勾股定理判定直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴． ∴， ∴为直角三角形． 22. 课本知识再现：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）化简：= ；= ； （2）在有关二次根式的计算中，当出现分母且分母中出现二次根式时，我们往往将分母中的二次根式通过相关知识使分母不含二次根式，如：；我们继续思考如何化简的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“，其特点是类比分数的基本性质和平方差公式，使进行变形：，这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请把式子和分别进行分母有理化； （3）计算：． 【答案】（1），； （2），； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关性质和运算法则成为解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行化简即可解答； （2）根据题中介绍的方法进行分母有理化即可； （3）先通过分母有理化化简，然后在运用二次根式的混合运算法则计算即可． 小问1详解】 解：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：； ； 【小问3详解】 解：原式= ． 23. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； （2）当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据2月份到4月份销售量从256变成400建立方程求解即可； （2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，根据总利润为8400元建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款徽章降价m元，则每枚利润为元，月销售量为枚， 根据题意，得， 整理得， 解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 24. 阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． （1）问题解决：请你判断方程是否是连根方程； （2）问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； （3）方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 【答案】（1）方程是连根方程 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关键． （1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可； （2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为a，则另一个根为，再根据根与系数的关系进行求解即可； （3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴是连根方程． 【小问2详解】 解：∵方程（是常数）是“连根方程”， 设的两个根为， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：方程（b、c是常数）是“连根方程”， 设方程的两个根为：，且， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$