专题08 整式乘除法重难点题型汇编（四大类型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

专题08 整式乘除法重难点题型汇编（四大类型） 【题型1 整式的乘法运算】 【题型2 整式除法运算】 【题型3 整式乘法的应用】 【题型4 整式混合运算】 【题型1 整式的乘法运算】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．计算： (1)； (2)． 【题型2 整式除法运算】 7．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 8．计算：（    ） A． B． C． D． 9．计算： ． 10．计算： ． 11．计算： ． 12．计算： ． 13．计算： 14．计算： (1) (2) 【题型3 整式乘法的应用】 15．如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 16．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 17．如图，在长为米、宽为米的长方形铁片上，剪去一个长为米、宽为b米的小长方形铁片． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影的部分的面积S． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 18．7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为 的长度为m． (1)填空： ____，_______（用含a、b、m的式子表示）； (2)若的值与m的取值无关，求a与b的数量关系； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 19．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． (3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 20．数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：． (1)由图2可以得到：_______． (2)利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，，求的值． 21．在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如，如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ； (2)如图3，现有，的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽； (3)如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若， 的值． 22．如图，有一块长为米，宽为米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将建成一座边长为米的正方形水池． (1)用含有，的式子表示绿化部分面积；（结果要化简） (2)若，，求出此时的绿化总面积． 23．如图所示，某地区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个 边长均为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．    (1)用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？ (2)若，，求出绿化面积． 24．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到. 请回答下面的问题：    (1)写出图②中所表示的数学公式 . (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值. (3)图③中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为b，宽为a的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图，使得计算它的面积能得到数学公式. 【题型4 整式混合运算】 25．先化简，再求值：，其中． 26．先化简，再求值：，其中． 27．先化简，再求值：，其中，． 28．先化简，再求值，其中，． 29．先化简，再求值：，其中． 30．先化简，再求值：，其中，． 31．先化简再求值． ，其中，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 整式乘除法重难点题型汇编（四大类型） 【题型1 整式的乘法运算】 【题型2 整式除法运算】 【题型3 整式乘法的应用】 【题型4 整式混合运算】 【题型1 整式的乘法运算】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则成为解题的关键． 利用单项式乘单项式的运算法则逐题解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘多项式法则计算即可； （2）利用单项式乘多项式法则计算即可； （3）利用单项式乘多项式法则计算即可； （4）先利用单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式的法则进行计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则，单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （3）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可； （4）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式运算，解题的关键是掌握多项式乘以多项式运算法则． （1）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （2）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （3）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （4）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、整式的加减，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． （1）先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ． 【题型2 整式除法运算】 7．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的除法，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 8．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可求解，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为；． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解； ， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．计算： 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，利用多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算． （1）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型3 整式乘法的应用】 15．如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据矩形的面积公式列式计算，算出每个选项的结果，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意， B、，故该选项符合题意， C、，故该选项不符合题意， D、，故该选项不符合题意， 故选：B． 16．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，熟练掌握运算法则以及数形结合思想是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则计算，再求出A类、B类C类卡片的面积，即可得出C类卡片的张数． 【详解】解： ， ∵A类卡片的面积是，B类卡片的面积是，C类卡片的面积是， ∴拼拼一个长为，宽为的大长方形需要C类卡片5张． 故本题选：B． 17．如图，在长为米、宽为米的长方形铁片上，剪去一个长为米、宽为b米的小长方形铁片． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影的部分的面积S． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)（平方米）． 【分析】本题考查整式的乘法运算及求值，解题的关键是根据长方形面积公式，用大长方形面积减去小长方形面积得到阴影部分面积表达式，再代入求值． （1）利用长方形面积公式分别求出大，小长方形面积．用大长方形面积减去小长方形面积得出阴影部分面积表达式． （2）将的值代入表达式求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：根据题意，得 平方米． （2）当，时， （平方米）． 18．7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为 的长度为m． (1)填空： ____，_______（用含a、b、m的式子表示）； (2)若的值与m的取值无关，求a与b的数量关系； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的意义，整式加减中的无关型问题，正确求出和是解题的关键． （1）根据题意分别表示出两个阴影部分长方形的长和宽，进而表示出对应的面积即可； （2）根据（1）所求结合整式的加减计算法则求出的结果，再根据结果与m无关列式求解即可； （3）根据（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； ； （2）解：由（1）得， ∵的值与m的取值无关， ∴， ∴； （3）解：由（2）得． 19．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． (3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为 (2) (3)市民活动区域铺设地砖的费用为元 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可； （2）根据非负数的性质，得出，代入（1）的式子进行计算即可求解； （2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可，将，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为 ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：， ∴ 解得： ， ∴ （3）解：由题可得市民活动区域的面积为 ． 市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元， ． 当时， 答：市民活动区域铺设地砖的费用为元． 20．数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：． (1)由图2可以得到：_______． (2)利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘法与几何图形的面积： （1）根据面积公式和分割法两种方法表示出大正方形的面积，即可得出等式； （2）利用（1）中结论变形求值即可． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形的面积为：； 故答案为：． （2）由（1）可知：， ∵，， ∴， ∴． 21．在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如，如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ； (2)如图3，现有，的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽； (3)如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若， 的值． 【答案】(1) (2)见详解（画图不唯一）： (3)20 【分析】此题考查的是几何图形面积与多项式的乘法，数形结合是解题的关键． （1）由图中大矩形的面积=中间的各图片的面积的和，就可得出代数式； （2）面积为，那么最小的正方形使用2次，较大的正方形使用2次，边长为a，b的长方形使用5次，依此即可求解； （3）根据正方形面积，正方形面积,可得等式，根据，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，如下图： ； 故答案为：； （2）解：； 画图不唯一，画图正确即可，如下图： （3）解：由图4可知， ∴ ． 22．如图，有一块长为米，宽为米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将建成一座边长为米的正方形水池． (1)用含有，的式子表示绿化部分面积；（结果要化简） (2)若，，求出此时的绿化总面积． 【答案】(1)； (2)平方米． 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算的应用 （）绿化部分的面积等于整体面积减去正方形水池面积； （）将，代入求解； 【详解】（1）长方形地块的面积， 正方形的面积为：， 则绿化面积； （2）∵，， ∴绿化总面积， ， （平方米）． 23．如图所示，某地区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个 边长均为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．    (1)用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？ (2)若，，求出绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)1700平方米 【分析】此题考查整式的混合运算， （1）根据矩形和正方形的面积公式列式计算即可得到结论； （2）把，代入（1）的结果计算即可得到结论． 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）绿化的面积是： （平方米）， 答：绿化的面积是平方米； （2）当，时， 原式 （平方米）， 答：绿化面积为1700平方米． 24．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到. 请回答下面的问题：    (1)写出图②中所表示的数学公式 . (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值. (3)图③中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为b，宽为a的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图，使得计算它的面积能得到数学公式. 【答案】(1) (2)18 (3)作图见解析 【分析】（1）根据图形的面积求解即可； （2）把，代入（1）中的结论求解即可； （3）根据数学公式可得用6个边长为a的正方形、7个边长分别为a和b的长方形、2个边长为b的正方形拼成一个边长为和的长方形即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积为：， 又∵大正方形的面积为， ∴图②中所表示的数学公式为， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，    【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，根据长方形的面积公式分整体与部分两种方法列等式是解题的关键． 【题型4 整式混合运算】 25．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题主要查了整式的混合运算—化简求值．先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并，然后计算除法，再把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： 当时，原式． 26．先化简，再求值：，其中． 【答案】，24 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，直接利用乘法公式化简，进而合并同类项，再代入计算得出答案． 【详解】解： ； 当时，原式． 27．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式化简整式得，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 28．先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先根据整式的运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 29．先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先根据完全平方公式和平方差公式展开，再根据整式的加减法计算，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 30．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据乘法公式，整式的混合运算法则计算，在代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 31．先化简再求值． ，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算法则． 原式中括号中第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 将，代入得：原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$