专题07 平方差和完全平方运算和几何背景（五大类型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

专题07 平方差和完全平方运算和几何背景（五大类型） 【题型1 平方差运算】 【题型2 平方差的几何背景】 【题型3 完全平方公式运算】 【题型4 完全平方公式的几何背景】 【题型5 完全平方公式的逆运算】 【题型1 平方差运算】 1．在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为 ． 3．如果，那么 ． 4．已知，，则 ． 5．计算： ． 【题型2 平方差的几何背景】 6．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 7．如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是（    ） A． B． C． D． 8．长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为 ． 9．三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）    10．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．    11．如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是___________（写成平方差的形式）． (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是___________，长是___________，面积是___________ ．（写成多项式乘法形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式___________． (4)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则___________． ②计算： ③计算： 12．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个） A．                B． C．                    D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 13．如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． (1)上述操作能验证的等式是 ． A． B． C． (2)已知，，则 ． (3)应用所得的公式计算： (4)应用所得的公式计算： 14．数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题． 构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式____________（填选项即可）； A. B. C. （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值为____________； ②计算：____________； 构图二：如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________． 构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为a，求八边形的面积． 15．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______．（请选择“A”、“B”、“C”） A． B． C． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值 ． ②简便计算：． 【题型3 完全平方公式运算】 16．若，则等于（   ） A． B． C． D． 17．已知，则代数式的值是（    ） A．2 B．1 C． D．3 18．已知，则的值是（   ） A． B．3 C．6 D．9 19．已知，．则的值为（   ） A．7 B．13 C．17 D．1 20．运用完全平方公式计算，则公式中的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 完全平方公式的几何背景】 21．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 22．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 23．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．    (1)用含a、b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积． 24．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为　 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值． (3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 25．若满足． (1)①设，，则______，______，而______（用含，的代数式表示）； ②利用①中的信息，求出的值； (2)如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 26．图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形． (1)你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是________（用、表示）； (2)请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：________，②：________； (3)观察图（2），请写出、、之间的一个等量关系________； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【题型5 完全平方公式的逆运算】 27．若，则 ． 28．已知，，那么 ． 29．已知，．则的值为 ． 30．已知，求下列各式的值： ① ② 31．若，， (1)求的值； (2)求的值． 32．阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∵ ∴ ∴代数式的最小值为； （2） ∵ ∴ ∴代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ； (2)已知；，请比较与的大小，并说明理由． 33．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平方差和完全平方运算和几何背景（五大类型） 【题型1 平方差运算】 【题型2 平方差的几何背景】 【题型3 完全平方公式运算】 【题型4 完全平方公式的几何背景】 【题型5 完全平方公式的逆运算】 【题型1 平方差运算】 1．在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式判断即可． 【详解】解；A、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； B、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； C、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； D、，可以用平方差公式计算，本选项符合题意； 故选：D． 2．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用平方差公式可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．如果，那么 ． 【答案】0 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式展开，使得对应系数相等求解即可． 【详解】解：∵，又， ∴， 故答案为：0． 4．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【题型2 平方差的几何背景】 6．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据图①可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图②可得剩余部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此即可得． 【详解】解：由图①可知，剩余部分的面积为， 由图②可知，拼成的平行四边形矩形的底为，高为， 则剩余部分的面积为， 所以能验证的等式是， 故选：D． 7．如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，根据两个图形阴影部分面积相等即可得到结果． 【详解】解：图①的阴影部分的面积为：， 图②的阴影部分的面积为：， ∵阴影部分的面积相等， ∴， 故选：B． 8．长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据长方形周长公式得到，再由完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵长方形的周长为14，x、y为该长方形的一组邻边长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个长方形的面积为12， 故答案为：12． 9．三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）    【答案】或 【分析】设A类需用a块，C类需用c块，根据题意得拼成的正方形的面积为：是一个完全平方式，据此求解即可得． 【详解】解：设A类需用a块，C类需用c块， 这些地砖拼成的正方形的面积为：， 根据题意，是一个完全平方式，， 所以或者； 当，时，， 此时正方形的边长为：； 当，时，， 此时正方形的边长为：； 故答案为：或． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式的结构特征． 10．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．    【答案】 【分析】分别求出图2中大正方形，阴影及小长方形的面积，即可得到等式． 【详解】解：图2中大正方形的面积为，阴影图形的面积为，四个小长方形的面积为， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式与几何图形，正确理解图形的构成及计算每部分的面积是解题的关键． 11．如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是___________（写成平方差的形式）． (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是___________，长是___________，面积是___________ ．（写成多项式乘法形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式___________． (4)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则___________． ②计算： ③计算： 【答案】(1) (2)， ， (3) (4)①3，②4，③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．理解并掌握，是解题的关键． （1）用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得解； （2）根据图形，即可得到长方形的长和宽，利用长乘宽就可得到长方形的面积； （3）根据阴影面积相等，列出等式即可； （4）①利用公式进行计算即可；②：将变形为，再利用平方差公式求解；③利用（3）中公式，逐项展开，进行计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积是：； 故答案为：； （2）解：由图可知：长方形的宽为，长为，面积为； 故答案为：，，； （3）解：由题意，得：； 故答案为：； （4）解：①由，可知： ， ∵， ∴； 故答案为：； ② ； ③原式 ． 12．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个） A．                B． C．                    D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B． （2）解：，且， ， 解得：； （3）解： ． 13．如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． (1)上述操作能验证的等式是 ． A． B． C． (2)已知，，则 ． (3)应用所得的公式计算： (4)应用所得的公式计算： 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）因为图1的面积，图2的面积，得到，即可得到答案； （2）根据平方差公式得到，继而得到； （3）利用平方差公式计算即可； （4）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图1的面积，图2的面积， ， 故选：B； （2）解： ， ， ， ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 14．数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题． 构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式____________（填选项即可）； A. B. C. （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值为____________； ②计算：____________； 构图二：如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________． 构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为a，求八边形的面积． 【答案】构图一：（1）B；（2）①3；②1；构图二：；构图三： 【分析】本题考查了根据几何图形列代数式，平方差公式的几何背景，数形结合，掌握列代数式准确表示题中几何图形关系是解题的关键． 构图一：（1）根据图1和图2中阴影部分的面积不变，数形结合列出代数式求解即可得到答案；（2）①②先把（1）中的公式变形，再整体代入求解； 构图二：根据体积不变求解； 构图三：先求出小长方形的短边，再求解． 【详解】解：构图一：（1）图1中阴影部分的面积为：，图2中阴影部分的面积为：，根据阴影部分面积不变得到， 故选：B； （2）①，即， ， 故答案为：3； ②， 故答案为：1； 构图二：根据体积不变得； 构图三：由题意知小长方形的短边为， 八边形的面积为， 故答案为：． 15．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______．（请选择“A”、“B”、“C”） A． B． C． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值 ． ②简便计算：． 【答案】(1)B (2)①４；②１ 【分析】本题考查平方差公式的意义和应用，理解和掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． （1）分别表示拼接前后的阴影部分的面积，可得等式，得出答案； （2）①利用平方差公式将化为，再整体代入即可； ②利用平方差公式得出，再计算进而得出答案． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 因此有， 故答案为：B； （2）①，，， ， 即：， 故答案为：4； ②原式 ． 【题型3 完全平方公式运算】 16．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，把等号左边展开后整理为完全平方和公式即可得到m的值． 【详解】解： ， ∴． 故选：A． 17．已知，则代数式的值是（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵ 又， ， ∴ ∴， 故选：C． 18．已知，则的值是（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，由得到，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 19．已知，．则的值为（   ） A．7 B．13 C．17 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，先整理，再把，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 20．运用完全平方公式计算，则公式中的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将展开即可得公式中的代表的是x． 【详解】解：， ∴公式中的为x． 故选：B． 【题型4 完全平方公式的几何背景】 21．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】设， ∵长方形的周长是，长方形的面积是， ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式是解题的关键． 22．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求． 【详解】解：根据题意得剩余部分面积为： 则长方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，整式乘法的混合运算，完全平方公式，关键明确剩余部分面积等于长方形面积． 23．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．    (1)用含a、b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积． 【答案】(1), =； (2)=77； (3)=18. 【分析】（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，图②中阴影部分的面积是边长为b的正方形面积减去边长为b和的矩形面积的差； （2）由（1）用a、b表示出，然后将其配方后把，代入即可得解； （3）由图形中面积之间的关系可以用含有a、b的代数式表示，然后再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： , = =； （2）由（1）可得： = = =, ∴当，时， ； （3）由题意可得： =， 当时，， ∴. 【点睛】本题考查整式运算在面积计算中的应用，熟练掌握整式的运算法则及完全平方公式的应用是解题关键． 24．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为　 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值． (3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案； （2）由（1）的结论，进行应用即可； （3）设，，得出，，根据完全平方公式计算出的值即可． 【详解】（1）解：由图形面积得， 故答案为：； （2）由（1）题所得， ∴， ∴当，时， ， ∴或-2； （3）解：设，， 则，， 又由，得 ， ∴图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系是解决问题的前提． 25．若满足． (1)①设，，则______，______，而______（用含，的代数式表示）； ②利用①中的信息，求出的值； (2)如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)①，5，；②； (2)． 【分析】（1）根据题中所设，可写出和，再利用完全平方公式即可求出的值，即的值； （2）根据题意先设出正方形的边长，然后写出和的长可推出，然后利用长方形的面积可写出，推出，继而求出，即可求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：①根据题意可得： ， ， ， 故答案为：，5， ② ，即， ， 即， 故答案为：； （2）设正方形的边长为， 则，， ， 长方形的面积是， ， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，解题关键：熟练掌握这两个公式的推导． 26．图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形． (1)你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是________（用、表示）； (2)请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：________，②：________； (3)观察图（2），请写出、、之间的一个等量关系________； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) (4) 【分析】（1）根据观察图形，可得小正方形的边长； （2）根据正方形的面积公式，可得方法一，根据面积的和差，可得方法二； （3）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案； （4）根据（3）中的等量关系，可得答案． 【详解】（1）图（2）中阴影部分的正方形的边长是， 故答案为： （2）请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①，②， 故答案为：； （3）由（2）中面积的两种表示方法可得：， 故答案为： （4）由（3）得 又∵， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键． 【题型5 完全平方公式的逆运算】 27．若，则 ． 【答案】49 【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式将整理成，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：49． 28．已知，，那么 ． 【答案】34 【分析】该题主要考查了完全平方公式和代数式求值，解题的关键是对进行变形． 根据完全平方公式对进行变形，再将，代入即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， 故答案为：34． 29．已知，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用和整式求值，熟记完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将变形为，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 30．已知，求下列各式的值： ① ② 【答案】①13；②7 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方和公式，根据题意熟练运用完全平方公式恒等变形求值是解决问题的关键．①根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案；②根据①中，再代入即可得到答案． 【详解】解：① ， 当时，原式 ； ②，， ． 31．若，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， （2）解：∵，， ∴． 32．阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∵ ∴ ∴代数式的最小值为； （2） ∵ ∴ ∴代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ； (2)已知；，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、偶次方的性质等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，又对于任意的都有，故．，进而可以判断得解； （2）依据题意，作差，又对于任意的都有，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：； （2）解：，理由如下： ， 又对于任意的都有， ． ． 33．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据可得，再将代入，即可求得答案； （2）将原式整理为，然后将，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$