专题06 幂运算重难点题型汇编（五大类型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

专题06 幂运算重难点题型汇编（五大类型） 【题型1 幂运算综合）】 【题型2 新定义】 【题型3 阅读类-紧扣例题，化归思想】 【题型4 巧妙大小比较】 【题型5 幂的运算的综合提升】 【题型1 幂运算综合）】 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．的运算结果是（   ） A． B． C． D． 4．已知，．则的值是（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．计算： ． 7．若，则 ． 8．计算： ． 9．已知，则 ． 【题型2 新定义】 10．定义一种新运算：规定．若，则的值为 ． 11．新定义题  同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 12．定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 13．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若，求e与f的数量关系． 14．定义一种新运算，若，则，例，．若，求x的值． 15．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，． (1)解方程：． (2) ___________． (3)计算：． 【题型3 阅读类-紧扣例题，化归思想】 16．阅读下列各式：． 解答下列问题： (1)猜想： ． (2)计算：； (3)计算：． 17．先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：　　，　　，　　，　　； (2)观察（1）中的数量关系，猜想一般性的结论：　 　（），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想． 18．阅读材料： 求的值． 解：设…① 则…② ②-①，得 即 ∴ 仿照此法计算： (1)计算：． (2)计算：_______（直接写答案） 19．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log516，对数式2=log525可以转化为52=25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an， ∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）， 又∵m+n=logaM+logaN， ∴logaM•N=logaM+logaN． 解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式______； (2)计算结果______，______，______直接写出结果 (3)运用对数的性质计算： 【题型4 巧妙大小比较】 20．若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比较a、b、c的大小（   ） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a 21．已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 22．如，，是比较，大小（    ） A． B． C． D．、大小不能正确 23．比较的大小，正确的是（    ） A．B． C． D． 【题型5 幂的运算的综合提升】 24．（1）已知，求的值; （2）已知，求的值. 25．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 26．（1）已知：，，计算的值． （2）已知：，求的值． 27．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 28．解下列各题： (1)已知：，，求的值． (2)已知：，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 幂运算重难点题型汇编（五大类型） 【题型1 幂运算综合）】 【题型2 新定义】 【题型3 阅读类-紧扣例题，化归思想】 【题型4 巧妙大小比较】 【题型5 幂的运算的综合提升】 【题型1 幂运算综合）】 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘法的运算法则即可得解． 【详解】解：， 故选：． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．熟记法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 3．的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：B． 4．已知，．则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算公式是解题的关键．先利用同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算公式将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 由同底数幂的乘法、积的乘方，幂的乘方运算法则分别进行计算，即可得到答案 【详解】解：A、，原式计算错误； B、，原式计算错误； C、，原式计算错误； D、，计算正确； 故选：D 6．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，根据运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 7．若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用幂的乘方和同底数幂的乘法对原式进行变形得，将代入求值即可． 【详解】解：由得， 将代入上式得， 原式， 故答案为：9． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则计算即可求解，掌握积的乘方的逆运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9．已知，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则，得到，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故答案为：10． 【题型2 新定义】 10．定义一种新运算：规定．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了定义新运算，同底数幂的乘法，读懂题意是解题的关键．根据题意可知，，然后解方程即可． 【详解】解： 故答案为：1． 11．新定义题  同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，同底数幂的乘法，根据新定义运算的含义可得，再进一步计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ； 故答案为：． 12．定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算代入求解即可； （2）根据新定义得到，再根据同底数幂的乘法得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：． 13．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若，求e与f的数量关系． 【答案】(1)2，4 (2)见解析 (3)当为奇数时，当为偶数时， 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：2；4； （2）证明：∵若，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当为奇数时,； 当为偶数时，； 综上所述，当为奇数时，当为偶数时，． 14．定义一种新运算，若，则，例，．若，求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，解题的关键是理解题意；设，，，利用可得，即可求解． 【详解】解：设，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 15．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，． (1)解方程：． (2) ___________． (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据对数的定义得，结合底数的取值范围即可求得结果；、 （2）解法一：根据题目中提供的对数的性质进行计算即可； 解法二：设，利用对数的定义、幂的性质即可求得x的值； （3）逆用对数的性质：，即可求得结果． 【详解】（1）解：； ∴， ∴或（负数舍去）， 故； （2）解：解法一：； 解法二：设，则， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：． 【点睛】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点． 【题型3 阅读类-紧扣例题，化归思想】 16．阅读下列各式：． 解答下列问题： (1)猜想： ． (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查积的乘方，根据题干所给信息，得到，是关键． （1）由题干例题即可求得答案； （2）利用积的乘方法则计算即可； （3）利用积的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； 故答案为：； （2）； （3）． 17．先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：　　，　　，　　，　　； (2)观察（1）中的数量关系，猜想一般性的结论：　 　（），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想． 【答案】(1)2；4；6；6 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案； （2）根据同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】（1）∵， ∴； ∵， ∴； ∴， ∵， ∴． 故答案为：2；4；6；6． （2）． 证明：设，，则，， 故可得， 根据对数的定义：， 即． 【点睛】本题考查整式的混合运算、同底数幂的乘法等知识，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． 18．阅读材料： 求的值． 解：设…① 则…② ②-①，得 即 ∴ 仿照此法计算： (1)计算：． (2)计算：_______（直接写答案） 【答案】(1) (2) 【分析】(1)设，两边乘以3得到关系式，与已知等式相减，变形即可求得所求式子的值； (2)设，两边乘以，然后按照阅读材料的方法进行求解即可． 【详解】（1）设，① 两边同时乘以3，得，② ②-①，得， ∴， ∴； （2）设，① 两边同时乘以，得，② ①-②，得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是阅读材料题，主要考查了同底数幂的乘法，弄懂材料中的解题方法是解题的关键． 19．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log516，对数式2=log525可以转化为52=25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an， ∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）， 又∵m+n=logaM+logaN， ∴logaM•N=logaM+logaN． 解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式______； (2)计算结果______，______，______直接写出结果 (3)运用对数的性质计算： 【答案】(1) (2)，4，0 (3)2 【分析】（1）由对数的定义，即可得出答案； （2）根据对数的定义进行计算，即可得出结果； （3）运用对数的性质进行计算，即可得出结果． 【详解】（1）解：由对数的定义可知，将指数式53=125转化为对数式为3=log5125， 故答案为：3=log5125； （2）解：∵22=4，34=81，40=1， ∴log24=2，log381=4，log41=0， 故答案为：2，4，0； （3）解：∵logaM•N=logaM+logaN， ∴logaM+logaN=logaM•N， ∴log510+log52.5=log510×2.5=log525=2． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握对数的定义和性质是解决问题的关键． 【题型4 巧妙大小比较】 20．若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比较a、b、c的大小（   ） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【答案】B 【分析】根据幂的乘方的性质，得，，，从而完成求解． 【详解】，， ∵ ∴ ∴，即b＞a＞c 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解． 21．已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选：A． 22．如，，是比较，大小（    ） A． B． C． D．、大小不能正确 【答案】C 【分析】先运用幂的乘方的运算性质先把A和B进行转化变成同底数幂的形式，再进行比较即可． 【详解】解：∵A=， ， ∴A=B； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数． 23．比较的大小，正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据进行求解即可． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ； 故选A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，正确得到是解题的关键． 【题型5 幂的运算的综合提升】 24．（1）已知，求的值; （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握这两个运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：（1），， ； （2），， ． 25．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用幂的乘方与同底数幂的乘法法则解答即可； （2）利用幂的乘方与同底数幂的乘法法则得出，解方程即可． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ， ， ， 解得：． 26．（1）已知：，，计算的值． （2）已知：，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可； （43）根据幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，， 故． （2）解：， ∵， ∴． 27．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）8 【分析】本题考查代数式求值，涉及幂的乘方运算的逆运算、同底数幂的乘法运算、一元一次方程及代数式求值等知识，熟练掌握幂的乘方运算的逆运算、同底数幂的乘法运算变形求解即可得到答案． （1）根据幂的乘方运算的逆运算、同底数幂的乘法运算，将化为，得到一元一次方程求解即可得到答案； （2）根据幂的乘方运算的逆运算、同底数幂的乘法运算，根据，由条件得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：（1）， ，即， ∴，解得； （2）， ， ， ． 28．解下列各题： (1)已知：，，求的值． (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据逆用幂的乘方运算求得的值，进而即可求解； （2）根据逆用积的乘方与幂的乘方，得出原式，代入已知式子的值即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴ ． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$