专题09 因式分解方法重难点题型汇编（六大题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

专题09 因式分解方法重难点题型汇编（六大题型） 【题型1 提公因式法提公因式】 【题型2 因式分解-平方差】 【题型3 因式分解-完全平方】 【题型4先提公因式，再用公式法】 【题型5 十字相乘法】 【题型6分组分解法】 【题型1 提公因式法提公因式】 1．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可． 找出公因式即可得答案． 【详解】解：； 故答案为：． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式即可分解因式． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了求代数式的值．由已知得到，将原式整理得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 5．若，，则的值是 ． 【答案】15 【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握因式分解，在已知代数式值的前提下求代数式值的方法步骤，是解决问题的关键． 将，再将，代入求值即可得到答案． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：15． 6．已知，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是通过因式分解将代数式转化为已知条件的形式，进而代入求值．本题通过因式分解将目标表达式转化为已知条件的乘积形式，关键步骤是正确提取公因式并代入数值．最终答案即为已知值的乘积． 【详解】解：将代数式进行因式分解，提取公因式，得到， 将已知条件和代入分解后的表达式，得到， 因此，代数式4． 故答案为：4． 7．分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用提取公因式法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型2 因式分解-平方差】 8．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式；原式变形为两数的平方差的形式，再用平方差公式即可求解． 【详解】解：； 故答案为：． 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法分解因式，首先把写成的形式，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．直接利用平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；此题可根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为． 14．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 15．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为： 16．分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了用平方差公式分解因式，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型3 因式分解-完全平方】 17．因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，直接利用完全平方公式进行因式分解即可．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 18．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 19．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用完全平方公式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 20．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式解答即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 21．分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 22．分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分解因式，多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，最后根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型4先提公因式，再用公式法】 23．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式a，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 24．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 25．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 26．将多项式因式分解，结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，然后用平方差公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 27．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 28．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 29．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练的掌握提公因式法与公式法的综合运用． 先提取公因式，然后再有平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 30．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 31．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式再利用完全平方公式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 32．若，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】根据题意，得，结合代入求值即可． 本题考查了综合法因式分解，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 由， 得， 故答案为：0． 33．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，解题的关键是熟悉提取公因式与公式法分解因式． 先提提取公因式，再利用完全平方公式继续分解因式． 【详解】解： 故答案为： ． 34．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型5 十字相乘法】 35．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 36．先阅读下列材料： 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 例如： ． 请你仿照以上方法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将5拆解成，再根据完全平方公式得，然后利用平方差公式进一步分解． （2）将拆解成，再根据完全平方公式得，然后利用平方差公式进一步分解． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值． 37．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法例如： ． 拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法例如： (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： （分组分解法）； （拆项法）； (2)已知：，，为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)； (2)的周长为 【分析】本题主要考查公式法因式分解： （1）将组成为分解即可． 将拆项为分解即可； （2）分组拆项配成完全平方式的和形式，利用非负性计算即可． 【详解】（1） （2）， ． ． ，，． ． 的周长为． 【题型6分组分解法】 38．把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，先分组，再提取公因式即可. 【详解】解： ； 故选A 39．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． （1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．义务教育数学课程标准（年版）关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，看懂题例，学会拆项法及添项法是解决本题的关键． （1）把拆成、，然后分组分解； （2）把拆成、，然后三二分组分解； （3）把、、分别拆成、、，再两两分组分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 41．【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图是一块长方形试验田，已知长为，长为，当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为(，均为正整数)，且满足，请求出和的值． 【答案】（1）；（2）为等腰三角形，理由见解析；（3）， 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义． （1）根据分组分解法分解因式即可； （2）利用分组分解法，解方程得出，即可得出为等腰三角形； （3）根据题意列出方程，结合实际意义，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵，，均为正数， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （3）解：∵长为，长为 ， ∴长方形试验田的面积为， 当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为， 即，， 根据题意可得：， 整理得出：， ∵为正整数， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴或， 分别求解，得出或（舍去）， 故，． 42．常用的分解因式的方法有提取公因式法．公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：． 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)； (2)已知，，分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解． （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于的形式，利用非负数的性质求出、、的关系即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由可得： ∴， ∴ 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于才成立， ∴，， ∴． ∴的形状是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 因式分解方法重难点题型汇编（六大题型） 【题型1 提公因式法提公因式】 【题型2 因式分解-平方差】 【题型3 因式分解-完全平方】 【题型4先提公因式，再用公式法】 【题型5 十字相乘法】 【题型6分组分解法】 【题型1 提公因式法提公因式】 1．因式分解： ． 2．分解因式： ． 3．因式分解： ． 4．若，则的值为 ． 5．若，，则的值是 ． 6．已知，，，则 ． 7．分解因式的结果是 ． 【题型2 因式分解-平方差】 8．因式分解： ． 9．因式分解： ． 10．分解因式： ． 11．分解因式： ． 12．因式分解： ． 13．在实数范围内分解因式： ． 14．分解因式： ． 15．分解因式： ． 16．分解因式： ． 【题型3 因式分解-完全平方】 17．因式分解： ． 18．分解因式： ． 19．分解因式： ． 20．因式分解： ． 21．分解因式： ． 22．分解因式： ． 【题型4先提公因式，再用公式法】 23．因式分解： ． 24．分解因式： ． 25．因式分解： ． 26．将多项式因式分解，结果是 27．因式分解： ． 28．分解因式： ． 29．分解因式： ． 30．因式分解： ． 31．分解因式： ． 32．若，则代数式的值为 ． 33．分解因式： ． 34．分解因式： 【题型5 十字相乘法】 35．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 36．先阅读下列材料： 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 例如： ． 请你仿照以上方法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 37．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法例如： ． 拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法例如： (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： （分组分解法）； （拆项法）； (2)已知：，，为的三条边，，求的周长． 【题型6分组分解法】 38．把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 39．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 40．义务教育数学课程标准（年版）关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 41．【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图是一块长方形试验田，已知长为，长为，当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为(，均为正整数)，且满足，请求出和的值． 42．常用的分解因式的方法有提取公因式法．公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：． 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)； (2)已知，，分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$