精品解析：上海市新中初级中学 2024-2025学年七年级下学期期中数学卷（五四制）

新中初级中学2024学年第二学期数学学科初一年级期中练习卷 （考试时间90分钟） 2025年4月 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分 1. 如图，下列结论中错误的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是同旁内角 C. 与是对顶角 D. 与是内错角 2. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个三角形的两边长分别为3和6，则第三边长可能是（ ） A. 2 B. 12 C. 9 D. 4 4. 下列说法正确的是（    ） A. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 B. 三角形的角平分线是射线 C. 三角形的三条中线交于一点 D. 三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 5. 用反证法证明“若，则”时应假设（ ） A. B. C. 与相交 D. 与不平行，与不平行 6. 如图，在方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分 7. 用不等式表示“x的2倍减去3所得的差是正数”________． 8. 在 中，如果，那么这个三角形是___________（形状）的三角形． 9. 如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________． 10. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 11. 如图：∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A到直线BC的距离是线段_____的长度． 12. 如图，，如果，，，那么线段AB的长是______． 13. 如图，分别是△ABC的角平分线和高线，且，则________． 14. 如图，点E、F在上，，，、相交于点G，要使得，则还需添加的条件为________． 15. 在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为_________________． 16. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为________． 17. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________． 18. 如图，在中，厘米，厘米，且，点D为的中点．如果点P在线段上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当与全等时，v的值为________． 三、简答题：本题共3小题，共18分 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 20. 已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 21. 如图，在中，点D 在边的延长线上，过点D 作射线，点 E 是射线上 一 个定点 ． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与 的延长线交于点F． (不写作法，但保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，若，求证： ，请把以下的解题过程补充完整． 证明：∵ ( 已 知 )， ∴( ① )， ∵( 已 知 ) ， ∴ ② (等式的性质) ∴， 在和 中 ， ∴( ③ ) ∴ ④ (全等三角形的对应角相等)， ∴ ( ⑤ )． 四、解答题：本题共4小题，共28分 22. 静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： （1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） （2）顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 23. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 24. 如图，在和中，，，是中点，，垂足为点． （1）试说明：； （2）若，求的长． 25. 如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． （1）求此时的度数； （2）如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； （3）在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新中初级中学2024学年第二学期数学学科初一年级期中练习卷 （考试时间90分钟） 2025年4月 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分 1. 如图，下列结论中错误的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是同旁内角 C. 与是对顶角 D. 与是内错角 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是同位角，原说法正确，不符合题意； B、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意； C、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； D、与不是内错角，原说法错误，符合题意； 故选；D． 2. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故不符合题意； B． ∵， ∴， ∴，故符合题意； C．∵， ∴，故不符合题意； D． ∵， ∴，故不符合题意． 故选：B． 3. 如果一个三角形的两边长分别为3和6，则第三边长可能是（ ） A. 2 B. 12 C. 9 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边数量关系，理解并掌握三角形三边数量关系是解题的关键． 根据三角形三边数量关系是解题的关键． 【详解】解：一个三角形的两边长分别为3和6， ∵， ∴第三边的取值范围是大于3，小于9， ∴只有D选项符合题意， 故选：D ． 4. 下列说法正确的是（    ） A. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 B. 三角形的角平分线是射线 C. 三角形的三条中线交于一点 D. 三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角形的高的交点在三角形的内部，直角三角形的高的交点即直角顶点，钝角三角形的高所在的直线的交点在三角形的外部．以及三角形的中线，角平分线的性质即可作出判断． 【详解】解：A．直角三角形的三条高线的交点是三角形的直角顶点，在三角形上，故选项错误； B．三角形的角平分线是线段，故选项错误； C．正确； D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，故选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，都是需要熟记的内容． 5. 用反证法证明“若，则”时应假设（ ） A. B. C. 与相交 D. 与不平行，与不平行 【答案】C 【解析】 【分析】由于反证法的步骤是首先假设结论不成立，进而得出答案． 【详解】解：∵求证：l1∥l3，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发， ∴第一步应假设l1与l3不平行，则l1与l3相交． 故选：C． 【点睛】本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键． 6. 如图，在方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】以BC为公共边时有3个三角形，以AC为公共边时有1个三角形与△ABC全等． 【详解】解析：画出符合题意要求的三角形如图所示 以为公共边的三角形有8个，分别是，， 以为公共边的三角形有0个 以为公共边的三角形有1个，为 共个 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键．解题时考虑要全面，不要漏解． 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分 7. 用不等式表示“x的2倍减去3所得的差是正数”________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，直接利用“的2倍”即，再减3，结果是正数，即大于零，即可得出不等式．正确得出不等关系是解题关键． 【详解】解：用不等式表示“的2倍减去3所得的差是正数”为， 故答案为：． 8. 在 中，如果，那么这个三角形是___________（形状）的三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解决本题的关键是熟记三角形内角和为．根据三角形的内角和是计算． 【详解】解：． 又， 则， 即． 即该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 9. 如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由对顶角相等可得，根据可得，由平行线的性质可得． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故答案为：． 10. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题． 11. 如图：∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A到直线BC的距离是线段_____的长度． 【答案】AD##DA 【解析】 【分析】根据点到直线的距离及线段的长的意义可求出答案． 【详解】解：∵AD⊥BC，垂足为D， ∴点A到直线BC的距离是线段AD的长度． 故答案为：AD． 【点睛】此题考查点到直线的距离，解题的关键是根据点到直线的距离及线段的长的意义． 12. 如图，，如果，，，那么线段AB的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得，进而可证，然后根据求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以，即． 又因为，， 所以． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等． 13. 如图，分别是△ABC的角平分线和高线，且，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键． 根据三角形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，点E、F在上，，，、相交于点G，要使得，则还需添加的条件为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有，，，，．根据全等三角形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：添加， ∵，，根据证明． 添加， ∵，，根据证明． 故答案为：．（答案不唯一） 15. 在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为_________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂直定义和邻补角定义，熟练掌握概念是解题的关键．分当在直线的上方时及当在直线的下方时两种情况进行讨论，求得的度数． 【详解】解：如图，当在直线的上方时， 由题意可得：， ， ， ， 如图，当在直线的下方时， 由题意可得：， ， ， ， 故答案为：或 16. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为________． 【答案】##160度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点O作直线，     ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解第一个不等式得出其解集，再根据“大大小小无解了”可得答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵关于x的不等式组无解， ∴ 解得： 故答案为： 18. 如图，在中，厘米，厘米，且，点D为的中点．如果点P在线段上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当与全等时，v的值为________． 【答案】3或4 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质．分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，得出，解得：．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【详解】解：中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为4厘米秒， 点的运动时间为：， （厘米秒）； 若，则需厘米，， ， 解得：； 的值为3或4． 故答案为：3或4． 三、简答题：本题共3小题，共18分 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．再在数轴上表示出即可，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： ． 20. 已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解不等式求出其最大整数解，再代入计算即可．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：解不等式， 得， 则该不等式组的最大整数解为， 将代入方程得：， 解得． 21. 如图，在中，点D 在边的延长线上，过点D 作射线，点 E 是射线上 一 个定点 ． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与 的延长线交于点F． (不写作法，但保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，若，求证： ，请把以下的解题过程补充完整． 证明：∵ ( 已 知 )， ∴( ① )， ∵( 已 知 ) ， ∴ ② (等式的性质) ∴， 在和 中 ， ∴( ③ ) ∴ ④ (全等三角形的对应角相等)， ∴ ( ⑤ )． 【答案】（1）画图见解析 （2）两直线平行，同位角相等；；；；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质； （1）作即可； （2）根据题干信息逐步填写推理过程与推理依据即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的角； ． 【小问2详解】 证明：∵ ( 已 知 )， ∴( 两直线平行，同位角相等 )， ∵( 已 知 ) ， (等式的性质) ∴， 在和 中 ， (全等三角形的对应角相等)， ∴ (同位角相等，两直线平行)． 四、解答题：本题共4小题，共28分 22. 静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： （1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） （2）顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）由甲商店所购商品按原价打八五折，即可得出结果； （2）先算出顾客选择乙商店的优惠活动购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时的实际付款，再根据如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为：元， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为：元， 由题意得：， 解得：， ． 23. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在和中，，，是中点，，垂足为点． （1）试说明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． （1）先证明，即可证明； （2）由，得到，，由是中点，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ，， 是中点， ， ， ， ， 即的长为． 25. 如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． （1）求此时的度数； （2）如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； （3）在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）秒或秒或秒或秒或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，全面分类、熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分五种情况，分别画出图形，利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 如图6，当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得：． 如图7，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 综上，值为秒或秒或秒或秒或秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $