精品解析：重庆市第十八中学2024-2025学年八年级下学期期中学习能力测查数学试题

2025年春季重庆市第十八中学八年级半期学习能力测查 数学试题 （命题人：邓云中 审题人：章伟） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式即被开方数中不含有开方不尽的因数，被开方数不含有分母．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． C、，符合定义，是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 2. 4月我校初二年级举行了篮球比赛，甲、乙、丙三个班各选8名运动员参加比赛．若三个班级参赛运动员的平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛同学身高比较整齐的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 同样整齐 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．根据方差的定义解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴参赛学生身高比较整齐的班级是甲班． 故选：A． 3. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算．熟练掌握二次根式乘法法则，“夹逼法”估算是解题的关键． 先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值在0和1之间． 故选：A． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意； B、邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，本选项符合题意； D、三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形，是真命题，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型． 5. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题．如图，作点A关于y轴的对称点，连接 交y轴于P，连接PA，则PA十PB的最小值为 的长度． 【详解】解：如图，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接 ， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的最小值为5， 故选：B． 6. 已知一次函数 的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键．根据一次函数的图象和性质求解． 【详解】解：由图象得一次函数 的图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 7. 按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，搭2025个这样的小正方形需要小棒（ ）根 A. 8080 B. 6081 C. 6076 D. 6075 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形中的数字规律．根据给出的图形，抽象概括出数字规律，利用规律进行计算即可． 【详解】解：搭1个小正方形需要4根小棒， 搭2个小正方形需要根小棒， 搭3个小正方形需要根小棒， 搭 个小正方形需要根小棒， ∴搭2025个这样的小正方形需要小棒根； 故选：C． 8. 小泽和小帅分别从甲地骑自行车沿同一条路到乙地如图是小泽和小帅离甲地的距离 （单位：千米）与时间 （单位：小时）之间函数关系的图象，根据图中信息，下列说法有误的是（ ） A. 从甲到乙地共 千米 B. 小帅的骑车速度为千米/小时 C. 小泽出发 小时后小帅才出发 D. 当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有 千米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂图象的实际意义是解题的关键．根据图象可直接判断A；由图象可以求出小帅的速度，可以判断B；根据小帅的速度可以求出小帅行驶 千米所用时间，从而判断C；先求出小泽行驶 千米后的速度，再根据路程、速度、时间的关系判断D． 【详解】解：∵纵轴表示的是小帅与小泽从甲地出发前往乙地，距甲地的距离 ，且最小值为 千米，最大值都为 千米， ∴甲、乙两地的距离为：（千米）； 故选项A正确； ∵由图可知，小帅的速度为：（千米/小时）， 故选项B错误； ∵（千米/小时）， ∴小帅行驶 千米所用的时间为：（小时）， ∴小帅出发前，小泽行驶的时间为：（小时），即小泽出发 小时后小帅才出发， 故选项C正确； ∵小泽出发 小时时，行驶了 千米，之后改变速度匀速行驶，行驶了 小时后，到达终点，此时距离甲地 千米， ∴小泽改变速度之后的速度为（千米/小时）， ∵当小帅到达终点时，小泽一共行驶了 小时， ∴小泽一共行驶了：（千米）， 此时小泽距离乙地还有：（千米）， 故选项D正确， 故选：B． 9. 如图，点 是正方形 对角线 上一点，点 在 上且 ，连接 ， ，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明得到，进而得到，，由直角三角形两锐角互余得，根据平角的定义得，两式相加整理再进行等量代换即可求解． 【详解】解：在正方形 中， 是对角线， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴， ∴ ，， ∴，， ∴，， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， 将①②两式相加可得， ∴， ， ， ∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，角的和差等，正确识图并进行等量代换是解题的关键． 10. 对于依次排列的整式，对任意相邻的两个整式求和，所得结果写在这两个整式之间，可以产生一列新的整式，称此为1次“合美操作”．例如：对于9，2进行1次“合美操作”得到9，11，2；对于9，2连续进行2次“合美操作”得到9，18，11，13，2；对于依次排列的5个整式，， ，，，连续进行 次“合美操作”后得到一列新的整式，关于所得的一列新的整式，下列说法： ①当 时，这一列新的整式中共有17个整式； ②当时，这一列新的整式中有一个整式为； ③存在正整数 ，使得这一列新的整式中所有整式之和为； 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查定义新运算．根据给定的“合美操作”的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：①当 时，， ，，， ，，，，，共 个整式； 当 时，，， ，，，，，， ，，，，，，，，，共 个整式，①正确； ②类比 时，整式里有：，，，， 可知：当时，这一列新的整式中有一个整式为，②正确； ③当 时，所有整式和： ， 当 时，所有整式和： 整理得：， 由题意得：， 解得 ， ∴存在正整数 ，使得这一列新的整式中所有整式之和为；③正确； 综上，①②③都正确； 故选：D． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ，且 ， ∴ 且 ， 故答案为： 且 ． 12. 如图，菱形ABCD的周长为12cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长是_______． 【答案】cm 【解析】 【详解】试题分析：∵菱形ABCD的周长为12cm，∴AB=BC=CD=3cm． ∵BC的垂直平分线EF经过点A，∴BE=cm． ∴∠BAE=30°，∠ABE=60°．∴∠DBC=30°． 过点D作DH⊥BC的延长线于点H，则∠CDH=30°．∴CH=cm． ∴BH=cm．∴（cm）． 13. 如图，一次函数的图象与y轴的交点为 ，则不等式的解集是 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式， 先求出 ，可得，再根据 ，可知，求出解集即可. 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点为 ， ∴ . ∵， ∴. ∵ ， ∴， 解得. 故答案为：. 14. 若数使关于 的分式方程的解为非负整数，且使关于 的不等式组至少有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法．解出分式方程，根据题意确定a的范围，解不等式组，根据题意确定a的范围，根据分式不为0的条件得到，根据题意计算即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理得，， 由题意得，是非负整数，且， 解得：且且a为偶数； 解不等式组得，， ∵不等式组至少有4个整数解， ∴， 则且且a为偶数， ∴所有满足条件的整数a的值之和为：， 故答案为：6． 15. 如图，正方形 中，E为 边上一点，连接 ，过点E作且 ．连接，取 中点G，连接 ．已知，则_______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图，连接 ，过 作，交 的延长线于 ，证明，，，，，可得，，再进一步的求解即可． 【详解】解：如图，连接 ，过 作，交 的延长线于 ， ∵正方形 ，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ 为 的中点， ∴； 故答案为：， 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，化为最简二次根式，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16. 若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，，则称这个四位数 为“海纳百川数”，例如：四位数9527，因为，所以9527不是“海纳百川数”；又如：四位数4326，因为，，所以4326是“海纳百川数”．若 是最小的“海纳百川数”，则这个数为_____，若是“海纳百川数”，将 的千位去掉，再将百位与十位数字对调后，得到一个三位数记为 ，记，，若能被3整除，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 ①. 2135 ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用． 根据“海纳百川数”的定义可得，，即，，再根据确定 的最小值及d的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“海纳百川数”的定义，得出，再由能被3整除可知能被3整除，理一步计算即可得到的最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ 是最小的“海纳百川数”， ∴，， ∵且四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴ 的最小值为3，则， ∴最小的“海纳百川数”为2135； 由题意得，， ∴， ∵能被3整除， ∴能被3整除， ∵一定能被3整除， ∴能被3整除，即能被3整除， ∴或6或9， 即的值为2或5或8， 当时，，组合为 ，或， ， ∴或； 当 时，， 组合为，或 ， 或 ，或 ， ， ∴或或或； 当 时，， 组合为 ，或， 或 ，或 ， ， ∴或或或； 综上，满足条件的的最大值为，且， 故答案为：2135；． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算： （2）计算： （3）化简： （4）化简： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，分式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法和负整数指数幂，再化简二次根式和去绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）计算二次根式乘法即可得到答案； （3）先通分，把分子分母因式分解，再计算加减，然后约分即可； （4）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 18. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，重外数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可先证得到的图形是平行四边形继而得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在菱形 中， 于点 ．用尺规过点 作 的垂线交于点 （不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：菱形 中， 于点 ，于点 ． 求证：四边形是矩形． 证明： 四边形 是菱形， ， ，___①_____ 又 ． ，___②____ ， ___③___ ， 又 ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 进一步思考，如果“菱形 ”改为“平行四边形 ”还有相同的结论么？请你写出你猜想的结论： ______________________________④__________________________________ 【答案】（1）见解析；（2）①；②；③；④过平行四边形的一条对角线的两端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可； （2）由菱形的性质可证，证明得，进而可证四边形是矩形；如果“菱形 ”改为“平行四边形 ”，同理可证四边形是矩形 【详解】（1）如图所示，即为所求作； （2）证明： 四边形 是菱形， ， ， 又 ． ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 同理可证：如果“菱形 ”改为“平行四边形 ”结论仍然成立，即过平行四边形的一条对角线的两端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形． 故答案为：①；②；③；④过平行四边形的一条对角线的两端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 19. 某校通过开设劳动基础知识必修课、组织学生参与校园劳动，社区服务等方式积极开展劳动教育．为进一步激发学生的学习兴趣，学校举办了劳动基础知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行收集，整理，描述，分析（成绩得分用 表示，共分成四组：A．，B．，C．，D． ），部分信息如下： 七年级20名学生的竞赛成绩为：88，93，88，92，82，85，97，95，77，93，75，96，78，89，78，96，79，91，88，90． 八年级20名学生的成绩在 组的数据是：90，93，90，90，92． 七、八年级所抽学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.5 88.5 b 八年级 88.8 c 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，_______； （2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的劳动基础知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1400名学生，八年级有1500名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）30；88；90 （2）根据平均数看，八年级的平均数为，七年级的平均数为 ，所以八年级的劳动基础知识竞赛成绩较好（答案不唯一） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总量，众数，中位数，扇形图和统计表，熟知上述概念是解题的关键． （1）利用扇形图，众数，中位数的概念，即可解答； （2）利用平均数，众数，中位数的概念，即可解答； （3）利用样本估计总量，列式子，即可解答． 【小问1详解】 解：； 七年级学生的竞赛成绩中众数为，故； 八年级学生的竞赛成绩中中位数为，故 ， 故答案为：30；88；90； 【小问2详解】 解：根据平均数看，八年级的平均数为，七年级的平均数为 ，所以八年级的劳动基础知识竞赛成绩较好； 根据中位数看，八年级的中位数为 ，七年级的中位数为，所以八年级的劳动基础知识竞赛成绩较好； 根据众数看，八年级的众数为 ，七年级的众数为，所以八年级的劳动基础知识竞赛成绩较好； 【小问3详解】 解：人， 答：该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有人． 20. 在繁华的商业街上，有一家颇受欢迎的数码产品店．一月份，该店新上架了两款电话手表，一款是功能更强大、带有摄像头的升级款，另一款则是基础实用、不带摄像头的普通款．已知普通款的单价是升级款的 ，一月份升级款电话手表的销售额达到了45000元，普通款的销售额为29750元，两款电话手表总共售出80只． （1）分别求出升级款电话手表和普通款电话手表的单价； （2）随着二月份开学季的临近，数码店为了吸引更多学生和家长购买，开展了降价促销活动．在一月份价格的基础上，升级款电话手表每只降价元，而普通款的单价维持不变．活动开展后，升级款电话手表的销量增加了只，普通款电话手表的销量减少了只，最终二月份两款电话手表总的销售额比一月份增加了元，求的值． 【答案】（1）升级款电话手表的单价为1000元，普通款电话手表的单价为850元； （2）a的值为50 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设升级款电话手表的单价为x元，则普通款电话手表的单价为元，根据题意列分式方程，进而解方程即可； （2）先求出一月份的升级款电话手表和普通款电话手表的销量，再根据题意列关于a的方程求解即可． 【小问1详解】 解：设升级款电话手表的单价为x元，则普通款电话手表的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， ， 答：升级款电话手表的单价为1000元，普通款电话手表的单价为850元； 【小问2详解】 解：一月份升级款电话手表的销量为（只），普通款电话手表的销量为（只）， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：a的值为50． 21. 如图，四边形 中，．点 从 出发，沿着折线运动，到达点 停止运动．设点 运动速度为2，时间为 ，连接 ，记的面积为 ，请解答下列问题： （1）直接写出 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合图象，当的面积不大于四边形 面积的时，直接写出 的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过 ） 【答案】（1） （2）图见详解，在 ，y随x的增大而增大（有理即可） （3）当的面积不大于四边形 面积的时， 的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）当点P在 上时，，当点P在 上时，，进而可求解； （2）根据（1）中表达式画函数图象即可，在 ，y随x的增大而增大（有理即可）． （3），当点P在 上时，，当点P在 上时，，进而可解答； 【小问1详解】 解：当点P在 上时，， 当点P在 上时，， 即， ∴． 【小问2详解】 根据（1）中表达式画函数图象如下： 在 ，y随x的增大而增大． 【小问3详解】 ， 当点P在 上时，，即， ∴， 当点P在 上时，，即， ∴， ∴当的面积不大于四边形 面积的时， 的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，正确写出函数关系式是解本题的关键． 22. 如图，小南家 位于一条东西走向的笔直马路上，超市 在 地的正东方．午休时间，小南从家 出发沿北偏东 方向步行至菜鸟驿站 取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有 ，他决定先沿西南方向步行至超市 购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据： ， ) （1）求菜鸟驿站 与超市 的距离(保留整数)； （2）若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间) 【答案】（1）菜鸟驿站 与超市 的距离约为 （2） 解：小南上美术网课会迟到，理由：在中，， ， ， ． ， 小南上美术网课会迟到． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和用三角函数解决实际问题，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键． （1）过点 作 交 的延长线于点 ，先根据三角函数求出 的长，再根据三角函数求 的长即可； （2）先根据三角函数求出 的长，再计算即可． 【小问1详解】 解：过点 作 交 的延长线于点 ，则， 由题意可知，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 答：菜鸟驿站 与超市 的距离约为． 【小问2详解】 略 23. 如图，拋物线与 轴交于两点，与 轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 ，点 是线段 上方抛物线上一动点，过点 作轴交线段 于点 ，点 为 轴上一动点，点 为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）将拋物线沿 方向平移，平移后的抛物线经过，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交 轴于点 ，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】（1） （2） （3），，解答过程见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得和直线 的解析式为，由题意，设，，则，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求得当时，取得最大值，此时，作点P关于y轴的对称点，连接 ，，，可得，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，利用两点坐标距离公式求解即可； （3）先根据已知条件求得新抛物线的解析式为，然后分当在 上方时和当在 下方时两种情况，利用待定系数法、联立方程组、全等三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵拋物线与 轴交于两点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当 时， ，则， 设直线 的解析式为， 将代入，得，解得 ， ∴直线 的解析式为， 由题意，设，，则， ∴，， ∴， ∵ ，， ∴当时，取得最大值，此时， 如图，作点P关于y轴的对称点，连接 ，，， 则，， ∵拋物线与 轴交于两点， ∴点A、B关于直线 对称， ∴， ∴，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ∵， 故的最小值为； 【小问3详解】 解：由得抛物线的对称轴为直线 ， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∵将拋物线沿 方向平移， ∴设抛物线向左平移个单位，再向下平移m个单位，得到新抛物线， 则平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴，解得 ，（舍去）， ∴新抛物线的解析式为， 当在 上方时，如下图， ∵，， ∴， ∴， 设直线 的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线 的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得，（舍去）， 则T坐标为； 当在 下方时，如上图，设即与y轴相交于S， ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得，（舍去）， 故即T的坐标为， 综上，满足条件的所有点T坐标为和． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的图象平移、坐标与图形、两点坐标距离公式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、解方程（组）等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 24. 如图，在 中， ， 于点 D， E为 上一点， 连接 ． （1）如图1，若 平分 ， ， 求线段 的长； （2）如图2，过点E作 交 的延长线于点 F， 连接 ， G为 的中点，连接 ，若 ，猜想线段 之间的数量关系， 并证明你的猜想； （3）如图3， 过点D作 的垂线交 于点H，点P是直线 上一动点， 连接，将绕A点顺时针旋转 得， 连接与直线交于点Q，当 最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） ，证明如下： 如图所示，过点F作 交 延长线与M， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， 设 ，则 ， 如图所示，取 中点N，连接 ， ∵ 分别是 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作 于H，证明 都是等腰直角三角形，得到 ，由角平分线的性质得到 ，则 ，可得 ，解方程即可得到答案； （2）如图所示，过点F作 交 延长线与M，证明，得到 ，设 ，则 ，取 中点N，连接 ，则 是 的中位线，可得 ，求出 ，则 ，可得 ，则 再由 ，则 ； （3）如图3-1所示，将 绕点A逆时针旋转60度得到 ，连接 ，则 是等边三角形，证明点H为 的中点，得到 ；同理可得是等边三角形，则 ，证明，得到 ，则点Q在直线上运动，故当时， 有最小值；如图3-2所示，设 交于T，则 ，设 ，则 ，可得 ；再证明 ，得到四边形是梯形，则，再由，可得． 【小问1详解】 解：如图所示，过点E作 于H， ∵ ， ， ， ∴ 都是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，将 绕点A逆时针旋转60度得到 ，连接 ，则 是等边三角形， ∴ ； ∵ 是等腰直角三角形， ， ∴点H为 的中点， ∴ ； ∵将绕A点顺时针旋转 得， ∴同理可得是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴点在直线上运动， ∵点Q是直线的交点， ∴点Q在直线上运动， ∴当时， 有最小值； 如图所示，设 交于T， ∵ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ； ∵是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴四边形是梯形， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季重庆市第十八中学八年级半期学习能力测查 数学试题 （命题人：邓云中 审题人：章伟） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 4月我校初二年级举行了篮球比赛，甲、乙、丙三个班各选8名运动员参加比赛．若三个班级参赛运动员的平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛同学身高比较整齐的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 同样整齐 3. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形 5. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 6. 已知一次函数 的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，搭2025个这样的小正方形需要小棒（ ）根 A. 8080 B. 6081 C. 6076 D. 6075 8. 小泽和小帅分别从甲地骑自行车沿同一条路到乙地如图是小泽和小帅离甲地的距离 （单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，根据图中信息，下列说法有误的是（ ） A. 从甲到乙地共 千米 B. 小帅的骑车速度为千米/小时 C. 小泽出发 小时后小帅才出发 D. 当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有 千米 9. 如图，点 是正方形 对角线 上一点，点 在 上且 ，连接 ， ，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于依次排列的整式，对任意相邻的两个整式求和，所得结果写在这两个整式之间，可以产生一列新的整式，称此为1次“合美操作”．例如：对于9，2进行1次“合美操作”得到9，11，2；对于9，2连续进行2次“合美操作”得到9，18，11，13，2；对于依次排列的5个整式，， ，，，连续进行次“合美操作”后得到一列新的整式，关于所得的一列新的整式，下列说法： ①当 时，这一列新的整式中共有17个整式； ②当时，这一列新的整式中有一个整式为； ③存在正整数，使得这一列新的整式中所有整式之和为； 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 如图，菱形ABCD的周长为12cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长是_______． 13. 如图，一次函数的图象与y轴的交点为 ，则不等式的解集是 _________ ． 14. 若数使关于的分式方程的解为非负整数，且使关于 的不等式组至少有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是______． 15. 如图，正方形 中，E为 边上一点，连接 ，过点E作且 ．连接，取 中点G，连接 ．已知，则_______，_______． 16. 若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，，则称这个四位数 为“海纳百川数”，例如：四位数9527，因为，所以9527不是“海纳百川数”；又如：四位数4326，因为，，所以4326是“海纳百川数”．若 是最小的“海纳百川数”，则这个数为_____，若是“海纳百川数”，将 的千位去掉，再将百位与十位数字对调后，得到一个三位数记为 ，记，，若能被3整除，则满足条件的的最大值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算： （2）计算： （3）化简： （4）化简： 18. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，重外数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可先证得到的图形是平行四边形继而得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在菱形 中， 于点 ．用尺规过点 作 的垂线交于点 （不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：菱形 中， 于点 ，于点 ． 求证：四边形是矩形． 证明： 四边形 是菱形， ， ，___①_____ 又 ． ，___②____ ， ___③___ ， 又 ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 进一步思考，如果“菱形 ”改为“平行四边形 ”还有相同的结论么？请你写出你猜想的结论： ______________________________④__________________________________ 19. 某校通过开设劳动基础知识必修课、组织学生参与校园劳动，社区服务等方式积极开展劳动教育．为进一步激发学生的学习兴趣，学校举办了劳动基础知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行收集，整理，描述，分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D． ），部分信息如下： 七年级20名学生的竞赛成绩为：88，93，88，92，82，85，97，95，77，93，75，96，78，89，78，96，79，91，88，90． 八年级20名学生的成绩在 组的数据是：90，93，90，90，92． 七、八年级所抽学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.5 88.5 b 八年级 88.8 c 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，_______； （2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的劳动基础知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1400名学生，八年级有1500名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有多少人？ 20. 在繁华的商业街上，有一家颇受欢迎的数码产品店．一月份，该店新上架了两款电话手表，一款是功能更强大、带有摄像头的升级款，另一款则是基础实用、不带摄像头的普通款．已知普通款的单价是升级款的 ，一月份升级款电话手表的销售额达到了45000元，普通款的销售额为29750元，两款电话手表总共售出80只． （1）分别求出升级款电话手表和普通款电话手表的单价； （2）随着二月份开学季的临近，数码店为了吸引更多学生和家长购买，开展了降价促销活动．在一月份价格的基础上，升级款电话手表每只降价元，而普通款的单价维持不变．活动开展后，升级款电话手表的销量增加了只，普通款电话手表的销量减少了只，最终二月份两款电话手表总的销售额比一月份增加了元，求的值． 21. 如图，四边形 中，．点 从 出发，沿着折线运动，到达点 停止运动．设点 运动速度为2，时间为，连接 ，记的面积为 ，请解答下列问题： （1）直接写出 关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合图象，当的面积不大于四边形 面积的时，直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过 ） 22. 如图，小南家 位于一条东西走向的笔直马路上，超市 在 地的正东方．午休时间，小南从家 出发沿北偏东 方向步行至菜鸟驿站 取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有 ，他决定先沿西南方向步行至超市 购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据： ， ) （1）求菜鸟驿站 与超市 的距离(保留整数)； （2）若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间) 23. 如图，拋物线与轴交于两点，与 轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 ，点 是线段 上方抛物线上一动点，过点 作轴交线段 于点 ，点 为 轴上一动点，点 为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）将拋物线沿 方向平移，平移后的抛物线经过，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点 ，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 24. 如图，在 中， ， 于点 D， E为 上一点， 连接 ． （1）如图1，若 平分 ， ， 求线段 的长； （2）如图2，过点E作 交 的延长线于点 F， 连接 ， G为 的中点，连接 ，若 ，猜想线段 之间的数量关系， 并证明你的猜想； （3）如图3， 过点D作 的垂线交 于点H，点P是直线 上一动点， 连接，将绕A点顺时针旋转 得， 连接与直线交于点Q，当 最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $