精品解析：湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一）

长郡中学2025 届模拟试卷(一)数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知（为虚数单位)，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过 作的垂线，垂足为.若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设正整数 其中，记，则下列说法错误的是（ ）. A. (10)=2. B. (16n+5)=ω(4n+3). C. (8n+5)=ω(4n+5). D. 若n<256且(n)=3，则符合条件的n有56个. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 设的极差为，平均值为，中位数为m，方差为，，其中的极差为，平均值为，中位数为 ，方差为，则（ ） A. B. C. D. 10. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（ ） A. 若，则M在内部 B. 若，则M为的重心 C. 若，则的面积是面积的 D. 若，M为外接圆圆心，则 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 直线斜率存在时， C. 若，则直线的斜率为 D. 的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知等差数列 的前n项和为 若 则 ________ 13. 已知为奇函数，则实数a的值是__________． 14. 不等式对任意成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 记的内角的对边分别为．已知，D为边上的靠近点C的三等分点． （1）求角； （2）求． 16. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T. （1）求点的轨迹的方程； （2）轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 ，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求 的最大值. 18. 已知函数 （1）若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； （2）设是的两个极值点，证明： (i)； (ii) 19. 给定实数，对于正整数设数列满足每一项取1的概率为p，取0的概率为，且各项取值相互独立.如果数列中的0将数列分成（项、项、…、项）全为1的连续段，则记，特别地，定义例如，时，. （1）时，记随机变量，求的概率； （2）对于数列，定义为：若，则它是最大的正整数，使；若则它为0，例如，时，. （i）时，求随机变量的分布及数学期望； （ii）求随机变量的数学期望. （3）当时，求随机变量的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡中学2025 届模拟试卷(一)数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合，利用交集的定义求解即可. 【详解】因为,所以, 故选：A. 2. 已知（为虚数单位)，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，进而求得，得到答案. 【详解】由复数，可得，所以. 故选：B. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性和的正负，排除错误选项，得到正确选项. 【详解】的定义域是， 因为，所以是奇函数，排除CD， 因为，排除B， 故选：A. 4. 已知为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和正切公式求出的值，进而得出为钝角，再结合常数“1”的代换和齐次式弦化切即可计算求解. 【详解】由题意得，因此为钝角， 所以. 故选：D. 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过 作的垂线，垂足为.若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线定义及已知条件知为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线的定义知，又， 所以为等边三角形， 为准线与轴的交点)， 抛物线的焦点，准线，， 故 故. 故选：C 6. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出. 【详解】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6， 则， 所以. 故选：D. 7. 已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到原数据的中位数为5，要使得新数据与原数据中位数相同，可分为两类：两数中不含5和两数中含5，求得不同的选法的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】数据0，9，7，4，5，从小到大排列为0，4，5，7，9，可得其中位数为5， 从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据有种选法， 要使得新数据与原数据中位数相同，则可分为两类： 若两数中不含5，不同的选法有种； 若两数中含5，则不同的选法有种， 所以共有种不同的选法，所以概率为 故选：B. 8. 设正整数 其中，记，则下列说法错误的是（ ）. A. (10)=2. B. (16n+5)=ω(4n+3). C. (8n+5)=ω(4n+5). D. 若n<256且(n)=3，则符合条件的n有56个. 【答案】C 【解析】 【分析】利用的定义可判断A、B的正误，用特殊值代入可判断C，列举法可判断D的正误，即可得正确答案. 【详解】，所以，故A项正确， ， 所以，， 所以 ，所以， 故B项正确; ， ，故， 即时，，故C项错误， 若且，由 ， 可知，时，有个，时，有个，时， 有个，…，时，有个， 共有，故D项正确. 故选：C. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 设的极差为，平均值为，中位数为m，方差为，，其中的极差为，平均值为，中位数为 ，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合数据的极差，平均数，中位数和方差的性质，即可求解. 【详解】由的极差为，平均值为，中位数为m，方差为， 若， 则数据的极差为，平均值为，中位数为，方差为. 故选：BC. 10. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（ ） A. 若，则M在内部 B. 若，则M为的重心 C. 若，则的面积是面积的 D. 若，M为外接圆圆心，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算对选项逐一判断即可. 【详解】 对于选项A，当时，三点共线，由向量的线性运算可知， 当时，M在内部，故A 正确； 对于选项B，设BC中点N，G为△ABC的重心，，故B正确； 对于选项C，已知， 则 这说明M在线段BC上，且，那么， 因为和 高相同，根据三角形面积公式可知的面积与 面积之比等于它们底边MC 与BC之比， 即的面积是面积的故C错误； 对于选项D₁ M为外心， 故 ， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 直线斜率存在时， C. 若，则直线的斜率为 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由双曲线的焦点三角形的内切圆切于顶点（右焦点对应右顶点），通过列式即可判断；对于B，由斜率公式及点差法可判断；对于C，设直线的倾斜角为，得到，，根据求出，进而求出可判断C；对于D，构造对勾函数即可判断. 【详解】依题意，得，，得，则，，，，设点，，， 对于A项，如图，设的内切圆的切点为，，，由双曲线的定义得，，而，得，而，，得,又因为，得切点与点重合，得点，则内心的横坐标为1，同理可得，内心的横坐标也为1，得，，三点共线，故A项正确； 对于B项，由相减得，，得，即，故B项正确； 对于C项，设直线的倾斜角为，连接，， 则， 又， 则，，若，则，，故C项错误； 对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：，倾斜角分别为，，因为直线与双曲线的右支交于，两点，所以，，，令，则，则在单调递减，在单调递增，故，故D项正确． 故选：ABD． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知等差数列 的前n项和为 若 则 ________ 【答案】30 【解析】 【分析】根据题意可求出，进而可求 【详解】由题意 则 所以 故答案为：30 13. 已知为奇函数，则实数a的值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出，再检验即可求解． 【详解】由题意知，得， 令，解得或， 又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 所以，解得，即， 令，其定义域为， ，满足题意， 故答案为：4． 14. 不等式对任意成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为对任意成立，分两种情况讨论：（1）不等式且对任意成立，结合的性质，求得；（2）方程且有相同的解，进而得到的取值范围. 【详解】由不等式，可得， 要使得不等式对任意成立， 可得分为两种情况： （1）不等式且对任意成立， 由不等式恒成立，即，可得； 由不等式恒成立，即在恒成立， 令，可得恒成立， 所以在上单调递增，所以，则，所以； （2）方程且有相同的解，即且的零点重合， 由，可得，将代入，可得，解得. 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 记的内角的对边分别为．已知，D为边上的靠近点C的三等分点． （1）求角； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再由代入化简即可求解； （2）由平面向量的线性运算得，再根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【小问1详解】 由正弦定理有， 因为， 代入化简，得， 因为，故，所以， 故． 【小问2详解】 由题可知， 故 ， 故． 16. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为是底面圆上的一条直径， 所以⊥， 因为⊥底面圆，， 所以⊥底面圆， 因为底面圆，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为⊥底面圆，圆， 所以⊥，⊥， 所以为二面角的平面角， 故，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故，， ， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T. （1）求点的轨迹的方程； （2）轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 ，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求 的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得； （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据求出，再由面积公式及二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 圆的方程为：的圆心为，半径， 由题可得，点在线段的垂直平分线上，则， 所以， 根据椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设方程为，则，，所以， 所以点的轨迹的方程为 【小问2详解】 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，， 将直线的方程代入椭圆 ，整理得， ， 所以，， 则， ， 由得，又由椭圆方程可知，即 ， 所以，即， 即， 即， 所以，解得或 (舍去，此时过点)， 所以直线过定点， 所以，， 此时，， 所以 ， 因为，则， 所以当时取得最大值，所以的最大值为. 18. 已知函数 （1）若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； （2）设是的两个极值点，证明： (i)； (ii) 【答案】（1） （2）(i)证明：令，即，由题知是方程的两根， 又时，，由（1）得， 此时，， 令，则， 即，， 要证，即证，即证， 构造，则， 故在上递增，， ，原问题得证. (ii)证明：易求得的图象在处的切线方程为， 的图象在处的切线方程为， 先证，即证， 令，则， 所以在上递减，在上递增，故，得证. 再证，即证， 令，则， 所以在上递减，在上递增，故，得证. 易知直线与曲线的交点横坐标为， 令与的交点横坐标为，则， 令与的交点横坐标为，则， 故. 【解析】 【分析】（1）依题可知，对恒成立，参变分离后，利用导数求函数最值即可； （2）(i)由题可得是方程的两根，即，且，令，得，问题转化为证明，构造函数利用导数证明；(ii)先利用导数证明，，可得与的交点横坐标为，则，与的交点横坐标为，则，由此得证. 【小问1详解】 的定义域为， 依题可知对恒成立，即， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，故； 【小问2详解】 (i)略 (ii)略 19. 给定实数，对于正整数设数列满足每一项取1的概率为p，取0的概率为，且各项取值相互独立.如果数列中的0将数列分成（项、项、…、项）全为1的连续段，则记，特别地，定义例如，时，. （1）时，记随机变量，求的概率； （2）对于数列，定义为：若，则它是最大的正整数，使；若则它为0，例如，时，. （i）时，求随机变量的分布及数学期望； （ii）求随机变量的数学期望. （3）当时，求随机变量的数学期望. 【答案】（1） （2）（i）得的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为；（ii） （3） 【解析】 【分析】（1）通过枚举法可列出四种情况，进而求出概率； （2）（i），可以取的值有0，1，2，3，求出对应的概率，进而可根据数学期望公式求出期望的值；对于（2）中的（ii），先列出的求和表达式，然后利用错位相减求出和，进而得出； （3）根据和，结合已知得出的递推关系，通过累加法求出，进而计算可得结果. 【小问1详解】 时，，，，或者，，，， 或者，，，，此时. 【小问2详解】 （i）枚举共8种情况，得的可能取值为0，1，2，3，可求得的分布列如下： 0 1 2 3 故. （ii）法1：有， 对，若，则，. 故 因此 . 法2：若，则； 若，则， 因此，若记表示，，则满足 ， 从而， ，所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故， 则，故. 【小问3详解】 记，，，则，由（2）（ii）知. 若,则； 若则. 因此. 得， 因此对， ， 代入，得， 当时，也满足该式，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $