精品解析：2025年 河南省信阳市息县中考一模考试数学试题

2025年河南省中招模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最小的数是（　　） A. B. C. D. 2. 地球上的海洋面积约为，用科学记数法将表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个弯形管道的拐角，管道所在直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. “桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”描绘了美好的春日景色．将“桃红复含宿雨”六个字分别写在一个正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则原正方体中与“红”字所在面相对面上的汉字是（ ） A. 桃 B. 含 C. 宿 D. 雨 5. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用一个半径为10的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A. B. C. D. 10. 科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度 … 0 2 4 … 植物每天高度增长量 … 41 49 49 41 25 … 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的二次函数，则下列说法： ①该植物在时，每天高度增长量最大； ②该植物在时，每天高度增长量仍能保持在以上； ③该植物与大多数植物不同，以上的环境下高度几乎不增长． 其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校欲购买一些象棋供学生课外活动使用，已知每副象棋60元，则购买副象棋，共需_____元． 12. 已知方程组，则_______． 13. 我们知道，食物中含有糖类、脂肪、蛋白质、水、无机盐和维生素六类营养物质，其中糖类、脂肪和蛋白质属于食物中的供能物质，水、无机盐和维生素是食物中的非供能物质．某种食物A中的供能物质约占食物总质量的，如图所示的扇形统计图表示了食物中的三种供能物质的分布情况．现有100克食物A，则食物A中蛋白质约占______克． 14. 如图，在中，，点O在边上，，以点O为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点D，交于点E，则阴影部分的面积为_______ 15. 如图①，在中，，，点是的中点，交于点．将绕点旋转，点，的对应点分别为，．连接，，如图②．当时，的长度为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1） 计算：； （2）化简：． 17. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 2.0 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【问题解决】     （1）上述表格中：________，________； （2）①同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号）； （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集_____； （3）若点为反比例函数图象上一点，且的面积等于的面积，直接写出点的坐标_____． 19. 如图，为的直径，交于点C，D为上一点，连接并延长交于点E． （1）尺规作图：作的切线，交的延长线于点F；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）问：是等腰三角形吗？为什么？ 20. 学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： （1）若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． （2）出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 21. 如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离）．经测量，可在和之间发生变化（包含和），． （1）当时，求的长； （2）当从变为时，这个千斤顶升高了多少？（，，） 22. 【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 23. 数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 （1）如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 （2）如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 （3）将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省中招模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最小的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数大小的比较方法即可求出答案. 【详解】解：正数始终大于负数， A和C选项不可能为最小的数. ，， ， . 最小的数是. 故选：B. 【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键在于熟练掌握比较大小方法，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 2. 地球上的海洋面积约为，用科学记数法将表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 3. 如图，一个弯形管道的拐角，管道所在直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质易求． 【详解】解：， ． 又， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 4. “桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”描绘了美好的春日景色．将“桃红复含宿雨”六个字分别写在一个正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则原正方体中与“红”字所在面相对面上的汉字是（ ） A. 桃 B. 含 C. 宿 D. 雨 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可得到答案． 【详解】解：由正方体的展开图可知， “红”字所在面相对面上的汉字是“含”， 故选：B． 5. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得不等式组的解集，根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 本题考查了解不等式组，不等式组解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：解不等式组的解集为， 故数轴表示为， 故选：C． 6. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方．根据运算法则逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴， ∵是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 9. 如图，用一个半径为10的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长的求解方法，求出半径为10，圆心角为的弧长，该弧长就是重物上升的高度。 【详解】解：重物上升了（）， 故选：B． 【点睛】本题考查弧长的计算和生活中的旋转问题，根据弧长公式：（弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为R）列出式子是解题的关键。 10. 科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度 … 0 2 4 … 植物每天高度增长量 … 41 49 49 41 25 … 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的二次函数，则下列说法： ①该植物在时，每天高度增长量最大； ②该植物在时，每天高度增长量仍能保持在以上； ③该植物与大多数植物不同，以上的环境下高度几乎不增长． 其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】设二次函数的解析式为，选择三个点的坐标代入求得解析式，根据解析式，抛物线的性质，判断解答即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故抛物线的解析式为， 由，得时，y取得最大值50即该植物在时，每天高度增长量最大； 故①错误； 当时，， 故该植物在时，每天高度增长量仍能保持在以上； 故②正确； 当时，， 故该植物与大多数植物不同，以上的环境下高度几乎不增长． 故③正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的最值，求函数值，配方法的应用，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校欲购买一些象棋供学生课外活动使用，已知每副象棋60元，则购买副象棋，共需_____元． 【答案】 【解析】 【分析】根据费用等于单价乘以数量，列出代数式即可． 本题考查了列代数式，熟练掌握列代数式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得购买副象棋，共需元． 故答案为：． 12. 已知方程组，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，把两个方程相加可得，进而即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 我们知道，食物中含有糖类、脂肪、蛋白质、水、无机盐和维生素六类营养物质，其中糖类、脂肪和蛋白质属于食物中的供能物质，水、无机盐和维生素是食物中的非供能物质．某种食物A中的供能物质约占食物总质量的，如图所示的扇形统计图表示了食物中的三种供能物质的分布情况．现有100克食物A，则食物A中蛋白质约占______克． 【答案】 【解析】 【分析】直接用食物A的重量乘以蛋白质的占比即可得到答案． 【详解】解：（克）， ∴100克食物A中蛋白质约占克， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图，正确读懂统计图是解题的关键． 14. 如图，在中，，点O在边上，，以点O为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点D，交于点E，则阴影部分的面积为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质（圆的切线垂直于经过切点的半径），等腰直角三角形的性质和扇形的面积计算．解题的关键是牢固掌握相关性质并灵活运用．连接，作于点H，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到，则，再根据切线的性质得到，于是可判断，所以，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=进行计算即可． 【详解】解：连接，作于点H，如图 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵与与相切于点D ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积== 故答案为：． 15. 如图①，在中，，，点是的中点，交于点．将绕点旋转，点，的对应点分别为，．连接，，如图②．当时，的长度为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先求得，根据题意得出的长，进而分两种情况讨论，当在的上方时，当在的下方时，分别根据相似三角形的性质以及解直角三角形，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵点是的中点，交于点． ∴ ∴ ∴ ∵旋转， ∴ ∵ ∴， ∴ 如图，当在的上方时， 设交于点，过点作于点， 设， ∵，则 ∴ ∴ 解得： ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，又 ∴ ∴， ∴ 当在的下方时，如图，过点作于点， ∵， ∴四点共圆， ∴ 在中，， ∴， 综上所述， 或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，解直角三角形，直角所对的弦是直径，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1） 计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、分式的化简，熟练掌握相关运算法则和分式的性质是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、开立方、绝对值，再进行加减计算即可． （2）根据分式的性质和完全平方公式、平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）原式： ． （2）原式： ． 17. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 2.0 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【问题解决】     （1）上述表格中：________，________； （2）①同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号）； （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 【答案】（1）； （2） （3）这片树叶更可能来自荔枝，理由： ， 这片树叶更可能是荔枝树叶． 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差； （1）根据中位数和平均数的定义解答即可； （2）根据题目给出的数据判断即可； （3）根据树叶的长宽比判断即可． 掌握相关定义是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：（1）把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.8，故； ； 故答案为：；； 【小问2详解】 ， 芒果树叶的形状差别小，故同学说法不合理； 荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是， 同学说法合理． 故答案为：； 【小问3详解】 略 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集_____； （3）若点为反比例函数图象上一点，且的面积等于的面积，直接写出点的坐标_____． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，得到双曲线，根据点B的纵坐标为，即，利用待定系数法计算解析式即可． （2）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可． （3）根据直线与y轴的交点为C，且点，得到，结合，设点，则，根据面积关系列式计算即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴双曲线， ∵点B的纵坐标为， ∴即， ∵一次函数经过、两点， ∴， 解得， 故解析式为；． 【小问2详解】 解：∵、，且， 故不等式的解集为或． 故答案为：或． 【小问3详解】 解：连接， ∵直线与y轴的交点为C， ∴点， ∴， ∴， 设点，则， ∴． ∵， ∴． 解得或， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数的综合，三角形面积的表示法，交点坐标的意义，交点横坐标确定解析式型不等式的解集，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键． 19. 如图，为的直径，交于点C，D为上一点，连接并延长交于点E． （1）尺规作图：作的切线，交的延长线于点F；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）问：是等腰三角形吗？为什么？ 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2）是等腰三角形． 理由如下， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了作图，复杂作图，切线的性质，等腰三角形的判定． （1）连接，作，交的延长线于点，由此得到答案； （2）利用切线的性质求得，由半径相等推出，再利用等角的余角相等即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： （1）若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． （2）出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【答案】（1）①；②； （2）他们此次的充电量是． 【解析】 【分析】（1）①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； ②当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时）， 解答即可． （2）根据充电结束后两人所支付的费用相同．判定他们充电都超过了4小时，故得到一元一次方程，解答即可． 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握列代数式，解方程是解题的关键. 【小问1详解】 解：①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； 故答案为：． ②解：当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时），此时， 综上所述，． 【小问2详解】 解：由题意得，充电量大于， . 解得. 答：他们此次的充电量是. 21. 如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离）．经测量，可在和之间发生变化（包含和），． （1）当时，求的长； （2）当从变为时，这个千斤顶升高了多少？（，，） 【答案】（1）； （2）这个千斤顶升高约． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，与相交于点，由菱形的性质可得，，，然后求出则即可； （）由四边形为菱形，则，，，求出当时，，当时，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，与相交于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， 当时，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，，， 当时，， ∴， ∴， ∴ 当时，， ∴， ∴增加的高度为， 答：这个千斤顶升高约． 22. 【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1）；；（2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，解答即可；根据题意，是的二次函数，且常数项为0，不妨设，建立方程组解答即可． （2）当小球在水平木板上停下来时，，根据题意得，求得小球运动的时间，把时间代入抛物线解析式中，求得对应函数值即为小球的滑动距离； （3）设小球的运动时间为x秒，根据题意，得，解不等式即可． 【详解】解：（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，设，将点，代入， 得 ， . 设，将点，代入， 得 解得 . （2）由（1）知. 当时，得. 解得. 将代入， 得. 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为. （3）解：设小球的运动时间为x秒， 根据题意，得. . ，函数有最大值36， . 【点睛】本题考查了待定系数法，求函数值，二次函数的最值，解不等式，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值，解不等式是解题的关键. 23. 数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 （1）如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 （2）如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 （3）将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． 【答案】（1）90 （2）① 45； ②判断正确，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （3）1或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质即可解答； （2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答； （3）根据矩形的性质得到，再分点F在的延长线上和上两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 【小问2详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45． ②略 【小问3详解】 解：∵将边长为2的两个相同正方形拼成矩形， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴． 当点F在的延长线上时，设与交于E， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当点F在上时， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $