精品解析：广东省广州市执信中学2024—2025学年下学期 八年级级数学科期中考试试卷

2024-2025学年度第二学期 初二级数学科期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解题的关键．由二次根式的被开方数为非负数可得，从而可得答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定方法一一判断即可得出答案． 【详解】解：A、若，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； B、 ，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项正确； D、 ，，此条件下四边形还可能是等腰梯形，故此选项错误． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简，乘法公式的运用，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质，乘法公式，二次根式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：A 、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、，故本选项运算错误； D、，故本选项运算正确． 故选：D 4. 若最简二次根式与可以合并，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．最简二次根式与可以合并，则，即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，则与是同类二次根式， ∴． 解得． 故选：C． 5. 在中，， ，对边分别是a，b，c，下列条件不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理逆定理；由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵，设，，， ∵， ∴， 解得： ， 则， 所以不是直角三角形，故此选项符合题意； C、由，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不合题意； D、∵ 设 ，，， ，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意． 故选：B． 6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心， 为半径画弧，交网格线于点D，则的长为（　　） A. B. C. 3 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，连接，从而根据勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：连接， 则, ∴， 故选A． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据正方形，矩形，菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，故该选项正确，不符合题意； B、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，故该选项正确，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．先根据矩形的性质，推理得到 ，再根据求得的长，即可得到的长． 【详解】解： ，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 又中，， ， ， 故选：D 9. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为点 ，，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，连接，由矩形的性质可得四边形是矩形， 即得，可知要求的最小值，就是要求的最小值，当时，取最小值，由勾股定理得，再根据三角形的面积求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴.， ∵ ，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴要求的最小值，就是要求的最小值， 当时，取最小值， 在 中，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 10. 如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点 ，若 ，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形，勾股定理，熟练掌握矩形的性质 ，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．根据矩形的性质和折叠的性质证明 ，设 ，则，利用勾股定理可得进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置， , , ， ∵点B的坐标为， ， ， 设 ，则， 在中，， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：________；________；________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：；； 故答案为：，；． 12. 命题“如果 ，那么”的逆命题是_______，逆命题是______命题（填“真”或“假”） 【答案】 ①. 如果a2=b2，那么a=b ②. 假 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：根据题意得：命题“如果a=b，那么a2=b2”的条件是如果a=b，结论是a2=b2”， 故逆命题是如果a2=b2，那么a=b，该命题是假命题． 故答案为：如果a2=b2，那么a=b；假． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13. 如图．菱形的对角线与相交于点 ， 为边的中点，连接．若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解∶∵菱形中， ，， ∴，，， ∴， ∵ 是中点，， ∴， 故答案为∶ ． 14. 如图，已知中，，平分，，垂足为，点 为的中点，连接，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，中位线的性质与判定，根据已知条件证明，得出，，进而根据三角形内角和定理得出，证明是的中位线，得出 ，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵点 为的中点， ∴ ∴ 故答案为： ． 15. 已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为__________． 【答案】4或2． 【解析】 【分析】根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论． 【详解】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M， ∵AD=AB，DP=BP， ∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）， 在直角△ABM中，∠BAM=30°， ∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3， ∴PM==， ∴AP=AM+PM=4； 当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点M AP=AM-PM=2； 当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去． AP的长为4或2． 故答案为：4或2． 【点睛】本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键． 16. 如图，在正方形 中，E，H 分别为边，上的点，连接 ，，，在 的延长线上取一点F，连接 ，是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论:；；； 当 时，．其中正确结论的序号是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，恰当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 将 绕点B逆时针旋转，得到，证明，即可得出，可判断正确；过点F作 ，交延长线于M，证明，得，，从而可证明是等腰直角三角形，得，则，可判断正确；由勾股定理得，可判断 正确；求得，得出，可判断 正确． 【详解】解：正方形， ，， 将 绕点B逆时针旋转，得到，如图： 由旋转可得：，，，， ， P、A、E三点共线，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在 和中， ， ， ， 故正确； 过点F作 ，交延长线与M，如图： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故正确； 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， 故 正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故 正确； 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先根据二次根式的性质化简，同时计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中： ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当 时，原式． 19. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵E，F分别是，的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，可得到 ，再由E，F分别是，的中点，可得，从而得到四边形是平行四边形，进而证得． 【详解】略 20. 学校内有一块如图所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得 米， 米，米．如果沿修一条水渠且点在边上，水渠的造价为元米，当水渠的造价最低时，的长为多少米？最低造价是多少元？ 【答案】当水渠的造价最低时，的长为米，最低造价是元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．当时，水渠的造价最低．由勾股定理的逆定理推知，所以结合面积法来求的长度，然后求其造价即可． 【详解】解：米， 米，米． ， ， ， 当时，水渠的造价最低． 米 (元) 答：当水渠的造价最低时，的长为米，最低造价是 元． 21. 如图，在中，过点作，垂足为点 ，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定及勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，可得 的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）勾股定理求得，进而证明 ，根据等腰三角形的判定与性质，可得 ，根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得答案． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 由（1）知四边形是矩形， ∴． 在 中， ，， ， ∵，， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ， ∴平分． 22. 如图，矩形中，为对角线． （1）已知 ，尺规作图，作菱形，点 ，分别在边，上(保留作图痕迹，不写作法)； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图，菱形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握基本作图以及菱形的性质． （1）连接，交于点 ，过点 作交于点 ，交于点，连接，即可； （2）设，则有，解方程求出可得结论． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求． ∵矩形， ∴，即， ∴ ， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 四边形是菱形，设， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得， 四边形的面积． 23. 如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作 于点E，于点F． （1）求证：四边形是正方形； （2）若 ，点C为的中点，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过点D作 于点G，根据角平分线的性质证明，进而可证四边形是正方形； （2）先证明， ，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ∵ ，， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 过点D作 于点G ∵平分， ∴ ， 同理可得：， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 ∵四边形是正方形， ∴， ∵点C为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答本题的关键． 24. 已知矩形和矩形，是上一点，与边 相交于点 ，与边相交于点． （1）如图1，若，，则 ________； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求； （3）如图3，若，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据勾股定理计算，即可求解； （2）证明得出，进而证明得出，即可得出 为的中点，即可求解； （3）过点作于点，交于点，分别证明，，即可得出，，进而根据，即可得证． 【小问1详解】 解：∵矩形 ∴， 在中，，， ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵矩形和矩形， ∴ ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴ 在四边形中， ∴， 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴， ∴． 25. 在中， 为对角线的交点，点 为 上的一动点，将射线绕点 逆时针旋转交于点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若 ，，，则点的坐标为，的长为________； （2）如图2，若是矩形，连接，探究、与 的数量关系，并证明； （3）如图3，若是正方形，连接，点 关于直线的对称点为，连接、 ，若的最小值为，求 的长． 【答案】（1）； （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）可判定是菱形和 是等边三角形，进而求得的长，从而得出点坐标；可证得，从而得出结果； （2）连接，延长，交于，连接，可证得，从而 ，，进而垂直平分线的性质得出，进一步得出结果； （3）作于，于，作于，可证得，从而得出 ，进而证得矩形是正方形，从而得出，可证得，从而，，进而得出，从而得出点在与成 的直线上运动，延长至，使，作于，连接，交直线于，当点在处时，最小，最小值是，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， 对角线、分别在轴、轴上， ， ▱是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， 射线绕点 逆时针旋转 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 【小问2详解】 ， 证明：如图，连接，延长，交于，连接， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图，过点 作于，于，过点作于， ， 四边形是正方形， 平分 ，， ，四边形是矩形， 矩形是正方形，， ， 射线绕点 逆时针旋转 交于点， ， ， ， ， ， ， 和关于对称， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点在与成 的直线上运动， 延长至，使， 作于，连接，交直线于， ， ， 当点在处时，最小，最小值是， 又， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期 初二级数学科期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若最简二次根式与可以合并，则m的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，， ，对边分别是a，b，c，下列条件不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为（　　） A. B. C. 3 D. 无法确定 7. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 8. 如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若 ，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：________；________；________． 12. 命题“如果 ，那么”的逆命题是_______，逆命题是______命题（填“真”或“假”） 13. 如图．菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则的长度为________． 14. 如图，已知中，，平分，，垂足为，点为的中点，连接，则的度数为________． 15. 已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为__________． 16. 如图，在正方形 中，E，H 分别为边，上的点，连接 ，，，在 的延长线上取一点F，连接 ，是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论:；；； 当 时，．其中正确结论的序号是________. 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中： ． 19. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 20. 学校内有一块如图所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得 米， 米，米．如果沿修一条水渠且点在边上，水渠的造价为元米，当水渠的造价最低时，的长为多少米？最低造价是多少元？ 21. 如图，在中，过点作，垂足为点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求证：平分． 22. 如图，矩形中，为对角线． （1）已知 ，尺规作图，作菱形，点，分别在边，上(保留作图痕迹，不写作法)； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 23. 如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作 于点E，于点F． （1）求证：四边形是正方形； （2）若 ，点C为的中点，直接写出的长． 24. 已知矩形和矩形，是上一点，与边相交于点，与边相交于点． （1）如图1，若，，则 ________； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求； （3）如图3，若，，求证：． 25. 在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若 ，，，则点的坐标为，的长为________； （2）如图2，若是矩形，连接，探究、与 的数量关系，并证明； （3）如图3，若是正方形，连接，点关于直线的对称点为，连接、 ，若的最小值为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $