安徽省望江县第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

第 1 页，共 4 页 2023 级高二下学期期中考试数学 一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，满分 40分. 1．已知双曲线的方程为 𝑥2 4 − 𝑦2 2 = 1，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A．𝑦 = ± √2 2 𝑥 B．𝑦 = ±√2𝑥 C．𝑦 = ± √3 3 𝑥 D．𝑦 = ±√3𝑥 2．已知𝑓(𝑥) = 𝑓′(1)ln(𝑥 + 1) − 𝑓(0)𝑥 + 1 2 𝑥2，则𝑓(2)的值为（ ） A．2 + 2ln3 B．1 + 3ln3 C．2 + ln3 D．1 + 4ln3 3．在等比数列{𝑎𝑛}中，若𝑎1 + 𝑎2 = 16，𝑎3 + 𝑎4 = 24，则𝑎7 + 𝑎8等于（ ） A．40 B．36 C．54 D．81 4．安徽年均降雨量𝜉近似服从正态分布𝑁(1200, 𝜎2)，若𝑃(𝜉 ≤ 800) = 0.15，则𝑃(1200 < 𝜉 < 1600) =（ ） A．0.15 B．0.25 C．0.35 D．0.7 5．二项式(1 − 𝑥)(1 + 2𝑥)5的展开式中𝑥3的系数为（ ） A．−40 B．40 C．−60 D．60 6．设某医院仓库中有 10 盒同样规格的𝑋光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为 5 盒、 3 盒、2 盒，且甲、乙、丙三厂生产该种𝑋光片的次品率依次为 1 10 ， 1 15 ， 1 20 ，现从这 10 盒中 任取一盒，再从这盒中任取一张𝑋光片，则取得的𝑋光片是次品的概率为（ ） A． 2 25 B． 1 10 C． 3 20 D． 1 5 7．某学校需要从 3 名男生和 2 名女生中选出 4 人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中 甲社区需要选派 2 人，且至少有 1 名是女生；乙社区和丙社区各需要选派 1 人．则不同的选 派方法的种数是（ ） A．18 B．21 C．36 D．42 8．如图，已知正方形 ABCD的边长为 2，N点在边 AD上且𝐷𝑁 = 1 2 ， 将△ 𝐴𝐵𝐷沿BD翻折到△ 𝐴′𝐵𝐷的位置，使得𝐴′𝐶 = √2. 空间四点𝐴′，B， C，D的外接球为球 O，过 N点作球 O的截面𝛼，则𝛼截球 O所得截面 面积的最小值为（ ） A． 3π 4 B． π 2 C．√3π D． 3π 2 二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，满分 18分. 9．甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有 5 个红球和 5 个绿球；乙袋中装有 4 个红球和 6 个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙 袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记𝐴1表示事件“从甲袋摸出的是红球”，𝐴2表示事件“从 甲袋摸出的是绿球”，记𝐵1表示事件“从乙袋摸出的是红球”，𝐵2表示事件“从乙袋摸出的是绿 球”.下列说法正确的是（ ） A．𝐴1，𝐴2是互斥事件 B．𝐴1，𝐵2是独立事件 C．𝑃(𝐵2|𝐴2 ) = 7 22 D．𝑃(𝐵2|𝐴1 ) + 𝑃(𝐵1|𝐴2 ) = 10 11 第 2 页，共 4 页 10．已知函数𝑓(𝑥) = ln𝑥 + 1 𝑥 ，则（ ） A．函数𝑓(𝑥)的递减区间是(−∞，1) B．函数𝑓(𝑥)在(e，+∞)上单调递增 C．函数𝑓(𝑥)的最小值为 1 D．若𝑓(𝑚) = 𝑓(𝑛)(𝑚 ≠ 𝑛)，则 m＋n＞2 11．如图所示，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为 1，线段𝐵1𝐷1上有 两个动点𝐸，𝐹且𝐸𝐹 = √2 2 ，则下列结论中正确的是（ ） A．𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐸 B．𝐸𝐹//平面𝐴𝐵𝐶𝐷 C．三棱锥𝐴 − 𝐵𝐸𝐹的体积为定值 D．异面直线𝐴𝐸，𝐵𝐹所成的角为定值 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，满分 15分. 12．已知椭圆𝐶： 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 6 = 1上有两点𝑀(−2, √3)，𝑁(2, −√3)，点 P是椭圆 C上异于M，N 的点，则△ 𝑃𝑀𝑁的面积的最大值为 . 13．给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色．若 有 4 种不同的颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案． 14．已知函数𝑓(𝑥) = ln(𝑥2 + 1), 𝑔(𝑥) = e−𝑥 − 𝑎, ∀𝑥1 ∈ [−1,1], ∃𝑥2 ∈ [0,2]，使不等式𝑓(𝑥1) ≥ 𝑔(𝑥2)成立，则实数𝑎的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 13 分）从1、3、5三个奇数中取两个，再从0、2、4三个偶数中取两个组成 满足下列条件的四位数，问： (1)能够组成多少个无重复数字的四位数？ (2)能够组成多少个比3000大的四位奇数？ 16.（本题满分 15 分）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎1 = 2，𝑎𝑛+1 = 𝑆𝑛 + 2． (1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式； (2)若数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 + log2𝑎2𝑛+1，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛． 第 3 页，共 4 页 17.（本题满分 15 分）已知点𝑃 (1, √3 2 )是椭圆𝐶： 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)上的一点，A，B分 别为椭圆 C的左、右顶点，若△ 𝑃𝐴𝐵的面积为√3. (1)求椭圆 C的标准方程； (2)若点 Q为椭圆 C上的第一象限内一点，直线𝐴𝑄，𝐵𝑄与直线𝑥 = 3分别交于 M，N点，若 △ 𝑄𝑀𝑁与△ 𝑄𝐴𝐵的面积之比为 t，求 t的最小值. 18.（本题满分 17 分）如图，在四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐴1 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，底面 ABCD 满足𝐴𝐷∥BC，且𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 𝐴𝐴1 = 2，𝐵𝐷 = 𝐷𝐶 = 2√2. (Ⅰ)求证:𝐴𝐵 ⊥平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1; (Ⅱ)求直线𝐴𝐵与平面𝐵1𝐶𝐷1所成角的正弦值. 第 4 页，共 4 页 19.（本题满分 17 分）已知函数𝑓(𝑥) = e𝑥 + 𝑚𝑥2 − e, 𝑚 ∈ 𝑅.（注：e = 2.718281…是自然对 数的底数） (1)当𝑚 = 1时，求曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在点(0, 𝑓(0))处的切线方程； (2)若𝑓(𝑥)只有一个极值点，求实数 m的取值范围； (3)若存在𝑛 ∈ 𝑅，对与任意的𝑥 ∈ 𝑅，使得𝑓(𝑥) ≥ 𝑛恒成立，求𝑚 − 𝑛的最小值.