精品解析：广东省揭阳真理中学2024-2025学年八年级上学期第一次训练数学试题

2024-2025学年度第一学期第一综合训练八年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式的运算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算可判断A，B，根据二次根式的乘除运算法则可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：不同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； 故B不符合题意； 故C不符合题意； ，运算正确，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则”是解本题的关键． 2. 五根小棒的长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（ ） A. 7，15，20 B. 7，20，24 C. 15，20，25 D. 20，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理逐一判断是否构成直角三角形即可求解． 【详解】解：A. ，，， ， 不能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B. ，，， ， 不能构成直角三角形，故B选项不符合题意； C. ，，， ， 能构成直角三角形，故C选项符合题意； D ，，， ， 不能构成直角三角形，故D选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理判断是否构成直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理判断是否构成直角三角形是解题的关键． 3. 如图，数轴上有A，B，C，D四点，以下线段中，长度最接近的是（ ） A. 线段AB B. 线段AC C. 线段CD D. 线段BC 【答案】A 【解析】 【分析】估算出的值，即可解答． 【详解】解：∵4＜8＜9， ∴2＜＜3， ∵AB2.8，BC=2，CD=3， ∴长度最接近的是线段AB， 故选：A． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 4. 下列各式中，与的积为有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】有理数分为整数和分数，根据二次根式的性质，找出有理化因式即可解题 【详解】解：∵，1是有理数，则与积为有理数的实数为， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的有理化，掌握有理化因式的确定是解题的关键． 5. 在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，则AC的长应是（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 5或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分为直角边和斜边两种情况讨论，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， AB＝3，BC＝4， ①为直角边时，， ②为斜边时，， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键． 6. 当时，可把化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质以及最简二次根式的定义结合分式的性质化简即可． 【详解】解：当时，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质以及分式的性质是解题的关键． 7. 如图，已知中，，F是高和的交点，，，则线段的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先证明△BDF≌△ADC，得到BF=AC=，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵和是△ABC的高线， ∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°， ∴∠DBF=∠CAD， ∵， ∴∠BAD=45°， ∴BD=AD， ∴△BDF≌△ADC（SAS）， ∴BF=AC=， 在Rt△BDF中，DF=． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识，证明△BDF≌△ADC是解题关键． 8. △ABC的三边长a，b，c满足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（ ） A. 65 B. 60 C. 30 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据非负数的性质可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，进而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵+(b-12)2+|c-13|=0， ∴a-5=0，b-12=0，c-13=0， ∴a=5，b=12，c=13， ∵52+122=132， ∴△ABC是直角三角形， ∴S△ABC==30． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，利用非负数性质求出a、b、c的值是解题的关键． 9. 下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和和勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：A、∵a：b：c=， ∴设a=k，b=k，c=k， ∴b2+c2=3k2=a2， ∴△ABC是直角三角形；故该选项不符合题意； B、∵∠A=∠B-∠C， ∴∠B=∠A+∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠B=180°， ∴∠B=90°， 此时，△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意； C、∵∠A：∠B：∠C=6：8：10， ∴∠C=180°×=75°， ∴△ABC不是直角三角形，故该选项符合题意； D、，即a2+c2=b2， ∴△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可． 10. 运动展风采，筑梦向未来．为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意将长方体展成平面图，根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】解：将长方体部分展成平面图得： 由题意，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查展开图求最短路径的问题，运用勾股定理求两点之间的距离是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算得出，进而根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴的立方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 12. 化简： =_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式的性质即可化简. 【详解】解： = 【点睛】本题考查了根式的化简,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键. 13. 已知与都是正数a的平方根，则a的值为______． 【答案】25或225 【解析】 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数得到m+3+2m-9=0，解得m=2，根据相等的两个数是同一个数的平方根得到m+3=2m-9，解得m=12，然后根据平方根的定义求a的值． 【详解】解：根据题意得m+3+2m-9=0，或m+3=2m-9 解得m=2，或m=12， 所以a=(2m−9)2=(2×2−9)2=25，或a=(2m−9)2=(2×12−9)2=225. 故答案为25或225. 【点睛】本题考查了平方根的知识，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 14. 如图，分别以等腰边AB，AC，BC为直径画半圆，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积等于阴影部分所在的两个半圆的面积加上△ABC的面积减去大半圆的面积，列式计算即可得解． 【详解】解： 等腰， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的利用割补法求解阴影部分的面积，勾股定理的应用，理解阴影部分的面积等于直角三角形ABC的面积是解题的关键． 15. 如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）. 【答案】45 【解析】 【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD， 则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10， ∴PD2+DB2=PB2， ∴∠PDB=90°， 即△PBD为等腰直角三角形， ∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共8题，75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别根据平方差公式，二次根式的除法运算计算即可． 【详解】原式． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，先计算负整数指数幂，零指数幂，再计算乘法，最后算加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 18. 已知的整数部分为，小数部分为，试求的值. 【答案】1 【解析】 【详解】试题分析:根据无理数的估算,即 ,得到a=3,从而 ,然后代入化简即可. ∵即 ∴的整数部分为即，从而 故 = = = 19. 如图是我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，每个直角三角形的短直角边长为，较长直角边为，斜边为． （1）请你用这个图形验证一下勾股定理； （2）如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式在几何图形的应用，熟练对完全平方公式变形是解题的关键． （1）根据“4个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积”列式，整理即可； （2）求出和的值，根据完全平方公式即可求得的值，即可解题． 【小问1详解】 解：∵小正方形的边长为，大正方形边长为c， ∴大正方形的面积， ∴； 【小问2详解】 解：∵大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3， ， ， ∴． 20. 为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由． 【答案】该材料符合设计要求，理由见解析 【解析】 【分析】和中，根据勾股定理逆定理，可得，，从而得到，即可． 【详解】解：该材料符合设计要求，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该材料符合设计要求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 21. 如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． （1）填空：a=_______，b=_______，c=______； （2）先化简，再求值：． 【答案】（1）-2，-3， （2）， 【解析】 【分析】(1)根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答； (2)根据题意可得c> 0， a-b> 0，a-c< 0，然后先化简各式，再进行计算即可解答． 【小问1详解】 由题意得：，，， 故答案是：-2，-3，； 【小问2详解】 由数轴可得：c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0， 原式=． 当，时 原式． 【点睛】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）______________； （2）化简； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）12 （3）4 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 故答案为： 【小问2详解】 解：原式＝ ； 【小问3详解】 ， a−2＝， ∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5． ∴a2−4a＝1． ∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3 ＝a2×1−4a＋3 ＝a2−4a＋3 ＝1＋3 ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 23. 如图所示，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为ts． （1）出发后，求的长； （2）当点Q在边上运动，出发多长时间，能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动，且时，求Q点的运动时间． 【答案】（1） （2）出发秒后能形成等腰三角形； （3）秒 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练根据题意列方程． （1）可求得和，由勾股定理即可得出结论； （2）用t可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t表示出，利用等腰三角形的性质得到关于t的方程，可求得t的值． 【小问1详解】 解：当时，则， ， ， 在中， ； 【小问2详解】 解：由题意可知， ， ， 当点Q在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， ∴出发秒后能形成等腰三角形； 【小问3详解】 解：当时，如图所示，过B点作于点E， 根据面积法可得， ， ， ， 秒． Q点的运动时间为秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期第一综合训练八年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式的运算正确的是 A. B. C. D. 2. 五根小棒的长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（ ） A. 7，15，20 B. 7，20，24 C. 15，20，25 D. 20，24，25 3. 如图，数轴上有A，B，C，D四点，以下线段中，长度最接近的是（ ） A. 线段AB B. 线段AC C. 线段CD D. 线段BC 4. 下列各式中，与的积为有理数的是（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，则AC的长应是（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 5或 6. 当时，可把化简（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知中，，F是高和的交点，，，则线段的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 1 8. △ABC的三边长a，b，c满足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（ ） A. 65 B. 60 C. 30 D. 26 9. 下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 10. 运动展风采，筑梦向未来．为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 的立方根是___________． 12. 化简： =_________． 13. 已知与都是正数a的平方根，则a的值为______． 14. 如图，分别以等腰的边AB，AC，BC为直径画半圆，若，则阴影部分的面积为______． 15. 如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）. 三、解答题（共8题，75分） 16. 计算：． 17. 计算： 18. 已知整数部分为，小数部分为，试求的值. 19. 如图是我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，每个直角三角形的短直角边长为，较长直角边为，斜边为． （1）请你用这个图形验证一下勾股定理； （2）如果大正方形面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 20. 为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由． 21. 如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． （1）填空：a=_______，b=_______，c=______； （2）先化简，再求值：． 22. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）______________； （2）化简； （3）若，求值． 23. 如图所示，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为ts． （1）出发后，求的长； （2）当点Q在边上运动，出发多长时间，能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动，且时，求Q点的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$