专题03 立体几何初步（广东专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题03 立体几何 初步 题型概览 题型01基本例题图形 题型02立体图形的直观图 题型03简单几何题的表面积与体积 题型04空间点、直线、平面之间的位置关系 题型05空间直线、平面的平行 题型06空间直线、平面的垂直 ( 题型01 ) 基本例题图形 1．（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】利用棱柱的定义判断ABC；利用棱台的定义判断D. 【详解】对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误； 对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误. 故选：C 2．（23-24高一下·广东潮州·期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正棱台及其有关计算 【分析】连接，作平面，平面，侧棱. 【详解】连接，作平面，平面，， 因为为正四棱台，则在上， 因为上底面的边长为2，下底面的边长为4， ， 侧棱. 故选：B 3．（23-24高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】B 【知识点】多面体概念及分类、判断几何体是否为棱台、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可. 【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误； 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，； 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误； 用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误. 故选：B. ( 题型02 )立体图形的直观图 4．（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图是菱形可得答案. 【详解】如图，是矩形的直观图，则，，， 所以的高为， 则直观图的面积为. 故选：A. 5．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，水平放置的的直观图恰为腰长为2的等腰直角三角形，则中最长边的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】利用斜二测画法中原图和直观图之间的联系，确定原三角形为直角三角形，即可根据勾股定理即可求得结论． 【详解】由图可知，， ∴原三角形中，,, ∴,故最长的边为6， 故选：D． ( 题型03 ) 简单几何题的表面积与体积 6．（23-24高一下·广东广州·期末）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】根据侧面积公式求解即可. 【详解】依题意，设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为，则， 故. 故选：D 7．（23-24高一下·广东韶关·期末）以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算、求组合旋转体的表面积 【分析】根据题意分析可知该三角形旋转一周所得几何体为2个共底面，且底面半径为1，母线长为的圆锥拼接而成，结合圆锥的侧面积公式运算求解. 【详解】由题意可知：等腰直角三角形斜边的高为1，腰长为， 该三角形旋转一周所得几何体为2个共底面，且底面半径为1，母线长为的圆锥拼接而成， 所以所得几何体的表面积为. 故选：B. 8．（23-24高一下·广东佛山·期末）如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积． 【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，， 所以，，又和为平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为， 所以， 则． 故选：B． 9．（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个圆台的上、下底面直径分别为2、8，母线长为6，则在圆台内部放置半径最大的球的表面积为 . 【答案】 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】把圆台还原成圆锥，求出圆锥轴截面等腰三角形的边长及内切圆半径，圆台轴截面等腰梯形的高，并确定圆台内放置的最大球半径即可求解. 【详解】圆台轴截面等腰梯形的两腰延长线交于点， 等腰即为圆台母线延长线交点为顶点，圆台下底面为底的圆锥的轴截面， 由，而，解得，则，即为正三角形， 正的高为，正的高为，因此等腰梯形的高为， 正的内切圆半径，显然， 因此等腰梯形内的最大圆为正的内切圆， 此圆即为圆台内部放置的半径最大的球被平面所截的大圆， 则在圆台内部放置半径最大的球的半径为，表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 10．（23-24高一下·广东·期末）通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】计算出水桶桶中水的体积，除以水桶上底面面积即可得24小时内降水在平地上积水厚度，即可得解. 【详解】由题桶的下底面面积为，上底面面积 又桶中水水面与底面距离为， 设水面半径为，如图为桶的轴截面图形， 则，则， 故由得， 故水面半径为， 所以桶中水水面面积为 所以连续24小时的桶中水的体积为， 所以24小时内降水在平地上积水厚度为， 所以当天的降雨等级是中雨. 故选：B. 【点睛】思路点睛：先计算出水面半径，进而得水桶桶中水的体积，再除以水桶上底面面积即可得24小时内降水在平地上积水厚度. 11．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知正方体的棱长为1，点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】根据等积法即可求解. 【详解】    设点到平面的距离为，由，得，解得. 故答案为： 12．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知矩形的对角线长为1，将沿折起得到三棱锥，且三棱锥的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由外接球的定义可知外接球球心到三棱锥四个顶点的距离相等，再根据矩形的性质，可知球心在矩形对角线中点，所以半径为，由表面积求解即可. 【详解】由外接球的定义可知外接球球心到三棱锥四个顶点的距离相等. 记矩形中心为，由矩形的性质知点在翻折过程中到四个顶点的距离相等， 即其为外接球球心，对角线的一半即为外接球半径，则. 故选：B. 13．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，一块边长为8的正方形纸片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形和一个正方形做成一个正四棱锥，则该四棱锥的体积为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】设正方形纸片为，其内的小正方形为，取，的中点分别为，连接，对称性可知，从而求出的长，从而得到正四棱锥中的斜高，从而可求出其高，得到体积. 【详解】如图设正方形纸片为，其内的小正方形为，做成的正四棱锥为 取，的中点分别为，连接 由题意，,由对称性可知， 所以，所以 即在正四棱锥中，，又 所以 所以正四棱锥的体积为 故答案为： 14．（23-24高一下·广东湛江·期末）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终为四棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面所在四边形的面积为定值； ④棱始终与水面所在平面平行； ⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是 ． 【答案】②④⑤ 【知识点】棱柱的结构特征和分类、柱体体积的有关计算 【分析】根据题意，结合棱柱的几何特征，线面平行，棱柱体积进行判断. 【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形， 在（3）图中有水的部分始终为三棱柱形，所以①错误 将长方体以边将容器倾斜，平面平面,没有水的部分呈现为四棱柱至五棱柱棱柱最后四棱柱，所以②正确； 因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化， 所以水面四边形的面积是变化的，③错误； 因为棱,在水面中，， 所以棱平面平面， 所以棱始终与水面所在平面平行，所以④正确； 因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变，即是定值，所以⑤正确； 故答案为：②④⑤. 15．（23-24高一下·广东湛江·期末）圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，其侧面积为，则较小底面的半径为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】设较小底面的半径为，再根据题设条件，建立方程，即可求解. 【详解】设较小底面的半径为，则另一个底面半径为， 又因为圆台的侧面积为，所以，解得， 故选：C. 16．（23-24高一下·广东潮州·期末）棱长为4的正方体的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等可得结果. 【详解】因为棱长为4的正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等， 所以直径， 内切球的体积为， 故选：B. 17．（23-24高一下·广东汕尾·期末）若高为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一个半圆，可知圆锥的底面周长等于半圆弧长，可得，继而求得母线长. 【详解】设底面半径为，母线长为，侧面展开是一个半圆， ，即， ，，. 故选：C. 18．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，根据圆锥的表面积及弧长公式得到方程组，求出、，即可求出，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为， 则，解得（负值已舍去）， 所以， 所以圆锥的体积. 故选：A 19．（23-24高一下·广东揭阳·期末）中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等， 设该正六棱台的上下底面积分别为，高为， 则，，， 故. 故选：D 20．（23-24高一下·广东东莞·期末）已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为，设圆台上、下底面圆、圆、截面圆的半径分别为、、，设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、，由圆台上、下底面圆和截面圆的半径之比，可得到体积、、之间的关系，进而可得经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比. 【详解】设圆台上、下底面圆的圆心分别为、，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为， 设经过母线中点且与底面平行的平面所成截面圆的圆心为， 设圆、圆、圆的半径分别为、、，则，，则， 设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、， 因为，则， ，则， 所以，，， 则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为， . 故答案为：. ( 题型04 ) 空间点、直线、平面之间的位置关系 21．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与平面所成角相等，则 B．若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则 C．若上有两个不同点到平面的距离相等，则 D．若，且直线异面，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系逐一判断即可． 【详解】 对于A,比如在正方体中，直线与平面所成角均为， 但相交，A错误； 对于B，直线上的点到平面的距离相等， 故平面上有三个不同点到平面的距离相等， 但平面与平面相交，B错误； 对于C，点到平面的距离相等，但直线与平面相交，故C错误； 对于D，若，，故过可作一平面，使得，则， 由于，异面，，所以，相交，否则，进而可得， 这与，异面矛盾，所以，相交，结合，，，， 所以则，D正确． 故选：D． 22．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知直线与平面，能使的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，则也可能平行，故A错误； 若，则，故B正确； 若，则可能垂直，也可能平行，故C错误； 若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 所以可能相交，不一定垂直，故D错误； 故选：B 23．（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知在四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面．所成角的正弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求线面角、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据题意，补形成长方体模型来解题. 【详解】如图所示，四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面所成角的正弦值为. 根据题意，可以补充成长方体。    且底面是边长为4的正方形，直线与平面所成角为, 则长宽高分别为4,4,4，即图形为正方体.外接球的球心为体对角线中点. 体对角线长刚好为球的直径，且.外接球的表面积为:. 故选：C． 24．（23-24高一下·广东惠州·期末）如图，已知在直三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，，，，.当是棱的中点，则三棱锥体积为 ；当三棱锥的外接球的半径最小时，直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 / / 【知识点】求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】在中，由余弦定理，可得，再求出，再用面积公式求的面积，体积公式求三棱锥体积即可；作出辅助线，推导出当取最小值时，最小，即最小，此时，因为是的中点，则是的中点，则是棱的中点，进而求出各边长，得到 【详解】因为，，， 所以在中，由余弦定理，得， 所以，所以， 所以； 作，垂足为，作，垂足为， 易知棱在平面上的射影为， 则点在平面上的射影在线段上， 因为，故，解得， 故，则， 设的中点为，外接球的球心为，半径为， 则平面，即， 在中，①， 又因为② 由①②，可得，所以当取最小值时，最小，即最小， 此时，因为是的中点，则是的中点，则是棱的中点. 因为，所以直线与所成角即为直线与所成角. 因为，再由余弦定理， 得， 因为，所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得当三棱锥的外接球的半径最小时，为棱的中点，从而得解. 25．（23-24高一下·广东东莞·期末）已知三棱锥平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】通过平移直线与，将求异面直线所成转化为求，然后求出三角形的三条边长，利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，令 分别取的中点，并连接, 所以 , 所以异面直线与所成角等于， 因为三棱锥平面，又平面,平面 所以, 因为三棱锥平面， 所以 所以 又因为三棱锥平面， 所以，又 所以，所以 所以在三角形中，， 即异面直线与所成角的余弦值为， 故选：B. 26．（23-24高一下·广东梅州·期末）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，则或者相交，或者异面，故A错误， 对于B，若，则或异面，B错误， 对于C，若，则，故C正确， 对于D，若，则可能在平面内，故D错误， 故选：C 27．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（      ） A．的最小值为 B．不存在点，使与 所成角等于 C．二面角正切值的取值范围为 D．当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【知识点】求二面角、求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】对于A，直接找出最近距离为为中点，计算即可；对于B，找出最大，最小的临界状态值即可解决；对于C，找出二面角的平面角，再用锐角三角函数即可；对于D，设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可． 【详解】对于A， 最小值时，为中点.作个草图，取中点，连接． 此时，故A正确． 设与所成的角为θ，当与重合时，， 当在中点时，．则存在点 ，使. 即存在点，使与 所成角等于 .故B错误． 如图，过中点作于，则为二面角的平面角， 因此，故C正确． 设三棱锥的外接球的球心为，显然平面，为等腰直角三角形，外心为M， 则O可以由M沿着方向移动即可,O一定在上． 为中点时，半径，于是． 在中有，解得， 于是球表面积为.故D正确． 故选：ACD. 【点睛】知识点点睛：本题考查了正方体性质，点线面的位置关系辨别，空间两点间的距离最值，异面直线夹角，二面角的问题，三棱锥的外接球问题．同时考查空间想象、逻辑推理、数形结合、转化计算能力.综合性较强，属于难题. 28．（23-24高一下·广东·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（    ） A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 【答案】ABD 【知识点】求线面角、多面体与球体内切外接问题、台体体积的有关计算、圆台表面积的有关计算 【分析】选项A，先求出圆台的高，进而求出圆台的母线与底面所成的角即可；选项B，由圆台的侧面积公式求解即可；选项C，由圆台的体积公式求解即可；选项D，设球心到下底面的距离为，由勾股定理得，求解即可. 【详解】对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线为， 所以圆台的高为：， 根据线面角定义求出母线与底面所成角，A正确； 对于B，由圆台的侧面积公式， 求得圆台的侧面积为：，B正确； 对于C，由圆台的体积公式， 求得圆台体积为：，C错误； 对于D，由题意可知球心在下底面下方，设球心到下底面的距离为， 由勾股定理得，解得， 则该球的半径为，所以该球的表面积为，D正确． 故选：ABD. ( 题型05 )空间直线、平面的平行 29．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，为棱上（含端点）的动点，则下列说法中，不正确的是（   ） A．当为棱上的中点时，平面经过顶点 B．当为棱上的中点时，则平面 C．当且仅当点运动到顶点时，三棱锥的体积最大 D．棱上存在点，使得 【答案】BCD 【知识点】线面平行的性质、证明线面平行、空间中的点（线）共面问题、锥体体积的有关计算 【分析】由，可得，即可判断；假设当为棱上的中点时，平面，由线面平行的性质定理可得线线平行，推出矛盾，即可判断；，可证平面，点到平面的距离为定值，即可判断；将正方体侧面展开，连接，通过求的最小值，即可判断. 【详解】 连接，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 又在正方体中，， 所以，所以，，，四点共面，故正确； 假设当为棱上的中点时，平面， 连接，分别交，于，，连接， 因为平面，平面平面， 所以，显然不成立，所以与平面不平行，故错误； 因为，平面，平面， 所以平面，又点为棱上（含端点）的动点， 所以点到平面的距离为定值， 又，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值；故错误； 如图将正方体侧面展开，连接， 在中，，，所以， 此时即为的最小值，又， 所以棱上不存在点，使得，故错误. 故选：. 【点睛】方法点睛：等体积法求三棱锥的体积换顶点的方法： （1）三棱锥体内换顶点； （2）三棱锥体外换顶点（原则是同底等高）. ( 题型06 )空间直线、平面的垂直 30．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且． (1)求证：； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）要证，只需证平面，只需证（易证）和，只需证平面，根据题意容易证； （2）利用等体积法求得点P到平面的距离，设直线与平面所成的角为，则根据即可得到答案. 【详解】（1）因为 为半球 的直径， 为 半球底面圆周上一点, 所以 , 因为 、 平面 , 所以 平面 ，又因为 平面 , 所以 , 又因为 为半球面上一点, 所以 , 又因为 平面 所以 平面 , 又 平面 , 所以 ; （2）因为三角形 为直角三角形, 所以 , 又因为 平面 , 所以 ， 又因为三角形 也是直角三角形， 所以 , 所以， 设点 到平面 的距离为 , 则有 ，即 , 所以 ， 设直线 与平面 所成的角为 ，则 . 31．（23-24高一下·广东广州·期末）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则（    ） A．圆锥的高为 B．圆锥的侧面积为 C．二面角的大小为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】C 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥表面积的有关计算、求二面角 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的母线长，结合线面角的定义可判断A选项；利用圆锥的侧面积公式可判断B选项；利用二面角的定义，找到二面角的平面角，再解三角形求解可得C选项；根据展开前后图形联系，利用扇形的弧长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为与底面垂直，为底面圆的一条半径，则， 所以与圆锥底面所成的角为， 又，所以的面积为，解得，即母线长， 所以该圆锥的高为，故A错误； 对于B选项，该圆锥的底面半径为， 母线长， 故该圆锥的侧面积为，故B错误； 对于C选项，取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 则，所以， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为，故C正确. 对于D选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 底面圆周长为，则，故D错误. 故选：C. 32．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中， ①平面EFG ②平面平面 ③所有点P在直线上 ④BP与所成的角为，则的最小值是 正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、判断线面平行、证明面面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】对于①，根据直线BP与平面EFG无公共点进行判断，对于②，根据面面平行的判定定理结合正方体的性质分析判断，对于③，结合①②分析判断，对于④， 【详解】对于①，因为直线BP与平面EFG无公共点，所以平面EFG，所以①正确， 对于②，连接，因为点E，F，G分别是棱BC，，的中点， 所以∥，∥， 因为∥，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面平面，所以②正确， 对于③，由①②知平面，平面EFG，所以平面， 因为平面平面，点P为底面上任意一点， 所以所有点P在上，所以③错误， 对于④，因为∥，所以为BP与所成的角， 因为平面，平面，所以， 所以， 由③可知点P在上，所以当为的中点时，最小为， 所以的最小值为，即的最小值是，所以④正确. 故选：C 33．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、面面垂直证线面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）利用面面垂直的性质推理即得. （2）延长交于一点，根据可求得，利用等体积法构造方程求解. （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果. 【详解】（1）在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面. （2）由棱台性质知：延长交于一点，    由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形， 设，则， ，解得， ，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：. 即点到平面的距离为. （3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在正中，，而平面平面，则平面，而平面， 则，又平面，则平面平面，作于， 平面平面，则平面，，而平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 34．（23-24高一下·广东广州·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． (1)证明：平面CDF； (2)证明：四棱锥是正四棱锥； (3)试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不垂直，理由见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、判断面面是否垂直 【分析】（1）由题意可知对角面AFCE是正方形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接AC与BD，设，连接EO，根据题意利用等腰三角形的性质可证得， ，则由线面垂直的判定定理可得平面ABCD，从而可证得结论； （3）取BE中点G，连接AG，GC，AC，则，，是二面角的平面角，设该正八面体棱长为，表示出，然后利用勾股定理的逆定理分析判断即可 【详解】（1）由题意可知，对角面AFCE是正方形， 所以，     又因为平面CDF，平面CDF，     所以平面CDF． （2）如图1，连接AC与BD，设，连接EO，                 图1                              图2 则         因为， 所以， ， 又因为平面ABCD，又因为平面ABCD，且     所以平面ABCD．         所以四棱锥是正四棱锥． （3）如图2所示，取BE中点G，连接AG，GC，AC，     根据等边三角形性质可知，， 所以是二面角的平面角，     设该正八面体棱长为， 则，， 则在中，， 所以，所以平面ABE与平面BCE不垂直． 35．（23-24高一下·广东广州·期末）堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（    ） A．阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B．鳖臑的四个面均为直角三角形 C．阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D．堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 【答案】BCD 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直 【分析】对于A，根据阳马的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断，对于B，根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断，对于C，根据棱锥的体积公式结合已知条件分析判断，对于D，根据堑堵、阳马与鳖臑的定义分析判断. 【详解】对于A，如图，由题意可知平面，平面， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以A错误， 对于B，如图由题意可知平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以B正确， 对于C，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以阳马的体积，鳖臑的体积， 所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以C正确， 对于D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶点， 所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体， 所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以D正确. 故选：BCD 36．（23-24高一下·广东广州·期末）在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】C 【知识点】证明线面平行、判断线面是否垂直 【分析】根据正方体的性质判断A、B；设，连接，即可证明，即可证明C；假设平面，推出矛盾，即可判断D. 【详解】对于A：由正方体的性质可知， 显然，与不平行，所以与不平行，故A错误； 对于B：由正方体的性质可知，，所以， 由A可知与不平行，且、平面， 所以与不垂直，则与不垂直，故B错误； 对于C：设，则为的中点，连接，又为的中点， 所以，又平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D：若平面，平面，则， 又，所以，又四边形为矩形， 所以四边形为正方形，所以， 又为正方体，所以，显然不满足， 故假设不成立，所以与平面不垂直，故D错误. 故选：C 37．（23-24高一下·广东广州·期末）已知是一条直线，、是两个不同的平而，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面平行、判断线面是否垂直 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交，故A错误； 对于B：若，，则或或与相交，故B错误； 对于C：若，，则或，故C错误； 对于D：若，，则，故D正确. 故选：D 38．（23-24高一下·广东广州·期末）已知正四棱锥的所有棱长都为，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为 ，的面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】棱锥中截面的有关计算、证明线面垂直 【分析】数形结合，作平面与平面平行，即可解决；令，用表示相关长度，整理得，结合二次函数即可解决. 【详解】取中点，连接，，依题意可得， 又，平面，可知平面， 当点在之间时，作分别交于点， 作分别交于点，连接，则平面与平面平行，得到的截面为五边形， 根据平面的基本性质，作平面与平面平行，如图至多为五边形. 要使截面多边形的面积最大，则当点在之间时， 令，则， 可得， 则， 可得， 所以， 又因为与的夹角为与夹角，而与垂直， 则， 可得， 可知：当时，取最大值. 当点在点时，此时截面即为，又， 当点在点，之间时，截面为与相似的三角形，且截面面积小于， 综上可得截面的面积的最大值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：根据平面的性质分析截面的形状，结合几何知识求相应的长度和面积，进而分析求解. 39．（23-24高一下·广东广州·期末）已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（    ） A． B．二面角的大小为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则 【答案】ACD 【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】对A，先证明线面垂直，由性质可得线线垂直；对B，过作，连接，找到二面角的平面角为，再解三角形即可；对C，设出球心和球半径，根据几何关系，列出等量关系求解即可；对D，根据圆台和棱台的体积公式，结合已知数据，求解即可. 【详解】 根据题意，如图，设圆台上、下底面圆心分别为连接 过作，作截面的平面图，则为等腰梯形， 且为中点，则， 故，即圆台的高， 又，即四棱台的上下底面边长分别为和； 对A，由题意平面，平面，则， ，，平面，平面， 故平面，平面，所以，故A正确； 对B：过作，垂足为，连接； 由面，//，则面，又面，故， 又，面，故面， 又面，故，则即为二面角的平面角； ，又， 故， 而在中，，则， 结合在单调递增可知，，故B错误； 对C：设外接球半径为，球心到下底距离为，在的平面图中，为球心， 则，故，解得； 故表面积，故C正确； 对D：； ， ，故D正确. 故选：ACD. 40．（23-24高一下·广东韶关·期末）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 (3)若，求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）取的中点，由中位线定理可得，，推出四边形是平行四边形，进而可得，再由线面平行的判定定理，即可得出答案． （2）由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得答案． （3）取的中点，连接，先找到二面角的平面角为，再计算余弦值，即可得出答案． 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为为棱的中点， 所以，， 又，，为的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）证明：因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， （3）取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 又，所以， 又直三棱柱的几何特征可得面，又面，所以， 又，平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为， 所以，， 在中，， 所以， 所以二面角的余弦值为． 6 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立体几何初步 题型概览 题型01基本例题图形 题型02立体图形的直观图 题型03简单几何题的表面积与体积 题型04空间点、直线、平面之间的位置关系 题型05空间直线、平面的平行 题型06空间直线、平面的垂直 ( 题型01 ) 基本例题图形 1．（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 2．（23-24高一下·广东潮州·期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 ( 题型02 )立体图形的直观图 4．（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，水平放置的的直观图恰为腰长为2的等腰直角三角形，则中最长边的长为（   ） A． B．4 C． D．6 ( 题型03 ) 简单几何题的表面积与体积 6．（23-24高一下·广东广州·期末）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．3 7．（23-24高一下·广东韶关·期末）以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·广东佛山·期末）如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个圆台的上、下底面直径分别为2、8，母线长为6，则在圆台内部放置半径最大的球的表面积为 . 10．（23-24高一下·广东·期末）通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 11．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知正方体的棱长为1，点到平面的距离为 . 12．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知矩形的对角线长为1，将沿折起得到三棱锥，且三棱锥的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，一块边长为8的正方形纸片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形和一个正方形做成一个正四棱锥，则该四棱锥的体积为 . 14．（23-24高一下·广东湛江·期末）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终为四棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面所在四边形的面积为定值； ④棱始终与水面所在平面平行； ⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是 ． 15．（23-24高一下·广东湛江·期末）圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，其侧面积为，则较小底面的半径为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 16．（23-24高一下·广东潮州·期末）棱长为4的正方体的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·广东汕尾·期末）若高为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C．2 D．4 18．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一下·广东揭阳·期末）中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ） A．24 B． C． D． 20．（23-24高一下·广东东莞·期末）已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为 . ( 题型04 ) 空间点、直线、平面之间的位置关系 22．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知直线与平面，能使的充分条件是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知在四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面．所成角的正弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·广东惠州·期末）如图，已知在直三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，，，，.当是棱的中点，则三棱锥体积为 ；当三棱锥的外接球的半径最小时，直线与所成角的余弦值为 . 25．（23-24高一下·广东东莞·期末）已知三棱锥平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·广东梅州·期末）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 27．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（      ） A．的最小值为 B．不存在点，使与 所成角等于 C．二面角正切值的取值范围为 D．当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 28．（23-24高一下·广东·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（    ） A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 ( 题型0 5 )空间直线、平面的平行 29．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，为棱上（含端点）的动点，则下列说法中，不正确的是（   ） A．当为棱上的中点时，平面经过顶点 B．当为棱上的中点时，则平面 C．当且仅当点运动到顶点时，三棱锥的体积最大 D．棱上存在点，使得 ( 题型0 6 )空间直线、平面的垂直 30．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且． (1)求证：； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值． 31．（23-24高一下·广东广州·期末）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则（    ） A．圆锥的高为 B．圆锥的侧面积为 C．二面角的大小为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 32．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中， ①平面EFG ②平面平面 ③所有点P在直线上 ④BP与所成的角为，则的最小值是 正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 34．（23-24高一下·广东广州·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． (1)证明：平面CDF； (2)证明：四棱锥是正四棱锥； (3)试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 35．（23-24高一下·广东广州·期末）堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（    ） A．阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B．鳖臑的四个面均为直角三角形 C．阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D．堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 36．（23-24高一下·广东广州·期末）在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 37．（23-24高一下·广东广州·期末）已知是一条直线，、是两个不同的平而，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 38．（23-24高一下·广东广州·期末）已知正四棱锥的所有棱长都为，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为 ，的面积的最大值为 ． 39．（23-24高一下·广东广州·期末）已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（    ） A． B．二面角的大小为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则 40．（23-24高一下·广东韶关·期末）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 (3)若，求二面角 的余弦值. (1)求三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$