专题05 概率（广东专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题05 概率 题型概览 题型01随机事件与概率 题型02事件的相互独立性 题型03频率与概率 ( 题型01 ) 随机事件与概率 1．（23-24高一下·广东广州·期末）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分： 10.1 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，． (1)求这组样本平均数和方差； (2)从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率； (3)若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．再从改进后生产的产品中随机抽取6件产品，估计这6件产品的平均等级是否为一等品？说明理由． 2．（23-24高一下·广东广州·期末）从这个正整数中随机选择一个数，则这个数既不能被整除也不能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东潮州·期末）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%~55%时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%~b%时记为区间. 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 频数 2 3 15 30 30 75 120 5 (1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率； (2)从区间的数据中任取两个数据，求两个数据都位于内的概率. 4．（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 . 5．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知样本空间，事件，，则（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东广州·期末）为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数； (2)若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率； (3)已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）； 7．（23-24高一下·广东广州·期末）从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为 . 8．（23-24高一下·广东惠州·期末）为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常总结整理 不经常总结整理 合计 (1)根据图1、图2中的数据，补全表格； (2)求图1中m的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数； (3)抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率. 9．（23-24高一下·广东揭阳·期末）某校举办“奋进新征程，建功新时代”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从这两个区间共抽取5名学生，则每个区间分别应抽取多少人？ (2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前70%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 10．（23-24高一下·广东梅州·期末）为了解学生体育运动时间，督促学生加强锻炼，甲、乙两个班的班主任分别对所在班学生进行体育锻炼时长调查．将甲班50名学生的周平均体育锻炼时长（单位：小时）数据分成4组：[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]，根据分组数据制成了如下图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数； (2)乙班48名学生中周平均体育锻炼时长在8小时以上的有16人，用频率估计概率，现从甲乙两个班中各随机抽查一位学生，求其中至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率． ( 题型02 )事件的相互独立性 11．（23-24高一下·广东广州·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（    ） A．A与B，A与，与B，与都相互独立 B．与是对立事件 C． D． 12．（23-24高一下·广东广州·期末）甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为． (1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； (2)若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率． 13．（23-24高一下·广东广州·期末）设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 14．（23-24高一下·广东广州·期末）某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘. 笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题； 面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是，两道题能否答对相互独立. (1)李明笔试关中能答对的3道题记为，，，不能答对的题记为，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率； (2)求李明被录用的概率. 15．（23-24高一下·广东肇庆·期末）如图，到的电路中有5个元件，，，，，电流能通过，，，的概率都为0.8，电流能通过的概率为0.9，且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在与之间通过的概率为 ． 16．（23-24高一下·广东广州·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（    ） A．与独立 B．与互斥 C． D． 17．（23-24高一下·广东湛江·期末）今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（    ） A．小王和小张都中奖的概率为0.1 B．小王和小张都没有中奖的概率为0.46 C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44 D．小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92 18．（23-24高一下·广东湛江·期末）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．包含 C．互为对立 D．相互独立 19．（23-24高一下·广东潮州·期末）某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为. (1)分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率； (2)求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率. 20．（23-24高一下·广东肇庆·期末）一个不透明的盒中有3个红球，2个白球，5个球除颜色外完全相同． (1)从盒中有放回地摸球，求第一次与第二次摸到的都是红球的概率； (2)每次从盒中任取两个球，游戏规则：若都是红球，则放回盒中；若有白球，则将白球换成红球（非盒内，且与原盒中红球相同），再把两个红球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是红球，游戏结束．求经过2次抽取后游戏结束的概率． 21．（23-24高一下·广东肇庆·期末）将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，记事件“第一次向上的点数为”，“第二次向上的点数为”，“两次向上的点数之和为7”，则（　　） A． B． C．与是互斥事件 D．与相互独立 22．（23-24高一下·广东湛江·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 23．（23-24高一下·广东惠州·期末）甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是、，那么恰好只有1人解对题的概率是 . 24．（23-24高一下·广东东莞·期末）某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立. (1)若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率； (2)若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率. 25．（23-24高一下·广东东莞·期末）假设，且与相互独立，则 . 26．（23-24高一下·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（    ） A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1 C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7 27．（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B互斥 B． C． D．事件A与事件B相互独立 28．（23-24高一下·广东深圳·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 “第一次的点数不大于3 ”， “第二次的点数不小于4 ”， “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（      ） A．事件发生的概率 B．事件与事件相互独立 C．事件 发生的概率 D．事件与事件对立 ( 题型0 3 )频率与概率 29．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412  451  312  533  224  344  151  254  424  142 435  414  335  132  123  233  314  232  353  442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（    ） A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率 题型概览 题型01随机事件与概率 题型02事件的相互独立性 题型03频率与概率 ( 题型01 ) 随机事件与概率 1．（23-24高一下·广东广州·期末）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分： 10.1 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，． (1)求这组样本平均数和方差； (2)从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率； (3)若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．再从改进后生产的产品中随机抽取6件产品，估计这6件产品的平均等级是否为一等品？说明理由． 【答案】(1)平均数9.9，方差0.02 (2) (3)新样本平均等级不一定是一等品，理由见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算几个数据的极差、方差、标准差、用平均数的代表意义解决实际问题、计算几个数的平均数 【分析】（1）根据平均数和方差计算公式求解即可； （2）由列举法结合概率公式求解； （3）根据平均数公式得出改进后生产的产品评分的平均数，再由平均数的定义作出判断. 【详解】（1）， 样本方差为 ， （2）用，，表示抽取的6件产品中的三个一等品， 用，，表示抽取的6件产品中的三个二等品， 则该试验的样本空间可表示为 共有15个样本点． 设事件A为两次都抽到一等品，它包含了3种等可能的结果， 即．     所以．         即两件均为一等品的概率为． （3）因为改进后随机抽取的6件产品是改进前抽取的6件产品每个提高0.2分， 所以估计改进后生产的产品评分的平均数，     所以可以认为这6件产品平均等级为一等品. 因为样本数据具有随机性这6件产品不一定是一等品， 所以新样本平均值不一定达到10分以上，所以新样本平均等级不一定是一等品． 2．（23-24高一下·广东广州·期末）从这个正整数中随机选择一个数，则这个数既不能被整除也不能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】列出既不能被整除也不能被整除的数，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从这个正整数中随机选择一个数共有种选法， 其中这个数既不能被整除也不能被整除的有、、、、、、、、、共个， 所以这个数既不能被整除也不能被整除的概率. 故选：B 3．（23-24高一下·广东潮州·期末）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%~55%时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%~b%时记为区间. 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 频数 2 3 15 30 30 75 120 5 (1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率； (2)从区间的数据中任取两个数据，求两个数据都位于内的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算频率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用样本在上的频数除以可得所求频率； （2）设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； 【详解】（1）由已知，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快， 而样本在上的频数为，所以所求频率为； （2）设事件为“从区间的数据中任取两个数据，两个数据都位于内”， 设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、， 因此，从区间的数据中任取两个数据， 包含、、、、、、、 、、，共个样本点， 而事件包含，，，共个样本点，所以. 4．（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 . 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值. 【详解】由与是对立事件，可得 由与是互斥事件，可得 . 故答案为： 5．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知样本空间，事件，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据题意，由概率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且事件，，则， 所以. 故选：A 6．（23-24高一下·广东广州·期末）为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数； (2)若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率； (3)已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】估计总体的方差、标准差、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据百分位数计算规则计算可得； （2）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解. （3）利用分层抽样的方差公式计算可求方差. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 所以成绩在分以下的学生所占的比例为， 成绩在分以下的学生所占的比例为， 所以成绩的第分位数一定在内，即， 因此估计参加这次竞赛的学生成绩的百分位数为； （2）因为，，， 所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人， 其中有人为航天达人，设为，有人不是航天达人，设为， 则从人中选择人作为学生代表， 有， 共种， 其中人均为航天达人为共种， 所以被选中的人均为航天达人的概率为． （3）内的频率为，内的频率为， 内的平均数为，内的平均数为， 内的平均数为， 又组的方差为12，组的方差为8， 所以这次竞赛的学生不低于80分的成绩方差为. 7．（23-24高一下·广东广州·期末）从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为 . 【答案】/ 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先计算从这个数中任意选个的情况总数，再计算当个数之和为偶数的情况数，然后利用古典概型的概率计算方法求解即可. 【详解】总共个数字，选个，总共种选法，个数之和是偶数， 则为两个奇数一个偶数，共有种选法, 故从这个数中选个不同的数且和为偶数的概率为. 故答案为：. 8．（23-24高一下·广东惠州·期末）为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常总结整理 不经常总结整理 合计 (1)根据图1、图2中的数据，补全表格； (2)求图1中m的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数； (3)抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率. 【答案】(1)表格见详解 (2)；120 (3) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、完善列联表、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据题中数据补全表格； （2）根据频率和为1求得，再结合百分位数的定义列式求解； （3）分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解. 【详解】（1）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人， 经常整理错题的有人， 不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人， 所以表格为 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 （2）由题意可知每组频率依次为， 则，解得； 因为，， 设第65百分位数为，可知， 则，解得， 所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120. （3）由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为，设为， “不经常总结整理错题” 的人数为，设为， 从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间，可知， 设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M，则，即， 所以. 9．（23-24高一下·广东揭阳·期末）某校举办“奋进新征程，建功新时代”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从这两个区间共抽取5名学生，则每个区间分别应抽取多少人？ (2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前70%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 【答案】(1)依次抽取人、人 (2) (3) 【知识点】总体百分位数的估计、计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得，两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果； （2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率； （3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线. 【详解】（1）依题意，设区间中应抽人，区间中应抽人，得 成绩在区间样本中的学生人数为：； 成绩在区间样本中的学生人数为：； 所以，解得， 所以区间中应抽人，区间中应抽人. （2）由（1）得，不妨记区间中人为，区间中人为， 则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件， 其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为 共12件， 故，即第二个交流分享的学生成绩在区间的概率为. （3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为， 所以成绩良好的最低分数线落在区间中，不妨记为， 故，解得， 所以成绩良好的最低分数线为. 10．（23-24高一下·广东梅州·期末）为了解学生体育运动时间，督促学生加强锻炼，甲、乙两个班的班主任分别对所在班学生进行体育锻炼时长调查．将甲班50名学生的周平均体育锻炼时长（单位：小时）数据分成4组：[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]，根据分组数据制成了如下图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数； (2)乙班48名学生中周平均体育锻炼时长在8小时以上的有16人，用频率估计概率，现从甲乙两个班中各随机抽查一位学生，求其中至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率． 【答案】(1)；平均数是； (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据频率和为1求，代入平均数求平均数； （2）分别求甲和乙周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解. 【详解】（1），得， 平均数， 所以甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数是； （2）甲班学生周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为， 乙班学生周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为， 则至少一位学生的周平均体育锻炼时长是8小时以上的概率. ( 题型02 )事件的相互独立性 11．（23-24高一下·广东广州·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（    ） A．A与B，A与，与B，与都相互独立 B．与是对立事件 C． D． 【答案】A 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】由独立事件的定义以及乘法公式判断AC，由对立事件的定义、互斥事件的概率公式判断D. 【详解】对于A：由于两人射击的结果没有相互影响， 则A与B，A与，与B，与都相互独立，故A正确； 对于B：表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即与不是对立事件，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D： ，故D错误； 故选：A 12．（23-24高一下·广东广州·期末）甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为． (1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； (2)若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）甲获胜有两种情况，分别计算出概率，再相加即可； （2）甲获胜有三种情况，分别计算出概率，再相加即可. 【详解】（1）第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况： ①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为； ②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为； 综上，甲获胜的概率为. （2）若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况： ①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为， ②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为， ③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为， 所以最终甲获胜的概率为. 13．（23-24高一下·广东广州·期末）设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 【答案】CD 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率、概率的基本性质 【分析】A由互斥事件概念可知；B由事件的包含关系得；C由概率性质与概率乘法公式可得；D由概率加法公式与相互独立事件的定义可得. 【详解】A项，若是互斥事件，不可能同时发生， ，故A错误； B项，若，则，则，故B错误； C项，若相互独立，则， 所以，故C正确； D项，由，且事件互斥，则, 若， 则， 又，，故相互独立，故D正确. 故选：CD. 14．（23-24高一下·广东广州·期末）某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘. 笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题； 面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是，两道题能否答对相互独立. (1)李明笔试关中能答对的3道题记为，，，不能答对的题记为，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率； (2)求李明被录用的概率. 【答案】(1)，； (2). 【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出基本事件、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）写出样本空间，利用古典概率求出概率. （2）利用相互独立事件的概率公式求解即得. 【详解】（1）样本空间，有6个样本点， 李明通过笔试关的事件，共3个样本点， 所以李明通过笔试关的概率. （2）依题意，李明通过面试关的事件为，则， 李明被录用的事件为，， 所以李明被录用的概率为. 15．（23-24高一下·广东肇庆·期末）如图，到的电路中有5个元件，，，，，电流能通过，，，的概率都为0.8，电流能通过的概率为0.9，且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在与之间通过的概率为 ． 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】先应用独立事件的概率乘法公式，再结合互斥事件的概率和公式计算即可. 【详解】设能通过电流分别为事件,事件相互独立, 设电流能在M与N之间通过为事件B, 所以 . 故答案为：. 16．（23-24高一下·广东广州·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（    ） A．与独立 B．与互斥 C． D． 【答案】D 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】写出样本空间及事件，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD. 【详解】样本空间{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件{(正,正),(正,反)}， 事件{(正,反),(反,反)}，事件{(正,正)}，事件{(正,反),(反,正),(反,反)}， 对于A，，而，，与不独立，A错误； 对于B，事件可以同时发生，与不互斥，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，{(正,正),(正,反),(反,反)}，，D正确. 故选：D 17．（23-24高一下·广东湛江·期末）今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（    ） A．小王和小张都中奖的概率为0.1 B．小王和小张都没有中奖的概率为0.46 C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44 D．小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92 【答案】CD 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】对于A和B，利用相互独立事件的概率乘法公式计算即得；对于C，利用互斥事件的概率加法公式即得；对于D，利用对立事件的概率公式计算即得. 【详解】对于A，因小王和小张中奖相互独立，则小王和小张都中奖的概率为，故A错误； 对于B，小王和小张都没有中奖的概率为，故B错误； 对于C，小王和小张中只有一个人中奖包括两种情况： ①小王中奖但小张没中奖；②小张中奖但小王没中奖.两者互斥， 故只有一个人中奖的概率为：，故C正确； 对于D，因“小王和小张中至多有一个人中奖”的对立事件为“小王和小张都中奖”， 故小王和小张中至多有一个人中奖的概率为，故D正确. 故选：CD. 18．（23-24高一下·广东湛江·期末）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．包含 C．互为对立 D．相互独立 【答案】D 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可. 【详解】掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”， 对于A,B,C，事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B，C错误； 对于D,因为， 所以，事件与相互独立，故选项D正确； 故选：D. 19．（23-24高一下·广东潮州·期末）某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为. (1)分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率； (2)求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率. 【答案】(1)，， (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，根据已知条件以及事件的相互独立性列出方程组求解即可； （2）将至少有两位小孩需要照顾分类，结合互斥事件以及对立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，， 则由题意得，解得. 即甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，. （2）设事件A:这一小时内至少有两位小孩需要照顾， 这一小时内恰好有两位小孩需要照顾的概率为 ， 这一小时内三位小孩都需要照顾的概率为， 则， 即这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率. 20．（23-24高一下·广东肇庆·期末）一个不透明的盒中有3个红球，2个白球，5个球除颜色外完全相同． (1)从盒中有放回地摸球，求第一次与第二次摸到的都是红球的概率； (2)每次从盒中任取两个球，游戏规则：若都是红球，则放回盒中；若有白球，则将白球换成红球（非盒内，且与原盒中红球相同），再把两个红球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是红球，游戏结束．求经过2次抽取后游戏结束的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）首先利用列举法求出取一次球取到两球都是红球的概率，取到一个红球一个白球的概率，取得两球都是白球的概率，再分两种情况讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）设第一次与第二次摸到的都是红球为事件， 则. （2）记3个红球分别为，，，2个白球分别为、， 则从盒子中任取两个球所有可能结果为，，，，，，，，，共种， 所以取到两球都是红球的概率为，取到一个红球一个白球的概率为， 取得两球都是白球的概率为； 经过次抽取后盒中恰好都是红球分两种情况: ①第一次取出两个红球，概率为，第二次取出两个白球，概率为， 故经过次抽取后盒中恰好都是红球的概率为； ②第一次取出一个红球一个白球，概率为，第二次取出一个红球一个白球，概率为， 故经过次抽取后盒中恰好都是红球的概率为； 综上，经过次抽取后盒中恰好都是红球的概率为. 21．（23-24高一下·广东肇庆·期末）将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，记事件“第一次向上的点数为”，“第二次向上的点数为”，“两次向上的点数之和为7”，则（　　） A． B． C．与是互斥事件 D．与相互独立 【答案】ACD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】由古典概型计算，，判断A,B;运用互斥事件概念判断C；利用独立事件的定义，结合古典概型判断D. 【详解】抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种： ，，，，，， 表示第一次向上出现点，第二次向上任一点, ，则A正确. 表示第二次向上出现3点且两次向上点数之和不是7，则第一次向上出现不是4, 则等价于说第一次出现，第二次向上是3点. 满足题意的有，共5种，则概率为.故B错误． 表示点数组合，表示出现，不能同时发生，故与是互斥事件，故C正确． 由A知道，,表示两次点数之和是7，则包含结果数为，共6种 ,则概率． 表示第一次出现点，且两次和为7．满足题意的有.则. 故.则与相互独立.故D正确． 故选：ACD. 22．（23-24高一下·广东湛江·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3次，只可能为甲答对2次乙答对1次或甲答对1次乙答对2次，列式解得即可. 【详解】（1）设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． （2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 23．（23-24高一下·广东惠州·期末）甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是、，那么恰好只有1人解对题的概率是 . 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】设甲、乙解对题分别为事件A，， 则，可得 所以恰好只有1人解对题的概率. 故答案为：. 24．（23-24高一下·广东东莞·期末）某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立. (1)若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率； (2)若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据题意利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可； （2）设在第次抽奖时中奖为事件，则由（1）可知，设两次抽奖至少有一次中奖为事件，则,然后利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设2个白球为，3个红球为，则不放回地依次摸出两个球的情况有： , 共有20种情况， 其中摸出的2个球颜色相同的有：，共8种情况， 所以某顾客有一次抽奖机会，其中奖的概率为； （2）设在第次抽奖时中奖为事件， 由于每次抽奖的情况相同，由（1）可知， 设两次抽奖至少有一次中奖为事件，则, 其中为互斥事件，则， 因为每次抽奖之间相互独立， 所以, ， ， 所以， 即若某顾客有两次抽奖机会，则至少有一次中奖的概率为. 25．（23-24高一下·广东东莞·期末）假设，且与相互独立，则 . 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据题意，由相互独立事件概率计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 且与相互独立，则与相互独立， 所以. 故答案为： 26．（23-24高一下·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（    ） A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1 C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则， 共18个基本事件，则， 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则， 且，则， ，所以C错误； 设事件两次朝上面的数字之和是7，则， 则，且，则， 因为，所以事件与事件相互独立. 故选：D 27．（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B互斥 B． C． D．事件A与事件B相互独立 【答案】D 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用古典概型计算公式可得，利用概率的加法公式可得，再由互斥事件和对立事件定义可判断AB错误，由可知C错误，利用事件独立性定义可判断D正确. 【详解】易知，同理可得，； 由可得，即， 对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，可得A错误； 对于B，显然，即B错误； 对于C，由可得，即 所以，即C错误； 对于D，易知，满足独立性定义，即D正确. 故选：D 28．（23-24高一下·广东深圳·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 “第一次的点数不大于3 ”， “第二次的点数不小于4 ”， “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（      ） A．事件发生的概率 B．事件与事件相互独立 C．事件 发生的概率 D．事件与事件对立 【答案】ABC 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】列举所有的基本事件，由古典概型公式即可求解选项A，C，由相互独立事件的定义即可求解选项B，由对立事件的定义分析选项D. 【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，则有 ， ， ， ， ， ，共不同结果，即， 对于A，事件包含的样本点有种，故，故A正确； 对于B，事件包含的样本点有种，故， 事件包含的样本点有种，故， 因为，所以事件相互独立，故B正确； 对于C，事件包含的样本点有种，故，故C正确； 对于D，事件与事件有重复的样本点， 故事件与事件不对立，故D错误. 故选：ABC. ( 题型03 )频率与概率 29．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412  451  312  533  224  344  151  254  424  142 435  414  335  132  123  233  314  232  353  442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（    ） A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、整数值随机模拟问题 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有： 533  224  344  254  424  435   335   233  232  353  442共11组， 因此，所求概率为. 故选：C. 6 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$