第15讲 平行线的性质（2个知识清单+5类热点题型讲练+分层练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

第15讲 平行线的性质 课程标准 学习目标 1 平行线的性质 2 平行线的判定与性质 1、经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算。 2、能结合一些具体内容进行说理，初步养成言之有据的习惯。 学习重点： 探索并掌握平行线的性质，能用平行线性质进行简单的推理和计算。 学习难点： 能区分平行的性质和判定，正确利用平行线的性质解决有关问题。 知识点01 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 【即学即练1】（2023春•芜湖期中）如图，，，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【即学即练2】（2023春•无为市期中）如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则　　． 知识点02 平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【即学即练1】（2023春•裕安区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则　　． 【即学即练2】（2023春•淮南期中）在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板和量角器带进了课堂．同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： （1）小蕊将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，且，请你求出的度数． （2）如图2，小旭将一副三角尺按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转（当三角尺的边与刻度线重合时三角尺停止运动），当运动时间是多少秒时，两块三角尺有一组边？ （3）如图2，爱动脑筋的小瑶在小旭的基础上，在三角尺旋转的同时将三角尺也绕点以每秒的速度顺时计旋转（当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动），当运动时间　 　秒时，两块三角尺有一组边平行． 题型01 根据平行线的性质求角的度数 1．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）如图，，平分，若，则（   ） A．64° B．58° C．116° D．60° 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知点，分别在直线，上，且，，． （1）若，，则的度数为 ； （2）在（1）的条件下，若，分别平分，，则的度数为 ． 3．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知分别在上，点G在之间，连接． (1)当平分平分时， ①如图1，若，则的度数为_______（直接写出结果）； ②如图2，在的下方有一点平分平分，求的值； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，且满足时，求的值． 题型02 根据平行线判定与性质求角度 4．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）小明将含有角的三角板和直尺按图中方式摆放．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，，是上一点，是延长线上一点． （1）的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 6．（22-23七年级下·安徽滁州·期末）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是 　 　， 　 　． 利用上面的发现，解决下列问题： （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是 　 　． 题型03 根据平行线判定与性质证明 7．如图，点在直线上，点在直线上，若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．将一副三角板按如图所示方式放置，则下列结论： ①如果，则有；②；③如果，则有④如果，必有； 正确的有 ． 9．完成以下证明过程． 已知：如图，，、分别是，的角平分线，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（________）， 又∵平分（已知）， ∴________（________）， 同理， ∴（________）， ∴（________）． 题型04 求平行线间的距离 10．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，．若，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．不确定 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，地面上有一样长的电线杆分别与地面垂直，小明想知道两根电线杆顶端A，C之间的距离．他没有梯子，于是就测量了底端之间的距离，他认为B，D之间的距离等于A，C之间的距离，你认为对吗？ （填“对”或“不对”），依据是 ． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 题型05 利用平行线间距离解决问题 13．如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将四边形放在一组间距相等的平行线中．已知，四边形的面积为，求相邻两条平行线间的距离． 一、单选题 1．已知在同一平面内的直线，如果，那么与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上全不对 2．下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两条平行线被一条直线所截，同位角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 3．如图，已知，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 4．已知，如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，，则（   ）    A． B． C． D． 6．如图，直线，，有下列三个命题，①； ②；③，则(　　) A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和③正确 D．①②③都正确 7．如图，已知（其中），添加以下一个条件：①；②；③；④．能判定的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．下列说法中，是平行线性质的是（   ） ①两直线平行，同旁内角互补； ②同位角相等，两直线平行； ③内错角相等，两直线平行； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． A．① B．②③ C．④ D．①④ 9．如图，，且，则图中与相等的角（不包括）有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．如图，，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知，d四条直线，，，，则 ． 12．如图1，有一种生活中常见的折叠拦道闸，可将其抽象为几何图形，如图2，垂直于地面于A，平行于地面，则 °． 13．如图，已知，和分别平分和，若，则 ． 14．如图，，点分别在直线上，在直线之间有一点，，若与的平分线交于点，则 ．若与的平分线交于点，与的平分线交于点，与的平分线交于点，，则 （结果用乘方的形式表示）． 三、解答题 15．如图，已知，，，，求的度数． 16．如图，已知，，则与平行吗？请说明理由． 17．如图，平分交于点M，，求的度数． 18．如图，点A，B，C在同一直线上，．求证：． 证明：（已知）， ______________（_______）． _______（_______）． ， _______=_______（_______）． （_______）． 19．如图，，垂足为F．求证：． 20．已知，线段分别与、相交于点、． (1)如图①，当，，则______； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 21．如下图，点D，H分别在上，点E，F都在上，交于点，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．若有两个角，它们的顶点不是同一个，但这两个角的两边相互平行，我们就把满足条件的这两个角称作“平行角”．如图，，因此和是“平行角”． (1)如图①，延长到点M，可知和也是“平行角”，它们之间的数量关系是_____________； (2)如图②，平分平分．求证：和是“平行角”． 23．如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 平行线的性质 课程标准 学习目标 1 平行线的性质 2 平行线的判定与性质 1、经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算。 2、能结合一些具体内容进行说理，初步养成言之有据的习惯。 学习重点： 探索并掌握平行线的性质，能用平行线性质进行简单的推理和计算。 学习难点： 能区分平行的性质和判定，正确利用平行线的性质解决有关问题。 知识点01 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 【即学即练1】（2023春•芜湖期中）如图，，，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可求出，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【即学即练2】（2023春•无为市期中）如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则　　． 【分析】先根据图形折叠的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：如图， 将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 知识点02 平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【即学即练1】（2023春•裕安区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则　　． 【分析】分，，讨论结合平行线性质求解即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， ， 或或， 当时， ，， ， 当时， ，， ， ， 当时， ，， ， ， 故答案为：或或． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【即学即练2】（2023春•淮南期中）在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板和量角器带进了课堂．同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： （1）小蕊将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，且，请你求出的度数． （2）如图2，小旭将一副三角尺按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转（当三角尺的边与刻度线重合时三角尺停止运动），当运动时间是多少秒时，两块三角尺有一组边？ （3）如图2，爱动脑筋的小瑶在小旭的基础上，在三角尺旋转的同时将三角尺也绕点以每秒的速度顺时计旋转（当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动），当运动时间　6或9或15或33　秒时，两块三角尺有一组边平行． 【分析】（1）根据三角板的性质和平行线的性质可求，，进而可求； （2）当时，，据此可求解； （3）分类讨论、、、、即可求解． 【解答】解：（1）由三角板的性质可知：，，， ， ， ， ， ． （2）如图，设量角器刻度线为，根据题意，得， 当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动， 则运动时间最多为（秒； 当时，，即， 解得：（秒； ， 满足题意． 当运动时间是15秒时，两块三角尺有一组边． （3）①当时：如图所示： ， ， ， ， 解得：； ②当时：如图所示： ， ， ， ， 解得：； ③当时：如图所示： ， ， 解得：； ④当时：如图所示： ， ， ， 解得：； ⑤当时：如图所示： ， ， ， ， 解得：（舍去）， 故答案为：6或9或15或33． 【点评】本题考查三角形板中的角度计算、根据平行线的性质求角度的度数．根据题意画出满足条件的图形是解决第三题的关键． 题型01 根据平行线的性质求角的度数 1．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）如图，，平分，若，则（   ） A．64° B．58° C．116° D．60° 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的精义，由平行线的性质可得出，再根据角平分线的定义可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知点，分别在直线，上，且，，． （1）若，，则的度数为 ； （2）在（1）的条件下，若，分别平分，，则的度数为 ． 【答案】 /50度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，做出辅助线，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，根据已知条件可求出，，根据平行线的性质可知，，再根据和差计算求解即可； （2）过点作，根据已知条件可求出，，根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质可知，，再根据和差计算求解即可． 【详解】解：过点作，过点作， ∵，，， ∴， （1）∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知分别在上，点G在之间，连接． (1)当平分平分时， ①如图1，若，则的度数为_______（直接写出结果）； ②如图2，在的下方有一点平分平分，求的值； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，且满足时，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∵平分平分； ， ∴． 故答案为：． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 题型02 根据平行线判定与性质求角度 4．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）小明将含有角的三角板和直尺按图中方式摆放．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点A作，则，可得到，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 5．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，，是上一点，是延长线上一点． （1）的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /81度 /54度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据同旁内角互补两直线平行得，再结合，得，最后由两直线平行，内错角相等得，即可作答． （2）因为，故，结合，得，则，即可作答． 【详解】解：（1），， ， . ，， ， . （2），， . ， . 故答案为：， 6．（22-23七年级下·安徽滁州·期末）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是 　 　， 　 　． 利用上面的发现，解决下列问题： （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是 　 　． 【答案】，；（1）；（2）． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，难点是类比思想、方程思想在解题中的应用． （1）由已知得，根据平行线的性质得，，据此可得出与，之间的数量关系；先由得，，据此可得出的度数； （2）设，，则，，由（1）的结论得，，进而得，据此可得的度数； （3）设，则，，，由（1）的结论及得，进而得，再由（1）的结论得，然后根据比大得，据此可求出的度数． 【详解】解：与，之间的数量关系是：． 理由如下： ，， ， ，， ， 即：； ，理由如下： ， ，， ， 即：， 故答案为：，； （2）平分，平分， 设，， ，， 由（1）的结论得： ， ， 又， ， ， ； （3）设， 平分， ， ， ， 由（1）的结论得： ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 比大， ， 即：， 解得：， ． 故答案为：． 题型03 根据平行线判定与性质证明 7．如图，点在直线上，点在直线上，若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，首先根据角之间的关系可证，再根据两直线平行，内错角相等可得：． 【详解】解：，， ， ， ， 又， ， ， ． 故选：B． 8．将一副三角板按如图所示方式放置，则下列结论： ①如果，则有；②；③如果，则有④如果，必有； 正确的有 ． 【答案】①②③④ 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，根据平行线的判定定理判断①；根据角的关系判断②即可；根据平行线的性质定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， 即， 故②正确； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 综上所术，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 9．完成以下证明过程． 已知：如图，，、分别是，的角平分线，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（________）， 又∵平分（已知）， ∴________（________）， 同理， ∴（________）， ∴（________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行． 题型04 求平行线间的距离 10．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，．若，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，求出和是平行线和之间的距离，根据平行线间的距离处处相等求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，地面上有一样长的电线杆分别与地面垂直，小明想知道两根电线杆顶端A，C之间的距离．他没有梯子，于是就测量了底端之间的距离，他认为B，D之间的距离等于A，C之间的距离，你认为对吗？ （填“对”或“不对”），依据是 ． 【答案】 对 两条平行线的所有公垂线段都相等 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题主要考查平行线间的距离，根据“两条平行线的所有公垂线段都相等”解答即可． 【详解】解：B，D之间的距离等于A，C之间的距离，说法正确，依据是：两条平行线的所有公垂线段都相等； 故答案为：对；两条平行线的所有公垂线段都相等． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题主要考查平行线间的距离，运用等积法求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以平行线与之间的距离为． 题型05 利用平行线间距离解决问题 13．如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：、为定点， 则为定值， 随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的； 故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变， 即的面积不变； 故②正确； 随着点的运动，的度数是变化的； 故③错误； 两平行线间的距离相等， 即点到直线的距离不变； 故④正确； 综上，正确的有②④； 故选：C． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将四边形放在一组间距相等的平行线中．已知，四边形的面积为，求相邻两条平行线间的距离． 【答案】 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】本题考查了平行线间的距离，根据面积的和差，可得，根据平行线间的距离相等，可得与的关系，根据解方程，可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则． 因为， 所以， 即相邻两条平行线间的距离为． 一、单选题 1．已知在同一平面内的直线，如果，那么与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上全不对 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答即可． 【详解】解： 如果，那么与的位置关系是平行． 故选：A． 2．下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两条平行线被一条直线所截，同位角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 【答案】D 【分析】本题考查了定义的识别，涉及直线的性质，平行线的性质，线段的性质，点到直线的距离等，根据定义与性质、定理的区别逐项分析即可求解． 【详解】解：A．两点确定一条直线，是直线的性质，不是定义，故A选项不符合题意； B．两条平行线被一条直线所截，同位角相等，是平行线的性质，不是定义，故B选项不符合题意； C．两点之间线段最短，是线段的性质，不是定义，故C选项不符合题意； D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，是“点到直线的距离”的定义，故D选项符合题意． 故选：D． 3．如图，已知，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角互补，根据两直线平行，同位角相等，得，最后结合邻补角互补列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．已知，如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 5．如图，，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先证明，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶A． 6．如图，直线，，有下列三个命题，①； ②；③，则(　　) A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和③正确 D．①②③都正确 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和垂直的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．利用两直线平行，同位角相等与垂直的定义，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：①正确，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴只有①正确， 故选：A． 7．如图，已知（其中），添加以下一个条件：①；②；③；④．能判定的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”，以及邻补角的定义．本题的关键是通过作辅助线得到角相等，将已知条件进行转化．过F作，结合条件①可证；条件②可证；条件③可证；条件④的结果得到恒等式，据此判断即可． 【详解】解：添加①， 过F作， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，故①正确； 添加②， 过F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 添加③， 则， 而F不在， 故不能证明，故③错误； 添加④， ∵， ∴，即， 无法证明，故④错误； 故选：C 8．下列说法中，是平行线性质的是（   ） ①两直线平行，同旁内角互补； ②同位角相等，两直线平行； ③内错角相等，两直线平行； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． A．① B．②③ C．④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质与判定进行分析即可：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；反之，也成立，可判断①，②，③，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行可判断④． 【详解】解∶ ①两直线平行，同旁内角互补 ，是性质，符合题意； ②同位角相等，两直线平行，是判定定理，不符合题意； ③内错角相等，两直线平行，是判定定理，不符合题意； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，是判定定理，不符合题意． 故选∶ A． 9．如图，，且，则图中与相等的角（不包括）有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键． 由可得，再证明可得、，然后再根据可得，然后统计即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． ∴， ∴图中与相等的角共有5个． 故选C． 10．如图，，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义．首先根据平行线的性质可知，根据垂直的定义可知，再根据角的和与差可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D ． 二、填空题 11．如图，已知，d四条直线，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据，得到，由对顶角相等得到，由，得到，即，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 12．如图1，有一种生活中常见的折叠拦道闸，可将其抽象为几何图形，如图2，垂直于地面于A，平行于地面，则 °． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，，即可求出答案． 【详解】解：过点作， ∵平行于地面， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 13．如图，已知，和分别平分和，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算等知识点，添加适当辅助线利用平行线的性质求角度是解题的关键．过点作，过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，，，进而可得，，由角平分线的定义可得，，由可得，进而可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 又， ， ，，，， ， ， 和分别平分和， ，， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，，点分别在直线上，在直线之间有一点，，若与的平分线交于点，则 ．若与的平分线交于点，与的平分线交于点，与的平分线交于点，，则 （结果用乘方的形式表示）． 【答案】 /129度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平分线的定义，过点作，过点作，根据角平分线的判定和性质可得，进而由角平分线的定义可得，即得，同理可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ 平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ， ， ∴， ∴， 故答案为：，． 三、解答题 15．如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质得到角的关系是解题的关键． 如图所示，分别过点作，，得到，，，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点作，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．如图，已知，，则与平行吗？请说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了根据平行线的判定与性质证明，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． 结合已知条件，根据同位角相等两直线平行，可证得，再根据两直线平行内错角相等可得，结合已知条件，可得，再根据同位角相等两直线平行即可得出结论． 【详解】解：平行，理由如下： ， ， ， 又， ， ， 答：与平行． 17．如图，平分交于点M，，求的度数． 【答案】 【分析】先根据“两直线平行同旁内角互补”可得，再根据角平分线的定义可得，再根据“两直线平行同旁内角互补”可得．本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：，， ． 又平分， ． 又， ， ∴． 18．如图，点A，B，C在同一直线上，．求证：． 证明：（已知）， ______________（_______）． _______（_______）． ， _______=_______（_______）． （_______）． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由得，即得，进而得，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行） ． 19．如图，，垂足为F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质与判定及垂直的定义是解题的关键；由题意易得，，则有，进而可得，最后问题可求证． 【详解】证明：， ． ， ， ， 又， ， ， ， ． 20．已知，线段分别与、相交于点、． (1)如图①，当，，则______； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析；当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定及性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过P作，则，根据平行线的性质求出的度数即可解答； （2）过P作，则，根据平行线的性质即可得到； （3）根据点的运动轨迹，分类讨论：当点在射线上时；当点在射线上时；根据平行线的性质与判定定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下： 设与相交于点，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．如下图，点D，H分别在上，点E，F都在上，交于点，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据同位角相等得出，进而根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出．等量代换得出，可得，即可得证； （2）根据已知得出，，进而根据平行线的性质得出． 【详解】（1）证明：， ． ． 平分， ． ． ， ，即． ． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， ，     ． 22．若有两个角，它们的顶点不是同一个，但这两个角的两边相互平行，我们就把满足条件的这两个角称作“平行角”．如图，，因此和是“平行角”． (1)如图①，延长到点M，可知和也是“平行角”，它们之间的数量关系是_____________； (2)如图②，平分平分．求证：和是“平行角”． 【答案】(1)互补 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，理解“平行角”是解决本题的关键．“平行角”的性质：两个“平行角”不是相等就是互补． （1）利用平行线的性质，推理得结论； （2）要说明和是“平行角”，需说明可利用角平分线的性质和平行线的性质和判定． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即和互补， 故答案为：互补； （2）证明：， ． 平分平分， ． ， ， ， 和是“平行角”． 23．如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，进而得出，则，即可得证； （2）过点作，设，，根据平行线的性质可得，，根据可得，由（1）可得，根据已知即可得出，进而即可求解； （3）根据平行线的性质可得，，设，根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：如图所示，过点作， 设， ∵ ∴ 设 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵， ∴， 设 ∵与的角平分线交于点， 设 如图所示， ∵ 由（1）可得， ∴ ； 如图所示， 由（1）可得， ∴ 如图所示， 由（1）可得， ∴ 综上所述，或或 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$