特训06 矩形的性质-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训06 矩形的性质 【特训过关】 1．下列性质中，矩形具有，而平行四边形不具有的是（   ） A．对角相等 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D． 【解析】解：A．矩形和平行四边形的对角都相等，不符合题意； B．矩形和平行四边形的对边都平行且相等，不符合题意； C．矩形和平行四边形的对角线都互相平分，不符合题意； D．矩形的对角线相等，但是平行四边形的对角线不一定相等，符合题意； 故选：D． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，下列结论不一定成立的是（    ） A． B．， C． D．， 【答案】C． 【解析】解：在矩形中，对角线，相交于点O， ∴，，，，， 故选项A、B、D正确，选项C不一定成立，故选项C错误， 故选：C． 3．如图，在中，，，将的顶点E摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点F，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点O处，则的度数为（   ） A． B． C．条件不足，无法计算 D． 【答案】D． 【解析】解：根据题意，可知平分，被垂直平分，O在的垂直平分线上， ∵四边形为矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵被垂直平分，O在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在中，，，点D是斜边的中点，以为边作矩形，且经过点B，则线段的长为（    ） A．8 B． C．12 D．16 【答案】A． 【解析】解：在中，，， ∴， 则， ∵点D是斜边的中点， ∴，， ∵四边形矩形，且经过点B，则， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，且，，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：如图，连接并延长交于点G，连接． ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即N是的中点． ∴是的中位线． ∴． ∵，，，， ∴，，． 在中 ， ∴． ∴． 故选：C． 7．小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则到的距离为（   ） A．8cm B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 由折叠可得：，，，， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 则， 则点到的距离为：， 则点到的距离为：． 故选：C． 8．如图，P是矩形内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则P点在矩形的对角线上．其中正确的结论有(　  ) A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】C． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点P到、、、的距离分别为、、、， ，，，， ∵，， ∴， 不能得出， 故①错误，②正确； 根据，能得出，不能推出，即不能推出，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴P点一定在对角线上，故④正确． 故选：C． 9．如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q在边上，连接，，将矩形沿，折叠，点B，C，D的对应点分别为，，， ，分别交于点E，F（点E在点F右侧），则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：如图， ∵P是的中点， ∵E为定点， ∴要使最大，则点F要离点E最远， ∴当点Q与点B重合时，线段最大，此时点也与点B重合， 根据折叠可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， 设，则， ∵点P是的中点， ∴, ∴ 在中，， 即， 解得， 同理可得. ∴最大值为． 故选：B． 10．如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，取的中点G，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D． 【解析】解：∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②错误； ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴设，， ∵， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过G作于M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：D． 11．如图，在矩形中，是对角线，点E在的延长线上，，， 则 ． 【答案】32． 【解析】解：连接，交于点O， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数是 ． 【答案】． 【解析】解：如图，∵矩形， ∴， 由作图痕迹可知平分， ∴， 由作图痕迹可知垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，矩形中，，，于点M，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】． 【解析】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， 过点M作， ∴，， 则图中阴影部分的面积， ， 故答案为：． 14．如图，矩形中，，，点P、E分别在、上，则的最小值是 ． 【答案】． 【解析】解：如图，将线段沿翻折得到线段，过点F作于H，连接． ∵，， 由翻折可知，，，， ∵， 又∵， ∴的最小值就是线段的长， 在中，，，， 则， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点B在y轴上，则点B的坐标为 ． 【答案】． 【解析】解：连接， ∵点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，若点P是y轴上一动点，且与面积相等，则点P坐标是 ． 【答案】或． 【解析】解：过点B作，过点A作于点G，过点C作于点E，交于点F， 则四边形是矩形， ∵，，， ∴， 设点， 根据题意，得， ∵与面积相等， ∴． 解得或， 故或， 故答案为：或． 17．如图，矩形中，，，点E在边上，将沿直线翻折，点D落在点F处，连接、．如果是以为腰的等腰三角形，那么的长是 ． 【答案】或． 【解析】解：如图1，是以为腰的等腰三角形，且， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵将沿直线翻折，点D落在点F处， ∴， ∴， 过点F作于点G，交于点H，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，且，， ∴， 解得； 如图2，是以为腰的等腰三角形，且， 连接，过点F作于点Q，交于点P，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长是或， 故答案为：或． 18．如图，在矩形中，，，E、F分别是、的中点，动点P、Q在线段上，且满足．则四边形周长的最小值为 ． 【答案】． 【解析】解：∵四边形周长， 又∵，， ∴四边形周长， ∴要使四边形的周长最小，只要最小即可， 如图所示，过点Q作交于M，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当C、Q、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：． 19．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，，垂足为H，连接并延长，交于点F，交于点O．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．（只需填序号） 【答案】①③④． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； ∵， ∵，， ∴，， ∴， ∵，故②错误； ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 连接．    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 20．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ． 【答案】． 【解析】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴点G在平行且到距离为的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故答案为：． 21．如图，在矩形中，M是的中点，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：∵四边形是矩形，M是的中点， ∴，，， ， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 22．如图，四边形是矩形（），的平分线交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）G是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：线段，，之间的数量关系是：． 证明：连接，，． 在中，G是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接，交于点E，连接交于点F． （1）求证：． （2）若点G是线段的中点，补全图形并求证：为等腰直角三角形． （3）求证：． 【答案】证明见解析；． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． （2）证明：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点G是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，． ∴为等腰三角形． ∵， ∴，即． ∴为等腰直角三角形． （3）解：∵，，， ∴（等腰三角形的三线合一）， 由（2）可知，． ∴，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在上时，求证：； （2）如图2，若，点E与点D重合，求的长； （3）如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， ∴； （3）解：如图3，过点P作于H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∵将四边形沿翻折， ∴，，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，即， ∴， ∴在中，根据勾股定理， ． 25．如图，在矩形中，E为边上一点，连接，F为中点，连接并延长交于G，N在边上，且．    （1）求证：； （2）连接，若，求证：； （3）在（2）的条件下，设、相交于点M，连接，若，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】（1）解：延长、交于点H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，    （2）设，则， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 连接，如图，    由（1）知，， ∴， ∴， 在中， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）由（1）知，， 则，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， 过点C作，垂足为K，则， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ， 在中， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍）， ∴， ∴在中，．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 矩形的性质 【特训过关】 1．下列性质中，矩形具有，而平行四边形不具有的是（   ） A．对角相等 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，下列结论不一定成立的是（    ） A． B．， C． D．， 3．如图，在中，，，将的顶点E摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点F，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点O处，则的度数为（   ） A． B． C．条件不足，无法计算 D． 5．如图，在中，，，点D是斜边的中点，以为边作矩形，且经过点B，则线段的长为（    ） A．8 B． C．12 D．16 6．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，且，，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则到的距离为（   ） A．8cm B． C． D． 8．如图，P是矩形内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则P点在矩形的对角线上．其中正确的结论有(　  ) A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 9．如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q在边上，连接，，将矩形沿，折叠，点B，C，D的对应点分别为，，， ，分别交于点E，F（点E在点F右侧），则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，取的中点G，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 11．如图，在矩形中，是对角线，点E在的延长线上，，， 则 ． 12．如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数是 ． 13．如图，矩形中，，，于点M，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 14．如图，矩形中，，，点P、E分别在、上，则的最小值是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点B在y轴上，则点B的坐标为 ． 16．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，若点P是y轴上一动点，且与面积相等，则点P坐标是 ． 17．如图，矩形中，，，点E在边上，将沿直线翻折，点D落在点F处，连接、．如果是以为腰的等腰三角形，那么的长是 ． 18．如图，在矩形中，，，E、F分别是、的中点，动点P、Q在线段上，且满足．则四边形周长的最小值为 ． 19．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，，垂足为H，连接并延长，交于点F，交于点O．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．（只需填序号） 20．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ． 21．如图，在矩形中，M是的中点，且．求证：． 22．如图，四边形是矩形（），的平分线交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）G是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 23．如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接，交于点E，连接交于点F． （1）求证：． （2）若点G是线段的中点，补全图形并求证：为等腰直角三角形． （3）求证：． 24．如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在上时，求证：； （2）如图2，若，点E与点D重合，求的长； （3）如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 25．如图，在矩形中，E为边上一点，连接，F为中点，连接并延长交于G，N在边上，且．    （1）求证：； （2）连接，若，求证：； （3）在（2）的条件下，设、相交于点M，连接，若，且，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$