第六章 平行四边形 期末复习课件 2024—2025学年北师大版数学八年级下册

第六章　平行四边形 期末复习 1. 若平行四边形的一边长为8 cm，一条对角线的长为6 cm，则另一条对角线长x的取值范围为 ( )A．2 cm<x<14 cm B．5 cm<x<11 cm C．10 cm<x<22 cm D．4 cm<x<28 cm C 一、选择题 2. 在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论中，不一定正确的是 ( ) A．∠A＝∠B B. AD∥BC C．AB＝CD D．对角线互相平分 A 3. 如图，DE为△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，若EF＝2，BC＝10，则AB的长为 ( ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 B 4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC. 添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( ) A. AB＝CD B. AB∥CD C. OB＝OD D. ∠ADB＝∠CBD A 1. 在平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝220°，则∠A＝____°. 2. 如图，在▭ABCD中，AB＝6，AD＝10，以点A为圆心、以任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点E，F. 再分别以点E，F为圆心、以大于 EF 的长为半径作弧，两弧在∠BAD内交于 点O，连接AO并延长交BC于点G，则 GC的长为____. 70 4 二、填空题 3. 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝13，AD＝12，AC⊥BC，则AO＝____. 4. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接BE，若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝∠C，则△BEC的周长是____. 26 5. 如图，在▭ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，有下列条件：①BE＝DF；②AE∥CF；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF. 其中，能使四边形AECF是平行四边形的条件有_______. (填序号) ①②④ ①②④ 6. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在BD上，请你添加一个条件________，使四边形AECF是平行四边形(添加一个即可). BE＝DF 7. 如图，在湖的两侧有A，B两个观湖亭，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC的中点E之间的距离为50米，则A，B两点之间的距离应为_____米. 100 8. 已知△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若△DEF的周长为18 cm，则△ABC的周长为____cm. 9. 如果一个多边形的内角和为540°，那么这个多边形是________. 10. 一个多边形的外角和是内角和的 ，这个多边形的边数是____. 36 五边形 7 11. 在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，则∠B＝　_____°. 12. 若▭ABCD的周长是30 cm，AB＝5 cm，则AD＝　____cm. 13. 如图，在▭ABCD中，AD的长是8，对角线AC的长为6，那么它的另一条对角线BD的长x的取值范围是　__________. 150 10 10＜x＜22 13. 如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A＋∠B＝230°，则∠1＋∠2＋∠3＝_____°. 230 15. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，BC＝3，∠B＝45°，点P在BC边上，若以点A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，则BP的长是____________. 2或2 或 16. 如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4， A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3……则△A5B5C5的周长为___. 1 17. 填空： (1)六边形的内角和为______，外角和为______； (2)正十二边形每个外角的度数都为_____； (3)一个正多边形每个外角为10°，则其边数为_____. (4)一个正多边形每个内角为160°，则边数为____. 720° 360° 30° 36 18 18. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点O的线段EF与AD，BC分别交于点E，F，如果AB＝4，BC＝5，OE＝ ，那么四边形EFCD的周长为___. 12 1 . 如图，在▭ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF与AC相交于点O，OE＝OF. 求证：OA＝OC. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC， 又∵OE＝OF，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(AAS)， ∴OA＝OC. 三、解答题（一） 2. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点M是DC的中点，点N是AB的中点. 请判断△PMN的形状，并说明理由. 解：△PMN是等腰三角形. 理由如下： ∵点P是BD的中点，点M是CD的中点， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形. ∴PM＝ BC，同理PN＝ AD， 3. 如图，在▭ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点F，BE平分∠ABC，交AD于点E. (1)求证：四边形BFDE是平行四边形； (1)证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠AEB，即AB＝AE， 同理CF＝CD， 又∵AB＝CD，∴CF＝AE， ∴BF＝DE， ∴四边形EBFD是平行四边形； (2)若∠AEB＝68°，求∠C. (2)解：∵∠AEB＝68°，AD∥BC， ∴∠EBF＝∠AEB＝68°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBF＝136°， ∴∠C＝180°－∠ABC＝44°. 4. 如图，在▭ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF. (1)求证：四边形BFDE是平行四边形； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OA－AE＝OC－CF， ∴OE＝OF， ∴四边形BFDE是平行四边形； (1)证明：如图，连接BD，交AC于点O， (2)若EF＝2AE＝2，∠ACB＝45°，且BE⊥AC，求▭ABCD的面积. (2)解：∵AE＝CF，OE＝OF，EF＝2AE＝2， ∴AE＝CF＝OE＝OF＝1，AC＝4，CE＝3， ∵∠ACB＝45°，BE⊥AC， ∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE＝CE＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S▭ABCD＝2S△ABC＝2× ×AC×BE＝4×3＝12. 1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点P，Q是对角线BD上的两个点，且BP＝DQ. 求证：AP QC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BP＝DQ， ∴OB－BP＝OD－DQ，即OP＝OQ. ∴四边形APCQ是平行四边形. ∴AP QC. 证明：如图，连接AC交BD于点O，连接AQ，CP. 四、解答题（二） 2. 如图，在▭ABCD中，∠ABC的角平分线交AD于点E，∠BCD的角平分线交AD于点F，交BE于点G. 求证：AF＝DE. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD. ∴∠EBC＝∠AEB. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC. ∴∠ABE＝∠AEB. ∴AE＝AB. 同理可证：DF＝CD，∴AE＝DF. ∴AE－EF＝DF－EF，即AF＝DE. 3. 如图，五边形ABCDE是正五边形，求图中∠5的度数. 解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AE＝DE＝BC＝CD，∠E＝∠EDC＝∠C＝108°. ∴∠5＝∠EDC－∠1－∠3 ＝108°－36°－36° ＝36°. ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝ ＝36°. 4. 如图，在▭ABCD中，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，作CF⊥BE于点F. (1)求证：BF＝EF； (1)证明：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠E. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE. ∴∠E＝∠CBE. ∴BC＝CE. ∵CF⊥BE， ∴BF＝EF. (2)若AB＝8，DE＝4，求▭ABCD的周长. (2)解：∵四边形的ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝8. ∴CE＝12. 由(1)得BC＝CE＝12. ∴C▭ABCD ＝2(AB＋BC)＝40. 5. 如图，在▭ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N. 求证：(1)DE＝BF； 证明：(1)在▭ABCD中，AD∥BC， ∵DF∥BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴DE＝BF； (2)四边形MFNE是平行四边形. 证明：(2)在▭ABCD中，AD∥BC且AD＝BC， ∵DE＝BF， ∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF∥CE， ∵四边形BFDE是平行四边形， ∴DF∥BE， ∴四边形MFNE是平行四边形. 6. 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F. (1)求证：AE＝CF； 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAC＝∠DCA. ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∵∠BAC＝∠DCA，AB＝CD，∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF； (2)若M，N分别为边AD，BC上的点，且DM＝BN，求证：四边形MENF是平行四边形. 证明：(2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAC＝∠BCA， ∵DM＝BN， ∴AM＝CN，且∠DAC＝∠BCA，AE＝CF， ∴△AME≌△CNF(SAS)， ∴ME＝NF，∠AEM＝∠CFN， ∴∠MEF＝∠NFE， ∴ME∥NF，且ME＝NF， ∴四边形MENF是平行四边形. 7. 【课本引申】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 【尝试探究】 (1)如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC、∠ECB之间存在的数量关系. 解：(1)∠DBC＋∠ECB ＝180°－∠ABC＋180°－∠ACB ＝360°－(∠ABC＋∠ACB) ＝360°－(180°－∠A)＝180°＋∠A； 【拓展运用】 (2)如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，若∠1＋∠2＝230°，则剪掉的∠C＝____°； 解：(2)∵∠1＋∠2＝∠180°＋∠C， ∴230°＝180°＋∠C， 解得∠C＝50°； 故答案为50°； 50 (3)小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP，CP分别平分外角∠DBC，∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出答案； 解：(3)∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A， ∵BP，CP分别平分外角∠DBC，∠ECB， 故答案为∠P＝90°－ ∠A； 即∠P＝90°－ ∠A； ∠P＝180°－ (180°＋∠A)＝90°－ ∠A， ∴∠PBC＋∠PCB ＝ (∠DBC＋∠ECB)＝ (180°＋∠A)， (4)如图4，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC和∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，无需说明理由) ∴∠Q＝180°－2∠P， ∴∠BAD＋∠CDA ＝180°＋∠Q ＝180°＋180°－2∠P ＝360°－2∠P. 则∠P＝90°－ ∠Q， 解：(4)如图4，延长BA，交CD延长线于点Q， 8. 如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，交AC于点E，连接BE，过点C作CF∥BE，交ED延长线于点F，连接BF. (1)求证：四边形EBFC是平行四边形； (1)证明：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC. ∵CF∥BE， ∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD. ∴△EBD≌△FCD(AAS). ∴BE＝CF. ∴四边形EBFC是平行四边形． (2)若BC＝4，EF＝8，AC＝4 ，求AE的长． (2)解：由(1)得，四边形EBFC是平行四边形， ∵DE垂直平分BC，∴∠CDE＝90°. ∴DC＝ BC＝2，DE＝ EF＝4. ∴CE＝ . ∴AE＝AC－CE＝4 －2 ， 即AE的长为4 －2 . 9. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，BF与AD相交于点E，且BE＝EF，AF∥BC. (1)求证：四边形ADCF为平行四边形； (1)证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE. 又∵FE＝BE，∠AEF＝∠DEB， ∴△AEF≌△DEB(ASA). ∴AF＝DB. ∵AD是边BC上的中线， ∴DB＝DC ∴AF＝DC. ∴四边形ADCF为平行四边形． (2)若DA＝DC＝3，AC＝4，求△ABC的面积． (2)解：∵DA＝DC＝3，DB＝DC， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°. ∴DA＝DC＝DB＝ BC，BC＝6. ∴AB＝ . ∴S△ABC＝ AB·AC＝ ×2 ×4＝4 . 10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB，∴BE＝CD. (2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC，DE，求证：四边形ACED是平行四边形. 证明：(2)∵BE＝AB，BF平分∠ABE，∴AF＝EF， ∴△ADF≌△ECF(ASA)， ∴DF＝CF， 又∵AF＝EF， ∴四边形ACED是平行四边形. 在△ADF和△ECF中， 11. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3 cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形. 求： (1)AD的长度； 解：(1)∵△CDE为等边三角形， ∴DE＝DC＝EC，∠D＝60°. 由折叠可知：∠BCA＝∠B′CA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝3 cm， ∴∠EAC＝∠BCA. ∴∠EAC＝∠ECA. ∴EA＝EC. ∴∠DAC＝30°. ∴∠ACD＝90°. ∴AD＝2CD＝6 cm. (2)重叠部分的面积. 解：(2)∵CD＝3，AD＝6，∠ACD＝90°， 由(1)知EA＝EC＝ED， ∴点E为AD的中点， ∴AC＝ (cm). ∴S△ACE ＝ (cm2). 即重叠部分的面积为 cm2. $$