热点题型·解答题攻略 专题07 几何中的最值问题（9类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

专题07 几何中的最值问题 目录 题型01 将军饮马模型 1 题型02 胡不归模型 9 题型03 阿氏圆模型 15 题型04 隐圆模型之定点定长 19 题型05 隐圆模型之定角定弦 25 题型06 瓜豆原理模型 29 题型07 费马点模型 34 题型08 代几综合转化为二次函数求最值 39 题型09 其他最值问题 42 中考练场 47 题型01 将军饮马模型 将军饮马模型是初中数学几何板块中研究线段和最值问题的重要内容，通过利用轴对称的性质将线段进行转化，从而求解最短路径，在中考数学中分值占比约 3%-5%。 1.考查重点：重点考查学生对将军饮马模型本质的理解，即如何通过作对称点，将 “折线段” 转化为 “直线段”，利用 “两点之间线段最短” 这一基本原理来确定最短路径，进而解决线段和的最值问题。 2.高频题型：高频题型有在平面几何图形（如三角形、四边形、矩形等）中，给定两个定点和一条定直线，求在直线上找一点，使该点到两定点距离之和最小；在坐标系中，结合点的坐标，利用将军饮马模型求函数图象上的点到两定点距离和的最小值；在实际生活场景中，如选址建仓库、铺设管道等问题，抽象出将军饮马模型并求解。 3.高频考点：考点集中在对称点的构造，准确找到对称轴并作出对应点；理解和运用 “两点之间线段最短” 来确定最短路径；将实际问题或复杂图形问题转化为标准的将军饮马模型。 4.能力要求：要求学生具备较强的图形分析能力，能从复杂图形中提炼出将军饮马模型的基本结构；拥有良好的逻辑思维能力，清晰理解利用对称转化线段的原理；掌握一定的运算能力，在涉及坐标等问题时，能够准确计算线段长度。 5.易错点：易错点在于不能准确找到对称轴，导致对称点位置错误；对 “两点之间线段最短” 的应用场景理解不清晰，在构造路径时出现偏差；在将实际问题或复杂图形转化为模型时，对条件分析不全面，遗漏关键信息。 【提分秘籍】 1.类型一 两定一动模型 （1）已知：定点在直线的两侧，在直线上有一动点,求：的最小值。 连接与直线的交于点,此时的值最小，为线段的长。即 （2）已知：定点在直线的同侧，在直线上有一动点,求：的最小值。 作点关于直线的对称点,连接与直线交于点,此时的值最小，为线段的长。即 （3）已知：定点在直线的同侧，在直线上有一动点,求：的最大值。 连接并延长，与直线交于点,此时的值最大，为线段的长。即 （4）已知：定点在直线的两侧，在直线上有一动点,求：的最大值。 作点关于直线的对称点,连接并 延长，与直线交于点, 此时的值最大，为线段的长。 即 2.类型二 两动一定模型 已知：为内一定点，在射线上分别有两动点, 求：的最小值。 作点关于射线的对称点,连接与两条射线的交点分别为, 此时的值最小，为线段的长。即， 3.类型三 两动两定模型 已知：为内两定点， 在射线上分别有两动点, 求：的最小值。 作点Q关于射线的对称点, 作点关于射线的对称点, 连接与两条射线的交点分别为, 此时的值最小，为的长。即， 4.类型四 两定点一定长模型 （1）已知：直线,分别为直线上方和直线下方的两个定点（直线不与垂直)，在直线上有两动点, 且, 求：的最小值。 将点向下平移得到点,使, 连接,交直线于点,过点作于点, 此时的值最小，为的长 （2）已知：定点在直线的同侧，长度为的线段在直线上移动（点在 点左侧)， 求： 的最小值。 将点向右平移个单位长度得到点, 作点关于直线的对称点, 连接, 交直线于点, 连接, 将点向左平移个单位长度得到点, 此时有最小值，为的长。即，, 5.类型五 三动点模型 已知：分别为上的动点， 求：的最小值。 作点关于的对称点, 连接, 分别交于点, 连接, 由对称性可知 所以， 所以，当四点共线时，有最小值，最小值为线段的长。 且当时，有最小值。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（　　） A． B． C．4 D． 例2．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 例4．（2025·辽宁·模拟预测）如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是 ． 例5．（2024·辽宁锦州·模拟预测）【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 【变式演练】 1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（   ） A．9 B．10 C． D． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，等边三角形中，，D为的中点，连接，点E是线段上的动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，且，点M、N分别在线段、上，连接，，点P为的中点，连接、，则的最小值为 ． 4．（2025·辽宁·模拟预测）如图，正方形中，点P是上一点，若，，则的最小值是 ．    5．（2025·辽宁·模拟预测）【问题初探】（1）数学活动课上，张老师给出如下问题：如图①，在中，，，点是边上一点，连结，在右侧作，使，，连结．求证：． ①小智同学从和都是等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为． ②小慧同学从结论的角度出发给出另外一种解题思路：如图②，在线段上截取，连结，通过证明，将转化为． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【拓展延伸】（2）如图③，在正方形中，是边上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连结、，若，则周长的最小值为________． 6．（2025·辽宁·模拟预测）以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点．      (1)如图1，平分，求证：； (2)如图2，过点A作，分别交、于点、点，连接，过A作，交于点，连接，交于点，求证：； (3)如图3，点为边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接、，当，最小时，请直接写出的度数． 题型02 胡不归模型 胡不归模型是初中数学几何与代数结合领域中用于求解线段和最值问题的特色内容，它源自古老的数学典故，借助构造直角三角形，利用三角函数实现 “系数不为 1 的线段和” 向 “两点之间线段最短” 的转化，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 1.考查重点：重点考查学生对胡不归模型原理的深度理解，即如何通过在速度快的路径一侧构造特定角度的直角三角形，利用三角函数将系数不为 1 的线段转化为常规线段，再依据两点之间线段最短求出最小值。 2.高频题型：高频题型有在直线型路径问题中，已知动点在不同速度的两段路径上运动，求运动时间最短或距离和最小的方案；在平面几何图形，如三角形、四边形中，根据已知条件构建胡不归模型，求解线段和的最小值；在实际生活场景，像物资运输、人员调度等问题里，抽象出胡不归模型并得出最优解。 3.高频考点：考点集中在构造含特定锐角的直角三角形，准确利用三角函数进行线段的转化，以及对两点之间线段最短这一基本原理的灵活应用，确定最短路径。 4.能力要求：要求学生具备较强的问题转化能力，能够从复杂的实际或几何问题中提炼出胡不归模型；拥有良好的几何构图能力，熟练构造出符合要求的直角三角形；掌握扎实的三角函数运算能力，精准完成线段的转化与计算。 5.易错点：易错点在于无法准确识别胡不归模型的适用条件，盲目套用模型；在构造直角三角形时，角度选取错误，导致三角函数运用错误，线段转化出错；在计算过程中，因对模型原理理解不透彻，忽略系数与线段的对应关系，造成计算失误。 【提分秘籍】 胡不归模型 模型来源：有一则古老的历史故事：从前有一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是砂砾地带的直线路径A——B （如图所示，A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道）．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念： “胡不归？胡不…” 早期的科学家曾为这则传说中的小伙子设想了一条路线：在驿道上选一点C．小伙子先从A到C，然后再从C折往B，然后到达驿道目的地B（尽管这条路线长一些，但是速度却可以加快）．他是可以提早抵达家门的． 这两种路面的状况和行走速度值不同，已知在驿道上行走的速度为v1，在砂砾地上行走的速度为V2 （v1＞v2）． 可以在驿道上选一点C，小伙子先从A到C，然后再从C折往目的地B，求他行走的时间． 过定点A在直线AC的下方构造∠CAF，使其满足 ，过点C作CE⊥AF于点E，则，∴CE＝kAC，∴ 归纳：胡不归问题就是一个“两动一定”求最值问题 条件：两定一动（动点一般在某确定的直线上运动） 两定：点A、B两点为定点；一定：点P为直线AB外的一个动点 问题：确定动点P，使mPA＋PB最短（0＜m＜1） 更一般地：使mPA ＋nPB最短（不妨设m＞n） 思路：设所求P点在直线AN上，我们在直线AN异于B点的一侧构造∠NAM，使得sin∠NAM＝m（相当于把mPA通过正弦打折化归到直角三角形的直角边上） 我们作BF⊥AM交AN于P点，毫无疑问P点即为所求！mPA＝PF， mPA＋PB＝BF，BF即为mPA＋PB的最小值（而mPA＋PB＜AB） 一般的：更一般地：使mPA ＋nPB最短（不妨设m＞n），我们只须在上式中提取m、n中的较大者，即可化归到上述类型． ，在类似的位置构造一个正弦等于 的角即可． 【典例分析】 例1．（2025·辽宁锦州·零模）在中，，，分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接交于点，连接，为延长线上一点，连接，．为上的点，连接，那么的最小值是（   ）    A． B． C． D．5 例2．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．    例3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ． 例4．（2024·辽宁·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【变式演练】 1．（2024·辽宁营口·模拟预测）在矩形中，，，是边上任意一点，则的最小值是 ． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是 ．    3．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是 ． 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A，B两点，与ｙ轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D． （1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求的值； （3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少． 题型03 阿氏圆模型 阿氏圆模型是初中数学几何板块中用于解决线段和差最值问题的进阶内容，它基于平面内到两个定点距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹是圆这一特性，通过巧妙构造相似三角形实现线段的转化，从而求解最值，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 1.考查重点：重点考查学生对阿氏圆定义及性质的理解，如何识别阿氏圆模型，以及通过构造共边共角型相似三角形，将所求线段和差问题转化为两点之间线段最短问题，进而得出最值。 2.高频题型：高频题型有在给定的几何图形中，存在一个动点在阿氏圆上运动，已知两个定点，求动点到两定点距离之和或差的最小值；在坐标系与圆结合的题目里，根据点的坐标和圆的方程确定阿氏圆，再求解相关线段的最值；在实际问题情境中，如规划物流配送路线、确定信号覆盖范围等，抽象出阿氏圆模型并计算最值。 3.高频考点：考点集中在阿氏圆的判定，即根据已知条件判断出点的轨迹为阿氏圆；构造相似三角形，找到合适的比例关系实现线段的转化；运用两点之间线段最短原理得出线段和差的最值。 4.能力要求：要求学生具备较强的图形识别与分析能力，从复杂图形中精准判断出阿氏圆模型；拥有良好的知识迁移能力，熟练运用相似三角形知识解决阿氏圆相关问题；掌握扎实的运算能力，在涉及坐标、线段长度计算时能准确求解。 5.易错点：易错点在于无法准确判断题目中的阿氏圆模型，错过利用其特性解题的机会；在构造相似三角形时，对应边比例关系找错，导致线段转化错误；在计算过程中，因对阿氏圆性质和相似三角形知识理解不深，出现计算失误。 【提分秘籍】 求最值之阿氏圆问题，又称阿波罗尼斯圆 阿波罗尼斯圆：在平面上给定两点, 设点在同一平面上且满足, 当且时 ，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。时点的轨迹是线段的中垂线) 证明：设点坐标为点坐标为. 则. 由得 整理得： 所以当时，点的轨迹是个圆，圆心为半径。 所以此时有，所以一定会有。 在初中阶段我们不要求学生能够证明，只要求学生能够记住这个模型中有这样一对相似三角形，并且能够利用这个固定结论构造这样的相似三角形来解决实际问题就可以了。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点，、分别是轴正半轴，轴正半轴上的动点，，为中点，连接，，，则的最小值为 ． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 例3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 3．（2025·辽宁·模拟预测）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 4．（2024·辽宁·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 题型04 隐圆模型之定点定长 隐圆模型是初中数学几何板块中极具技巧性与综合性的内容，它巧妙地将圆的存在隐藏于各类几何情境中，考查学生挖掘潜在圆的特征并运用圆的知识解决问题的能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 1.考查重点：重点考查学生能否敏锐捕捉到定点定长（动点到定点距离恒定，轨迹为圆）、定弦定角（定弦所对圆周角不变，顶点轨迹为圆）、对角互补（四边形对角互补，四点共圆）等隐含圆的几何特征，运用圆的性质（如圆周角定理、垂径定理）建立角度与线段的关系，解决几何证明与计算问题。 2.高频题型：高频题型包括在动点问题里，依据定点定长条件确定动点轨迹为圆，进而求解动点路径长、最值等；利用定弦定角模型，已知定弦和所对角度，求相关线段长度或图形面积；在四边形问题中，通过对角互补判定四点共圆，结合圆的性质证明线段相等、角相等或进行角度计算。 3.高频考点：考点集中在对隐圆不同类型特征的精准判断，将隐圆问题转化为常规圆的问题，运用圆的基本定理（如圆周角定理、圆心角定理），以及与三角形全等、相似等知识的综合应用，通过构建几何关系求解问题。 4.能力要求：要求学生具备较强的图形感知与分析能力，能从复杂几何图形中提炼出隐圆模型；拥有良好的知识迁移能力，将圆的知识灵活应用于隐圆情境；掌握扎实的逻辑推理与运算能力，完成从隐圆识别到问题解决的全过程。 5.易错点：易错点在于无法准确识别隐圆类型，错过利用圆的知识解题的契机；在转化为圆的问题时，对圆的性质应用错误，如圆周角与圆心角关系混淆；在综合图形中，不能有效整合隐圆与其他图形性质，思路中断，导致解题错误。 【提分秘籍】 隐圆模型是指在一些几何问题中，通过分析条件可以发现存在一个隐藏的圆，利用圆的性质来解决问题。常见的隐圆模型有以下几种类型： （1）定点定长型：当题目中出现一个定点和一个动点，且动点到定点的距离始终保持不变时，那么这个动点的轨迹就是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。例如，在平面直角坐标系中，点, 点满足, 根据两点间距离公式, 可 知点的轨迹是以为圆心，5为半径的圆。 （2）定弦定角型：如果一条线段（定弦）所对的角始终为一个固定的角度（定角），那么这个角的顶点的轨迹是一个圆。特别地，当定角为时 ，定弦就是圆的直径。例如，在中，, 那么点的 轨迹是一段圆弧。因为同弧所对的圆周角相等，所以满足条件的点都在以为弦，圆周角为的圆上。 （3）对角互补型：若四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。例如，在四边形中，, 根据圆内接四边形的性质，可知四点共圆。此时，四边形的外接圆直径与四边形的边或对角线存在一定的关系，可通过正弦定理等知识来求解相关线段的长度。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为 ． 例2．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 例3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，，，射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是 ． 例4．（2024·辽宁丹东·三模）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（  ） A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC＝8，BC＝6，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是 ． 5．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）综合与实践 如图1，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将沿折痕展开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点．    【数学思考】 (1)折痕的长为______； (2)绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 (3)绕点旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，的长为______； 【问题延伸】 (4)在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 6．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题初探】 （1）如图1，等腰中，，点为边一点，以为腰向下作等腰，，连接，，点为的中点，连接．猜想并证明线段与的数量关系和位置关系．    【深入探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，将等腰绕点B旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展迁移】 （3）如图3，等腰中，，．在中，，．连接，，点为的中点，连接．绕点旋转过程中， ①线段与的数量关系为：__________； ②若，，当点F在等腰内部且的度数最大时，线段的长度为__________． 题型05 隐圆模型之定角定弦 隐圆模型是初中数学几何板块中极具技巧性与综合性的内容，它巧妙地将圆的存在隐藏于各类几何情境中，考查学生挖掘潜在圆的特征并运用圆的知识解决问题的能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 1.考查重点：重点考查学生能否敏锐捕捉到定点定长（动点到定点距离恒定，轨迹为圆）、定弦定角（定弦所对圆周角不变，顶点轨迹为圆）、对角互补（四边形对角互补，四点共圆）等隐含圆的几何特征，运用圆的性质（如圆周角定理、垂径定理）建立角度与线段的关系，解决几何证明与计算问题。 2.高频题型：高频题型包括在动点问题里，依据定点定长条件确定动点轨迹为圆，进而求解动点路径长、最值等；利用定弦定角模型，已知定弦和所对角度，求相关线段长度或图形面积；在四边形问题中，通过对角互补判定四点共圆，结合圆的性质证明线段相等、角相等或进行角度计算。 3.高频考点：考点集中在对隐圆不同类型特征的精准判断，将隐圆问题转化为常规圆的问题，运用圆的基本定理（如圆周角定理、圆心角定理），以及与三角形全等、相似等知识的综合应用，通过构建几何关系求解问题。 4.能力要求：要求学生具备较强的图形感知与分析能力，能从复杂几何图形中提炼出隐圆模型；拥有良好的知识迁移能力，将圆的知识灵活应用于隐圆情境；掌握扎实的逻辑推理与运算能力，完成从隐圆识别到问题解决的全过程。 5.易错点：易错点在于无法准确识别隐圆类型，错过利用圆的知识解题的契机；在转化为圆的问题时，对圆的性质应用错误，如圆周角与圆心角关系混淆；在综合图形中，不能有效整合隐圆与其他图形性质，思路中断，导致解题错误。 【提分秘籍】 隐圆模型是指在一些几何问题中，通过分析条件可以发现存在一个隐藏的圆，利用圆的性质来解决问题。常见的隐圆模型有以下几种类型： （1）定点定长型：当题目中出现一个定点和一个动点，且动点到定点的距离始终保持不变时，那么这个动点的轨迹就是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。例如，在平面直角坐标系中，点, 点满足, 根据两点间距离公式, 可 知点的轨迹是以为圆心，5为半径的圆。 （2）定弦定角型：如果一条线段（定弦）所对的角始终为一个固定的角度（定角），那么这个角的顶点的轨迹是一个圆。特别地，当定角为时 ，定弦就是圆的直径。例如，在中，, 那么点的 轨迹是一段圆弧。因为同弧所对的圆周角相等，所以满足条件的点都在以为弦，圆周角为的圆上。 （3）对角互补型：若四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。例如，在四边形中，, 根据圆内接四边形的性质，可知四点共圆。此时，四边形的外接圆直径与四边形的边或对角线存在一定的关系，可通过正弦定理等知识来求解相关线段的长度。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁锦州·零模）如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为 ． 例2．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，拋物线与轴交于A、B两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内的一动点，且满足，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（  ） A．5 B． C． D．3 例3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ． 例4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ． 例5．（2024·辽宁辽阳·三模）【问题初探】 （1）如图1，动点A在半径为2的上，若，求的最小值． 由于和都是定长，当点A、B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【类比分析】 （2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值． 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【学以致用】 （3）如图3，是两块等腰直角三角板，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是____________． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁大连·一模）如图，在边长为2的正方形中，点E在正方形内部且．连接，以、为边构造，连接，则线段的最小值为 ． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是 ． 5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 题型06 瓜豆原理模型 瓜豆原理模型是初中数学几何板块中用于研究动点轨迹问题的重要内容，其核心原理为 “种瓜得瓜，种豆得豆”，即一个主动点运动带动另一个从动点运动，且两者轨迹相似，常通过图形的平移、旋转、位似等变换确定动点轨迹，在中考数学中分值占比约 3%-5%。 1.考查重点：重点考查学生能否准确识别瓜豆模型，判断主动点与从动点的运动关系，依据图形变换的性质，确定从动点的轨迹形状，并利用相关知识求解与轨迹相关的问题，如轨迹长度、动点运动路径上的最值等。 2.高频题型：高频题型有给定主动点的运动路径（如线段、圆等）和主动点与从动点的关联条件，求从动点的轨迹；在几何图形中，结合图形性质，根据瓜豆模型确定动点轨迹后，计算线段长度的最值、图形面积的最值等；在实际问题情境中，如机器人移动、物体运动轨迹规划等，抽象出瓜豆模型并解决相关问题。 3.高频考点：考点集中在判断主动点与从动点之间的变换关系（平移、旋转、位似等），根据变换性质确定从动点轨迹形状（线段、圆、圆弧等），以及运用两点之间线段最短、圆的性质等知识，解决与动点轨迹相关的最值问题。 4.能力要求：要求学生具备较强的图形观察与分析能力，能从复杂图形和动态情境中识别瓜豆模型；拥有良好的知识迁移与应用能力，熟练运用图形变换知识确定从动点轨迹；掌握扎实的逻辑推理与运算能力，求解与轨迹相关的各类问题。 5.易错点：易错点在于无法准确判断主动点与从动点之间的变换关系，从而错误确定从动点轨迹；在运用图形变换性质时，忽略变换的条件和细节，导致对轨迹的分析出现偏差；在计算与轨迹相关的问题时，因对轨迹性质理解不深，出现计算错误。 【提分秘籍】 瓜豆原理——主从动点问题 初中数学有一类动态问题叫做主从联动，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题． 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．） 满足条件： 1.两动一定； 2.动点与定点的连线夹角是定角； 3.动点到定点的距离比值是定值． 结论：若点O为定点，∠POQ为定角α，为定值k，则点Q与点P的运动路径相同． 方法：第一步：找主动点的轨迹 ； 第二步：找从动点与主动点的关系； 第三步：找主动点的起点和终点； 第四步：通过相似确定从动点的轨迹， 第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值． “瓜豆原理”其实质就是构造旋转、相似． 涉及的知识和方法： 知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值． 位似型（主从一线） ①点O为定点，点P在定直线l上运动，点Q为线段OP的中点，点Q的运动轨迹 ②点A为定点，点P在定圆⊙O上运动，点Q为线段AP的中点，点Q的运动轨迹 旋转型（OQ在OP绕点Q顺时针旋转α的方向） ③点O为定点，∠POQ＝α且，点P在定直线l（定圆⊙M）上运动，则点Q的运动轨迹 【典例分析】 例1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在矩形中，，P是对角线上的动点，连接，将直线绕点P顺时针旋转使，且过D作，连接，则最小值为 ． 例2．（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图，在长方形中，，点P为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接．当点落在边上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 例3．（2024·辽宁大连·一模）【发现问题】在数学活动课上，同学们研究两个正三角形位置关系时，发现某些连线之间总存在某种特定的关系． 【问题探究】如图1，在正和正中，点A和点E重合，点C与点F重合，所以，； 【类比分析】 （1）如图2，点E在上，点C与点F重合，求证：； 【学以致用】 （2）点E在上，连接，以为边向上作正． ①如图3，点F在上，当点D、E在异侧，求的值； ②点F在上，当点D、E在同侧，，请利用备用图，画出图形，求的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的前提下，如图4，点F在上，直接写出的最小值． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 3．（2024·辽宁·模拟预测）【问题探究】 （1）如图 1，在 中， 为 的中点，连接 ，则 与 的位置关系是_____．      （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域( )，用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即 的面积)． 题型07 费马点模型 费马点模型是初中数学几何板块里用于解决三角形内一点到三个顶点距离之和最小值问题的特殊内容，通过旋转构造等边三角形，将三条线段转化到同一条直线上，依据 “两点之间线段最短” 原理求最值，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 1.考查重点：重点考查学生对费马点定义及性质的理解，即如何通过旋转三角形，利用等边三角形性质，把求三角形内某点到三个顶点距离和的最小值转化为求直线段长度的问题。 2.高频题型：高频题型有在给定三角形中，求费马点位置及该点到三个顶点距离之和的最小值；在实际生活场景，如工厂选址、物流配送中心定位等问题中，抽象出费马点模型并求解；在几何图形与函数结合的题目里，根据图形条件确定费马点相关线段长度的最值。 3.高频考点：考点集中在旋转构造等边三角形，利用等边三角形边相等、角相等的性质进行线段转化；运用 “两点之间线段最短” 确定最短路径；准确找到费马点位置，即三角形每个内角都小于 120° 时，费马点与三角形各顶点连线夹角均为 120°。 4.能力要求：要求学生具备较强的图形构造与转化能力，能够根据题目条件合理旋转三角形构造等边三角形；拥有良好的逻辑思维能力，理解并运用线段转化求最值的原理；掌握扎实的运算能力，在涉及线段长度计算时能准确求解。 5.易错点：易错点在于不能准确判断题目是否适用费马点模型，盲目尝试旋转构造；在旋转过程中，对旋转角度、对应边和对应角的关系把握不准，导致线段转化错误；在计算过程中，因对费马点性质理解不深，忽略角度条件，出现计算失误。 【提分秘籍】 费马点模型 【模型分析】 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角； 1、若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点 证明： 如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝ ∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP′＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP′ 所以PA＋PB＋PC≥PP′＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点 2、若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点． 如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点 证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小 此时AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O 3、如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心 【典例分析】 例1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为 ． 例2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 例3．（2024·辽宁·模拟预测）在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H． (1)如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离； (2)如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形 是菱形，AB =6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为 ．    2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 3．（2024·辽宁·模拟预测）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 题型08 代几综合转化为二次函数求最值 代几综合转为二次函数求最值是初中数学中融合代数与几何知识、具有较高综合性的内容，它把几何图形中的数量关系通过代数方法转化为二次函数形式，借助二次函数性质求解最值，在中考数学中分值占比约 5%-8%。 1.考查重点：重点考查学生将几何问题代数化的能力，即如何从几何图形中挖掘线段长度、图形面积等数量关系，构建二次函数表达式，并运用二次函数顶点坐标公式、对称轴性质等求最值。 2.高频题型：高频题型有在几何图形（如三角形、四边形、圆等）中，根据动点位置变化，利用几何性质建立线段长度或图形面积关于动点坐标的二次函数，求其最值；在实际应用场景（如建筑设计、物体运动轨迹等）中，结合几何图形与代数方程，转化为二次函数求最值问题；在函数与几何综合题目里，已知函数图象与几何图形的位置关系，构建二次函数求相关几何量的最值。 3.高频考点：考点集中在几何图形性质（如勾股定理、相似三角形性质、图形面积公式等）与代数知识（二次函数表达式的建立、二次函数性质运用）的融合，准确找到自变量与因变量的关系并构建二次函数，以及利用二次函数对称轴、顶点坐标求最值。 4.能力要求：要求学生具备较强的知识迁移与整合能力，能将几何知识与代数知识有机结合；拥有良好的分析问题与建模能力，从复杂问题中抽象出二次函数模型；掌握扎实的运算能力，准确求解二次函数表达式及最值。 5.易错点：易错点在于几何图形中的数量关系分析错误，导致二次函数表达式构建错误；在运用二次函数性质求最值时，对对称轴、顶点坐标公式理解有误，计算出错；忽略自变量的取值范围，使求得的最值不符合实际问题情境。 【提分秘籍】 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 【典例分析】 例1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 例2．（2024·辽宁大连·一模）如图，中，，．点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，连接．则面积的最大值 ．    例3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，，，点E、F分别是、上的点，连接、、，且，则面积的最大值为 ． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A是直线y＝﹣2x+4上的一个动点，将点A绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点B，连接OB，则OB的最小值为 ． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是 ． 3．（2024·辽宁·模拟预测）已知，如图所示，矩形，，，是边上的一动点．连接，过作垂足为点，交于点．过A作，垂足为，连接．则四边形面积的最大值为 ． 题型09 其他最值问题 【典例分析】 例1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 例2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，已知中，，，，，，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为 ． 例3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）点A为矩形的边延长线上一点，，，点F为边上的动点，连接，过点F作，垂足为G，点H是点A关于点D的对称点，则的最小值为 ． 例4．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 例5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是 ． 例6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）综合与探究： 如图，正方形，点在射线上，连接，过点作，交射线于点． 【问题探究】    （1）如图1，点在线段上，求证： ①； ②； （2）如图2，点在线段上，将线段沿着方向向左平移，使点与点重合，点落在上的点处，与交于点，连接，取的中点，连接，在上取点，使得，若正方形的面积为36，求的最小值； 【拓展延伸】 （3）点在射线上，射线与射线相交于点，若，求的值． 例7．（2024·辽宁锦州·三模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G． (1)如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为 ； (2)如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC ①求证：△ACD≌△CAE； ②求线段DH的长度． (3)如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由． 【变式演练】 1．（2024·辽宁丹东·三模）如图，抛物线经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在上，且平分的面积，过D作交x轴于F点，则的最小值为 ．    2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段，平分交射线于．在旋转过程中，线段的最大值为 ． 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在等腰直角中，，点D，E分别为，上的动点，且，，当的值最小时，的长为 ．    4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线第一象限上的一点，连接，交于点E，D是上一点且．当的值最小时，P点的坐标为 ． 5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【方法归纳】 （1）在中，点在边上，交于点，将绕点逆时针旋转，得到，其中点的对应点是点，点的对应点是点，连接，． ①如图1，如果，求的值； ②如图2，如果的延长线与线段交于点，求的度数； 【方法应用】 （2）如图3，在四边形中，，连接，且，则四边形的对角线的长度最大值为______． 6．（2024·辽宁·一模）数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究： 如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接． 【知识初探】 （1）如图1，小明提出的问题是可以得到的结论，并得到老师的肯定．请你帮他说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，小颖在小明的基础上继续探究，连接交于点，连接，可以得到的结论，也得到老师的肯定．请你帮她说明理由； 【特例探究】 （3）如图3，小华在小明和小颖的基础上继续探究，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，请你帮她求出的最小值． 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 4．（2024·辽宁·模拟预测）已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 8．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）      A．7 B．5 C． D． 9．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 10．（2025·辽宁·模拟预测）如图，矩形中，，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 11．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 12．（2024·辽宁·模拟预测）已知等腰直角与有公共顶点，，，．现将绕点旋转． (1)如图①，当点，，在同一直线上时，点为的中点，求的长； (2)如图②，连接，．点为的中点，连接交于点，求证：； (3)如图③，点为的中点，以为直角边构造等腰，连接，在绕点旋转过程中，当最小时，直接写出的面积． 13．（2024·辽宁·模拟预测）如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 14．（2024·辽宁·模拟预测）如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 15．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为 ． 16．（2024·辽宁·模拟预测）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 17．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ． 18．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为 ． 19．（2024·辽宁·模拟预测）如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 20．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点A在点的左侧），与轴交于点，经过点A的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (3)点是轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点的坐标为______； (4)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，请直接写出的最小值为______． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 几何中的最值问题 目录 题型01 将军饮马模型 1 题型02 胡不归模型 27 题型03 阿氏圆模型 50 题型04 隐圆模型之定点定长 69 题型05 隐圆模型之定角定弦 95 题型06 瓜豆原理模型 115 题型07 费马点模型 134 题型08 代几综合转化为二次函数求最值 150 题型09 其他最值问题 160 中考练场 188 题型01 将军饮马模型 将军饮马模型是初中数学几何板块中研究线段和最值问题的重要内容，通过利用轴对称的性质将线段进行转化，从而求解最短路径，在中考数学中分值占比约 3%-5%。 1.考查重点：重点考查学生对将军饮马模型本质的理解，即如何通过作对称点，将 “折线段” 转化为 “直线段”，利用 “两点之间线段最短” 这一基本原理来确定最短路径，进而解决线段和的最值问题。 2.高频题型：高频题型有在平面几何图形（如三角形、四边形、矩形等）中，给定两个定点和一条定直线，求在直线上找一点，使该点到两定点距离之和最小；在坐标系中，结合点的坐标，利用将军饮马模型求函数图象上的点到两定点距离和的最小值；在实际生活场景中，如选址建仓库、铺设管道等问题，抽象出将军饮马模型并求解。 3.高频考点：考点集中在对称点的构造，准确找到对称轴并作出对应点；理解和运用 “两点之间线段最短” 来确定最短路径；将实际问题或复杂图形问题转化为标准的将军饮马模型。 4.能力要求：要求学生具备较强的图形分析能力，能从复杂图形中提炼出将军饮马模型的基本结构；拥有良好的逻辑思维能力，清晰理解利用对称转化线段的原理；掌握一定的运算能力，在涉及坐标等问题时，能够准确计算线段长度。 5.易错点：易错点在于不能准确找到对称轴，导致对称点位置错误；对 “两点之间线段最短” 的应用场景理解不清晰，在构造路径时出现偏差；在将实际问题或复杂图形转化为模型时，对条件分析不全面，遗漏关键信息。 【提分秘籍】 1.类型一 两定一动模型 （1）已知：定点在直线的两侧，在直线上有一动点,求：的最小值。 连接与直线的交于点,此时的值最小，为线段的长。即 （2）已知：定点在直线的同侧，在直线上有一动点,求：的最小值。 作点关于直线的对称点,连接与直线交于点,此时的值最小，为线段的长。即 （3）已知：定点在直线的同侧，在直线上有一动点,求：的最大值。 连接并延长，与直线交于点,此时的值最大，为线段的长。即 （4）已知：定点在直线的两侧，在直线上有一动点,求：的最大值。 作点关于直线的对称点,连接并 延长，与直线交于点, 此时的值最大，为线段的长。 即 2.类型二 两动一定模型 已知：为内一定点，在射线上分别有两动点, 求：的最小值。 作点关于射线的对称点,连接与两条射线的交点分别为, 此时的值最小，为线段的长。即， 3.类型三 两动两定模型 已知：为内两定点， 在射线上分别有两动点, 求：的最小值。 作点Q关于射线的对称点, 作点关于射线的对称点, 连接与两条射线的交点分别为, 此时的值最小，为的长。即， 4.类型四 两定点一定长模型 （1）已知：直线,分别为直线上方和直线下方的两个定点（直线不与垂直)，在直线上有两动点, 且, 求：的最小值。 将点向下平移得到点,使, 连接,交直线于点,过点作于点, 此时的值最小，为的长 （2）已知：定点在直线的同侧，长度为的线段在直线上移动（点在 点左侧)， 求： 的最小值。 将点向右平移个单位长度得到点, 作点关于直线的对称点, 连接, 交直线于点, 连接, 将点向左平移个单位长度得到点, 此时有最小值，为的长。即，, 5.类型五 三动点模型 已知：分别为上的动点， 求：的最小值。 作点关于的对称点, 连接, 分别交于点, 连接, 由对称性可知 所以， 所以，当四点共线时，有最小值，最小值为线段的长。 且当时，有最小值。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】如图，过点P作于T，过点C作于R，利用面积法求出，再证明，即可求出长度的最小值． 【详解】解：如图，过点P作于T，过点C作于R， 在中，，，， ， ， ， ， 由作图可知，平分，   ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 例2．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，利用相似三角形，计算AG的长即为横坐标． 【详解】如图，根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9， ∵点E是BC的中点， ∴BC=6， 连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标， ∵四边形ABCD是正方形，AB=6， ∴CE∥AD，AC=，DE=， ∴△CGE∽△AGD， ∴， ∴， ∴AG=， 故点M的坐标为（，），故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键． 例3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化即可求解． 【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知， 点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆）， 点E的对称点为，连接,则， ∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，在中，，， ， 又， ，即的最小值为8， 故选：A． 【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将进行转化时解题的关键． 例4．（2025·辽宁·模拟预测）如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，则OM+ON= NH+ON= NH+ NK≥HK，当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．根据矩形性质及图形的对称性，易知，在中，运用勾股定理求得HK的长即可． 【详解】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH， ∵OH∥BC，OH=MN=2， ∴四边形OMNH是平行四边形， ∴OM=NH， ∴OM+ON= NH+ON． ∵O点关于BC的对称点是点K， ∴ON=NK， ∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK， ∵， ∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长． ∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K， ∴．   ∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K， ∴OK=AB=8． ∵OH= 2，， ∴， ∴OM+ON的最小值是． 【点睛】本题考查了最短路径问题，矩形性质，勾股定理求直角三角形的边长，其中熟练画出OM+ON取最小值时所对应的线段，是解题的关键． 例5．（2024·辽宁锦州·模拟预测）【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据正方形的性质证明和全等，即可得到； （2）根据矩形的性质证明，得到，即可证得结论； （3）过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，先证明，证得是固定值，进而证得点的运动轨迹是直线，然后将的最小值转化为求的最小值，即点，，三点同一直线时，，取得最小值，求即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中，， ， ， 故答案为：； （2）判断：， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， ，，， ， ， ， ； （3）如图，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，则， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得， ， ， 的最小值为的最小值，即， ，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是在判断三角形全等和相似时出现“手拉手”模型证明对应角相等及利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值． 【变式演练】 1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（   ） A．9 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 本题主要考查了将军饮马、垂线段最短、以及勾股定理。熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得 ∴的最小值 故选：C． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，等边三角形中，，D为的中点，连接，点E是线段上的动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、利用轴对称求最短距离等知识，得到点F的运动路线是解答的关键．如图，连接，证明得到，结合等边三角形的性质得到，则点F在垂直于的直线上运动，作点A关于直线的对称点，连接、，则，当、F、D共线时取等号，此时的最小值为的长；连接交直线于K，则，，证明得到，在中，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由旋转性质得，， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴，，， ∴， ∴点F在垂直于的直线上运动， 作点A关于直线的对称点， 连接，则，， ∴，当、F、D共线时取等号，此时的最小值为的长， 连接交直线于K，则，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的最小值为3， 故答案为：3． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，且，点M、N分别在线段、上，连接，，点P为的中点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题涉及到矩形的性质及判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及利用轴对称求最短路径的知识点． 连接，，作点关于直线的对称点，交的延长线于，连接，，先根据矩形性质和已知条件得出四边形是平行四边形，进而得到四边形是矩形，将转化为；再利用点P是中点及长度固定，确定点P的运动轨迹；最后根据两点之间线段最短，用勾股定理求出的最小值． 【详解】解：连接，，作点关于直线的对称点，交的延长线于，连接，， ， 矩形中，，， ， ， 四边形 是平行四边形， 是矩形， ， ， ， ， ， ， 中，， ，点P为的中点，， ， 点在以点为圆心，为半径的弧上， ， 四点共线时，最小， 此时，最小， 即最小， ， 故答案为：12． 4．（2025·辽宁·模拟预测）如图，正方形中，点P是上一点，若，，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】连接，在上取一点，使，连接，，结合全等三角形的性质，可得，可确定的最小值是的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，在上取一点，使，连接，，过点作于点，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，     ∴， ∴的最小值是的长． 在中，，，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理，得， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查最短路线问题，解题中涉及正方形的性质，全等三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据“将军饮马问题”利用轴对称将问题转化为用一条线段的长表示的最小值是解题的关键． 5．（2025·辽宁·模拟预测）【问题初探】（1）数学活动课上，张老师给出如下问题：如图①，在中，，，点是边上一点，连结，在右侧作，使，，连结．求证：． ①小智同学从和都是等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为． ②小慧同学从结论的角度出发给出另外一种解题思路：如图②，在线段上截取，连结，通过证明，将转化为． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【拓展延伸】（2）如图③，在正方形中，是边上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连结、，若，则周长的最小值为________． 【答案】（）证明见解析；（）． 【分析】（）选择小智同学的解题思路：由等腰直角三角形的性质可得，，，，进而得到，，即可得到，得到，即可求证； 选择小慧同学的解题思路：在线段上截取，连接，可得，又根据等腰直角三角形的性质可得，进而得，，由得，得到，即可证明，得到； （）在线段延长线上截取，连接、、，根据【问题初探】可知是的角平分线，由将军饮马模型可知，，当A、P、三点共线时，取最小值，即可求解． 【详解】解：（）选择小智同学的解题思路： ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择小慧同学的解题思路： 如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （）如图，在线段延长线上截取，连接、、， 由【问题初探】可知：， 又∵在正方形中，， ∴， ∴与时关于的对称， ∴， ∴，当A、P、三点共线时，取最小值，； ∴周长的最小值为：. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，将军饮马模型，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2025·辽宁·模拟预测）以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点．      (1)如图1，平分，求证：； (2)如图2，过点A作，分别交、于点、点，连接，过A作，交于点，连接，交于点，求证：； (3)如图3，点为边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接、，当，最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）过点P作于点T，根据等腰直角三角形和角平分线的性质可得，证明，可得，由，等量代换即可得出结论； （2）连接，先根据证明，则可得，又由，可得，且平分，则可得，再证明则可得． （3）过点A作于点O，连接，，先证，得，可得点K在所在的直线上移动，则，可得出当且仅当B，K，P三点共线时取得最小值，然后根据三角的外角定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于点T，   ，， ， ， ，， ， 平分，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ， 又∵， ，且平分， ， ， ， ， ， ． （3）解：过点A作于点O，连接 ，，   ，，， ， ∵点M是的中点， ，， ， ， ∵线段绕点M逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点K在所在的直线上移动， 垂直平分， ， ， ∴当且仅当B，K，P三点共线时取得最小值，此时K点在上， ，， ， 在中，，， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型02 胡不归模型 胡不归模型是初中数学几何与代数结合领域中用于求解线段和最值问题的特色内容，它源自古老的数学典故，借助构造直角三角形，利用三角函数实现 “系数不为 1 的线段和” 向 “两点之间线段最短” 的转化，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 1.考查重点：重点考查学生对胡不归模型原理的深度理解，即如何通过在速度快的路径一侧构造特定角度的直角三角形，利用三角函数将系数不为 1 的线段转化为常规线段，再依据两点之间线段最短求出最小值。 2.高频题型：高频题型有在直线型路径问题中，已知动点在不同速度的两段路径上运动，求运动时间最短或距离和最小的方案；在平面几何图形，如三角形、四边形中，根据已知条件构建胡不归模型，求解线段和的最小值；在实际生活场景，像物资运输、人员调度等问题里，抽象出胡不归模型并得出最优解。 3.高频考点：考点集中在构造含特定锐角的直角三角形，准确利用三角函数进行线段的转化，以及对两点之间线段最短这一基本原理的灵活应用，确定最短路径。 4.能力要求：要求学生具备较强的问题转化能力，能够从复杂的实际或几何问题中提炼出胡不归模型；拥有良好的几何构图能力，熟练构造出符合要求的直角三角形；掌握扎实的三角函数运算能力，精准完成线段的转化与计算。 5.易错点：易错点在于无法准确识别胡不归模型的适用条件，盲目套用模型；在构造直角三角形时，角度选取错误，导致三角函数运用错误，线段转化出错；在计算过程中，因对模型原理理解不透彻，忽略系数与线段的对应关系，造成计算失误。 【提分秘籍】 胡不归模型 模型来源：有一则古老的历史故事：从前有一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是砂砾地带的直线路径A——B （如图所示，A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道）．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念： “胡不归？胡不…” 早期的科学家曾为这则传说中的小伙子设想了一条路线：在驿道上选一点C．小伙子先从A到C，然后再从C折往B，然后到达驿道目的地B（尽管这条路线长一些，但是速度却可以加快）．他是可以提早抵达家门的． 这两种路面的状况和行走速度值不同，已知在驿道上行走的速度为v1，在砂砾地上行走的速度为V2 （v1＞v2）． 可以在驿道上选一点C，小伙子先从A到C，然后再从C折往目的地B，求他行走的时间． 过定点A在直线AC的下方构造∠CAF，使其满足 ，过点C作CE⊥AF于点E，则，∴CE＝kAC，∴ 归纳：胡不归问题就是一个“两动一定”求最值问题 条件：两定一动（动点一般在某确定的直线上运动） 两定：点A、B两点为定点；一定：点P为直线AB外的一个动点 问题：确定动点P，使mPA＋PB最短（0＜m＜1） 更一般地：使mPA ＋nPB最短（不妨设m＞n） 思路：设所求P点在直线AN上，我们在直线AN异于B点的一侧构造∠NAM，使得sin∠NAM＝m（相当于把mPA通过正弦打折化归到直角三角形的直角边上） 我们作BF⊥AM交AN于P点，毫无疑问P点即为所求！mPA＝PF， mPA＋PB＝BF，BF即为mPA＋PB的最小值（而mPA＋PB＜AB） 一般的：更一般地：使mPA ＋nPB最短（不妨设m＞n），我们只须在上式中提取m、n中的较大者，即可化归到上述类型． ，在类似的位置构造一个正弦等于 的角即可． 【典例分析】 例1．（2025·辽宁锦州·零模）在中，，，分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接交于点，连接，为延长线上一点，连接，．为上的点，连接，那么的最小值是（   ）    A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，解直角三角形，垂线段最短，过点作，可得，则可得的最小值为点到的垂线段的长度，利用解直角三角形，列方程，求解即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，   ， 由题意可得为的垂直平分线， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 当三点共线时，最小，为点到的垂线段的长度， 如图，   ， 设，则， ， ， ， ， 则可得， 解得， ， 故选：B． 例2．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】过作，过作．再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可． 【详解】解：连接，过作，过作，    令，即， 解得或1， ，， ，， ， ． ， 根据垂线段最短可知，的最小值为， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求的最小值转化为求的最小值．属于中考选择题中的压轴题． 例3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于，       四边形是平行四边形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，， ∴ ， 则最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 例4．（2024·辽宁·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． （1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 【变式演练】 1．（2024·辽宁营口·模拟预测）在矩形中，，，是边上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线，构造含的直角三角形，是解题的关键． 过点作直线，使与的夹角为30°，过点作，垂足为点，则的最小值即为的最小值，过点作，垂足为点，的最小值，先证明，再由解三角形求出即可求解． 【详解】解：过点作直线，使与的夹角为30°，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当和在同一直线上时，最小，最小值为， ∵，且， ∴， ∵ ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案是：． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．    ∵， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∵，，， ∴（等腰三角形两腰上的高相等） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 3．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数的图像与x轴交于点， ∴b＝2， ∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0）， 令x＝0，y=3， ∴B（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，-1）， ∴OD＝1，BD＝4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴DP+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 【答案】4 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4， ∴（PA+2PB）最大＝2BF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线． 5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC；当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)， ∴OA=3，OC=3， 作∠OCE=120°， ∵∠OCB=60°， 则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°， 过点P作PG⊥CE于点G，如图： 在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°， ∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC， ∴AP+PC= AP+PG， 当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小， 延长AG交y轴于点F， ∵∠FCG=60°，∠CGF=90°， ∴∠CFG=30°， ∴CF=2CG，GF=CF， 在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°， ∴AF=2OA=6，OF=， ∴CF=OF-OC=， ∴GF=()=， ∴AG=AF-FG=， 即AP+PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键． 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A，B两点，与ｙ轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D． （1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求的值； （3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少． 【答案】（1）；（2）或；（3）F． 【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式； （2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可； （3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30°知道，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A，B两点， ∵BM=9，AB=6，∴BF=，BD=，AF= ∴A（-2，0），B（4，0） ∵点B在直线上，∴，即 ∴直线的解析式为 ∵点D在直线上，且横坐标为-5，∴纵坐标为 ∵点D在抛物线上，∴，解得 ∴抛物线的函数表达式为 （2）易得，点C的坐标为，则 设点P的坐标为， 分两种情况： ①若△PAB∽△ABC，则∠PAB=∠ABC， ∴由∠PAB=∠ABC 得，即 ∴，解得 此时点P的坐标为，， ∴由得，解得 ②若△PAB∽△BAC，则∠PAB=∠BAC， ∴由∠PAB=∠BAC 得，即 ∴，解得 此时点P的坐标为，， ∴由得，解得 （3）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求 ∵直线BD的解析式为，∴∠FBA=∠FGD=30° ∵AB=6，∴AF= ∴点F的坐标为 【点睛】本题考查单动点问题；二次函数和一次函数交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直线段最短的性质；分类思想和数形结合思想的应用． 题型03 阿氏圆模型 阿氏圆模型是初中数学几何板块中用于解决线段和差最值问题的进阶内容，它基于平面内到两个定点距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹是圆这一特性，通过巧妙构造相似三角形实现线段的转化，从而求解最值，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 1.考查重点：重点考查学生对阿氏圆定义及性质的理解，如何识别阿氏圆模型，以及通过构造共边共角型相似三角形，将所求线段和差问题转化为两点之间线段最短问题，进而得出最值。 2.高频题型：高频题型有在给定的几何图形中，存在一个动点在阿氏圆上运动，已知两个定点，求动点到两定点距离之和或差的最小值；在坐标系与圆结合的题目里，根据点的坐标和圆的方程确定阿氏圆，再求解相关线段的最值；在实际问题情境中，如规划物流配送路线、确定信号覆盖范围等，抽象出阿氏圆模型并计算最值。 3.高频考点：考点集中在阿氏圆的判定，即根据已知条件判断出点的轨迹为阿氏圆；构造相似三角形，找到合适的比例关系实现线段的转化；运用两点之间线段最短原理得出线段和差的最值。 4.能力要求：要求学生具备较强的图形识别与分析能力，从复杂图形中精准判断出阿氏圆模型；拥有良好的知识迁移能力，熟练运用相似三角形知识解决阿氏圆相关问题；掌握扎实的运算能力，在涉及坐标、线段长度计算时能准确求解。 5.易错点：易错点在于无法准确判断题目中的阿氏圆模型，错过利用其特性解题的机会；在构造相似三角形时，对应边比例关系找错，导致线段转化错误；在计算过程中，因对阿氏圆性质和相似三角形知识理解不深，出现计算失误。 【提分秘籍】 求最值之阿氏圆问题，又称阿波罗尼斯圆 阿波罗尼斯圆：在平面上给定两点, 设点在同一平面上且满足, 当且时 ，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。时点的轨迹是线段的中垂线) 证明：设点坐标为点坐标为. 则. 由得 整理得： 所以当时，点的轨迹是个圆，圆心为半径。 所以此时有，所以一定会有。 在初中阶段我们不要求学生能够证明，只要求学生能够记住这个模型中有这样一对相似三角形，并且能够利用这个固定结论构造这样的相似三角形来解决实际问题就可以了。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点，、分别是轴正半轴，轴正半轴上的动点，，为中点，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了最值系列里的阿氏圆模型，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握阿氏圆模型，构造相似三角形是解题关键． 通过直角三角形的性质可得点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，过点作以原点为圆心，以为半径的圆，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，取的中点，连接，根据题意，可得、、，即、，推出，证得，得，则当、、三点共线时，取最小值，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：，点为中点， ， 点在以原点为圆心，半径为的圆上运动（第一象限部分不包含坐标轴上的点）， 如图，过点作以原点为圆心，以为半径的圆，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，取的中点，连接， ， 二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、， 令，则， 令，则，解得：或， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 如图，当、、三点共线时，取最小值， 在中，， ， 的最小值为． 故答案为：． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得． 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM， 当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键． 例3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    【答案】 【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值． 【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4      ∵AC=9，CD=6，CE=4 ∴ ∵∠ECD=∠ACD ∴△DCE∽△ACD ∴ ∴ED= 在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB ∴ 在Rt△ECB中，EB= ∴ ∴2AD+3DB= 故答案为：． 【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解． 【详解】解：如图，取点，连接，． ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（当B、P、T三点共线时取等号） 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 【答案】 【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答． 【详解】解：设⊙O半径为r， OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2， 取OB的中点I，连接PI， ∴OI＝IB＝， ∵， ， ∴ ，∠O是公共角， ∴△BOP∽△POI， ∴， ∴PI＝PB， ∴AP＋PB＝AP＋PI， ∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小， 作IE⊥AB于E， ∵∠ABO＝45°， ∴IE＝BE＝BI＝1， ∴AE＝AB−BE＝3， ∴AI＝， ∴AP＋PB最小值＝AI＝， ∵PA＋PB＝（PA＋PB）， ∴PA＋PB的最小值是AI＝． 故答案是． 【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形． 3．（2025·辽宁·模拟预测）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理即可求得本题答案； （2）连接，在上取点，使，则有，可证，得到，即，从而的最小值为； （3）延长到点，使，连接，可证，得到，得到，当三点共线时，得到最小值． 【详解】（1）解：如图连接， ∵，要使最小， ∴当最小，当点在同一条直线时，最小， ∴的最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：如图连接，在上取点，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：如图延长到点，使， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形判定及性质，最值得确定． 4．（2024·辽宁·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．待定系数法求二次函数解析式即可， （2）先求得直线解析式，设，则，过点作轴交直线于点，根据等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐标， （3）在上取，过点作，构造，则当三点共线时，取得最小值，最小值为，勾股定理解直角三形即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴， ， 解得， 抛物线解析式为：， （2）当，即， 解得， ， ， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 设，过点作轴交直线于点， 则， ， 四边形的面积为16， ， 解得， 或， （3）如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作， 是抛物线的对称轴， ， ， ，， ， ， 在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则， ， ， ，， ， ， ， ， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， ． 则的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型04 隐圆模型之定点定长 隐圆模型是初中数学几何板块中极具技巧性与综合性的内容，它巧妙地将圆的存在隐藏于各类几何情境中，考查学生挖掘潜在圆的特征并运用圆的知识解决问题的能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 1.考查重点：重点考查学生能否敏锐捕捉到定点定长（动点到定点距离恒定，轨迹为圆）、定弦定角（定弦所对圆周角不变，顶点轨迹为圆）、对角互补（四边形对角互补，四点共圆）等隐含圆的几何特征，运用圆的性质（如圆周角定理、垂径定理）建立角度与线段的关系，解决几何证明与计算问题。 2.高频题型：高频题型包括在动点问题里，依据定点定长条件确定动点轨迹为圆，进而求解动点路径长、最值等；利用定弦定角模型，已知定弦和所对角度，求相关线段长度或图形面积；在四边形问题中，通过对角互补判定四点共圆，结合圆的性质证明线段相等、角相等或进行角度计算。 3.高频考点：考点集中在对隐圆不同类型特征的精准判断，将隐圆问题转化为常规圆的问题，运用圆的基本定理（如圆周角定理、圆心角定理），以及与三角形全等、相似等知识的综合应用，通过构建几何关系求解问题。 4.能力要求：要求学生具备较强的图形感知与分析能力，能从复杂几何图形中提炼出隐圆模型；拥有良好的知识迁移能力，将圆的知识灵活应用于隐圆情境；掌握扎实的逻辑推理与运算能力，完成从隐圆识别到问题解决的全过程。 5.易错点：易错点在于无法准确识别隐圆类型，错过利用圆的知识解题的契机；在转化为圆的问题时，对圆的性质应用错误，如圆周角与圆心角关系混淆；在综合图形中，不能有效整合隐圆与其他图形性质，思路中断，导致解题错误。 【提分秘籍】 隐圆模型是指在一些几何问题中，通过分析条件可以发现存在一个隐藏的圆，利用圆的性质来解决问题。常见的隐圆模型有以下几种类型： （1）定点定长型：当题目中出现一个定点和一个动点，且动点到定点的距离始终保持不变时，那么这个动点的轨迹就是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。例如，在平面直角坐标系中，点, 点满足, 根据两点间距离公式, 可 知点的轨迹是以为圆心，5为半径的圆。 （2）定弦定角型：如果一条线段（定弦）所对的角始终为一个固定的角度（定角），那么这个角的顶点的轨迹是一个圆。特别地，当定角为时 ，定弦就是圆的直径。例如，在中，, 那么点的 轨迹是一段圆弧。因为同弧所对的圆周角相等，所以满足条件的点都在以为弦，圆周角为的圆上。 （3）对角互补型：若四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。例如，在四边形中，, 根据圆内接四边形的性质，可知四点共圆。此时，四边形的外接圆直径与四边形的边或对角线存在一定的关系，可通过正弦定理等知识来求解相关线段的长度。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】延长交于点，连接，根据轴对称的性质可得点在直线上，，证明，结合，得出，根据，求出，在中，勾股定理求出，根据三边关系的，即可得当点三点共线且点H在C，E之间时，最小，求解即可． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵四边形和四边形关于直线对称， 根据轴对称的性质可得点在直线上， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ， ， ， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴当点三点共线且点H在C，E之间时，最小， 此时， 故答案为：4 ． 【点睛】该题考查了轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，得出当点三点共线且点H在C，E中间时，最小． 例2．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键． 作点关于点的对称点根据中位线的性质得到，根据点在以为圆心，为半径的上运动，可知当经过圆心时，最大，即点在图中位置，根据勾股定理求出，进而可求出，即，设点的横坐标为，根据中位线的性质可知点的纵坐标为，再根据勾股定理即可求出的值，随即可知点的坐标． 【详解】解：如图，作点关于点的对称点， 则点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ，， 当最大时，最大， 点为坐标平面内的一点，且， 点在以为圆心，为半径的上运动， 当经过圆心时，最大，即点在图中位置， ， ， ， 设点的横坐标为， ∵，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得（负值去除），即点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 例3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，，，射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，根据点关于的对称点为，可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，，从而可知点、、在以点为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，所以当最大时，的值最大，当旋转角时，点、、共线，线段为的直径，根据，可得圆的直径是，即可求出面积的最大值是． 【详解】解：如下图所示，连接， 点关于的对称点为， 是的垂直平分线， ，， 又， ， 点、、在以点为圆心，为半径的圆上， ， 优弧所对的圆心角是， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当最大时，的值最大， 当旋转角时，点、、共线，线段为的直径， 此时最大且， ， 则面积的最大值是． 故答案为：． 例4．（2024·辽宁丹东·三模）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解． （3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，且，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）∵，且，， ∴，， 延长交于点，如图所示，    ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，    同（1）可得 则， ∵，则， 在中，，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，    在中， ∴,， ∵， ∴， 过点作，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质、旋转的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含30度角的直角三角形的性质，正确找出点的运动轨迹是解题关键．连接，先求出，，再根据旋转的性质可得，根据直角三角形的性质可得，从而可得点的运动轨迹，最后利用圆的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，，是的中点， ∴，， 由旋转的性质得：， ∵是的中点， ∴， ∴在绕顶点逆时针旋转的过程中，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的圆上， ∴当点共线，且点位于点中间时，线段的值最大，最大值是， 故选：C． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（  ） A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，过点M作MH⊥DC于点H，再利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长，进而求出A′C的长即可． 【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上． 过点M作MH⊥DC于点H， ∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点， ∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°， ∴MD=2，∠HMD=30°， ∴HD=MD=1， ∴HM==，CH=CD+DH=5， ∴， ∴A′C=MC-MA′=2-2； 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置． 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC＝8，BC＝6，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是 ． 【答案】3≤CM≤7 【分析】由勾股定理可求AB＝10，由三角形中位线定理可求OM＝2，点M在以O为圆心，OM长为半径的圆上运动，即可求解． 【详解】解：如图，取AB中点O，连接OC，OM， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB＝， ∵D为AC的中点，点O是AB中点， ∴AD＝4，CO＝5， ∵M为BD的中点，点O是AB中点， ∴OM＝AD＝2， ∴点M在以O为圆心，OM长为半径的圆上运动， ∴当点M在线段OC上时，CM有最小值＝5﹣2＝3， 当点M在线段CO的延长线时，CM有最大值＝5+2＝7， ∴线段CM长度的取值范围3≤CM≤7， 故答案为：3≤CM≤7． 【点睛】本题主要考查三角形中位线及隐圆问题，熟练掌握三角形的中位线及动点的运动轨迹是解题的关键． 5．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）综合与实践 如图1，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将沿折痕展开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点．    【数学思考】 (1)折痕的长为______； (2)绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 (3)绕点旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，的长为______； 【问题延伸】 (4)在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 【答案】(1)3 (2)，证明见解析 (3)①；②3 (4) 【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）连接，由旋转知，，，再证，即可得出结论； （3）①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； ②过作于，交于．则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论； （4）连接，则，当、、三点共线，且点F在线段上时，，此时最小，由直角三角形的性质得，即可求得最小值为2；当、、三点共线，且点F在延长线上时，，此时最大，即可求得最大值为8；即可解决问题． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：，， ， ， ， 是的中位线， （2）解：，证明如下： 如图1，连接，    由旋转的性质得：，， 在和中， ， ∴， ； （3）解：①由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ， 设， 在中，， 即， 解得：， ； ②如图3，过作于，交于．    则四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； （4）解：如图4，连接，    则， 当、、三点共线，且点F在线段上时，， 此时的值最小，最小， ，， ， ， 的最小值， 当、、三点共线，且点F在延长线上时， ， 此时，最大， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 6．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题初探】 （1）如图1，等腰中，，点为边一点，以为腰向下作等腰，，连接，，点为的中点，连接．猜想并证明线段与的数量关系和位置关系．    【深入探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，将等腰绕点B旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展迁移】 （3）如图3，等腰中，，．在中，，．连接，，点为的中点，连接．绕点旋转过程中， ①线段与的数量关系为：__________； ②若，，当点F在等腰内部且的度数最大时，线段的长度为__________． 【答案】（1），，理由见解析；（2）结论，，仍然成立，理由见解析；（3）①；② 【分析】（1）延长交于点，根据等腰直角三角形的性质先证明，可得，再由直角三角形的性质可得，从而得到， 设，则，可得，再由， ，，即可； （2）取的中点，连接，，延长分别交，于点，，根据等腰直角三角形的性质可得，可证明，从而得到，，即可； （3）①取的中点，连接，，延长分别交，于点，，根据等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，可得，可证明，即可；②根据题意可得点D在以点B为圆心，长为半径的圆上运动，则可得当时，最大，过点E作，可得四边形为矩形，从而得到，再由勾股定理求出，从而得到， 在中，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1），，理由如下： 如图，延长交于点，   为等腰直角三角形，， ， 为等腰直角三角形，， ，， 又， ， ， 在中，点为斜边的中点， ， ， 设，则， ， ， 在，点为斜边的中点， ， ， ， ， ； （2）结论，，仍然成立，理由如下： 如图，取的中点，连接，，延长分别交，于点，，   点，分别是，的中点， ， ， ， 在等腰中，点是的中点， ，， ， 点，分别是，的中点， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ，， ，即． 综上：，； （3）①如图，取的中点，连接，，延长分别交，于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 点，分别是，的中点， ，， ， 在等腰中，点是的中点，， ，，， ∴， ∴，即， ， 点，分别是，的中点， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 故答案为： ②∵，， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动， ∴当时，最大， 过点E作，    ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， 在中， ， 由①得：， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点，利用类比思想解答是解题的关键． 题型05 隐圆模型之定角定弦 隐圆模型是初中数学几何板块中极具技巧性与综合性的内容，它巧妙地将圆的存在隐藏于各类几何情境中，考查学生挖掘潜在圆的特征并运用圆的知识解决问题的能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 1.考查重点：重点考查学生能否敏锐捕捉到定点定长（动点到定点距离恒定，轨迹为圆）、定弦定角（定弦所对圆周角不变，顶点轨迹为圆）、对角互补（四边形对角互补，四点共圆）等隐含圆的几何特征，运用圆的性质（如圆周角定理、垂径定理）建立角度与线段的关系，解决几何证明与计算问题。 2.高频题型：高频题型包括在动点问题里，依据定点定长条件确定动点轨迹为圆，进而求解动点路径长、最值等；利用定弦定角模型，已知定弦和所对角度，求相关线段长度或图形面积；在四边形问题中，通过对角互补判定四点共圆，结合圆的性质证明线段相等、角相等或进行角度计算。 3.高频考点：考点集中在对隐圆不同类型特征的精准判断，将隐圆问题转化为常规圆的问题，运用圆的基本定理（如圆周角定理、圆心角定理），以及与三角形全等、相似等知识的综合应用，通过构建几何关系求解问题。 4.能力要求：要求学生具备较强的图形感知与分析能力，能从复杂几何图形中提炼出隐圆模型；拥有良好的知识迁移能力，将圆的知识灵活应用于隐圆情境；掌握扎实的逻辑推理与运算能力，完成从隐圆识别到问题解决的全过程。 5.易错点：易错点在于无法准确识别隐圆类型，错过利用圆的知识解题的契机；在转化为圆的问题时，对圆的性质应用错误，如圆周角与圆心角关系混淆；在综合图形中，不能有效整合隐圆与其他图形性质，思路中断，导致解题错误。 【提分秘籍】 隐圆模型是指在一些几何问题中，通过分析条件可以发现存在一个隐藏的圆，利用圆的性质来解决问题。常见的隐圆模型有以下几种类型： （1）定点定长型：当题目中出现一个定点和一个动点，且动点到定点的距离始终保持不变时，那么这个动点的轨迹就是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。例如，在平面直角坐标系中，点, 点满足, 根据两点间距离公式, 可 知点的轨迹是以为圆心，5为半径的圆。 （2）定弦定角型：如果一条线段（定弦）所对的角始终为一个固定的角度（定角），那么这个角的顶点的轨迹是一个圆。特别地，当定角为时 ，定弦就是圆的直径。例如，在中，, 那么点的 轨迹是一段圆弧。因为同弧所对的圆周角相等，所以满足条件的点都在以为弦，圆周角为的圆上。 （3）对角互补型：若四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。例如，在四边形中，, 根据圆内接四边形的性质，可知四点共圆。此时，四边形的外接圆直径与四边形的边或对角线存在一定的关系，可通过正弦定理等知识来求解相关线段的长度。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁锦州·零模）如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角的圆O上运动． 点P在所对圆周角的圆O上运动，当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，求出，，由等腰三角形的性质推出，，由圆周角定理得到，由，求出，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：点P在所对圆周角的圆O上运动， 当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 例2．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，拋物线与轴交于A、B两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内的一动点，且满足，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（  ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】解方程得，利用抛物线的性质得到C点为的中点，再根据圆周角定理得到点P在以为直径的圆上，圆心Q点的坐标为，接着计算出，的半径为2，延长交于F，此时最大，最大值为，连接，利用三角形的中位线性质得到，从而得到的最大值． 【详解】解方程得， ∴， ∵抛物线的对称轴与x轴交于点C， ∴C点为的中点， ∵， ∴点P在以为直径的圆上，圆心Q点的坐标为，如图， ，的半径为2， 延长交于F，此时最大，最大值为， 连接， ∵M是线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当点P和点F重合时，的最大值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理． 例3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题关键搞清的运动轨迹，有，，可知，所以到的中点的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得的范围，从而确定它的最小值． 【详解】解：取的中点，作垂直于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是边长为7的正方形， ∴， ，，， ， ， 又，， ， ， ， 所以在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∴在中，由勾股定理可得， ， 当落在上时，取到等号， 即达到最小，最小值为； 故答案为． 【点睛】本题考查正方形的基本性质，和全等直角三角形的判定，解决此类问题的关键是判断动点的运动轨迹，然后利用三角形三边的关系判断何时取到最值． 例4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE的长，利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出EH的长，由即可算出BH的长度． 【详解】解：连接BD，取AD的中点E，连接BE，如下图： ∵DH⊥AC ∴点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值 ∵AB是直径 ∴ 在中，AB=13，AD=5 由勾股定理得： 即： ∵ ∴ ∵E为AD的中点 ∴ 在中，， 由勾股定理得： 即： ∵ ∴ 又∵DH⊥AC，且点E为AD的中点 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，隐圆问题的处理等相关知识点，能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关键． 例5．（2024·辽宁辽阳·三模）【问题初探】 （1）如图1，动点A在半径为2的上，若，求的最小值． 由于和都是定长，当点A、B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【类比分析】 （2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值． 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【学以致用】 （3）如图3，是两块等腰直角三角板，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是____________． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）连接和，，则当O、A、B三点共线时，则； （2）先证明，推导出，取中点O，连接和，根据勾股定理求得，由，得到当三点共线时，取得最小值，因此； （3）作的外接圆，连接，由圆周角定理得，可得，解直角三角形得到，，中，由勾股定理得：， 由，得，当点三点共线时，取得最大值， 故． 【详解】解：（1）如图，连接和， 则， ∴当O、A、B三点共线时，取得最小值， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴. ∵， ， 即， ∴， ， ， ， 如图，取中点O，连接和， 则， ， ∵， 即， 当三点共线时，取得最小值， ； （3）解：作的外接圆，连接， ∵， ∴，同理， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 同理可求在中，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， 即， 当点三点共线时，取得最大值， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用三角形三角形三边关系求最值，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案． 【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵ 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 2．（2024·辽宁大连·一模）如图，在边长为2的正方形中，点E在正方形内部且．连接，以、为边构造，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证明，得出，推导出点F的运动轨迹为半圆，再根据两点之间线段最短，推导出最小值． 【详解】连接和，   四边形是正方形， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， 点F在以为直径的圆上运动，圆心O为的中点， 如图所示，，即，   当且仅当C、F、O三点共线时，最小， ， 在中，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的最小值问题，正方形的性质，平行四边形的性质，圆周角定理及其推论，三角形全等的证明，正确作出辅助线，推导出F的运动轨迹是解题的关键． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、垂径定理、锐角三角函数、隐形圆求最值问题等知识，利用圆的相关知识得到的面积最大是解答的关键．作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，由，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，，则的面积最大；设、相交于，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得，再由垂径定理和等腰三角形的性质证得点A、O、P、、C共线，进而求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，如图，则， ∴，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，， ∵， ∴最大时，的面积最大； 如图1，设、相交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点A、O、P、、C共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由与是等腰直角三角形，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：与是等腰直角三角形， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， 在以为直径的圆上， 的外心为，， ， 如图，当时，的值最小， ， ， ，， ． 则的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 【答案】(1) (2)菱形，见解析 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形性质和判定，圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． （1）先根据圆周角定理得，再由勾股定理即可解答； （2）先根据垂径定理得：，再证明，得，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论； （3）如图3，连接，先根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上，且，由旋转可得：点在以为圆心，2为半径的圆上，则当为相切时，的值最大，即可解答． 【详解】（1）∵为直径， ∴在中． ∵在中， （2）∵为直径 ，． 四边形是平行四边形 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是菱形 （3）如图，，， ∴点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点C旋转， ∴点是在以为圆心，以为半径的圆上运动， ， ∵当最小时，最大，此时与圆C相切于点D， ， ， 连接 ， ， ， 此时，即AE的最大值为． 题型06 瓜豆原理模型 瓜豆原理模型是初中数学几何板块中用于研究动点轨迹问题的重要内容，其核心原理为 “种瓜得瓜，种豆得豆”，即一个主动点运动带动另一个从动点运动，且两者轨迹相似，常通过图形的平移、旋转、位似等变换确定动点轨迹，在中考数学中分值占比约 3%-5%。 1.考查重点：重点考查学生能否准确识别瓜豆模型，判断主动点与从动点的运动关系，依据图形变换的性质，确定从动点的轨迹形状，并利用相关知识求解与轨迹相关的问题，如轨迹长度、动点运动路径上的最值等。 2.高频题型：高频题型有给定主动点的运动路径（如线段、圆等）和主动点与从动点的关联条件，求从动点的轨迹；在几何图形中，结合图形性质，根据瓜豆模型确定动点轨迹后，计算线段长度的最值、图形面积的最值等；在实际问题情境中，如机器人移动、物体运动轨迹规划等，抽象出瓜豆模型并解决相关问题。 3.高频考点：考点集中在判断主动点与从动点之间的变换关系（平移、旋转、位似等），根据变换性质确定从动点轨迹形状（线段、圆、圆弧等），以及运用两点之间线段最短、圆的性质等知识，解决与动点轨迹相关的最值问题。 4.能力要求：要求学生具备较强的图形观察与分析能力，能从复杂图形和动态情境中识别瓜豆模型；拥有良好的知识迁移与应用能力，熟练运用图形变换知识确定从动点轨迹；掌握扎实的逻辑推理与运算能力，求解与轨迹相关的各类问题。 5.易错点：易错点在于无法准确判断主动点与从动点之间的变换关系，从而错误确定从动点轨迹；在运用图形变换性质时，忽略变换的条件和细节，导致对轨迹的分析出现偏差；在计算与轨迹相关的问题时，因对轨迹性质理解不深，出现计算错误。 【提分秘籍】 瓜豆原理——主从动点问题 初中数学有一类动态问题叫做主从联动，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题． 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．） 满足条件： 1.两动一定； 2.动点与定点的连线夹角是定角； 3.动点到定点的距离比值是定值． 结论：若点O为定点，∠POQ为定角α，为定值k，则点Q与点P的运动路径相同． 方法：第一步：找主动点的轨迹 ； 第二步：找从动点与主动点的关系； 第三步：找主动点的起点和终点； 第四步：通过相似确定从动点的轨迹， 第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值． “瓜豆原理”其实质就是构造旋转、相似． 涉及的知识和方法： 知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值． 位似型（主从一线） ①点O为定点，点P在定直线l上运动，点Q为线段OP的中点，点Q的运动轨迹 ②点A为定点，点P在定圆⊙O上运动，点Q为线段AP的中点，点Q的运动轨迹 旋转型（OQ在OP绕点Q顺时针旋转α的方向） ③点O为定点，∠POQ＝α且，点P在定直线l（定圆⊙M）上运动，则点Q的运动轨迹 【典例分析】 例1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在矩形中，，P是对角线上的动点，连接，将直线绕点P顺时针旋转使，且过D作，连接，则最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作于H，连接延长交于F，作于E．证明，推出定值，推出点G在射线上运动，推出当时，的值最小，求出即可． 【详解】解：如图，作于H，连接延长交于F，作于E． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴定值， ∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ 在中，∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形核或全等三角形解决问题． 例2．（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图，在长方形中，，点P为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接．当点落在边上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识．当点落在边上时，作出图形，根据等边三角形的性质，可求出的度数；以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，当时，的长最小，设交于点，再证明是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ； 以为边向右作等边，连接． 是等边三角形，等边， ，，， ， 在和中， ， ， ， 点在射线上运动， 如图，设交于点， 当时，的长最小，此时， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 例3．（2024·辽宁大连·一模）【发现问题】在数学活动课上，同学们研究两个正三角形位置关系时，发现某些连线之间总存在某种特定的关系． 【问题探究】如图1，在正和正中，点A和点E重合，点C与点F重合，所以，； 【类比分析】 （1）如图2，点E在上，点C与点F重合，求证：； 【学以致用】 （2）点E在上，连接，以为边向上作正． ①如图3，点F在上，当点D、E在异侧，求的值； ②点F在上，当点D、E在同侧，，请利用备用图，画出图形，求的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的前提下，如图4，点F在上，直接写出的最小值． 【答案】（1）详见解析；（2）①2，详见解析；②，详见解析；（3），详见解析 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，三角函数等知识点， （1）由均为等边三角形，得出，进而可证得，即可得知，由平行线的判定即可得证； （2）①如图，过点F作交于N，得出，均为等边三角形，由（1）中结论知：，由已知得出，进而即可得解；②如图所示，过点E作交于N，则为等边三角形，得出（1）中结论，再由已知即可用k表示出的值，进而即可得解； （3）过点E作交于N，连，构造出（1）中模型，进而可得，即可得出为定点，D在定直线上运动，由垂线段最短知，当时，最小，再利用三角函数知即可得出结论； 熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】【类比分析】 （1）∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 【学以致用】 （2）①如图，过点F作交于N， ∴， ∴为等边三角形， 又∵为等边三角形， 由（1）中结论知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ②如图所示，过点E作交于N，则为等边三角形， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 【拓展应用】 （3）如图所示，过点E作交于N，连， ∴， ∴为等边三角形， 又∵为等边三角形， ∴由（1）结论知，， 又∵， ∴为定点， ∴D在过N点且平行于的定直线上运动，由垂线段最短知，当时，最小， 作交直线于点M，设直线交于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当D与M重合时，最小为 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 【答案】 /30度 【分析】①与为等边三角形，得到，，，从而证，最后得到答案． ②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出为等边三角形，为的中垂线，得到， ，再证为直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：①∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∵，， ∴， ， ∴， 在和中 ∴， 得； 故答案为：． ②（将军饮马问题） 过点D作定直线CF的对称点G，连CG， ∴为等边三角形，为的中垂线，， ∴， 连接， ∴， 又， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 3．（2024·辽宁·模拟预测）【问题探究】 （1）如图 1，在 中， 为 的中点，连接 ，则 与 的位置关系是_____．      （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域( )，用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即 的面积)． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）运输轨道的最小值为千米，的面积为平方千米． 【分析】（1）根据全等三角形的判定得出，进一步根据，即可推出，即证； （2）由题意连接，，先得出，同理可得，，进一步利用即可进行证明； （3）首先确定出的运动轨迹，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值，继而在中，由勾股定理得出，过作,交于点，利用相似性质得出，即可进一步求的面积． 【详解】解：（1）由题意知，在与中， ，（中点定义），， ， ， 又（平角定义）， ，即． 故答案为：． （2），理由如下： 如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ． （3）取中点，连接，过作，交于， 由正方形可得 , ， , ， ， , 是等腰直角三角形， 从而确定出的运动轨迹即如下图： , ，即最小值等于最小值, 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值， 正方形边长为3千米，是中点， 在中，由勾股定理得千米, ， 千米，千米， 千米， 在中，由勾股定理得千米， 即运输轨道的最小值为千米， 过作,交于点，如图， , , , 千米， 此时的面积为平方千米． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理和相似三角形的综合应用．整体难度相对大，需要学生有分析主从联动点（瓜豆原理）的运动轨迹的能力，同时还能够合理运用将军饮马的模型进行问题的综合解决． 题型07 费马点模型 费马点模型是初中数学几何板块里用于解决三角形内一点到三个顶点距离之和最小值问题的特殊内容，通过旋转构造等边三角形，将三条线段转化到同一条直线上，依据 “两点之间线段最短” 原理求最值，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 1.考查重点：重点考查学生对费马点定义及性质的理解，即如何通过旋转三角形，利用等边三角形性质，把求三角形内某点到三个顶点距离和的最小值转化为求直线段长度的问题。 2.高频题型：高频题型有在给定三角形中，求费马点位置及该点到三个顶点距离之和的最小值；在实际生活场景，如工厂选址、物流配送中心定位等问题中，抽象出费马点模型并求解；在几何图形与函数结合的题目里，根据图形条件确定费马点相关线段长度的最值。 3.高频考点：考点集中在旋转构造等边三角形，利用等边三角形边相等、角相等的性质进行线段转化；运用 “两点之间线段最短” 确定最短路径；准确找到费马点位置，即三角形每个内角都小于 120° 时，费马点与三角形各顶点连线夹角均为 120°。 4.能力要求：要求学生具备较强的图形构造与转化能力，能够根据题目条件合理旋转三角形构造等边三角形；拥有良好的逻辑思维能力，理解并运用线段转化求最值的原理；掌握扎实的运算能力，在涉及线段长度计算时能准确求解。 5.易错点：易错点在于不能准确判断题目是否适用费马点模型，盲目尝试旋转构造；在旋转过程中，对旋转角度、对应边和对应角的关系把握不准，导致线段转化错误；在计算过程中，因对费马点性质理解不深，忽略角度条件，出现计算失误。 【提分秘籍】 费马点模型 【模型分析】 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角； 1、若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点 证明： 如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝ ∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP′＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP′ 所以PA＋PB＋PC≥PP′＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点 2、若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点． 如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点 证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小 此时AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O 3、如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心 【典例分析】 例1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示， 则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP=PP′， ∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC， ∵PP′+P′B′+PC≥CB′， ∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值， 即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值， ∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2， ∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=， ∴CB′=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 例2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将绕点顺时针旋转得到，得到是解题的关键． 例3．（2024·辽宁·模拟预测）在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H． (1)如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离； (2)如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)4 【分析】（1）过点作，交延长线于点，先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得； （2）猜想，证明：在取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后根据线段的和差、等量代换即可得证； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，先证出，从而可得，则当点共线时，的值最小，即的值最小，然后利用等边三角形的性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴点到直线的距离． （2）解：猜想，证明如下： 如图，在取一点，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图，由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小， 设交于点，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴垂直平分，也垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵等边的高等于6，于点， ∴， ∴， 又∵是等边三角形，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以当的值最小时，线段的长为4． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，综合性强，较难的是题（3），正确找出当的值最小时，点的位置是解题关键． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形 是菱形，AB =6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为 ．    【答案】 【分析】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，如图，则△BCM≌△BEN，由全等三角形的对应边相等得到CM=NE，进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．根据等腰三角形“三线合一”的性质得到BH⊥AE，AH=EH，根据30°直角三角形三边的关系即可得出结论． 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE． ∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=． 故答案为．    【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 【答案】 【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值； 【详解】 解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′， 由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形， ∴AM＝MM′， ∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME， ∴D′M、MM′、ME共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝ ∴MA＋MD＋ME的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 3．（2024·辽宁·模拟预测）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可； （2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论； （3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60° ∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a， ∵AB+AC=10， ∴AC=10-AB=， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵， ∴，即， ∴， 即BC的最小值为； （3）解：如图3， 将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'， ∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形， ∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE， ∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F， 在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B， ∴AB=2x， ∵AB+BC=6， ∴BC=6-AB=6-2x， ∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小， 此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键． 题型08 代几综合转化为二次函数求最值 代几综合转为二次函数求最值是初中数学中融合代数与几何知识、具有较高综合性的内容，它把几何图形中的数量关系通过代数方法转化为二次函数形式，借助二次函数性质求解最值，在中考数学中分值占比约 5%-8%。 1.考查重点：重点考查学生将几何问题代数化的能力，即如何从几何图形中挖掘线段长度、图形面积等数量关系，构建二次函数表达式，并运用二次函数顶点坐标公式、对称轴性质等求最值。 2.高频题型：高频题型有在几何图形（如三角形、四边形、圆等）中，根据动点位置变化，利用几何性质建立线段长度或图形面积关于动点坐标的二次函数，求其最值；在实际应用场景（如建筑设计、物体运动轨迹等）中，结合几何图形与代数方程，转化为二次函数求最值问题；在函数与几何综合题目里，已知函数图象与几何图形的位置关系，构建二次函数求相关几何量的最值。 3.高频考点：考点集中在几何图形性质（如勾股定理、相似三角形性质、图形面积公式等）与代数知识（二次函数表达式的建立、二次函数性质运用）的融合，准确找到自变量与因变量的关系并构建二次函数，以及利用二次函数对称轴、顶点坐标求最值。 4.能力要求：要求学生具备较强的知识迁移与整合能力，能将几何知识与代数知识有机结合；拥有良好的分析问题与建模能力，从复杂问题中抽象出二次函数模型；掌握扎实的运算能力，准确求解二次函数表达式及最值。 5.易错点：易错点在于几何图形中的数量关系分析错误，导致二次函数表达式构建错误；在运用二次函数性质求最值时，对对称轴、顶点坐标公式理解有误，计算出错；忽略自变量的取值范围，使求得的最值不符合实际问题情境。 【提分秘籍】 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 【典例分析】 例1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作直线于，设 ，构建辅助线和设定未知数，由线段旋转性质得出， ，通过角度关系证明 ，证明 ，得到对应边相等关系．根据矩形边长及全等三角形对应边相等，计算出、、、关于的表达式． 在中，依据勾股定理建立关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，结合二次函数性质求出的最小值． 【详解】如图，过点作直线于， 设， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 设长为，在矩形中，，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质、三角形全等判定及性质、勾股定理和二次函数求最值 ，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用相关性质建立线段长度表达式并求其最小值． 例2．（2024·辽宁大连·一模）如图，中，，．点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，连接．则面积的最大值 ．    【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数求最值；设，根据，可得，从而得到，利用二次函数求最值即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ∴面积的最大值为6， 故答案为：6． 例3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，，，点E、F分别是、上的点，连接、、，且，则面积的最大值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查二次函数的几何问题，解直角三角形，勾股定理等知识，遇到几何图形中的最值问题，要考虑能否转换为求二次函数的最值问题． 过点A作于点G，过点F作于点H，先计算、和 的长，可得，设，则，，， 分别表示出、和，根据代入整理，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】如图，过点A作于点G，过点F作于点H， ∵，      ∴，则， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ， 则 ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，面积有最大值，最大值为 故答案为：20． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A是直线y＝﹣2x+4上的一个动点，将点A绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点B，连接OB，则OB的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用直角三角形构造全等三角形，求出旋转后B点的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于E， ∵∠ADP＝∠PEB＝∠APB＝90°， ∴∠APD+∠BPE＝∠PBE+∠BPE， ∴∠APD＝∠PBE， 在△APD和△PBE中， ， ∴△APD≌△PBE（AAS）， ∴PE＝AD，BE＝PD， 设A（m，﹣2m+4）， ∴PD＝|m﹣1|，AD＝|﹣2m+4|， ∴OE＝|5﹣2m|， ∴B（5﹣2m，1﹣m）， ∴OB2＝（5﹣2m）2+（1﹣m）2＝5m2﹣22m+26＝5（m﹣）2+， 当m＝时，OB2有最小值为， ∴OB的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查的一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的旋转变换，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是 ． 【答案】3 【分析】如图，过点D作DE⊥AC于E，有旋转的性质可得DP=BP，∠DPB=90°，由“AAS”可证△DEP≌△PCB，可得DE=CP，EP=BC=9，可求AE+DE=6，由勾股定理和二次函数的性质可求解． 【详解】如图，过点D作DE⊥AC于E， ∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD， ∴DP=BP，∠DPB=90°， ∴∠DPE+∠BPC=90°，且∠BPC+∠PBC=90°， ∴∠DPE=∠PBC，且DP=BP，∠DEP=∠C=90°， ∴△DEP≌△PCB（AAS） ∴DE=CP，EP=BC=9， ∵AE+PC=AC-EP=6 ∴AE+DE=6， ∵AD2=AE2+DE2， ∴AD2=AE2+（6-AE）2， ∴AD2=2（AE-3）2+18， 当AE=3时，AD有最小值为3， 故答案为3. 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用二次函数的性质求最小值是本题的关键． 3．（2024·辽宁·模拟预测）已知，如图所示，矩形，，，是边上的一动点．连接，过作垂足为点，交于点．过A作，垂足为，连接．则四边形面积的最大值为 ． 【答案】24 【分析】由，，，可得，从而得出，则有，设 ，则，函数开口向下，则当 时，有最大值为，在中，由勾股定理可得，即，解得，再代入即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ， 又，， ， ， ， 又， ， ， 设 ， ， ，      ， 当 时，有最大值为， 在中， ，即， ， 把 代入中， 得， ， 四边形面积的最大值为：24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：对应线段成比例，勾股定理以及二次函数的最值，解题的关键是证明三角形的相似得出对应线段成比例． 题型09 其他最值问题 【典例分析】 例1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于H，连接；    ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 例2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，已知中，，，，，，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，旋转的性质，垂线段最短，转化思想，理解题意是解本题的关键．首先通过证明得到，再根据垂线段最短将最小值转化为点到的距离，最后利用面积法计算即可． 【详解】解：，， ， ∵是的外角， ∴， 由旋转可知：，， ， 在和中， ， ， ，则当时，最小，即最小， ，，，， 点到的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 例3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）点A为矩形的边延长线上一点，，，点F为边上的动点，连接，过点F作，垂足为G，点H是点A关于点D的对称点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，连接，，过H作于K，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当三点共线时，最小，最小值为，证明，根据相似的性质求出，，然后在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，，过H作于K， ∵矩形， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，最小值为， 在中，，，， ∴， ∵点H是点A关于点D的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 例4．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ∴，，，． ． ，， ． ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为． 最小值为． ， ． 在中，，， ． 最小值为4． 故选：C． 例5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查最短路径问题，涉及轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识． 连接，得到，过点D作，且，连接， 因此．连接，证明，即，根据勾股定理，在中，得到，在中，得到，即可得到的最小值是5． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，点B与点D关于对角线对称， ∴， 过点D作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 连接， ∵在正方形中，， ∴，即， ∵在正方形中，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴的最小值是5． 故答案为：5 例6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）综合与探究： 如图，正方形，点在射线上，连接，过点作，交射线于点． 【问题探究】    （1）如图1，点在线段上，求证： ①； ②； （2）如图2，点在线段上，将线段沿着方向向左平移，使点与点重合，点落在上的点处，与交于点，连接，取的中点，连接，在上取点，使得，若正方形的面积为36，求的最小值； 【拓展延伸】 （3）点在射线上，射线与射线相交于点，若，求的值． 【答案】（1）①证明过程见详解；②见详解；（2）5；（3）或 【分析】（1）①由题意可得，，，进而可得，即可证明．②由可得，利用线段和差即可得结论； （2）先证明是直角三角形，得，在的延长线上取，连接，，，三点共线时，最小，即可得的最小值； （3）当N在线段的延长线上时，作于，由，证明，由，证明，，然后根据三角形面积公式求解即可；当N在线段上时，作于，由，得出，由，证明，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）①证明：正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②， ， ； （2）解：线段沿着方向向左平移， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 是的中点， ， 正方形的面积为36， ， ， ， 在的延长线上取，连接，， ， 三点共线时，最小， 此时， 在中， ， ，， ； （3）解：当N在线段的延长线上时，作于， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； 当N在线段上时，作于， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行线分线段成比例等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 例7．（2024·辽宁锦州·三模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G． (1)如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为 ； (2)如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC ①求证：△ACD≌△CAE； ②求线段DH的长度． (3)如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)27，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出DE的长度，计算CD-DE的值即可； （2）①根据CD=AE，CD是两个三角形的公共边，∠AEC=∠AEF=∠CDA=90°，用HL即可判定△ACD≌△CAE； ②根据①的结论推出∠ACD=∠CAE，得到AH=CH，推出DH=EH，设DH=x，CH=AH=6-x，在Rt△ADH中根据勾股定理得到，求得，得到； （3）过点A作AM⊥PE于点M，连接BM，AP，根据点P是FG的中点，得到PF= FG=3，根据∠F=90°，EF=4，推出，根据，推出AM=4.8，根据BM≤AB+AM，得到当点A在线段BM上时，BM=AB+AM，推出BM取得最大值10.8，且BM⊥PE，推出，得到△BEP面积的最大值为27． 【详解】（1）∵∠D=90°， ∴ ， ∴ ， 故答案为 ； （2）①证明：如图②中， ∵当点E落在线段CF上， ∴∠AEC＝∠ADC＝90°， 在Rt△ACD和Rt△CAE中， ∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL）； ②∵Rt△ACD≌Rt△CAE， ∴∠ACD=∠CAE， ∴AH=CH， ∵AE=CD=6， ∴DH=EH， 设DH=x，则CH=AH=6-x， ∵∠D=90°, ∴， ∴， ∴， 故； （3）存在．理由： 过点A作AM⊥PE于点M，连接BM，AP， ∵点P是FG的中点，FG=6， ∴PF= FG=3， ∵∠F=90°，EF=4， ∴， ∵， ∴， ∴AM=4.8， ∵BM≤AB+AM， ∴当点A在线段BM上时，BM=AB+AM=6+4.8=10.8， 此时BM最大，且BM⊥PE， ∴， 即△BEP面积的最大值为27． 【点睛】本题主要考查了矩形，旋转，勾股定理，全等三角形的，三角形面积公式等，解决问题的关键是熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质等，面积法求三角形的高． 【变式演练】 1．（2024·辽宁丹东·三模）如图，抛物线经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在上，且平分的面积，过D作交x轴于F点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据平分的面积，得到点D是的中点，结合，得到从而得到，继而得到是的中位线，得到，故的最小值取决于的最小值，根据抛物线，得到的最小值为，解答即可． 【详解】解：∵平分的面积， ∴点D是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故的最小值取决于的最小值， ∵抛物线， ∴的最小值为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，二次函数的最值，熟练掌握三角形中位线定理，二次函数的最值是解题的关键． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段，平分交射线于．在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】先结合旋转性质，正方形的性质得出，根据角平分线的定义，得，证明，再得出，然后得出是的垂直平分线，即，当时，，此时面积最大，运用勾股定理算出线段的值，即可作答． 【详解】解：依题意，连接，过点作的延长线一点，如图所示： ∵正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段， ∴， ∵平分交射线于． ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， 当时，，此时面积最大， 则点E与点A重合，点F与点D重合， ∴， 此时有最大值，且． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在等腰直角中，，点D，E分别为，上的动点，且，，当的值最小时，的长为 ．    【答案】/ 【分析】过点C作，设，利用勾股定理求得，再根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，即欲求的最小值，相当于在x轴上寻找一点，到点，的距离和的最小值，利用待定系数法求直线的解析式，从而求得，即可求解． 【详解】解：过点C作，设，如图所示，    ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 欲求的最小值，相当于在x轴上寻找一点，到点，的距离和的最小值，如图， 作点F关于x轴的对称点，当E、P、共线时，的值最小，此时， 设直线的解析式为：，得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴的值最小，的值为：，      故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的与性质、两点间的距离公式、用待定系数法求一次函数解析式、线段和的最值及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线第一象限上的一点，连接，交于点E，D是上一点且．当的值最小时，P点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，过点作轴，使，易得，进而得到，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，求出直线的解析式，直线与抛物线的交点即为点，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴，，， ∴，， 过点作轴，使， 则：，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，此时与抛物线的交点即为点， 设直线的解析式为：，则：， 解得：， ∴， 联立，解得：或（舍去） ∴； 故答案为：． 5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【方法归纳】 （1）在中，点在边上，交于点，将绕点逆时针旋转，得到，其中点的对应点是点，点的对应点是点，连接，． ①如图1，如果，求的值； ②如图2，如果的延长线与线段交于点，求的度数； 【方法应用】 （2）如图3，在四边形中，，连接，且，则四边形的对角线的长度最大值为______． 【答案】（1）①；②（2） 【分析】（1）①如图1，根据可证,，继而得到，根据旋转的性质，得，继而得到，结合，得到，得到，故; ②根据可证,，继而得到，根据旋转的性质，得，继而得到，结合，得到，得到，故，从而得到四点共圆，继而得到． （2）将绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，证明，得到，结合，计算即可． 【详解】（1）①如图，∵，， ∴, ∴， ∴， 根据旋转的性质，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴; ②∵， ∴, ， ∴， 根据旋转的性质，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴． （2）将绕点A顺时针旋转，得到线段，连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， 当点D，P，B三点共线时，的长度取得最大值， ∵， ∴， ∴的长度最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形不等式，三角形相似的判定和性质，四点共圆，熟练掌握三角形不等式，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 6．（2024·辽宁·一模）数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究： 如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接． 【知识初探】 （1）如图1，小明提出的问题是可以得到的结论，并得到老师的肯定．请你帮他说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，小颖在小明的基础上继续探究，连接交于点，连接，可以得到的结论，也得到老师的肯定．请你帮她说明理由； 【特例探究】 （3）如图3，小华在小明和小颖的基础上继续探究，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，请你帮她求出的最小值． 【答案】（1）见解析，（2）见解析，（3） 【分析】根据旋转的性质得出，，进而证明，即可得证； （2）证明垂直平分，再，即可得证； （3）如图所示，延长，交于点，由（2）可知是等边三角形，根据折叠的性质可得，，进而得出是等边三角形，进而得出，则，当取得最小值时，即时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 将绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ； （2）证明： 是等边三角形， ， ， ， 垂直平分， ， 又， ，， ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 垂直平分， ，， ， ，， ， ， （3）解：依题意，如图所示，延长，交于点， 由（2）可知是等边三角形， ， 将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， ，， ， 是等边三角形， ， 由（2）可得， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由（2）可知是的中点，则， ， ， 折叠， ， ， 又， ， 当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】作点B关于的对称点F，连接交于E，连接、，则，此时，最小，先求出，，利用直角三角形的性质得到，从而求得，，再证明为等边三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：作点B关于的对称点F，连接交于E，连接、，则，此时，最小， ∵ ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点B与点F关于的对称， ∴，， ∴ ∵ ∴为等边三角形， ∵点D为的中点， ∴，， ∴ ∴的最小值为12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查利用轴对称求最短距离问题，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握“将军饮马”问题是解题的关键． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 【答案】 【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接， 点是点关于直线的对称点， 直线垂直平分， ，，， ， 当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值． ，， ． ，且，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 当取最小值时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点最值的将军饮马模型，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握动点最值类模型的解题思路是解题关键． 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查胡不归问题，矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 4．（2024·辽宁·模拟预测）已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，最小值为4 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）在上取，连接，．由题意易证，即得出．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出，从而可得出结论； （3）作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．根据轴对称的性质即可知，即存在最小值，取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．根据轴对称的性质结合题意可求出，，即证明为边长为4的等边三角形，即可求出，从而即得出答案． 本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ （2）证明：如图，在上取，连接，． ∵在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴为中点，即， ∴， ∴； （3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．连接，交于点，于点，连接． 由作图可知，，． ∴， ∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴为边长为4的等边三角形， ∴， ∴的最小值为4． 5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造． 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 7．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 【答案】A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3）， ∴c＝﹣3， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（0，-3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，1）， ∴OD＝1，BD＝4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴DP+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 8．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）      A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9， ∴PC2＝CM•CA， ∴， ∵∠PCM＝∠ACP，    ∴△PCM∽△ACP， ∴， ∴PMPA， ∴AP+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM， 在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7， ∴BM5， ∴AP+BP≥5， ∴AP+BP的最小值为5． 故选：B． 9．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 10．（2025·辽宁·模拟预测）如图，矩形中，，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离． 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的上运动（在矩形内部），作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时有最小值，最小值为，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，，，， 如图，连接， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， ， 点在以为圆心，以为半径的上运动（在矩形内部）， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， ， ∴此时有最小值，最小值为， ，， ， 的最小值为9， 故选：B． 11．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 12．（2024·辽宁·模拟预测）已知等腰直角与有公共顶点，，，．现将绕点旋转． (1)如图①，当点，，在同一直线上时，点为的中点，求的长； (2)如图②，连接，．点为的中点，连接交于点，求证：； (3)如图③，点为的中点，以为直角边构造等腰，连接，在绕点旋转过程中，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于，可得，，，再运用勾股定理可得结论； （2）延长到，使，连接，根据SAS证明得，运用中位线定理证明，再证明，得，故可得结论； （3）根据点F在AB上时BN的值最小，求出BN的值，运用等腰直角三角形的性质求出NG和AB，运用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）连接并延长交于， ，点是的中点， ， 与都是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， 由已知可得，， ， ； （2）证明：延长到，使，连接， ， ． ， ， 又， ， ．即； 又， ， ， ，A分别是，的中点， ． ， ， ， ， ； （3）∵AE=AD=4，∠EAF=90°， ∴DE=， ∵点F是DE的中点， ∴AF=DE=2， ∴点F在以A为圆心，2为半径的⊙A上移动，如图， 当点F在AB上时，BF最小， ∵是等腰直角三角形， ∴BF最小时，BN也最小， ∴的最小值为：AB-AF= 此时， ∵ ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴的最小值为： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 13．（2024·辽宁·模拟预测）如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， 取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP， 点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P， 当点O、点P、点C三点共线时，PC最小 在中， ，，， ， 最小值为 故选：D． 【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． 14．（2024·辽宁·模拟预测）如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 【答案】 【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值． 【详解】解：∵B、G关于对称， ∴，且 ∵E为中点，则为的中位线， ∴， ∴， ∵，即， ∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧） 设圆心为，连接，，，，，过点作， 则， ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 又∵为中点， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键． 15．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为 ． 【答案】38 【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可． 【详解】解：连接，过作于， 当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值， 四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积， 即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24． 连接BG，由G是EF中点，EF=4知， BG=2， 故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示， 由勾股定理得：AC=10， ∵AC·BH=AB·BC， ∴BH=4.8， ∴， 即四边形面积的最小值=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 16．（2024·辽宁·模拟预测）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动 将绕点旋转，使与重合，得到， 从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上， 作，则即为的最小值， 作，可知四边形为矩形， 则. 故答案为． 【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键． 17．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ． 【答案】 【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论． 【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN， ∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°， ∴△BQN是等边三角形， ∴BQ=QN， ∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN， ∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小， 此时，如图2，连接MC ∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM， ∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM， ∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形， ∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM， ∵BM=CM，AB=AC， ∴AM垂直平分BC， ∵AD⊥BC，∠BQD=60°， ∴BD=QD， ∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2， ∴x=， ∴x=3+， ∴PD=3+． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题． 18．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为 ． 【答案】 【分析】作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根据AAS证得△EDN≌△DCM，得出EN=DM，然后解直角三角形求得AM=3，得到BM=9，设BD=x，则EN=DM=9-x，根据三角形面积公式得到S△BDE=BD•EN=x（9-x）=-（x-4.5）2+，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N， ∴∠EDN+∠DEN=90°， ∵∠EDC=90°， ∴∠EDN+∠CDM=90°， ∴∠DEN=∠CDM， 在△EDN和△DCM中 ， ∴△EDN≌△DCM（AAS）， ∴EN=DM， ∵∠BAC=120°， ∴∠MAC=60°， ∴∠ACM=30°， ∴AM=AC=×6=3， ∴BM=AB+AM=6+3=9， 设BD=x，则EN=DM=9-x， ∴S△BDE=BD•EN=x（9-x）=-（x-4.5）2+， ∴当BD=4.5时，S△BDE有最大值为， 故答案为． 【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数的性质等，得到三角形的面积关于x的函数解析式是解题的关键． 19．（2024·辽宁·模拟预测）如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到G，使，连接、，得到，从而可得，再利用勾股定理即可求出最小值． 【详解】解：如图，延长到G，使，连接、，    在矩形，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC， ， ∴m的最小值为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．本题通过构造，得到，利用两点间线段最短解决m取最小值的问题． 20．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点A在点的左侧），与轴交于点，经过点A的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (3)点是轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点的坐标为______； (4)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法可求出一次函数解析式； （2）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得顶点的坐标； （3）过点作交轴于，连接，则，根据的面积为求出，则，可得直线的表达式为，联立抛物线即可求解； （4）过点作轴，，证明，可得，由三角形的三边关系可得，则当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：（1）设直线的表达式为， ，， ，解得， 直线的表达式为． （2）解：抛物线过，， ，解得， 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为，． （3）解：如图1，过点作交轴于，连接， ， 的面积为， ，解得， ， ， ，直线的表达式为， 设直线的表达式为， ，解得， 直线的表达式为， 联立与抛物线得， 解得，， 点的坐标为或， 故答案为：或． （4）解：如图2，过点作轴，，连接，， 轴， ， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小为的长， 直线的表达式为， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质以及一次函数的图象与性质是解题的关键． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$