猜押04 上海中考16～18题（填空题）(6类题型)-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

猜押04 上海中考16~18题（填空题） 猜押考点 3年上海考题 考情分析 押题依据 数据分析 2024年第16题 2023年第16题 2024年：用样本估计总体、条形统计图 2024年：用样本估计总体、扇形统计图 对比近3年的16-18题考点，三角形、四边形的几何综合三年三考，数据分析和圆的综合和新定义是三年两考.第16题是基础题，据反馈信息，去年中考，很多考生对16题基础题理解不透彻丢分较多，备考时可以多练习重复条件的数据分析题型，17和18题是中等偏难题，也是考生得高分务必拿下的题，备考时候要重点复习相似三角形、圆、旋转和翻折，预测2025年中考填空压轴会重点考查几何综合与函数结合. 三角形、四边形几何综合 2024年17题 2023年17题 2022年17题 2024年：平行四边形、三角函数、折叠 2023年：等腰三角形、旋转 2022年：平行线分线段成比例、等边三角形、中位线 新定义 2024年18题 2022年18题 2024年：二次函数的新定义 2022年：圆的新定义 圆的综合 2023年18题 2022年16题 2023年：圆和圆的位置关系、二次函数与不等式 2022年：勾股定理、垂径定理 题型一 图数据的收集与整理 1．（条形统计图和扇形统计图）（2025·上海嘉定·二模）为了解学生的体育技能水平，某校随机抽取了名学生开展一分钟跳绳测试，并将结果绘制成扇形统计图（如图所示）．如果该校学生共有人，请估计全校一分钟跳绳次数不低于180个的学生有 人． 类别 跳绳次数 A B C D E 【答案】 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查了统计图的应用，用样本估计总体，根据统计图获取正确数据是解题的关键． 根据统计图得到一分钟跳绳次数不低于180个的学生所占百分比为，计算即可得到答案． 【详解】解：根据统计图得一分钟跳绳次数不低于180个的学生所占百分比为， （人）， 故答案为：． 2．（2025·上海宝山·二模）为了解学生的消防安全意识，学校随机抽取了22名学生进行相关知识测试，测试成绩如表所示．已知全校共有900名学生，如果成绩不低于95分为“优秀”，请估计该校学生中消防安全意识水平为“优秀”的人数是 ． 成绩（单位：分） 75 80 85 90 95 100 人数 1 1 4 5 6 5 【答案】450 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握方法是解答本题的关键．按照方法计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：450． 3．（2025·上海松江·二模）某学习小组想了解本校学生课外阅读时间的情况，在全校随机调查了部分学生，对他们一周的课外阅读时长进行统计、整理，并绘制成两幅不完整的统计图表． 编码 课外阅读时长（分钟） 人数 10 25 如果该校有1200名学生，那么该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有 人． 【答案】360 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、由扇形统计图求总量、总体、个体、样本、样本容量 【分析】此题考查了扇形统计图和统计表．先求出样本容量，得到的值，再利用样本估计总体即可求出答案． 【详解】解：由题意得，样本容量为：， 故， （人， 即该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有360人． 故答案为：360 4．（新热点）（2025·上海普陀·二模）常见的运动健身方式有三种：有氧运动、力量训练和拉伸运动．某社区为了解本社区居民的健身情况，对居民进行了随机抽样调查，得到了一个样本，制成了样本统计图：图4-1是三种运动健身方式占比的扇形图（每人只能选一种健身方式）；图4-2是选择有氧运动的居民，对有氧运动有关项目选择的条形图（每人只能选一种项目）．如果该社区居民约有8000人，那么根据抽样调查结果，估计该社区最喜欢快走的居民大约有 人． 【答案】1600 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，样本估计总体，先根据扇形统计图计算出有氧运动的占比，再根据条形统计图计算出喜欢快走的占比，两项占比乘以总人数即可． 【详解】解：估计该社区最喜欢快走的居民大约有： （人）． 故答案为：1600． 5．（2025·上海杨浦·二模）某中学为了了解全校600名学生平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校50名学生一月内平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，结果如下表： 时间（分） 40 45 50 55 60 65 70 人数 10 10 8 6 5 6 5 请估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有 人． 【答案】192 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】此题考查了样本估计总体，用600乘以样本中不少于60分钟的学生人数所占的百分比求解即可． 【详解】解：（人）． ∴估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有192人． 故答案为：192． 6．（2024·上海杨浦·三模）月日是世界读书日，某校为了解该校名六年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该校名六年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有 名． 【答案】 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图 【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体．用乘被抽取的名六年级学生中每周阅读课外书籍的时间不少于小时所占的比例即可．解题的关键是正确理解题意并从频数分布直方图中获取相关信息． 【详解】解：由频数分布直方图可知： 每周阅读课外书籍的时间在至小时的学生约有：（名）， ∴在被抽取的名六年级学生中每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有： （名）， ∴（名） ∴估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有名． 故答案为：． 7．（2024·上海长宁·二模）为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有 名． 【答案】90 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了利用样本所占百分比估计总体的数量，理解题意，掌握样本估计总体的方法是解题关键．先根据表格中的数据可得六年级学生步行的人数占比，再乘以300即可得． 【详解】由表可知，六年级学生步行的人数占比为 则（人） 即六年级300名学生中步行的人数是90 故答案为：90． 8．（2024·上海徐汇·二模）某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这名家长的问卷真实有效），将这份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长 人． 【答案】 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是数形结合．先根据条形统计图计算出稍加询问的百分比，进而结合扇形统计图求出严格管理的百分比，最后利用样本估计总体即可求解． 【详解】解：稍加询问的百分比：， 严格管理的百分比：， 持“严格管理”态度的家长人数：（人）， 故答案为：． 9．（2024·上海松江·二模）某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图１和图2所示．已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为 人． 【答案】240 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了样本百分比估计总体百分比，先求出步行所占百分比，再用学生总数乘以步行学生所占的百分比即可估计全校步行上学的学生人数 【详解】解：抽查的人数为：（人） ∴步行上学在扇形图中所占比例为， ∴全校步行上学的学生人数为：（人） 故答案为：240 题型二 三角形、四边形与三角函数综合 1．（相似三角形、三角函数）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接，与相交于点，连接．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的余弦值 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值．根据矩形的性质可证，得到，，如图所示，过点作于点，可证，，，，在中由勾股定理得到的长，再根据余弦的定义计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，且， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 2．（几何翻折）如图，点在菱形的边上，将菱形沿着翻折，使点的对应点恰好落在边上，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的余弦值 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． 过点作，交延长线于点，过作于点，由菱形的性质可知，，，由折叠性质可知：，，然后证明，由性质得，即有，设，，然后代入即可求解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∴，负数舍去 ∴ ∴， 故答案为：． 3．（圆与三角函数）如图，与切于点A，与弦相交于点C，．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、求角的余弦值 【分析】本题考查了切线的性质，角的正切等知识．连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得，即， ∴ ∴． 故答案为：． 4．（古典数学）我国数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，则 ． 【答案】/0.8 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出的长是解题的关键．根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题． 【详解】解：∵大正方形的面积是100， ∴． ∵小正方形的面积是4， ∴小正方形的边长为2， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得或（负值舍去）， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型三 折叠问题 1．（勾股定理与翻折）如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】连接，根据点恰好落在边中点处，，得到，，求得，结合解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点恰好落在边中点处，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，．将沿折叠得到，交于点G．若，则 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理，由角平分线的定义可得，由等边对等角得出，从而可得，证明，解直角三角形得出，设，则，由勾股定理可得，求出，，，，，，由折叠的性质可得，证明，由相似三角形的性质可得，设，则，，求出，，即可得解． 【详解】解：∵平分交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，点在菱形的边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上．若，则的值是 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】如图，过作于，在的延长线上取点，使，设，则，可得，，证明，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，在的延长线上取点，使， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对折可得： ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．如图，在中，，，，是斜边上一动点，将沿直线翻折，点的对应点为，连接．当时，的长为 ． 【答案】1 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、折叠问题 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，掌握圆周角定理，等边三角形的判定和性质是关键． 根据折叠，得到，当时，以点为圆心，以为半径画圆交于点，如图所示，可得是等边三角形，由，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵折叠， ∴， 当时，以点为圆心，以为半径画圆交于点，如图所示， ∵， ∴点与点重合， ∴， ∴是等边三角形， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：1 ． 题型四 旋转问题 1．如图，在矩形中，，为的中点，将边绕点逆时针旋转，点落在处，连接，，若，，则 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】如图，过作于，，证明，而，可得，即，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过作于，， ∴， ∴， 由旋转可得：，， ∵，为的中点， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，而， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（分类讨论）已知和重合．如图，现将绕点A旋转（点D和点B不重合），连接，，．当或为时，的长为 ． 【答案】或2或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理以及图形的旋转，解题的关键是根据或为分情况讨论，利用直角三角形的边的关系求解． 先根据已知的条件求出的长度，再分和分情况讨论，利用勾股定理等知识求出的长度． 【详解】在中，． ． ， ①当AD与AC重合时，，如答图1， ， ； ②如答图2，，； ③如答图3，， ， ． 3．（2025·上海徐汇·二模）如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是 ． 【答案】/ 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程．先证明，推出，设，由勾股定理得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：设，记和相交于点， ∵矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 4．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过作交延长线于，证明，得出，设，则，则，证明，得出，根据，得出，即，求出k的值，即可得出答案即可． 【详解】解析：如图：过作交延长线于， 根据旋转可知：， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 设，则，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：或（舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 5．（2025·上海宝山·二模）如图，平行四边形，，对角线，将绕点B旋转，使得点A落在直线上的点处，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，旋转的性质；如图，以点B为圆心，为半径画圆，与直线交点即为，过作交直线于，设，则，，，再证明得到，，代入求出，，利用勾股定理求出，即可求出和，再求即可，注意分情况讨论． 【详解】解：如图，以点B为圆心，为半径画圆，与直线交点即为，过作交直线于，则； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 当在右边时，， ， ∴； 当在左边时，， ， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 6．（分类讨论）（2025·上海青浦·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A旋转，点B、C、D落在点、、处、如果点落在直线上，那么 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】作于点E，由，求得，由，求得，则，再分两种情况讨论，一是点落在线段上，由旋转得，则，求得；二是点落在线段延长线上，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点E，则， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图1，点落在线段上， 由旋转得， ∴， ∴； 如图2，点落在线段延长线上， 由旋转得， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、旋转的性质、根据面积等式求线段的长度、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 7．（分类讨论）（2025·上海普陀·二模）在中，，（如图）．点在边上，，为垂足，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、分别与点、对应，，射线与边交于点．如果，那么的长是 ． 【答案】4或4.8 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、利用平行四边形的判定与性质求解、三线合一 【分析】先过点A作交与点F，利用等腰三角形的性质以及余弦的定义得出，然后分两种情况，当P在的延长线上时和当P在线段上时想，证明四边形为平行四边形，根据设出， ，有旋转的性质得出，得出，最后根据余弦的定义求出x，进而可得出答案． 【详解】解：过点A作交与点F， ∵， ∴，， ∴， 分两种情况：当P在的延长线上时，如下图： 由旋转的性质得出， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴设，则， 则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则； 当P在线段上时，如下图： 同理可设，则， 则， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则， 综上：的值为4或4.8， 故答案为：4或4.8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，解直角三角形的计算，平行四边形的判定和性质，旋转的性质等知识，学会分类思考是解题的关键． 题型五 函数新定义 1．（函数与不等式）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 2．（一次函数与正方形）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ． 【答案】且 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、正方形性质理解 【分析】本题考查的是一次函数的定义，一次函数的图象与性质，如图，由且，可得，，可得在正方形内，包括边界；当一次函数过时，如图，当一次函数过时，再结合一次函数的定义可得答案． 【详解】解：如图，∵且， ∴，， ∴在正方形内，包括边界； 当一次函数过时， ， 解得：， 如图，当一次函数过时， ∴， 解得：， ∵， ∴一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围为 且； 故答案为：且 3．（2025·上海黄浦·二模）定义：抛物线上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的倍后得到新的抛物线，叫的“倍衍生抛物线”．例如：求抛物线的“5倍衍生抛物线”．设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为因为点，因为点在抛物线上，所以，整理得到，即抛物线的表达式为．参考上述方法，抛物线的“倍衍生抛物线”的表达式为 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为，从而，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为， ∴， ∴， 故答案为：， 4．（一次函数与反比例函数）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，先求出点的坐标为，过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则，联立，求出，则可得，所以，又线段上有个整点，点，，都是整点，故，然后代入解析式即可求解，读懂图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解题的关键． 【详解】解：联立， 解得， ∴点的坐标为， 过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则， 联立，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段上有个整点，点，，都是整点， ∴， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：． 5．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点、的线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为 ． 【答案】或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查“友好点”的新定义，函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键．设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“友好该二次函数”的解析式为，确定，当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， 【详解】解：设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在直线上运动， 设直线与“友好二次函数”交于点， 当时，， ∴， ∵二次函数的顶点为， ∵， ∴当点的坐标为时，此时点、与抛物线顶点共线且与二次函数的图象只有一个交点，即； 当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点，即； ∴当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，的取值范围为或． 故答案为：或． 6．定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交(每两个函数图像有且仅有1个交点)得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先画简易图象，并求解函数的交点坐标，再利用勾股定理求解三边的长度，从而可得答案. 【详解】解：如图， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴的最短边长度为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，新定义的含义，理解题意是解本题的关键. 7．利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】判断直线和圆的位置关系、一次函数与几何综合、坐标与图形 【分析】本题考查一次函数图象和性质，直线与圆的位置关系； 设，则，可得，进而得当直线与半圆相切时，，当直线过点时，，进而得到答案 【详解】解：设，则 ∵B在直线上， ∴，即， ∵点A在x轴的上方，且， ∴， ∴是直线与半圆的交点， 当直线与半圆相切时， ∴中，，即， 当直线过点时，， ∴ 故答案为： 8．（函数与不等式）我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，过点作与轴平行的直线，与抛物线始终有交点． 设直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，若满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先由抛物线得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，画出图形，然后根据与抛物线始终有交点，直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，满足，可得不等式组，然后解不等式组即可得． 【详解】解：由抛物线， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 画出图形如下： ∵与抛物线始终有交点， ∴， ∵如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，满足， ∴， 联立：， 解得， ∴的取值范围为， 故答案为：． 9．（分类讨论）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为 ． 【答案】或3/3或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键． ②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：二次函数， 则设， 所以，解得， 所以， （Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为4， 所以， 解得，符合题设； （Ⅱ）当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为4， 所以， 解得，符合题设； 综上，的值为或3． 故答案为：或3． 题型六 几何新定义问题 1．（圆与方程）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】判断点与圆的位置关系、坐标与图形、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据点在直线上，可求得点的“关联点”为，根据点与圆的位置关系可得，根据勾股定理即可得答案． 【详解】解：∵点A在直线上， ∴， ∴，， ∴点的“关联点”为， 当时，，此时点在上， 整理得， 解得：， ∵点在的内部，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，点与圆的位置关系及解一元二次方程，点在圆内，；点在圆上，，点在圆外，，正确得出点坐标，熟练掌握点与圆点位置关系是解题关键． 2．对于平面直角坐标系中的圆和点P给出如下定义：对于圆上的动点Q，若点P到动点Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的3倍，则称点P为圆的“三分点”．已知，，以坐标原点O为圆心，r为半径画圆，以坐标原点为圆心，为半径画圆，若线段上存在的“三分点”，则r的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】点与圆上一点的最值问题 【分析】本题主要考查了点与圆心的位置关系求最值，依据题意，设半径为r的圆O，与x轴交F，G两点，分别求得A，B到圆心的距离，根据题意作出图形，分别求得最小值和最大值，根据“三分点”的定义列出不等式组，解不等式组求解即可． 【详解】解：如图，设半径为的圆与轴交，两点，半径为的圆与轴交点，半径为的圆与轴交点，半径为的圆与轴交点， ∵线段上存在的“三分点”， ∴上存在的“三分点”， 点，， ，， 设，，， ，． 由题意：，， ∴，，， ，， ∵在上， ． 或． 或． 故答案为：或． 3．（四边形）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形． 探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 ． 【答案】 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度 【分析】思路引领：连接AC，先证∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求DF的长． 【详解】如图所示，连接AC， ∵四边形ABCD是等补四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， 又∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠BCD， ∵AF平分∠EAD， ∴∠FAD∠EAD， ∵四边形ABCD是等补四边形， ∴A，B，C，D四点共圆， ∵AB＝AD， ∴， ∴∠ACD﹣∠ACB， ∴∠FCA∠BCD， ∴∠FCA＝∠FAD， 又∠AFC＝∠DFA， ∴△ACF∽△DAF， ∴， 即， ∴DF＝55． 故答案为：55． 【点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等． 4．（三角形）定义：为内一点，连接，在、和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称为的自相似点，根据定义求解问题：已知在中，，是边上的中线，如果的重心恰好是该三角形的自相似点，那么的值为 ． 【答案】或 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、斜边的中线等于斜边的一半、重心的有关性质 【分析】分为两种情形：，从而得出，设，则，从而得出，，进而计算出，进而求得，进一步得出结果；当时，作于，利用第一种情形的数据，同样的方法得出结果． 【详解】解：如图，    ∵， ∴不可能与相似， ∵，点是中点， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∵是的重心， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， 作于，   ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：的余弦值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，三角形重心，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形． 5．（相似三角形）定义：四边形中，点E在边上，连接、，如果的面积是四边形面积的一半，且的面积是及面积的比例中项，我们称点E是四边形的边上的一个面积黄金分割点． 已知：如图，四边形是梯形，且，，如果点E是它的边上的一个面积黄金分割点，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、相似三角形的判定与性质综合、梯形中位线定理 【分析】设，，，结合题意可得：，，可得，如图，过作交于，过作于，交于，证明是的中位线，同理可得：，证明是梯形中位线，可得，从而可得答案． 【详解】解：设，，， ∴结合题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， 如图，过作交于，过作于，交于， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 过作交于， ∴四边形，，是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， 同理可得：， ∴是梯形中位线， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是新定义的含义，三角形的中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键． 6．（锐角三角形函数）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为 ． 【答案】9 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】连接AC，作交BC于E点，由，，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作交AD于F点，可证，最后求得AF和DF的长，可解出最终结果． 【详解】解：如图，连接AC，作交BC于E点， ，， ，设AE=3x，BE=4x， ，则， 解得x=2，则AE=6，BE=8， 又，CE=BC-BE=4， ， 作交AD于F点， ，， ，==， 又，同理可得DF=3，CF=4， ， AD=AF+DF=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键． 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押04 上海中考16~18题（填空题） 猜押考点 3年上海考题 考情分析 押题依据 数据分析 2024年第16题 2023年第16题 2024年：用样本估计总体、条形统计图 2024年：用样本估计总体、扇形统计图 对比近3年的16-18题考点，三角形、四边形的几何综合三年三考，数据分析和圆的综合和新定义是三年两考.第16题是基础题，据反馈信息，去年中考，很多考生对16题基础题理解不透彻丢分较多，备考时可以多练习重复条件的数据分析题型，17和18题是中等偏难题，也是考生得高分务必拿下的题，备考时候要重点复习相似三角形、圆、旋转和翻折，预测2025年中考填空压轴会重点考查几何综合与函数结合. 三角形、四边形几何综合 2024年17题 2023年17题 2022年17题 2024年：平行四边形、三角函数、折叠 2023年：等腰三角形、旋转 2022年：平行线分线段成比例、等边三角形、中位线 新定义 2024年18题 2022年18题 2024年：二次函数的新定义 2022年：圆的新定义 圆的综合 2023年18题 2022年16题 2023年：圆和圆的位置关系、二次函数与不等式 2022年：勾股定理、垂径定理 题型一 图数据的收集与整理 1．（条形统计图和扇形统计图）（2025·上海嘉定·二模）为了解学生的体育技能水平，某校随机抽取了名学生开展一分钟跳绳测试，并将结果绘制成扇形统计图（如图所示）．如果该校学生共有人，请估计全校一分钟跳绳次数不低于180个的学生有 人． 类别 跳绳次数 A B C D E 2．（2025·上海宝山·二模）为了解学生的消防安全意识，学校随机抽取了22名学生进行相关知识测试，测试成绩如表所示．已知全校共有900名学生，如果成绩不低于95分为“优秀”，请估计该校学生中消防安全意识水平为“优秀”的人数是 ． 成绩（单位：分） 75 80 85 90 95 100 人数 1 1 4 5 6 5 3．（2025·上海松江·二模）某学习小组想了解本校学生课外阅读时间的情况，在全校随机调查了部分学生，对他们一周的课外阅读时长进行统计、整理，并绘制成两幅不完整的统计图表． 编码 课外阅读时长（分钟） 人数 10 25 如果该校有1200名学生，那么该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有 人． 4．（新热点）（2025·上海普陀·二模）常见的运动健身方式有三种：有氧运动、力量训练和拉伸运动．某社区为了解本社区居民的健身情况，对居民进行了随机抽样调查，得到了一个样本，制成了样本统计图：图4-1是三种运动健身方式占比的扇形图（每人只能选一种健身方式）；图4-2是选择有氧运动的居民，对有氧运动有关项目选择的条形图（每人只能选一种项目）．如果该社区居民约有8000人，那么根据抽样调查结果，估计该社区最喜欢快走的居民大约有 人． 5．（2025·上海杨浦·二模）某中学为了了解全校600名学生平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校50名学生一月内平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，结果如下表： 时间（分） 40 45 50 55 60 65 70 人数 10 10 8 6 5 6 5 请估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有 人． 6．（2024·上海杨浦·三模）月日是世界读书日，某校为了解该校名六年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该校名六年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有 名． 7．（2024·上海长宁·二模）为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有 名． 8．（2024·上海徐汇·二模）某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这名家长的问卷真实有效），将这份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长 人． 9．（2024·上海松江·二模）某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图１和图2所示．已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为 人． 题型二 三角形、四边形与三角函数综合 1．（相似三角形、三角函数）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接，与相交于点，连接．若，，则的值为 ． 2．（几何翻折）如图，点在菱形的边上，将菱形沿着翻折，使点的对应点恰好落在边上，若，则的值为 ． 3．（圆与三角函数）如图，与切于点A，与弦相交于点C，．若，则的值为 ． 4．（古典数学）我国数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，则 ． 题型三 折叠问题 1．（勾股定理与翻折）如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 2．如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，．将沿折叠得到，交于点G．若，则 ． 3．如图，点在菱形的边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上．若，则的值是 ． 4．如图，在中，，，，是斜边上一动点，将沿直线翻折，点的对应点为，连接．当时，的长为 ． 题型四 旋转问题 1．如图，在矩形中，，为的中点，将边绕点逆时针旋转，点落在处，连接，，若，，则 ． 2．（分类讨论）已知和重合．如图，现将绕点A旋转（点D和点B不重合），连接，，．当或为时，的长为 ． 3．（2025·上海徐汇·二模）如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是 ． 4．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为 ． 5．（2025·上海宝山·二模）如图，平行四边形，，对角线，将绕点B旋转，使得点A落在直线上的点处，那么的值是 ． 6．（分类讨论）（2025·上海青浦·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A旋转，点B、C、D落在点、、处、如果点落在直线上，那么 ． 7．（分类讨论）（2025·上海普陀·二模）在中，，（如图）．点在边上，，为垂足，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、分别与点、对应，，射线与边交于点．如果，那么的长是 ． 题型五 函数新定义 1．（函数与不等式）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 2．（一次函数与正方形）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ． 3．（2025·上海黄浦·二模）定义：抛物线上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的倍后得到新的抛物线，叫的“倍衍生抛物线”．例如：求抛物线的“5倍衍生抛物线”．设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为因为点，因为点在抛物线上，所以，整理得到，即抛物线的表达式为．参考上述方法，抛物线的“倍衍生抛物线”的表达式为 ． 4．（一次函数与反比例函数）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为 ． 5．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点、的线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为 ． 6．定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交(每两个函数图像有且仅有1个交点)得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为 ． 7．利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 8．（函数与不等式）我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，过点作与轴平行的直线，与抛物线始终有交点． 设直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，若满足，则的取值范围为 ． 9．（分类讨论）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为 ． 题型六 几何新定义问题 1．（圆与方程）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是 ． 2．对于平面直角坐标系中的圆和点P给出如下定义：对于圆上的动点Q，若点P到动点Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的3倍，则称点P为圆的“三分点”．已知，，以坐标原点O为圆心，r为半径画圆，以坐标原点为圆心，为半径画圆，若线段上存在的“三分点”，则r的取值范围是 ． 3．（四边形）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形． 探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 ． 4．（三角形）定义：为内一点，连接，在、和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称为的自相似点，根据定义求解问题：已知在中，，是边上的中线，如果的重心恰好是该三角形的自相似点，那么的值为 ． 5．（相似三角形）定义：四边形中，点E在边上，连接、，如果的面积是四边形面积的一半，且的面积是及面积的比例中项，我们称点E是四边形的边上的一个面积黄金分割点． 已知：如图，四边形是梯形，且，，如果点E是它的边上的一个面积黄金分割点，那么的值是 ． 6．（锐角三角形函数）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为 ． 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $$