精品解析：北京十三中学分校2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试卷

2024－2025学年度北京市第十三中学分校第二学期期中八年级数学试卷 考生须知： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共______页． 2．本试卷满分100分，考试时间100分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 5，12，13 D. 2，3， 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 5. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象经过第一、三、四象限 B. 函数图象与轴交点为 C. 函数值随的增大而增大 D. 函数图象可由直线向下平移1个单位长度得到 6. 如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年3月14日“国际数学节”当天，中国邮政发行了以《数学之美》为题的纪特邮票，其中一枚的主题为“勾股定理”（如图1所示）．在探究勾股定理时，我们可以利用图2证得相关结论． 如图2，点，，在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组，的值，得到了它的函数图象，如图，借助学习函数的经验，可以推断输入的，的值应满足( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 10. 已知正比例函数满足随增大而减小，则的取值范围是______． 11. 如图，小亮利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸．点，分别对应刻度尺上的刻度2和8．若点和点分别为、的中点，则的长为______cm． 12. 如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有______(只写序号即可)． 13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______． 14. 作为世界上规模最大、保存最完好的古代皇宫建筑群，故宫历经几百年风雨依旧屹立不倒，这就不得不提到中国古代建筑一个凝聚匠人智慧的重要发明——榫卯结构了，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则与之间的函数关系式为______（为正整数）． 15. 如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏， 一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放， 把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为_________ ． 16. 如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点． （1）______； （2）的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 19. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格的中心标记为点按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点： （1）在图中画一个两边长分别为和的矩形； （2）在图中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等； （3）在图中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等． 20. 如图，点，的坐标分别为，． （1）求直线的函数表达式； （2）若为直线上一动点，的面积为，求点的坐标． 21. 放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ 22. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 23. 阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：． 类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）把下列各式分子有理化： ①_____； ②_____； （2）利用分子有理化的方法，比较和的大小，并说明理由； （3）当_____时，代数式有最_____值（填“大”或“小”）为_____． 24. 如图1，在中，，分别是边，上的点．在学习了“三角形中位线定理”后，小明对题设和结论进行重组，得到了以下两个命题： Ⅰ．若是的中点，，则是的中点； Ⅱ．若，，则，分别是，的中点． （1）小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题．他的思考方法如下：在图2中用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点，从而直观判断不一定是的中点． 小明思考步骤如下，请你在图2中帮他作图，构造反例： ①通过尺规作图，找到边的中点，从而； ②以点为圆心，以的长为半径画弧与边交于点，不是的中点． （2）小明通过对命题Ⅱ的思考，发现这个命题是真命题，请你借助于图1帮他完成证明． 25. 如图，在正方形ABCD外有一点P，满足，以AP，AD为邻边作． （1）如图1，根据题目要求补全图形； （2）连接QC，求的度数； （3）连接AQ，猜线段AQ，PQ和PB之间的数量关系并证明． 26. 在平面直角坐标系中，已知点及两个图形和，若对于图形上任意一点，在图形上总存在点，使得点是线段的中点，则称点是点关于点的关联点，图形是图形关于点的关联图形． （1）点是点关于原点的关联点，则点的坐标是_____； （2）已知，点，，，． ①点为线段上一点，点．若直线上存在点关于点的关联点，求的取值范围； ②在轴上是否存在点，使得正方形关于点的关联图形恰好被直线分成面积相等的两部分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度北京市第十三中学分校第二学期期中八年级数学试卷 考生须知： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共______页． 2．本试卷满分100分，考试时间100分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：A． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 5，12，13 D. 2，3， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形成为解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不能组成直角三角形，不符合题意； B、∵，∴不能组成直角三角形，不符合题意； C、∵，∴能组成直角三角形，符合题意； D、∵，∴不能组成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除运算法则等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据二次根式的性质、二次根式的乘除运算逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项不符合题意； B． ，故该选项不符合题意； C． ，故该选项不符合题意； D． ，故该选项符合题意． 故选D． 4. 在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 5. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象经过第一、三、四象限 B. 函数图象与轴交点为 C. 函数值随的增大而增大 D. 函数图象可由直线向下平移1个单位长度得到 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的性质及正比例函数的性质等知识点，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 先根据题意画出示意图，再结合图形对所给选项依次判断即可解答． 【详解】解：一次函数的图象如图所示： A．函数图象经过第一、三、四象限，故A选项不符合题意； B．函数图象与y轴的交点坐标为，故B选项符合题意； C．由函数图象可知：函数值y随x的增大而增大，故C选项符合题意． D．将函数的图象向下平移1个单位长度，所得函数图象的解析式为，故D选项不符合题意． 故选：B． 6. 如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质，，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交与点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点F为中点， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 7. 2025年3月14日“国际数学节”当天，中国邮政发行了以《数学之美》为题的纪特邮票，其中一枚的主题为“勾股定理”（如图1所示）．在探究勾股定理时，我们可以利用图2证得相关结论． 如图2，点，，在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，熟记勾股定理是解题的关键．①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将用和表示出来，再进行比较． 【详解】解：①过点作，交于点；过点作，交于点． ∵，， ， 又， ， 四边形为矩形， 同理可得，四边形也为矩形， ， 在中， 则， 故①正确，符合题意； ②∵， ， 在中，， ， ， 故②正确，符合题意； ③∵， ，， 又， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 故③正确，符合题意； 故选：D． 8. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组，的值，得到了它的函数图象，如图，借助学习函数的经验，可以推断输入的，的值应满足( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象与系数之间的关系，由两支曲线的分界线在轴左侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负． 【详解】解：∵ ， 由图可知，两支曲线的分界线位于轴的右侧， ， ， 由图可知，当时的函数图象位于轴的下方， 当时，， 又当时，， ， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 10. 已知正比例函数满足随增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数图象的性质．理解直线所在的位置与k的符号有直接的关系是解题的关键．当时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式求解即可． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随自变量x的值增大而减小， ∴，解得． 故答案为：． 11. 如图，小亮利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸．点，分别对应刻度尺上的刻度2和8．若点和点分别为、的中点，则的长为______cm． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线，掌握三角形的中位线等于底边的一半成为解题的关键． 由题意可得：，再说明是的中位线，然后根据中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵点和点分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：3． 12. 如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有______(只写序号即可)． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质；根据平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：①，， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故②符合题意； ③由，，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意知：， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键． 14. 作为世界上规模最大、保存最完好的古代皇宫建筑群，故宫历经几百年风雨依旧屹立不倒，这就不得不提到中国古代建筑一个凝聚匠人智慧的重要发明——榫卯结构了，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则与之间的函数关系式为______（为正整数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数关系式，弄清楚图形间的关系成为解题的关键。 根据一个木构件的长度为6，两个木构件上的凹凸部分紧密连接，每增加一个木构件，长度增加5，据此列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 15. 如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏， 一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放， 把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；结合图形建立关系式是解题的关键；设小矩形的长为a，宽为b，根据阴影部分面积为大矩形面积减去5个小矩形面积等于40，化简得的值，由勾股定理即可求得小矩形的对角线长． 【详解】解：设小矩形的长为a，宽为b，则大矩形长为，宽为， 由题意得：， 化简得， ； 即小矩形对角线的长为. 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点． （1）______； （2）的最小值为______． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）证明是等边三角形，得出，然后根据菱形的性质求解即可； （2）过P作于Q，过M作于H，根据含角的直角三角形性质得出，则，故当M、P、Q三点共线，即Q和H重合时，最小，最小值为，可求出，根据含角的直角三角形性质，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：30； （2）过P作于Q，过M作于H， ∵， ∴， ∴， ∴当M、P、Q三点共线，即Q和H重合时，最小，最小值为， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4）5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （4）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 18. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵E，F分别是，的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，可得到，再由E，F分别是，的中点，可得，从而得到四边形是平行四边形，进而证得． 【详解】略 19. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格的中心标记为点按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点： （1）在图中画一个两边长分别为和的矩形； （2）在图中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等； （3）在图中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等． 【答案】（1） 如图，矩形即为所求； （2） 如图，平行四边形即为所求； （3） 如图，正方形即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点，矩形的性质即可得到结论； （2）根据（1）的结论，固定点，根据平行四边形的性质，作出点，顺次连接即可得到结论； （3）固定点，根据网格的特点，勾股定理正方形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，且 则正方形即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 20. 如图，点，的坐标分别为，． （1）求直线的函数表达式； （2）若为直线上一动点，的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，正确地求出函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法求解即可； （）由，则，所以，从而求出，然后分别代入即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，把，代入， 得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或． 21. 放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ 【答案】（1）风筝的垂直高度为 （2）他应该往回收线 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如下图： 由题意得：，, ，， ， ， 即：风筝的垂直高度为； 【小问2详解】 解：如下图所示，设风筝沿方向下降至点M，连接， ， ， ， 即：他应该往回收线． 22. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，直线三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，，且，结合题意可得， ，，根据即可求解； （2）根据菱形的性质及题意可得，，在中，根据勾股定理可得，在中，根据勾股定理可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 23. 阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：． 类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）把下列各式分子有理化： ①_____； ②_____； （2）利用分子有理化的方法，比较和的大小，并说明理由； （3）当_____时，代数式有最_____值（填“大”或“小”）为_____． 【答案】（1）①；②； （2）， 理由如下： 由，    ， 又∵， ∴．              ∴． （3）1，大，． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据阅读材料中的方法进行分子有理化即可； （2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后再比较即可； （2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后确定最值即可解答． 【小问1详解】 解：① ； ②． 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值． 故答案为：1，大，． 24. 如图1，在中，，分别是边，上的点．在学习了“三角形中位线定理”后，小明对题设和结论进行重组，得到了以下两个命题： Ⅰ．若是的中点，，则是的中点； Ⅱ．若，，则，分别是，的中点． （1）小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题．他的思考方法如下：在图2中用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点，从而直观判断不一定是的中点． 小明思考步骤如下，请你在图2中帮他作图，构造反例： ①通过尺规作图，找到边的中点，从而； ②以点为圆心，以的长为半径画弧与边交于点，不是的中点． （2）小明通过对命题Ⅱ的思考，发现这个命题是真命题，请你借助于图1帮他完成证明． 【答案】（1） 如图所示： （2） 解：命题Ⅱ证明如下： 如图：过D作交于点N，     ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴N为中点， 如图：连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，且， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴D，E分别是的中点． ∴命题Ⅱ是真命题． 【解析】 【分析】+-本题主要考查了尺规作图、中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先运用尺规作图得到的中点M，再以点为圆心，以的长为半径画弧与边交于点即可完成作图；； （2）如图：过D作交于点N，先证四边形是平行四边形，再证四边形是平行四边形，最后证四边形是平行四边形即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在正方形ABCD外有一点P，满足，以AP，AD为邻边作． （1）如图1，根据题目要求补全图形； （2）连接QC，求的度数； （3）连接AQ，猜线段AQ，PQ和PB之间的数量关系并证明． 【答案】（1） 如图所示，四边形APQD即为所求； （2）45度； （3）猜想： 证明：过点D作DH⊥DQ交QC于点H， ∵∠DQC=45°， ∴∠DHC=45°， ∴DQ=DH， ∴∆DQH为等腰直角三角形， ∴∠QDH=∠ADC=90°， ∴∠ADQ+∠QDC=∠HDC+∠QDC， ∴∠ADQ=∠HDC， 在∆AQD与∆CHD中， ， ∴∆AQD≅∆CHD， ∴AD=DC=PQ，AQ=CH， 由（2）得PQCB为平行四边形， ∴PB=CQ， 线段AQ、PQ、PB之间的数量关系转化为CH、DC、QC之间的关系， 过点D作DE⊥QH， ∴DE=QE=EH=， ∴CE=EH-CH=， ∴， 即， ∴线段AQ、PQ、PB之间的数量关系为． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的作法，过点P作PQ∥AD，过点D作DQ∥AP，PQ、DQ相交于点Q，即可得出平行四边形； （2）连接CQ，根据平行四边形的判定定理可得PQCB为平行四边形，利用平行线的性质及各角之间的关系即可得出结果； （3）过点D作DH⊥DQ交QC于点H，得出点Q、C、H在同一直线上，DQ=DH，根据全等三角形的判定和性质可得∆AQD≅∆CHD，AD=DC=PQ，AQ=CH，线段AQ、PQ、PB之间的数量关系转化为CH、DC、QC之间的关系，过点D作DE⊥QH，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DE=QE=EH=，结合图形、勾股定理及各线段间的数量关系即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接CQ，如图所示， ∵APQD为平行四边形， ∴AD∥PQ，AD=PQ， ∵AD∥BC，AD=BC， ∴PQ∥BC，PQ=DC， ∴PQCB为平行四边形， ∴∠PQD+∠APQ=180°，∠QPB+∠PQC=180°， ∵∠APB=∠APQ+∠QPB=45°，∠PQD+∠PQC+∠DQC=360°， ∴∠DQC=45°； 【小问3详解】 略 【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知点及两个图形和，若对于图形上任意一点，在图形上总存在点，使得点是线段的中点，则称点是点关于点的关联点，图形是图形关于点的关联图形． （1）点是点关于原点的关联点，则点的坐标是_____； （2）已知，点，，，． ①点为线段上一点，点．若直线上存在点关于点的关联点，求的取值范围； ②在轴上是否存在点，使得正方形关于点的关联图形恰好被直线分成面积相等的两部分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题属于新定义性题目．主要考查了一次函数的性质、关于点的对称图形等知识点，理解关联图形的定义是解题的关键． （1）由点是点P关于原点O的关联点，可得点是线段的中点，然后求得点P坐标即可； （2）①如图：设，根据“关联点”的定义可得，再将点代入可得，然后求得点b的取值范围即可；②设，易得关联图形的中心Q落在直线上，然后由正方形的中心为，可得，解得即可解答． 【小问1详解】 解：∵点是点P关于原点O的关联点， ∴点是线段的中点， ∴点P的坐标是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图：设， ∴点关于点的关联点，即， ∵直线上存在点关于点的关联点， ∴将点代入可得：， ∴， ∵， ∴． ②如图2，设． ∵正方形关于点N的关联图形恰好被直线分成面积相等的两部分， ∴关联图形的中心Q落在直线上， ∵正方形的中心为， ∴， 将点代入得： ，解得：． ∴点N的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $