精品解析：浙江省台州椒江北书学校2024-2025学年下学期八年级期中测试试卷(数学)

台州椒江北书学校2024学年第二学期八年级期中测试试卷（数学） 考试时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度（单位：）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 2，2，3 D. 4，5，6 3. 下列式子计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中不正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等 7. 已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 9. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点E从B点出发，沿B﹣C﹣D﹣A运动至A点停止，设运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（ ） ①；②四边形是菱形；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 当__________时，是整数．（写出一个符合条件x的值） 12. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则（2）处可以添加的条件是________． 13. 一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是_________． 14. 已知直角三角形两条边长分别为6和8，那么该直角三角形斜边上的中线长是________． 15. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是_____． 16. 如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，． （1）比较，的大小：__________； （2）若，则的值为__________． 三、解答题（本题有8小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上． （1）请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹） （2）求的长度． 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 20. 如图，平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点P，与y轴相交于点C． （1）求直线的解析式． （2）求时x的取值范围． 21. 如图，平行四边形中，点G是中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空：若，，，则当______时，四边形是菱形． 22. 阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于，故由上面的③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边的长分别是6，7，8，则该三角形的形状是 三角形． （2）若一个三角形的三边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值． （3）若一个三角形的三条边的长分别是，，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 23. 【概念引入】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为． 【理解运用】（1）对于一次函数，请写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象，小红同学制作了如下表格： … 0 1 2 … … 2 0 … 请你补全表格中空白处的数据，并根据表中的数据在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象． 【拓展提升】已知直线与的伴随函数的图象交于A，B两点（点A在点B的下方），点在y轴上，当的面积为8时，求m的值． 24. 已知在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上． （1）如图1，若，求的长． （2）如图2，过点B作，交于点H，G．求证：． （3）如图3，在（2）条件下，连接，求证：四边形是菱形． （4）如图4，在（2）、（3）条件下，作平分，交于点M，请直接写出线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 台州椒江北书学校2024学年第二学期八年级期中测试试卷（数学） 考试时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列长度（单位：）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 2，2，3 D. 4，5，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为2，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为4，5，6三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列式子计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的加法、乘法、减法和除法逐一计算即可． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、不等于，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 4. 下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【详解】解：A、  表示y不是x的函数，该选项不符合题意的； B、  表示y是x的函数，该选项是符合题意的； C、  表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的； D、  表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的； 故选：B． 5. 在平行四边形中，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，邻角互补进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选D． 6. 下列说法中不正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论. 【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确； B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确； C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确； D．菱形的邻边相等；正确； 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键． 7. 已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键．根据一次函数的图象和性质求解． 【详解】解：由图象得一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 8. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 9. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点E从B点出发，沿B﹣C﹣D﹣A运动至A点停止，设运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，最大面积===6； 当点E在DC上运动时，三角形的面积为定值6． 当点E在AD上运动时三角形的面不断减小，当点E与点A重合时，面积为0． 故选B． 考点： 动点问题的函数图象． 10. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（ ） ①；②四边形是菱形；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，再由，，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， AI 在矩形中，为的中点， ，，三点同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故①符合题意； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故②符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 同理可得， ∴故③符合题意； 在和中， ， ， ， ，， ∴ ，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 当__________时，是整数．（写出一个符合条件的x的值） 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：若二次根式有意义， 则， 解得：， 当时，是整数， 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则（2）处可以添加的条件是________． 【答案】有一组邻边相等（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定．根据菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，填空即可． 【详解】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填一个角是直角； 有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填有一组邻边相等； 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处填有一组邻边相等； 有一个角是直角的菱形是正方形，则（4）处可填有一个角是直角； 故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）． 13. 一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】弹簧总长弹簧原来的长度挂上重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【详解】解：挂上的物体后，弹簧伸长， 挂上的物体后，弹簧伸长， 弹簧总长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键． 14. 已知直角三角形的两条边长分别为6和8，那么该直角三角形斜边上的中线长是________． 【答案】4或5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的应用，根据题意得出两种情况，求出斜边，即可得出答案． 【详解】分为两种情况：当6和8都是直角边时，斜边10， 则该直角三角形斜边上的中线长为（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）； 当6为直角边，8为斜边时， 则此时该直角三角形斜边上的中线长是（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）； 故答案为：4或5． 15. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用正比例函数求得点坐标，然后确定方程的解． 【详解】解：设点坐标为， 将代入中， ∴， ∴， 即点坐标为， ∴由图象可得关于的方程的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 16. 如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，． （1）比较，的大小：__________； （2）若，则的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质． （1）证明即可； （2）作交的延长线于点Q，设， ，则，，根据一线三垂直模型证明，可得， ，由可得，，即，再代入计算即可． 【详解】解：（1）∵为正方形， ∴，， ∵为正方形， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）作交的延长线于点Q，则， 设， ，则，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算和二次根式的加减计算： （1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算加法即可； （2）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上． （1）请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹） （2）求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理： （1）如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求； （2）利用勾股定理得到，则由三角形中位线定理可得． 【小问1详解】 解：如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求； 【小问2详解】 解：由网格的特点和勾股定理可得， ∵的中点分别为E，F， ∴是的中位线， ∴． 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的高度为米 （2）他应该往回收线8米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点P，与y轴相交于点C． （1）求直线的解析式． （2）求时x的取值范围． 【答案】（1）直线的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式∶从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式．利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点A和点B的坐标代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k、b的值，于是可得到直线的解析式； （2）写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：把和代入得， 解得， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：联立方程组， 解得， 则的取值范围为． 21. 如图，平行四边形中，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空：若，，，则当______时，四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质及平行四边形的性质得出，推出，根据平行四边形的判定推出即可； （2）根据平行四边形及菱形的性质证明是等边三角形，推出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 【小问2详解】 当时，四边形是菱形，理由如下： 如图：四边形是菱形时， ∵，平行四边形， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：2． 22. 阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于，故由上面的③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边的长分别是6，7，8，则该三角形的形状是 三角形． （2）若一个三角形的三边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值． （3）若一个三角形的三条边的长分别是，，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 【答案】（1）锐角 （2）x的值为13或 （3）是直角三角形，见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，即可得出结论； （2）由勾股定理可得或，求解即可； （3）由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【小问1详解】 ∵， ∴该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； 【小问2详解】 ∵这个三角形的三条边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或（负值均舍去）， ∴x的值为13或． 【小问3详解】 这个三角形是直角三角形．过程如下： ∵ ， ∴这个三条边的长分别是，，的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能计算推理论证是解决问题的关键． 23. 【概念引入】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为． 【理解运用】（1）对于一次函数，请写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象，小红同学制作了如下表格： … 0 1 2 … … 2 0 … 请你补全表格中空白处的数据，并根据表中的数据在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象． 【拓展提升】已知直线与的伴随函数的图象交于A，B两点（点A在点B的下方），点在y轴上，当的面积为8时，求m的值． 【答案】理解运用：（1）；（2）表格见解析，图象见解析；拓展提升：或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 理解运用：（1）根据伴随函数的定义求解即可得； （2）分别求出当和时，的值，再利用描点法画出函数图象即可得； 拓展提升：联立函数的解析式，分别求出点的坐标，再根据的面积为8建立方程，解方程即可得． 【详解】解：理解运用：（1）由题意得：一次函数的伴随函数为． （2）当时，， 当时，． 则补全表格如下： … 0 1 2 … … 0 2 0 … 根据表中的数据在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象如下： 拓展提升：如图2，设直线与轴交于点， ∵直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方）， ∴联立，解得，即， 联立，解得，即， 将代入得：，即， ∵， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， 解得或， 所以的值为或． 24. 已知在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上． （1）如图1，若，求的长． （2）如图2，过点B作，交于点H，G．求证：． （3）如图3，在（2）条件下，连接，求证：四边形是菱形． （4）如图4，在（2）、（3）条件下，作平分，交于点M，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 （4）；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，再根据对称可得，然后根据勾股定理求得，最后根据得出答案； （2）根据可得，再根据平行线的性质可得，即可证明，则答案可证； （3）先根据平行线的性质得，再根据全等三角形的性质得，再根据“等角对等边”得，进而得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，最后结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； （4）连接,先根据“边角边”证明，可得，进而得出，根据勾股定理得，，则答案可证． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴． ∵与关于直线对称， ∴． 根据勾股定理，得， ∴； 【小问2详解】 证明：由题意得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形菱形； 【小问4详解】 解：线段之间的数量关系为； 连接，如图3所示： ∵平分， ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴线段之间的数量关系为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$