精品解析：四川省达州市渠县中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

渠县中学2025年春季半期考试 初二年级半期试卷 一、选择题(共10题，每小题4分，共40分) 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 的常数项是（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 下列因式分解中，结果正确的是（  ） A. 2m2n-8n3=2n(m2-4n2) B. x2-4=(x+2)（x-2） C. D. 9a2-9b2=(3a+3b)(3a-3b) 4. 若，则下列各项一定成立的是（ ） A B. C. D. 5. 如果三边，，满足，那么的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 6. 某超市用元购进某种水果千克，运输和销售过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（ ） A. B. C. D. 7. 若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A. 12 B. 6 C. D. 8. 如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若， ，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 9. 已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，； ③； ④若，则． 其中正确是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 10. 边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分) 11. 因式分解： __________． 12. 等腰三角形的顶角是，则底角为_____°． 13. 若关于x的一次函数不经过第二象限，则m的取值范围是______． 14. 如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是_______． 15. 如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________． 三、解答题(共10小题，共90分) 16. （1）计算： （2）分解因式： 17 已知代数式． （1）化简A； （2）若，，求A的值． 18. 在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点A平移到点，点，分别是B，C的对应点． （1）请画出平移后的三角形，并直接写出点，的坐标； （2）若三角形内部一点P的坐标为，写出点P的对应点的坐标； （3）求三角形的面积． 19. 在乡村振兴的春风吹拂下，渠县立足生态优势，将耙耙柑，柠檬等水果化作致富“金果”耙耙柑的进价是3元/千克，柠檬的进价是4元/千克；李老板从水果基地购进耙耙柑的重量比柠檬重量的3倍多20千克，一共花费840元；为方便销售，定价均为7元/千克． （1）李老板购进耙耙柑和柠檬各多少千克？ （2）若平均每天卖出耙耙柑和柠檬共50千克，每天利润不少于186元，则每天卖出的耙耙柑至少是多少千克？ （3）由于天气炎热，当耙耙柑还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的耙耙柑进行打折销售，为确保销售耙耙柑的总利润不低于716元，最低可以打多少折？ 20. 如图，在中，，交于点，，交于点． （1）求证：平分； （2）延长交于点，若平分，求证：点是的中点． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为9． （1）求一次函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围． 22. 在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，） （1）求、之间的距离（结果保留根号）； （2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位） 23. 定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． （1）若，直接写出a，b的“如意数”c； （2）如果，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数” （3）已知，且a，b“如意数”，则_____（用含x的式子表示） 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点．直线：与直线交于点C．且C的横坐标为 （1）求直线的解析式． （2）如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接．当= 时，求的长． （3）如图3，在（2）的条件下，将沿着直线向上平移，点P的对应点为点F．在x轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标 25. （1）阅读理解：如图1，在正方形中，若、分别是，边上的点，，则我们常会想到：把绕点顺时针旋转得到，易证______，得出线段，，之间的数量关系为______； （2）类比探究：如图2，在等边中，，为边上的点，，，，求线段的长； （3）拓展应用：如图3，在中，，，点，在边上，，若是等腰的腰长，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 渠县中学2025年春季半期考试 初二年级半期试卷 一、选择题(共10题，每小题4分，共40分) 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B符合题意； C．是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 的常数项是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式，正确掌握常数项的定义是解答本题的关键．再根据常数项的定义解答即可． 【详解】解：的常数项是， 故选：A． 3. 下列因式分解中，结果正确的是（  ） A. 2m2n-8n3=2n(m2-4n2) B. x2-4=(x+2)（x-2） C. D. 9a2-9b2=(3a+3b)(3a-3b) 【答案】B 【解析】 【分析】根据提公因式法，平方差公式、完全平方公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、应为2m2n-8n3=2n（m2-4n2）=2n（m+2n）（m-2n），故本选项错误； B、x2-4=（x+2）（x-2），正确； C、应为x2-x+=（x-）2，故本选项错误； D、应为9a2-9b2=9（a2-b2）=9（a+b）（a-b）故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查提公因式法，公式法分解因式，熟记公式结构特点是解题的关键，要注意分解的结果是整式的积的形式． 4. 若，则下列各项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此作答，即可解题． 【详解】解：， ， 则一定成立的是， 故选：A． 5. 如果三边，，满足，那么的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，根据非负数的性质求得，，，根据等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴的形状是等腰三角形， 故选：． 6. 某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出不等关系，列出不等式．根据题意可得，这批水果可卖元，根据“这批水果至少获得的利润”即可列出不等式． 【详解】解：设该水果每千克的售价为元， 根据题意所列不等式为， 故选：B． 7. 若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键．根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴符合条件的所有整数m值的和为：， 故选：C． 8. 如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若， ，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作于点，交的延长线于点，由折叠得，，而，则，可证明，得，，由，得，由，得，再证明，得，所以，求得，即可求解． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 沿折叠，点落在的直角顶点处，且，， ，，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：C． 9. 已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，； ③； ④若，则． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，正确解出方程组是解题的关键，注意方程与不等式的综合运用．用加减法解出方程组，根据x为正数，y为非负数，得出，求出，然后对各个选项进行判断即可． 【详解】解：， 得，， 得，， ∵x为正数，y为非负数， ∴， 解得：，故③不正确； ②当时，， 解得：，故②正确； ③时，方程组的解为：， 把，代入方程成立，故①正确； ④时，， 解得：， 又∵， ∴， ∴此时， 即，故④不正确； 综上分析可知：正确的有①②． 故选：A． 10. 边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF=ZN=a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是a，是等边三角形QKM的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长． 【详解】解：连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC=∠BAF=∠AFE=∠FED=∠BCD=120°，AB=AF=EF=DE=BC=CD， ∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°， ∵∠AFE=∠ABC=120°， ∴∠AFD=∠ABD=90°， 在Rt△ABD和RtAFD中 ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL）， ∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°， ∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°， ∴AD∥EF， ∵G、I分别为AF、DE中点， ∴GI∥EF∥AD， ∴∠FGI=∠FAD=60°， ∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形， ∴∠EDM=60°=∠M， ∴ED=EM， 同理AF=QF， 即AF=QF=EF=EM， ∵等边三角形QKM的边长是a， ∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的， 过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N， 则FZ∥EN， ∵EF∥GI， ∴四边形FZNE是平行四边形， ∴EF=ZN=a， ∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已证）， ∴∠GFZ=30°， ∴GZ=GF=a， 同理IN=a， ∴GI=a+a+a=a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a； 同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a； 同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a； 第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a； 第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a， 即第六个正六边形的边长是×a， 故选：A． 【点睛】本题考查正六边形、等边三角形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质和判定的应用、图形类规律探究，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确得出变化规律是解答的关键． 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分) 11. 因式分解： __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 12. 等腰三角形的顶角是，则底角为_____°． 【答案】41 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，根据三角形的内角和等于和等腰三角形的两个底角相等，解答此题即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 若关于x的一次函数不经过第二象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据一次函数图象经过的象限，求参数的范围，根据直线不经过第二象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集． 【详解】解：由图象可知函数和的图像交点， ∵， ∴， 观察图像得：当时，函数的图像位于函数的图像的上方， ∴不等式的解集是，即不等式的解集是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到，再根据两点之间线段最短，可以得到的最小值就是的值，然后根据勾股定理可以求得的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，，如图所示， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值就是的值， 即的最小值就是的值， ∵，，， ∴，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出的最小值就是的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 三、解答题(共10小题，共90分) 16. （1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，因式分解，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可． （2）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 已知代数式． （1）化简A； （2）若，，求A的值． 【答案】（1） （2）36 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据去括号，合并同类项化简即可； （2）将A变形为，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ． 18. 在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点A平移到点，点，分别是B，C的对应点． （1）请画出平移后的三角形，并直接写出点，的坐标； （2）若三角形内部一点P的坐标为，写出点P的对应点的坐标； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）图见解析，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出平移后的△A′B′C′，并写出点B′、C′的坐标即可； （2）先判断平移的方式，再根据平移的方式写出坐标即可； （3）用割补法求出△ABC面积即可． 【小问1详解】 如图，三角形即为所求， 如图所示，为所求三角形， ，； 【小问2详解】 ，， A到是向左移5个单位，向下移2个单位， ∵点P的坐标为， ∴点P的对应点的坐标， 故答案为：． 小问3详解】 【点睛】此题考查了作图-平移变换，割补法求图形的面积，作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步． 19. 在乡村振兴的春风吹拂下，渠县立足生态优势，将耙耙柑，柠檬等水果化作致富“金果”耙耙柑的进价是3元/千克，柠檬的进价是4元/千克；李老板从水果基地购进耙耙柑的重量比柠檬重量的3倍多20千克，一共花费840元；为方便销售，定价均为7元/千克． （1）李老板购进耙耙柑和柠檬各多少千克？ （2）若平均每天卖出耙耙柑和柠檬共50千克，每天利润不少于186元，则每天卖出的耙耙柑至少是多少千克？ （3）由于天气炎热，当耙耙柑还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的耙耙柑进行打折销售，为确保销售耙耙柑的总利润不低于716元，最低可以打多少折？ 【答案】（1）购进柠檬60千克，购进耙耙柑千克 （2）每天卖出的耙耙柑至少是36千克 （3）最低可以打8折 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设李老板购进柠檬千克，则李老板购进耙耙柑为千克，根据“柠檬的进价是4元/千克，耙耙柑的进价是3元/千克，一共花费840元”，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设耙耙柑的日销售量是千克，则柠檬的日销售量是千克，根据“每天利润不少于536元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； （3）设耙耙柑打折销售，根据“销售耙耙柑的总利润不低于716元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； 【小问1详解】 解：设李老板购进柠檬千克，则李老板购进耙耙柑为千克， 根据题意得：， 解方程得， （千克） 答：购进柠檬60千克，购进耙耙柑千克； 【小问2详解】 解：设耙耙柑的日销售量是千克，则柠檬的日销售量是千克，根据题意，得： ， 解不等式，得：， 答：每天卖出的耙耙柑至少是36千克； 【小问3详解】 解：设耙耙柑打折销售，根据题意得： 耙耙柑的总利润为：， 解不等式得：， 答：最低可以打8折． 20. 如图，在中，，交于点，，交于点． （1）求证：平分； （2）延长交于点，若平分，求证：点是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】该题主要考查了角平分线定义，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出结论． （2）根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可得出，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出结论即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴平分． 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为9． （1）求一次函数表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）根据数形结合思想求解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， ， 的图象经过点和， ∴ 解得：， 一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：由图象得：时，自变量的取值范围为：． 22. 在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，） （1）求、之间的距离（结果保留根号）； （2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位） 【答案】（1）、之间的距离为米； （2）路线①更近． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识． （1）连接，在中，，米，求得米，再根据，列式计算即可求解； （2）求得，利用勾股定理解直角三角形求得的长，在中，利用勾股定理求得，据此计算即可判断． 【小问1详解】 解：连接， 由题意得，，米， 在中，， 由勾股定理得，即， 解得，， ∵， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：∵在的东北方向， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， ∵， ∴路线①更近． 23. 定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． （1）若，直接写出a，b的“如意数”c； （2）如果，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数” （3）已知，且a，b的“如意数”，则_____（用含x的式子表示） 【答案】（1）5 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，整式的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）把代入代数式进行求解即可； （2）根据新定义，结合整式的运算法则进行计算，利用完全平方公式的非负性进行证明即可； （3）根据新定义，列式计算即可． 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 当时， ； ∵， ∵， ∴． 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点．直线：与直线交于点C．且C的横坐标为 （1）求直线的解析式． （2）如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接．当= 时，求的长． （3）如图3，在（2）的条件下，将沿着直线向上平移，点P的对应点为点F．在x轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标 【答案】（1） （2）5 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再将的坐标代入直线：求解即可； （2）先设点的坐标为，则，，再根据求解即可； （3）先求出点P的坐标，再根据点的平移写出点F的坐标，设，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：直线：与直线交于点C．且C的横坐标为， ， ， 把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 则，， ∵， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）得，， ， ， ， 作轴，交直线于H， ∵直线的解析式为， ∴， ， ， ， ， 将沿着直线向上平移，即将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F． ，即， ； 设，以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形有三种情况，讨论如下： 当时，或，如图中点， ∴点G坐标为或； 当时，即， 解得或（舍），图中点， ∴点G坐标为； 当时，即， 解得，图中点， ∴点G坐标为； 综上，点G坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，一次函数与三角形综合问题，等腰三角形的定义、勾股定理等，能够运用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． 25. （1）阅读理解：如图1，在正方形中，若、分别是，边上点，，则我们常会想到：把绕点顺时针旋转得到，易证______，得出线段，，之间的数量关系为______； （2）类比探究：如图2，在等边中，，为边上的点，，，，求线段的长； （3）拓展应用：如图3，在中，，，点，在边上，，若是等腰的腰长，请求出的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）的值为或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，，由可得，通过“”证明，即可得到，即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，证明，得到，作交的延长线于点，求得，再由直角三角形的性质和勾股定理可得，最后由勾股定理进行计算即可； （3）当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，，，从而得到，由旋转的性质可得：，，，，，证明，得到，证明得到，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，，即可得到的比值，当时，同理即可求得． 【详解】解：（1）由旋转的性质可得：，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ， 是等边三角形， ， 由旋转的性质可得：，，，， ， ， ，， ， ， 作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点； ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， 由旋转的性质可得：，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点； ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， 由旋转的性质可得：，，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$