精品解析：北京市第二十中学教育集团2024—2025学年八年级下学期期中练习 数学

北京市第二十中学教育集团八年级第二学期期中练习 数学2025.4 班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共8小题，共24分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的． 1. 下列图象不能反映是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. 2，3，4 C. 3，4，6 D. 6，8，10 3. 把的图像沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，平分，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则、两点间的距离为（ ） A B. C. D. 6. 下列计算正确是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A 4 B. 9 C. 13 D. 5 8. 如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为点，若知道与的周长和，则一定能求出（　　） A. 的周长 B. 的周长 C. 的周长 D. 四边形APFH的周长 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 10. 已知点，在一次函数的图象上，则___________．（填写>、<或=） 11. 已知，则代数式的值为___________． 12. 如图，已知点，将线段平移得到线段，点的对应点恰好落在轴的正半轴上，且，则四边形的周长为___________． 13. 某快递公司的运费计算方式如下表所示，其中表示包裹的重量（千克），表示运费（元）， 包裹重量（千克） 运费（元） 10 若某人所寄的包裹重量为4千克，则他所寄的包裹花费了___________元． 14. 如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，菱形的两条对角线长分别为和（其中为菱形的短对角线的长度），将这四个直角三角形拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为，则的值为___________． 15. 如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是_____． 16. 在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是：________．（填序号即可） 三、解答题（共52分第17题7分，18-21题、23题每题4分，22题5分，24题6分，25-26题每题7分） 17. 解决下列问题： （1）； （2）． 18. 如图，在中，点分别为中点，求证：四边形是平行四边形． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求的值； （2）若函数的图象与一次函数的图象的交点为C，在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并直接写出的面积． 20. 已知：如图，在中，． 求作：以为对角线矩形． 作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形 为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成以下证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据) 由作图可知，平分， 又∵， ∴ ( )．(填推理的依据) ∴． ∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据) 21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，延长到点，使，连．若，求的值． 22. 数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力与弹簧长度之间的数据，如表所示： 弹簧受到的拉力(单位：) 0 5 10 15 20 25 弹簧的长度 (单位：) 6 8 10 12 14 16 （1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线； （2）结合表中数据，求出弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式； （3）若弹簧的长度为，求此时弹簧受到的拉力的值． 23. 在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，得到点，点在直线上． （1）求的值和点的坐标； （2）已知直线经过点，当该直线与线段有交点时，的取值范围是___________． 24. 已知：一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接分别是线段中点，连接． （1）根据题意补全图形；并直接写出所在直线解析式； （2）求证：四边形是菱形；并直接写出菱形的周长为___________． 25. 如图，矩形的对角线交于点为边上一动点（不与重合），在射线上，且，连接． （1）如图1，若为的中点，，则___________； （2）如图2，为上一动点， ①根据题意，补全图形； ②写出的数量关系，并证明你的结论． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和正方形，给出如下定义：若点关于轴的对称点到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的2倍，则称点是正方形的“最佳距离点”． 已知：点． （1）当时， ①点的坐标是___________； ②在三个点中，___________是正方形的“最佳距离点”； （2）当时，点（其中）是正方形的“最佳距离点”，直接写出的取值范围； （3）点，若线段上存在正方形的“最佳距离点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市第二十中学教育集团八年级第二学期期中练习 数学2025.4 班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共8小题，共24分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的． 1. 下列图象不能反映是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数”即可得. 【详解】观察四个图象，A选项中对于的每一个确定的值，y的值都不唯一，这不符合y是x的函数的定义；B、C、D三个选项中对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，符合y是x的函数的定义. 故答案为A. 【点睛】本题考查了函数的定义，理解函数定义，结合图象是解题关键. 2. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. 2，3，4 C. 3，4，6 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可． 【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误； ．，不能构成直角三角形，故本选项错误； ．，不能构成直角三角形，故本选项错误； ．，能构成直角三角形，故本选项正确． 故选：． 【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 3. 把的图像沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可． 【详解】将一次函数y=2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位， 那么平移后所得图象的函数解析式为：y=2x+1-5， 化简得，y=2x-4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键． 4. 如图，在中，，平分，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义和平行线的性质，由平行四边形的性质得，，从而有，再由平分线的定义求出即可，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：． 5. 某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线性质解题即可． 【详解】解：， ， ，， ， 是公路的中点， ， 即、两点间的距离为， 故选：A． 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算以及二次根式的性质，根据二次根式的除法，加减法的运算逐一计算各项作出判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A. 4 B. 9 C. 13 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 【详解】解：过点D作于点E，则，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积是， 故选D． 8. 如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为点，若知道与的周长和，则一定能求出（　　） A. 的周长 B. 的周长 C. 的周长 D. 四边形APFH的周长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 过点作于，连接，证出四边形为矩形，得出，证明，由全等三角形的性质得出，证明，则可得出答案． 【详解】 解：过点作于，连接， ，， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 同理， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 与的周长和 知道与的周长和，一定能求出的周长． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式中被开方数非负数列式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ∴， 解得，， 故答案为： ． 10. 已知点，在一次函数的图象上，则___________．（填写>、<或=） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，比较函数的值的大小，先分别算出的值，再进行比较，即可作答． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：<． 11. 已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式．熟练掌握二次根式的化简求值，平方差公式是解题的关键．根据，然后代值，利用平方差公式计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，已知点，将线段平移得到线段，点的对应点恰好落在轴的正半轴上，且，则四边形的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由坐标可得，，从而得出，由平移的性质易证四边形是平行四边形，即可求出四边形的周长． 【详解】解：， ，， ， ， ， 由平移的性质可知，，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为， 故答案为：． 13. 某快递公司的运费计算方式如下表所示，其中表示包裹的重量（千克），表示运费（元）， 包裹重量（千克） 运费（元） 10 若某人所寄的包裹重量为4千克，则他所寄的包裹花费了___________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，理解题意并正确计算是解题关键．由题意可知，当时运费为，再将代入计算即可． 【详解】解：若某人所寄的包裹重量为4千克， 则他所寄的包裹花费了元， 故答案为：． 14. 如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，菱形的两条对角线长分别为和（其中为菱形的短对角线的长度），将这四个直角三角形拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识．由菱形的性质可得直角三角形的直角边分别为，，推出大正方形的面积为，再根据阴影面积大正方形的面积四个三角形的面积，列方程即可求解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为和， 直角三角形的直角边分别为，， 大正方形的面积为， 阴影小正方形面积为， ， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，解答中涉及平行四边形的性质，菱形的判定和性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，两边之和大于第三边，垂线段最短，能够将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键．先证明平行四边形是菱形，则点关于的对称点，连接，，过点作于点，可推出就是的最小值，再根据含角直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形， 连接，，过点作于点， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则， ， 即就是的最小值， ， ， 在中， ，， ， 由勾股定理，得． 的最小值为． 故答案为：． 16. 在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是：________．（填序号即可） 【答案】##③① 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断①；只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故可判断②；保持 的大小不变，改变的长度能使 成立，故可判断③；保持的长度不变，改变的大小不一定能使成立，故可判断④，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】解：①、 ∴四边形是平行四边形，故①符合题意； ②、只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故②不符合题意； ③、改变的长度，与的交点为中点时，则 即为的中点， ∴是的中位线， ∵四边形是平行四边形， 故③符合题意； ④保持的长度不变且时， ∵平分 ∴为的中点， ∴ 即为的中点， ∴是的中位线， ∵四边形是平行四边形， ∴改变的大小都能使 当的长度不变且不等于时，点不是的中点， ∴不可能使成立，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论是， 故答案为：． 三、解答题（共52分第17题7分，18-21题、23题每题4分，22题5分，24题6分，25-26题每题7分） 17. 解决下列问题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）将式子化为，再根据平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 如图，在中，点分别为中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，根据中点可得，，由此即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，且， ∴， ∴四边形是平行四边形． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求的值； （2）若函数的图象与一次函数的图象的交点为C，在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并直接写出的面积． 【答案】（1） （2）画图见解析，2 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，画一次函数的图象，坐标与图形面积，熟练的求解一次函数的解析式是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先列表，再描点画图，然后利用三角形面积公式求解即可； 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过，两点． ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 列表： 1 画图如下： 由图象可得，点C的坐标为 ∴的面积． 20. 已知：如图，在中，． 求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形 为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成以下证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据) 由作图可知，平分， 又∵， ∴ ( )．(填推理的依据) ∴． ∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据) 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，角平分线的尺规作图，等腰三角形三线合一： （1）根据题意作图即可； （2）根据矩形的判定定理和等腰三角形三线合一定理证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 由作图可知，平分， 又∵， ∴ (三线合一定理)． ∴． ∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)． 21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，延长到点，使，连．若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．根据菱形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，即可求出的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，，，， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 22. 数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力与弹簧长度之间的数据，如表所示： 弹簧受到的拉力(单位：) 0 5 10 15 20 25 弹簧的长度 (单位：) 6 8 10 12 14 16 （1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线； （2）结合表中数据，求出弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式； （3）若弹簧的长度为，求此时弹簧受到的拉力的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为 【解析】 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）求出当时的的值即可． 【小问1详解】 解：描点、连线如图所示： 【小问2详解】 解：设弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为， 将，代入函数解析式得：， 解得：， ∴弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意得：当时，， 解得：， ∴若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为． 23. 在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，得到点，点在直线上． （1）求的值和点的坐标； （2）已知直线经过点，当该直线与线段有交点时，的取值范围是___________． 【答案】（1），点的坐标为； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，一次函数的应用，掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用平移的性质得出点的坐标为，再将点的坐标代入直线，即可求出的值，并得到点的坐标； （2）分别求出当直线经过点和点的的值，再结合图象即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：点向右平移4个单位长度，得到点， 点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：当直线经过点时， 则，解得：； 当直线经过点时， 则，解得：； 则当该直线与线段有交点时，的取值范围是或， 故答案为：或． 24. 已知：一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接分别是线段中点，连接． （1）根据题意补全图形；并直接写出所在直线的解析式； （2）求证：四边形是菱形；并直接写出菱形的周长为___________． 【答案】（1）见详解， （2）见详解，10 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据题意补全图形，再结合待定系数法进行求一次函数解析式，即可作答． （2）先算出，，再证明是的中位线，是的中位线，通过两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形的菱形，证明四边形是菱形，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，补全图形，如图所示： ∵一次函数与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，则，即； ∴当时，则，， 解得， 即； ∵点在轴负半轴且， ∴ 设所在直线的解析式为， 把和分别代入， 得， ∴， ∴所在直线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 则是的中点，，， ∵分别是线段中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 即菱形的周长为． 故答案为：10． 25. 如图，矩形的对角线交于点为边上一动点（不与重合），在射线上，且，连接． （1）如图1，若为的中点，，则___________； （2）如图2，为上一动点， ①根据题意，补全图形； ②写出的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）①见详解②，证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，，结合为的中点，则，再证明四边形是矩形，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）①结合在射线上，且，连接，且在图2上补全图形，即可作答． ②先延长交于点，连接，运用矩形的性质，证明，再得出垂直平分，得，则在中，，然后结合线段的等量代换，即可作答． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形矩形， ∴ 在中，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图所示： ②，证明如下： 延长交于点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和正方形，给出如下定义：若点关于轴的对称点到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的2倍，则称点是正方形的“最佳距离点”． 已知：点． （1）当时， ①点坐标是___________； ②在三个点中，___________是正方形的“最佳距离点”； （2）当时，点（其中）是正方形的“最佳距离点”，直接写出的取值范围； （3）点，若线段上存在正方形的“最佳距离点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②和； （2） （3）或或． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形——对称，正方形的性质，一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）①根据正方形性质求解即可；②分别写出点关于轴的对称点坐标，再求出对称点到正方形的边所在直线的最大距离和最小距离，即可得到答案； （2）当时，点关于轴的对称点的坐标为，分四种情况，利用“最佳距离点”定义分别求解即可； （3）点关于轴的对称点坐标分别为，利用待定系数法求出直线的解析式为，设直线上有一点，分两种情况讨论：当点在正方形内部时；当点在正方形外部时，利用“最佳距离点”定义分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，点， 四边形是正方形， ， ， 故答案为：； ②点关于轴的对称点的坐标为， 点到正方形的边所在直线的最大距离是，最小距离是， 最大距离不是最小距离的2倍， 点不是正方形的“最佳距离点”； 点关于轴的对称点的坐标为， 点到正方形的边所在直线的最大距离是，最小距离是， 最大距离是最小距离的2倍， 点不是正方形的“最佳距离点”； 点关于轴的对称点的坐标为， 点到正方形的边所在直线的最大距离是，最小距离是， 最大距离是最小距离的2倍， 点是正方形的“最佳距离点”； 在三个点中，和是正方形的“最佳距离点”， 故答案为：和； 【小问2详解】 解：当时，，则， 点关于轴的对称点的坐标为， ①当时，对称点到正方形的边所在直线的最大距离大于，最小距离小于， 即最大距离不是最小距离的2倍，不符合题意； ②当时，对称点到正方形的边所在直线的最大距离为，最小距离为， 即最大距离是最小距离的2倍，符合题意； ③当时，对称点到正方形的边所在直线的最大距离大于，最小距离小于， 即最大距离不是最小距离的2倍，不符合题意； ④当时，若点是正方形的“最佳距离点”， 则，解得：， 当，，此时最大距离大于，最小距离小于， 最大距离不是最小距离的2倍，不符合题意； 综上可知，点（其中）是正方形的“最佳距离点”， 的取值范围为； 【小问3详解】 解：点关于轴的对称点坐标分别为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 设直线上有一点， 当点在正方形内部时， ①，解得：，即 ②，解得：，即； 当点在正方形外部时， ，解得：，即， 综上可知，若线段上存在正方形的“最佳距离点”，的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$