精品解析：2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题

数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. 1 B. C. D. 2. 如图是一个正方体的展开图，则与“争”字一面相对的字是（　　） A. 开 B. 忠 C. 先 D. 勇 3. 若点和点在同一个反比例函数的图像上，则 与 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 4. 估计的值应在（　　） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 5. 如图，与是以为位似中心的位似图形，若已知，的面积为 ，则的面积是（　　） A. B. C. D. 6. 若关于 的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A. 2 B. C. D. 2或0 7. 已知某市2022年工业碳排放总量为1000万吨，为响应国家“双碳”目标，该市通过技术升级，2024年的工业碳排放总量降至810万吨．若设年平均减少率为 ，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，， 为 中点．分别以为半径作弧，与分别交于 、两点，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形 中，点在边 上，，作平分交 于点，则 的长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10. 三个不完全相同的正整数，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去2，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减2，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果；以此类推，直到时，停止操作．例如，当时，则，，即第三次操作后停止．下列说法： ①当时，经过4次操作后停止； ②当时，； ③当， 、 、三个数互不相同且极差为18时，则至少会经过7次操作才有可能停止． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算______ 12. 如图，在中，于点 ，交于点 ，，则___________． 13. 有四个分别标有的小球，它们除数字不同外其余都相同，现将它们放入一不透明的口袋中，摇匀后从中抽取两个，将球上的数字记为 和 ，则的概率是___________． 14. 若关于 的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于 的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数 的和为___________． 15. 如图， 为 的直径，于点 ，过点 作交 的切线 于点 ，交于点，交 于点，已知，则___________，___________． 16. 一个三位自然数，其个位上的数字比十位上的数字大2，称为“不二数”；则最小的“不二数”是___________．一个“不二数”十位上的数字和个位上的数字组成的两位数是两个连续的奇数或者偶数的乘积，将个位数字与百位数字的平方差记作，十位数字与百位数字的差记作 ，并规定，当为偶数时，则满足条件的“不二数”的最大值与最小值之差为___________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题8分，第18题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算： （2）解不等式组 18. 先化简再求值：，其中 是从 ，0，2中选取的一个合适的数． 19. 教育部“双减”政策要求各校减少课后作业量，某学习小组为了解本校“双减”的落实情况，决定对本校学生每天完成课后作业所用时间 （单位：分钟）进行调查，他们分别从八年级、九年级各随机抽取了15名同学进行了问卷调查，并将询查结果分为四个等级：．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生在 组的数据是：62，65，78，78，82，85，88 抽取的九年级学生的数据分别是： 32，51，60，62，70，70，75，85，85，85，90，92，95，98，105 八、九年级所抽学生课后作业时间统计表 八年级所抽学生课后作业时间条形统计图 年级 八年级 九年级 平均数 77 77 中位数 85 众数 78 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空：___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的“双减”工作落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八、九年级共有1600名学生，请估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数． 20. 如图，在中，点 是 上的一点，连接． （1）用尺规作图，完成以下基本作图：做，交 于点，连接交于点 ，连接交于点 ． （2）在（1）问所求作的图形中，求证：四边形是平行四边形． 证明： 在中，， ___________①___________， ， ， ___________②___________， 四边形是平行四边形， ， ， ___________③___________， ， 四边形是平行四边形， ___________④___________， ， 四边形是平行四边形． 在以上探究过程中，证明四边形是平行四边形时，发现了用边和角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：___________⑤___________的四边形是平行四边形． 21. 合川桃片有香甜味和椒盐味两种类型，五一将至，小新打算购买若干袋香甜味桃片和椒盐味桃片． （1）小新花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？ （2）由于市场供不应求，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋香甜味桃片的售价是每袋椒盐味桃片售价的1.2倍，小新分别花费了2400元、3600元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋椒盐味桃片的售价． 22. 如图1，在矩形 中，．动点以每秒1个单位长度从点 出发，沿着运动，当点到达 点时停止运动．动点以每秒0.5个单位长度从点 出发，沿方向运动，两点同时停止运动．点 为直线 上的动点，满足．设点的运动时间均为 秒（），记的面积为，点 到的距离为． （1）请直接写出关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时 的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图， 是某动物园入口，是入口附近的三个展区．小明和小华相约从入口 一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区 汇合．如图是路线平面示意图，已知展区 在起点 的东北方向，小明从起点 出发沿正北方向走了米到展区 ，在展区 参观 分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区 ，小华从起点 出发向正东方向走到展区 ，在展区 参观分钟，再沿北偏东 方向走一段路即可到达展区 ．（参考数据：，，） （1）求 的长度；（结果精确到 米） （2）已知小明的平均速度为米分钟，小华的平均速度为米分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区 ？（结果精确到） 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与 轴交于 ， 两点，交 轴于点 ，其中点，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线 上方抛物线上的一动点，过点作轴交 于点，交 于点．点，连接 ，点为直线 上的动点，且满足．当周长最大时，求此时点的坐标以及的最小值； （3）在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 25. 在中，，点 为平面内一点，连接 、 ，点 为 中点，连接． （1）如图1，点 在 边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点 在内，连接，若，求证：； （3）如图3， ，点 在内且，当取最小值时，把沿着 翻折到的同一平面得到，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的方法，熟练掌握有理数比较大小的方法是解题关键．正有理数都大于0，负有理数都小于0，正有理数大于一切负有理数，两个负有理数绝对值大的反而小，据此即可获得答案． 【详解】解：因为， 所以，四个数中，最小的数是 ． 故选：B． 2. 如图是一个正方体的展开图，则与“争”字一面相对的字是（　　） A. 开 B. 忠 C. 先 D. 勇 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相对的面之间一定相隔一个正方形即可判断求解，掌握以上特点是解题的关键． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“争”字与“勇”字相对， 故选：． 3. 若点和点在同一个反比例函数的图像上，则 与 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性即可求得a与b的大小关系． 【详解】解：对于反比例函数， 其图像在第一、三象限，且在每个象限中有y随x的增大而减小， 又∵点和点都在该反比例函数的图像上，且， ∴． 故选：A． 4. 估计的值应在（　　） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的减法运算，无理数的估算，先运算出，再结合，则，即可作答． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∴， 故选：B 5. 如图，与是以为位似中心的位似图形，若已知，的面积为 ，则的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比 相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵与是以为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵的面积为 ， ∴的面积为 ， 故选：． 6. 若关于 的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A. 2 B. C. D. 2或0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程的一个根为 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 已知某市2022年工业碳排放总量为1000万吨，为响应国家“双碳”目标，该市通过技术升级，2024年的工业碳排放总量降至810万吨．若设年平均减少率为 ，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据2024年工业碳排放总量=2022年工业碳排放总量×建立方程即可得． 【详解】解：设年平均减少率为 ，由题意可得， 故选：B． 8. 如图，在中，，，， 为 中点．分别以为半径作弧，与分别交于 、两点，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积，先算出，再结合图中阴影部分的面积，分别代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵ 为 中点， ∴， ∵分别以为半径作弧，与、 分别交于 、两点， ∴图中阴影部分的面积 ． 故选：B． 9. 如图，在正方形 中，点在边 上，，作平分交 于点，则 的长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点 ，交 于点，先解直角三角形可得，再证出，设，在中，解直角三角形可得 的值，然后利用勾股定理可得的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点 ，交 于点， ∵， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴，，， ∴， 在中，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和解直角三角形的方法是解题关键． 10. 三个不完全相同的正整数，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去2，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减2，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果；以此类推，直到时，停止操作．例如，当时，则，，即第三次操作后停止．下列说法： ①当时，经过4次操作后停止； ②当时，； ③当， 、 、三个数互不相同且极差为18时，则至少会经过7次操作才有可能停止． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了数字类变化规律．根据题意找到规律是解题的关键．找到规律即可解决问题．操作规则：每次操作将最大数减2，另两数各加1．若最大数不唯一，取最后面的数操作．操作停止的条件是（即首尾两数相等）．对每个命题通过逐次操作验证其正确性即可． 【详解】解：当时， 第一次操作：最大数为9（最后一位），操作后得到； 第二次操作：最大数为10，操作后得到； 第三次操作：最大数为8（最后两位），操作后得到； 第四次操作：最大数为9，操作后得到，满足，停止．故①正确． ②当时， 第一次操作：最大数为11，操作后得到； 第二次操作：最大数为9，操作后得到； 第三次操作：最大数为9，操作后得到； 第四次操作：最大数为8，操作后得到； 第五次操作：最大数为8，操作后得到； 后续规律：操作进入循环，周期为3， ，对应循环中的第一个状态，故②错误． 当极差为18时：当，极差为， 每次操作：若最大数不同，极差减少3；若最大数相同，极差不变． 极差变化：至少需次操作使极差变为0，此时． 故至少经过7次操作才有可能停止，故③正确； 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和负指数幂的运算法则． 利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据零指数幂法则，任何非零数的零次幂都等于1，因此 ； 根据负整数指数幂法则，，因此； 所以原式． 故答案为． 12. 如图，在中，于点 ，交于点 ，，则___________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 13. 有四个分别标有的小球，它们除数字不同外其余都相同，现将它们放入一不透明的口袋中，摇匀后从中抽取两个，将球上的数字记为 和 ，则的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，理解题意，正确作出列表或树状图是解题关键．根据题意作出列表，结合列表即可获得答案． 【详解】解：根据题意，作出列表如下， 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中两数相乘结果小于等于0的结果有10种， 所以，的概率是． 故答案为：． 14. 若关于 的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于 的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数 的和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出 的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数 的值，求出之和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵关于 的不等式组有解， ∴， 不等式组有解且最多有4个整数解， ， 解得：， ∵， 分式方程去分母得：， 解得：，且， 分式方程的解为整数， 或或1或， 则满足题意整数 之和为． 故答案为： 15. 如图， 为 的直径，于点 ，过点 作交 的切线 于点 ，交于点，交 于点，已知，则___________，___________． 【答案】 ①. 10 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，切线定理，平行线的性质，三角函数比等知识点，解题的关键是灵活应用相关性质定理，并构造辅助线． ①根据垂径定理，假设，则，由勾股定理列出方程求解即可； ②连接 ,过点 作,交 的延长线于点 ，利用直角三角形的性质、平行线的性质和切线定理得出相等的角，利用三角函数比求出，假设，根据列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接 ,过点 作,交 的延长线于点 ， ∵ 为 的直径，， ∴， 假设，则，由勾股定理得， , 即， 解得， ，； ∵ 是 的切线， ， 又∵, ， ∵， , , 即, 解得， ， ， 假设，由勾股定理得， ， 即， 解得， ∴； 故答案为：10，． 16. 一个三位自然数，其个位上的数字比十位上的数字大2，称为“不二数”；则最小的“不二数”是___________．一个“不二数”十位上的数字和个位上的数字组成的两位数是两个连续的奇数或者偶数的乘积，将个位数字与百位数字的平方差记作，十位数字与百位数字的差记作，并规定，当为偶数时，则满足条件的“不二数”的最大值与最小值之差为___________． 【答案】 ①. 102 ②. 600 【解析】 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用，求代数式的值，理解新定义是解答本题的关键． 根据“不二数”写出最小的“不二数”即可；设m的百位数字为h，十位数字是t，先根据一个“不二数”十位上的数字和个位上的数字组成的两位数是两个连续的奇数或者偶数的乘积筛选出两位数，计算出对应的n，k，判断是否为偶数，筛选出符合条件的m即可． 【详解】解：由题意得，最小的“不二数”是102． 设m的百位数字为h，十位数字是t， 当时，两位数是13，不符合题意； 当 时，两位数是，连续偶数，符合题意，此时； 当时，两位数是，连续偶数，符合题意，此时； 同理可求，当时，所得两位数均不符合题意． 当 时，， ， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； ∴． 当时，， ， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴或或， ∴满足条件的“不二数”的最大值与最小值之差为． 故答案为：102；600． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题8分，第18题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算： （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握相关运算法则是解题关键； （1）先算完全平方，单项式乘多项式，然后合并同类项进行化简； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集是． 18. 先化简再求值：，其中 是从 ，0，2中选取的一个合适的数． 【答案】；0 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再选取合适的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， ， 且， 当时，原式， 19. 教育部“双减”政策要求各校减少课后作业量，某学习小组为了解本校“双减”的落实情况，决定对本校学生每天完成课后作业所用时间 （单位：分钟）进行调查，他们分别从八年级、九年级各随机抽取了15名同学进行了问卷调查，并将询查结果分为四个等级：．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生在 组的数据是：62，65，78，78，82，85，88 抽取的九年级学生的数据分别是： 32，51，60，62，70，70，75，85，85，85，90，92，95，98，105 八、九年级所抽学生课后作业时间统计表 八年级所抽学生课后作业时间条形统计图 年级 八年级 九年级 平均数 77 77 中位数 85 众数 78 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空：___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的“双减”工作落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八、九年级共有1600名学生，请估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数． 【答案】（1）， 补全统计图如下， （2） 解：我认为八年级的双减工作落实得更好， 八年级的课后作业时间中位数82小于九年级的课后作业时间中位数85； （3）人 【解析】 【分析】本题考查了统计图的应用，中位数，众数，用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先求出八年级 组人数，补全统计图，根据中位数、众数的定义求出的值即可； （2）根据统计图信息分析即可； （3）用样本估计总体的方法计算即可． 【小问1详解】 解：八年级 组人数为人； 根据题意得抽取的九年级学生的数据排在第位的是， ， 抽取的九年级学生的数据中 最多，有 个， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人 答：估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数约为1120人 20. 如图，在中，点 是 上的一点，连接． （1）用尺规作图，完成以下基本作图：做，交 于点，连接交于点 ，连接交于点 ． （2）在（1）问所求作的图形中，求证：四边形是平行四边形． 证明： 在中，， ___________①___________， ， ， ___________②___________， 四边形是平行四边形， ， ， ___________③___________， ， 四边形是平行四边形， ___________④___________， ， 四边形是平行四边形． 在以上探究过程中，证明四边形是平行四边形时，发现了用边和角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：___________⑤___________的四边形是平行四边形． 【答案】（1） 如图，即为所求作的角． （2） 证明： 在中，， ①， ， ， ②， 四边形是平行四边形， ， ， ③， ， 四边形是平行四边形， ④ ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． （1）根据作一个角等于已知角的方法，进行作图即可； （2）根据平行四边形的性质得出，证明，得出四边形是平行四边形，根据四边形是平行四边形，得出 ，根据，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 合川桃片有香甜味和椒盐味两种类型，五一将至，小新打算购买若干袋香甜味桃片和椒盐味桃片． （1）小新花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？ （2）由于市场供不应求，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋香甜味桃片的售价是每袋椒盐味桃片售价的1.2倍，小新分别花费了2400元、3600元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋椒盐味桃片的售价． 【答案】（1）每袋香甜口味桃片45元，每袋椒盐口味桃片50元 （2）56元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据两种桃片的总价、单价关系以及购买的总袋数列出分式方程． （1）设每袋香甜口味桃片 元，每袋椒盐口味桃片 元，根据题意列出二元一次方程； （2）设每袋椒盐口味桃片元，根据题意列出分式方程，解分式方程并检验，得到每袋椒盐味桃片的售价． 【小问1详解】 设每袋香甜口味桃片 元，每袋椒盐口味桃片 元， 根据题意得：， 解得． 答：每袋香甜口味桃片45元，每袋椒盐口味桃片50元； 【小问2详解】 解：设每袋椒盐口味桃片元， 根据题意得： 解方程得：， 经检验：为原方程的解． 答：每袋椒盐口味桃片56元． 22. 如图1，在矩形 中，．动点以每秒1个单位长度从点 出发，沿着运动，当点到达 点时停止运动．动点以每秒0.5个单位长度从点 出发，沿方向运动，两点同时停止运动．点 为直线 上的动点，满足．设点的运动时间均为 秒（），记的面积为，点 到的距离为． （1）请直接写出关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时 的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）；； （2）如图： 当时 随 的增大而增大，当时 随 的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）分两种情况讨论，当时，作于点，利用正弦函数的定义求得，利用三角形面积公式列式计算求解即可；当时，求得，利用三角形面积公式列式计算求解即可；求得，根据，据此求解即可； （2）列表，描点，连线，作出函数图象，根据图形，即可写出函数的一条性质； （3）数形结合，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，如图， ∵，∴， 综上，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：列表： 0 1 2 3 5 6 8 0 6 0 6 3 2 1 描点，连线，作出函数图象如下： 函数的一条性质：当时 随 的增大而增大，当时 随 的增大而减小； 【小问3详解】 解：当时 的取值范围：． 23. 如图， 是某动物园入口，是入口附近的三个展区．小明和小华相约从入口 一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区 汇合．如图是路线平面示意图，已知展区 在起点 的东北方向，小明从起点 出发沿正北方向走了米到展区 ，在展区 参观 分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区 ，小华从起点 出发向正东方向走到展区 ，在展区 参观分钟，再沿北偏东 方向走一段路即可到达展区 ．（参考数据：，，） （1）求 的长度；（结果精确到 米） （2）已知小明的平均速度为米分钟，小华的平均速度为米分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区 ？（结果精确到） 【答案】（1）米 （2）小华先到 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （ ）过点 作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解； （ ）过点 作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可． 【小问1详解】 解：过点 作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答： 的长度约为米； 【小问2详解】 解：如图，过点 作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，，（米）， ∴（米），（米）， ∴米， ∴小明所花时间：（分钟），小华所花时间：（分钟）， ∵， ∴小华先到达展区 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与 轴交于 ， 两点，交 轴于点 ，其中点，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线 上方抛物线上的一动点，过点作轴交 于点，交 于点．点，连接 ，点为直线 上的动点，且满足．当周长最大时，求此时点的坐标以及的最小值； （3）在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1） （2）点的最小值为 （3）横坐标或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到，根据正切值，得到，，运用交点式设二次函数为，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到直线 的解析式为，根据题意得到，设，，则，由，最大时，的周长最大，设，根据二次函数最值的计算得到点的坐标，由此得到轴，过点 作关于 的对称点，连接，将水平向右移动一个单位得到，则点 与点重合，当三点共线时，最小，即的值最小，“造桥模型”求线段和的最小值的计算，结合平移得到，，且，根据两点之间距离的计算公式得到，即的最小值为 ，由此即可求解； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度到点 ，即，过点 作轴于点，如图所示，则，根据锐角三角函数的计算得到，，可知抛物线沿射线方向平移个单位长度，即顶点坐标向左平移一个单位长度，向下平移的单位，所以平移后的解析式为，如图所示，过点作轴于点 ，即是等腰三角形，，可求出，分类讨论：如图所示，当抛物线上点在上点处时，令，， 解得，，再根据实际情况排除；当抛物线上点在点处时，作关于对称的，连接交于点，过点 作轴于点，则垂直平分，，，根据角平分线的性质定理，运用等面积法得到的值，由锐角三角函数的计算得到 的坐标，求值直线的解析式，联立方程得到点的横坐标；由此即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与 轴交于 ， 两点，交 轴于点 ， 当时，， ∴， ， ， ， ∵，， ∴， ， ∴，， 设， 过点， ∴， 解得，， ∴， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴设直线 的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线 的解析式为， ， ， 设，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 最大时，的周长最大， ∵点是直线 上方抛物线上的一动点， 设， ， ， ∴关于的函数图象开口向下，有最大值，当时，有最大值， ∴， ∴此时点， ， 轴，作点 关于 的对称点，连接，将水平向右移动一个单位得到，则点 与点重合，当三点共线时，最小，即的值最小， 则，，且， ∴，即的最小值为 ， ∴的最小值， 综上：点的最小值为 ； 【小问3详解】 解：横坐标为或，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度到点 ，即，过点 作轴于点，如图所示，则， ∵， ∴， ∵， 解得，， ∴， ∴，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度，即顶点坐标向左平移一个单位长度，向下平移的单位， ∵抛物线的解析式为， ∴平移后的解析式为， 整理得，， 如图所示，过点作轴于点 ， ∵， ∴，则是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 如图所示，当抛物线上点在上点处时，令，， 解得，， 此时点为抛物线的右交点，舍去， 故此时点的横坐标为； 当抛物线上点在点处时，作关于对称的，连接交于点，过点 作轴于点，则垂直平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 整理得，， 解得，，， 根据图象可知此时点是直线与新抛物线的左交点可知：不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，横坐标或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形的计算，二次函数中线段和最值的计算与“造桥模型”的综合，两点之间距离公式的运用，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，一次函数与二次函数联立方程组的求解方法等知识的综合运用，掌握以上知识的综合，数形结合分析，分类讨论思想，合理作出辅助线是解题的关键． 25. 在中，，点 为平面内一点，连接 、 ，点 为 中点，连接． （1）如图1，点 在 边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点 在内，连接，若，求证：； （3）如图3， ，点 在内且，当取最小值时，把沿着 翻折到的同一平面得到，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如下图，延长至点，使得，连接，在上取点，使得， ∵，点 为 中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）首先确定，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，进而额的，然后结合三角形外角的定义和性质即可获得答案； （2）延长至点，使得，连接，在上取点，使得，结合三角形中位线的性质可得，，再证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，即可证明结论； （3）取 中点，连接，结合三角形中位线的性质证明，可知点 的运动轨迹在以 为直径的圆上，设 中点为，当三点共线时，取最小值，此时连接 ，过点作于点 ，过点 作于点 ，证明，结合相似三角形的性质解得的值，进而可求得的值，由折叠的性质可得，然后由四边形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∴， ∵点 为 中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如下图，取 中点，连接， ∵点 为 中点，点为 中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴点 的运动轨迹在以 为直径的圆上， 设 中点为，当三点共线时，取最小值， 此时，连接 ，过点作于点 ，过点 作于点 ， ∵ ，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵把沿着 翻折到的同一平面得到， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线的性质、三角形外接圆、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $