2025年四川省成都市中考数学模拟试卷（二）

2025年成都市中考数学模拟试卷（二） 注意事项： 1.全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟。 2.在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方。考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回。 3.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。 4.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效。 5.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等。 A卷(共 100分) 第Ⅰ卷(选择题，共32分) 一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求) 的倒数是 2.鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，如图1是一种经典的六柱孔明锁，其中一柱如图2所示，则图2中木块的主视图是 3.下列运算中，正确的是 (C) (2x+y)(2x-y)=4x²-y² 4.为响应习近平总书记强调的“着眼满足人民群众多样化、多层次、多方面的精神文化需求”这一号召，某市夜校开设漆扇制作课程，一周内每天报名的人数分别为：72，86，67，59，91，82，94，则这组数据的中位数是 (A) 59 (B) 67 (C) 82 (D) 86 学科网（北京）股份有限公司 5. 如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,连接OC,CD,BD.若 ，则∠D的度数为 (D) 70° 6.中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题(注：荡杯即洗碗)：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多?妇人曰：家有客.津吏曰：客几何?”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何?其大意是：一位农妇在河边洗碗.渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗?”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗.”请问：她家里究竟来了多少位客人?设客人是x人，可列方程为 (A) 2x+3x+4x=65 7. 如图,△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,其中点B,C,E在同一直线上,BE=6,BC=4,连接BD,则BD的长为 (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.已知抛物线 的顶点坐标为(-2，-1)，下列说法正确的是 (B)当x=-2时，二次函数有最小值为3 (C)当x>-2时,y随x的增大而减小 (D) 当-3<x<-1时,y<0 第Ⅱ卷(非选择题，共68分) 二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)公众号·全科AA+ 9. 因式分解：2 10. 使 有意义的x的取值范围是 . 11. 如图,在△ABC中,BC=2AB,∠ABC的平分线BD交AC于点 D,在BD的延长线上取一点E,使得DE=BD,连接CE,则 的值是 . 12. 已知点((x₁,y₁),(x₂,y₂)在一次函数y= kx+2(k≠0)的图象上,当. 时， 则实数k的值可以是 .(只需写出一个符合条件的实数即可) 13. 如图,在 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和点 C 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N；②作直线MN，交AD于点A,交 BC于点E,连接AC.若 ,则▱ABCD的周长为 . 三、解答题(本大题共5个小题，共48分) 14.(本小题满分12分，每题6分) (1)计算: (2)解不等式组： 15.(本小题满分8分) 成都某中学准备每年组织开展“风筝节”“我运动，我快乐”“跳蚤书市”“校园十佳歌手大赛”“元旦文艺晚会”等课余活动，让学生劳逸结合.该校采用随机抽样调查的方式对部分学生个人最喜爱的一项课余活动进行了调查，并根据收集到的信息分为A：风筝节；B：我运动，我快乐；C：跳蚤书市；D：校园十佳歌手大赛；E：元旦文艺晚会共五组进行统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图. (1)本次调查的学生共有 人，并补全条形统计图； (2)扇形统计图中“B”对应的扇形圆心角的度数为 ； (3)本次调查中，最喜爱“我运动，我快乐”中有品学兼优的两男和三女共5名学生，若从中随机抽取两名学生作为该活动的主持人，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率. 16.(本小题满分8分) 三星堆文明是中国上古时期独特而灿烂的古蜀文明，其中一号青铜神树是全世界同时期体型最大的青铜器.小明与同学去三星堆博物馆研学，想实地测量神树的高度.他在A地用测角仪测得神树顶部C的仰角为45°，再向前走1米到达B地，再次用测角仪测得神树顶部C的仰角为 其中测角仪离地面1.2米，点A，B，D在同一直线上，所有点在同一平面上，通过查阅资料获知青铜神树的高度为3.96米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.(结果精确到0.1米.参考数据：s 17. (本小题满分10分) 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以OB为半径的⊙O与AC 相切于点 D,分别交BC,AB于点E,F,连接BD,DF. (1)求证:∠ADF=∠ABD; (2)若 求DF 和AD的长. 18. (本小题满分10分) 如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象交于A，B两点，与y轴和x轴分别交于点 C 和点D，其中B 点坐标为( 点M在反比例函数图象上. (1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点M在点A的右侧，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，若 求AM的长； (3)是否存在一点M，使得∠MBA=2∠CDO，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 B卷(共 50分) 一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分) 公众号·全科AA+ 19. 化简: 20.若α，β是一元二次方程 的两个根，则 21.如图，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径作弧，与正方形各边相交形成如图所示的阴影.向正方形区域内掷飞镖，假设飞镖每次都落在正方形区域中(落在阴影边线处忽略不计)，则飞镖击中阴影区域的概率等于 . 22.如果一个四位自然数 的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为3，那么称M为“三九数”，则最大的“三九数”是 .“三九数”M的千位数字与个位数字交换后的数字记为P(M)，百位数字与十位数字交换后的数字记为F( 当G(M)为整数时，则满足条件的M的最小值与最大值的和为 . 23. 如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,动点E从A出发沿射线AD以1 cm/s的速度运动,同时动点 F 从 C 出发沿射线 DC 以 的速度运动，G为EF的中点，连接CG，则CG的最小值为 cm. 二、解答题(本大题共3个小题，共30分) 24.(本小题满分8分) 哈尔滨作为2025年亚洲冬季运动会的举办城市，不仅用冰雪景观吸引了全世界的目光，还凭借独特的美食文化，让来自五湖四海的运动员和游客们赞不绝口.其中一美食店推出了A，B两款哈尔滨红肠套餐，其中一份A套餐比一份B套餐贵6元，经盘点结算发现该美食店每天卖100份A 套餐和150份B 套餐共获得5 600元. (1)求每份A套餐和每份B套餐的售价； (2)为了尽可能多地吸引游客，该美食店决定促销，经过几天的试销售，发现A套餐每份降低1元，将多卖出10份，该套餐的成本价是14元/份，为保证商家至少获得50%的利润，每份A套餐定价为多少元可使得A套餐的销售额最大，并求出最大销售额. 学科网（北京）股份有限公司 25. (本小题满分10分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 (a为常数)与x轴交于点A，B(点A在点 B的左侧)，与y轴交于点 C，且( (1)求抛物线的函数表达式和对称轴； (2)如图1,直线CD: )交x轴正半轴于点 D，把线段CA 沿直线 CD 翻折，若点A刚好落在抛物线的对称轴上点 处，求此时k的值； (3)如图2，M，N为抛物线上两动点，且. ,当(2)中点 D 为(4,0)时,直线MN与直线 CD交于P点，试判断 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 26. (本小题满分12分) 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD 相交于点 O， 将 沿着线段AC方向平移一定的距离得到 ,连接B₁D,B₁C. 【尝试初探】 (1)如图1,当点. 和点O重合时，求 的长； 【深入探究】 (2)如图2,连接 当 时，求 的值； 【拓展延伸】 (3)在点 平移到与点O 重合的过程中，当 是等腰三角形时，求 的长. 1. BB卷(共50分) 黑卷.数学 2. A 3. C 4. C 【解析】将这组数据按照从小到大的顺序排列为:59,67,72,82,86,91,94,最中间的数是82,∴这组数据的中位数是82. 5. D 【解析】如解图,连接AD,∵AB 是⊙O 的直径, ∠AOC=20°,∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°=20°=70°. 【一题多解】∵AB 是⊙O 的直径,∠AOC=40°,∴ 6. B 新考法解读试题情境取材于《九章算术》，《九章算术》是中国古代重要的数学著作之一.本题将“列方程”与“数学文化”相结合，展现了中国古代数学的优秀成果，弘扬了传统文化，增强学生对中国古代数学成就的了解.为便于学生理解，题干将原题的文言文翻译成现代文大意，保证了考查的公平性. 7. A 【解析】∵ △ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,∴ AB=AC,AD=AE,∠BAC =∠DAE=90°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE,∴BD=CE=BE-BC=2. 8. D 【解析】∵抛物线的函数表达式为 1,将x=0,y=3代入 可得a=1,故A错误；由顶点坐标和a=1知，抛物线开口向上，∴当x=-2时，二次函数有最小值为-1，故B错误；由抛物线的顶点坐标知对称轴为直线x=-2，由a=1知抛物线开口向上，∴当x>-2时，y随x的增大而增大,故C错误;令y=0,则 则x+2=-1或x+2=1,∴x=-3或x=-1,∴抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0)和(-1,0),∴结合抛物线的图象知当-3<x<-1时,y<0,故D正确. 【解题妙招】 在无图的情况下，解决二次函数图象和性质问题时，先观察抛物线表达式中已知的参数，例如：c的值、利用抛物线的对称轴求出 a与b之间的关系等，再结合其他已知条件可以求出二次函数的表达式，再画出草图根据图象判断出正确选项. 【解析】 10. x≥3 【解析】当x-3≥0,原根式有意义,∴x≥3. 11. 【解析】∵BD 是∠ABC 的平分线,∴∠ABD=∠CBE,∵BD=DE,∴ BE=2BD,又∵ BC=2AB,∴ 【一题多解】如解图，过点D 作DF∥CE交BC于点F,∵ BD=DE,∴DF是△BCE的中位线,∴ DF= EC,BC=2BF,∵BC=2AB,∴BF=AB,∵BD 是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠FBD,∵ BD=BD,∴△ABD≌△FBD,∴AD=DF,∴AD=DFE= 12. - 1(答案不唯一,合理即可) 【解析】∵当x₁>x₂时,y₁<y₂,∴y随x的增大而减小,∴k<0,∴k的值可以是-1. 13.26 【解析】由作图步骤可知,直线MN是 BC 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得AB=AC=5，BE=CE,AE⊥BC,在 Rt△ACE中, = ²-3²=4,∴BE=CE=4,∴BC=8,∴▱ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(5+8)=26. 14. 解:(1)原式 分 =-2;……… 6分 答题模板 (2)解不等式①,去括号,得2x-2≥x-3, ……1分 移项并合并同类项，得x≥-1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 解不等式②,去分母,得3x-3<x+1, 移项并合并同类项，得2x<4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分 系数化为1,得x<2, …………………………… 4分 ∴原不等式组的解集是-1≤x<2.⋯⋯⋯⋯ 6分 15. 解:(1)300; ……………………………………… 1分 补全条形统计图如解图；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 【解法提示】∵选择“C”的人数有75人，在扇形统计图中的占比为 ∴接受调查的学生共有75÷25%=300(人).选择“B”的人数为300-54-75-9-96=66(人). (2)79.2°; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分 (3)将该5名学生分别记作：男1、男2、女1、女2、女3，根据题意，列表如下： 第二次 第一次 男1 男2 女1 女2 女3 男1 — (男2,男1) (女1,男1) (女2,男1) (女3,男1) 男2 (男1,男2) — (女1,男2) (女2,男2) (女3,男2) 女1 (男1,女1) (男2, 女1) — (女2,女1) (女3,女1) 女2 (男1,女2) (男2,女2) (女1,女2) — (女3,女2) 女3 (男1,女3) (男2,女3) (女1,女 3) (女2,女3) —— 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果有12种，⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 ∴ P(恰好抽到一名男生和一名女生) ……………………………………………… 8分 知识精准回顾 对于概率计算问题，需掌握以下3点内容： (1)公式法: 其中n为所有事件发生的总次数，m为事件A发生的总次数； (2)列举法(列表或画树状图)计算概率的一般步骤为： ①判断用列表法还是画树状图法：列表法一般适用于两步计算求概率；画树状图法适合两步及两步以上计算求概率； ②不重不漏地列举出事件可能出现的所有结果，并判定每种结果出现的可能性是否相等； ③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A 出现的结果数m； ④用公式 求出事件A发生的概率； (3)注意“放回”与“不放回”型概率计算的区别： ①放回型，即第二次可选取的个数与第一次的个数相同； ②不放回型，即第二次可选取的个数比第一次的个数少1个； ③一次取2个，题干中未特别说明先后顺序，视为不放回型，方法同②. 16. 解:如解图,延长EF 交 CD 于点 G. 设CG=x,由题知 EA⊥AD 于点 A,FB⊥AD 于点B,CD⊥AD 于点D,EG⊥CD 于点G, ∴四边形 BAEF是矩形,四边形 DAEG是矩形, ∴EF=AB=1,DG=BF=AE=1.2. 在Rt△CGE中,∠CGE=90°,∠CEG=45°,CG=EG =x. 在Rt△CGF中,∠CGF=90°,∠CFG=57°, 即 … 4分 ∵FG+EF=EG=CG, ∴x≈2.85,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分 ∴CD=CG+DG=2.85+1.2=4.05(米), ∴误差为4.05-3.96≈0.1(米), …………… 7分建议：多次测量取平均值，可以减小误差(答案不唯一). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分 新考法解读 本题以“研学测量三星堆青铜神树”为背景，让学生经历数据测量、计算、对比误差等过程，设问具有实际意义，将学生的课堂与实际生活紧密联系起来，体现了数学的应用价值，使考试内容与生活情境相结合，真正考查学生理解和运用所学知识解决问题的能力.教育部发布的《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》和《义务教育数学课程标准(2022年版)》中均指出了情境创设的真实性. 17. (1)证明:如解图,连接OD. ∵AD是⊙O的切线, ∴OD⊥AD, ∴∠ADF+∠FDO=90°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 由题意可知，FB是⊙O的直径， ∴∠FDB=90°, ∴∠FDO+∠ODB=90°, ∴∠ADF=∠ODB, ∵OB=OD,∴∠ODB=∠ABD, ∴∠ADF=∠ABD;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 (2)解:如解图,OD⊥AD,∠C=90°, ∴OD∥BC,∴∠ODB=∠CBD. 由(1)知∠ODB=∠ABD, ∴∠CBD=∠ABD, ∴tan∠CBD=tan∠ABD, ∴在Rt△BCD中, ∵CD=1,∴BC=2, ∴在Rt△BCD中, ∴在 Rt△BDF中, …………………………………… 6分 由(1)知,∠ADF=∠ABD, 又∵∠A=∠A, ∴△ADF∽△ABD, 8分 ∴设AF=x,则AD=2x,AB=x+ 解得 或x=0(舍去), 综上所述， … 10分 18. 解:(1)∵B(-4,-b)在直线 上，∴-b=-2+b,解得b=1, ∴点B 的坐标为(-4,-1),直线的表达式为y= 将点B(-4，-1)代入反比例函数 中,得k=4,∴反比例函数的表达式为 ……… 2 分联立解得 或 ∴点A的坐标为(2,2); ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分 (2)如解图①,过点M作MH⊥x轴,垂足为H. 在一次函数 中,令x=0,得y=1, ∴C(0,1). ∵A(2,2),AN⊥x轴, ∵点A，M在反比例函数 的图象上,AN⊥x轴,MH⊥x轴, … 5分 设 则 解得t=4或t=-1, 经检验，t=4或t=-1是所列方程的解， ∵点M 在点A的右侧， ∴t=4, ∴M(4,1), … 7分 (3)如解图②，若M 点在直线AB下方，过点 B作BE⊥y轴于点 E,延长CE 至点F,使得EF=CE. =0解题思路引导 根据角的2倍关系，考虑分类画出图形(M点在直线AB下方,M 点在直线AB 上方), 由于∠CDO 是直线AB与x轴相交得到的，利用平行线转换到以B为顶点的等角，再结合等腰三角形的三线合一，求出直线BM的表达式，联立反比例函数的表达式求解. ∴∠CBE=∠CDO,BC=BF, ∴∠CBF=2∠CBE=2∠CDO. 由(1)(2)得C(0,1),B(-4,-1), ∴E(0,-1),F(0,-3), 联立 解得x=-2或x=-4, ∴M(-2,-2); ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分 若M点在直线AB 上方,过点 C 作 CG⊥AB 交BF的延长线于点G,延长GC 至点 H,使得HC=CG,连接BH 并延长交反比例函数的图象于点 M'，即为所求的M点. ∴ycc=-2x+1, 联立 解得 此时∠ABH=∠ABF=2∠CDO, ∴BG=BH,C是GH的中点, 联立 解得 或x=-4, 综上所述，存在满足条件的点 M，其坐标为(-2，-2)或( ,22). ……………………………… 10分 更多新考法试题 见“重难题新考法”P22第1题，P23第2题,P24第3题 【解析】 20. - 4 【解析】∵α,β是 的两个根，∴α+ 即 同理 【解析】如解图，设正方形的边长为2a，则对角线长为2 a，圆弧的半径为 a,分别取AB,BC,CD,DA边的中点E,F,G,H,连接EG,FH,AC,BD,其中AC与BD交于点O,易得EG与FH交于点O,∴S₁+S₂=S扇形MAN-S正方形 由对称性知阴影图形的面积为 ∴ P(飞镖击中阴影区域) 知识精准回顾 如果一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A) .在与图形有关的概率问题中，概率的大小往往与面积有关，这种类型的概率称为几何概型.在几何事件中，某一事件发生的概率等于这一事件所有可能结果组成的图形的面积除以所有可能结果组成的图形的面积. 22. 8916,10 700 【解析】由题意知, “三九数”的千位数字最大为8，百位数字最大为9，则十位数字为1，个位数字为6，∴最大的“三九数”为8 916；由题意可得,a+c=9,b-3=d,∴c=9-a,∴“三九数 则P(M)=1000b-3000+100b+90-10a+a=-9a+1 100b-2 910,F(M)=1000a+900-100a+10b+b-3=900a+11b+897, 当G(M)为整数时，则 为整数，∵M的各个数位上的数字均不为0，∴1≤a≤9,1≤b≤9,1≤9-a≤9,1≤b-3≤9,且a,b为正整数,∴1≤a≤8,4≤b≤9,且a,b为正整数,∴16≤a+2b+7≤33, 为整数,∴a+2b+7=22或33, ∴(a=1,b=7或 或 或 或10 700，即满足条件的M 的最小值与最大值的和为10 700,故答案为8 916,10 700. 23. 【解析】如解图①,连接BE,BF,AB=3cm,BC=4cm,设AE=t cm,则 解题思路引导 根据动点速度之间的数量关系及矩形的长宽，列出比例式，从而得到相似三角形又∵ ∠A =∠BCF=90°,∴ △ABE∽△CBF,∴∠ABE=∠CBF,∴∠EBF=90°.连接BG,DG,BD,∵∠EBF=∠EDF=90°,G为EF的中点,∴ BG=DG点G 在线段BD的垂直平分线上， 解题思路引导 直角三角形斜边上的中线为斜边的一半+线段垂直平分线的逆定理 如解图②，作线段BD的垂直平分线 MN 交 BD 于点O,∴当CG⊥MN时CG最短.则△BON∽△BCD∽△CGN, 解题思路引导 直线外一点到直线最短的距离是垂线段 在 Rt△BCD中,∵ 又∵ 的最小值为 求直线l外一定点A 到直线l上一动点 P 的最小距离. 辅助线作法：过点A 作AP⊥直线l. 【结论】此时 AP 为垂线段，点A 到点 P 的距离最小. 24.解：(1)设每份A套餐的售价为x元，每份B套餐的售价为y元，由题知 … 2分黑卷.数学 解得 答：每份A 套餐的售价为26元，每份B套餐的售价为20元; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 (2)设销售定价每份降低a元，A套餐的销售总额为W元， 由(1)知A套餐一份售价为26元，每天的销售量为100份, … 5 分 ∵为保证商家至少获得50%的利润， ∴商家的最低销售定价为14×(1+50%)=21 元,每份A套餐降价不超过26-21=5元, …… 6分∴0<a≤5. 又∵-10<0,∴当a<8时,y随x的增大而增大,∴当a=5时，即每份A套餐售价为21元，A套餐的销售额最大， 最大销售额W=21×(100+10×5)=3150(元).……………………………………………… 8分 类题通法 ①求函数表达式的方法：文字、表格型既可以用待定系数法也可以用关系式法求函数表达式；图象型只能用待定系数法求函数表达式. 关系式法举例：行程问题的关系式：路程=速度×时间；行程问题中的“相遇问题”关系式：总路程=甲的路程+乙的路程=甲的速度×甲的时间+乙的速度×乙的时间；销售问题的关系式：销售额=售价×销量；利润额=(售价-成本)×销量.无论是方程，还是函数，都是通过问题背景列出关系式，结合条件代入化简. ②求实际问题的最值时，将二次函数表达式化为顶点式求解；求费用最小时，考虑用一次函数的性质求解. 25. 解:(1)∵OC=2,∴C(0,2), 将点C(0,2)代入y=a(x-1)(x-3),得 ………………………………………………… 1分 ∴抛物线的函数表达式为 2分 对称轴为直线 3分 【一题多解】∵OC=2,∴C(0,2), 将点C(0,2)代入y=a(x-1)(x-3),得 对 令y=0得 ∵点A 在点 B的左侧， ∴A(1,0),B(3,0), ∴对称轴为直线 (2)如解图①，过点 C作抛物线对称轴的垂线，垂足为E. 解题思路引导 ∵k>-1， ∴排除D在对称轴与x轴的交点的情况，D在抛物线对称轴的右侧，过C作抛物线对称轴的垂线，结合折叠图形的性质构造全等三角形. ∴CE=2=OC. 根据翻折的性质可知，CA=CA'， ∵∠COA=∠CEA'=90°, ∴Rt△CAO≌Rt△CA'E(HL), ∴∠ACO=∠A'CE, ∴∠ACA'=∠A'CE+∠ACE=∠ACO+∠ACE=90°, ∴∠ACD=∠A'CD=45°. ……………………… 4分 过点A 作 AF⊥AC 交 CD 于点 F,过点 F 作 FG⊥OD 于点 G. 在△OAC 与 △GFA 中,∠CAF = 90°, ∠CAO +∠OCA=∠CAO+∠FAG=90°,∠ACF=45°,∴∠OCA=∠FAG,AC=AF,又∵∠COA=∠AGF,∴△OAC≌△GFA(AAS), ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分 ∴GF=OA=1,AG=OC=2, ∴点G与点B 重合,∴F(3,1), 将点 F(3,1)代入y= kx+2(k>-1)中,得1=3k+2,解得 …………………………………… 6分 (3)是定值.设 设直线MN的表达式为 ①-②得: 解得 把 代入①得： ∴直线MN的表达式为 如解图②，过点 M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为G,H. ∴易证△MGB∽△BHN, 整理得： I 由直线CD过点(0,2),(4,0),得 ∴直线 CD的表达式为 联立 整理得,(4m+4n-13)x-4mn=0, 把 代入上式得(4m+4n-13)x-(4m+4n-13)=0, ∴(4m+4n-13)(x-1)=0. ∵4m+4n-13≠0,∴x=1,即点 P 为一个定点, … 9 分 ∵A(1,0),∴AP⊥x轴, ∴AP∥OC,∴△APD∽△OCD, 为定值，定值为 ⋯ 10分 对于与面积有关问题，常用解题方法如下： (1)设出点坐标，利用二次函数性质求解； (2)将图形分割成三角形，利用面积和差求解； (3)利用相似，将面积比转化为相似比的平方或线段比求解. 26. 解:(1)在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AO=CO,∵AB⊥BD,∴∠ABO=90°. 由平移的性质知,OB₁∥AB∥CD,B₁C∥BD, ∴四边形 OB₁CD是平行四边形. 又∵∠OB₁C=∠ABO=90°, ∴四边形OB₁CD是矩形, 在 Rt△ABD中, ∴B₁D=OC=OA=5;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分 (2)如解图①,连接A₁D.令A₁B₁与BD交于点E, 由平移知A₁B₁∥AB∥CD,A₁B₁=AB=CD, ∴ 四边形A₁B₁CD是平行四边形,⋯⋯⋯⋯ 4分 ∵A₁B⊥AC,AB⊥BD₂ 解题思路引导 当A₁B⊥AC 时, 设 A₁B₁与 BD 的交点为 E, 可证△AOB∽△BOA₁和△A₁OE∽△BOA₁. ∴∠ABD=∠BA₁O=90°. 又∵∠AOB=∠BOA₁, ∴ △AOB∽△BOA₁, ………………………… 5分 即 又∵A₁B₁∥AB∥CD,AB⊥BD, 又∵ I 6分 在Rt△DEB₁中, ∴tan∠BDB₁的值是 ; … 7分 (3)如解图②,连接A₁D,B₁D交AC于F. ①当 时， 解题思路引导 由△B₁CD是等腰三角形采用分类讨论思想，构造直角三角形，利用勾股定理和三角形相似求出线段的长度. 由(2)知四边形A₁B₁CD是平行四边形， ∴平行四边形A₁B₁CD是菱形， ∴A₁C⊥B₁D,A₁C=2CF, ∴由射影定理得， ②当 时，如解图③，作射线BB₁，由平移知BB₁∥AC,当. 时,DB₁最小. 此时四边形A₁B₁CD仍为菱形，∴由①知 ∴DB₁最小 不成立;⋯ 10分 ③当 时，点B₁在CD的垂直平分线上， 如解图④,过点 B₁作B₁G⊥CD于点 G, ∴CG=DG. ∵BD⊥CD, ∴BD∥B₁G. ∴四边形 B₁GDE 是矩形, ∴点O₁在B₁G上, 即 …… 11分综上所述，AA₁的长为 . ……… 12分 学科网（北京）股份有限公司 $$