专题06 反比例函数的性质（10大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题06 反比例函数的性质 目录 【题型一 由反比例函数的解析式确定其性质】 1 【题型二 判断反比例函数图象所在的象限】 3 【题型三 判断反比例函数的增减性】 5 【题型四 由反比例函数的增减性求字母的取值范围】 6 【题型五 由双曲线分布的象限求字母的取值范围】 8 【题型六 比例反比例函数值或自变量的大小】 9 【题型七 反比例函数中的几何变换问题】 11 【题型八 一次函数与反比例函数图象的综合判断】 14 【题型九 一次函数与反比例函数的交点问题】 16 【题型十 反比例函数的实际应用】 19 【题型一 由反比例函数的解析式确定其性质】 例题：（2025·山西忻州·一模）已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 先求出关系式，再根据反比例函数图象的性质逐个分析即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为. 所以反比例函数的图象位于第一，三象限；在每一个象限内，函数值y随着x的增大而减小；当时，；当时，，可知点在反比例函数的图象上， 所以正确的是D， 故选：D. 【变式训练】 1．（2025·江西·模拟预测）有下列三个判断，其中正确的是（   ） ①点是原点，射线分别交反比例函数与的图象于点，点，则． ②点在双曲线上． ③双曲线的两支在所在象限内，随的增大而减小． A．①② B．②③ C．① D．③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，系数符号相同的两个反比例函数，在同一个象限内，系数绝对值大的函数图象在另一个函数的图象上方，据此可判断①；根据反比例函数自变量不为0可判断②；根据增减性与系数的关系可判断③． 【详解】解：∵， ∴在第二象限时反比例的函数图象在反比例函数的图象的下方，在第四象限时反比例的函数图象在反比例函数的图象的上方， ∵点是原点，射线分别交反比例函数与的图象于点，点， ∴，故①错误； ∵反比例函数的自变量不为0， ∴点不在双曲线上，故②错误； ∵， ∴双曲线的两支在所在象限内，随的增大而减小，故③正确； 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：A、反比例函数图象关于原点对称，故选项不符合题意； B、C、∵， ∴图象在二、四象限， ∴当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意，C选项符合题意； D、当时，需分情况讨论： 当，， 当时，， ∴当时，不一定小于，故D选项不符合题意； 故选：C． 【题型二 判断反比例函数图象所在的象限】 例题：（24-25九年级下·重庆·期中）反比例函数的图象经过（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数图象的性质即可解答． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如果点在正比例函数的图像上，那么反比例函数的图像所在的象限是 ． 【答案】第二，四象限 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，判断反比例函数图像经过的象限，先利用待定系数法求出k的值，结合在反比例函数中：当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限可得答案． 【详解】解：∵点在正比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数的图像所在的象限是第二，四象限， 故答案为：第二，四象限。 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若反比例函数的图像经过，则它的图像位于（   ） A．第四象限 B．第一象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入，解得，则 【详解】解：∵反比例函数的图像经过， ∴， 解得， ∵ ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：C． 【题型三 判断反比例函数的增减性】 例题：（24-25九年级下·山西朔州·期中）点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．图象分别位于第一、第三象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质是关键． 根据题意，把代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为，由此得到反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，反比例函数图象关于原点对称，由此即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，故D选项错误，不符合题意； ∴，故A选项错误，不符合题意； 当时，；当时，；故B选项错误，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点对称， ∴当，则，故C选项正确，符合题意； 故选：C ． 【变式训练】 1．（2025·陕西榆林·一模）在反比例函数（k为常数）的图象上有两点和，若，则 （填“>”“=”“<”）． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数增减性．根据题意可知反比例函数经过第二，四象限，随增大而增大，继而利用条件即可得到本题答案． 【详解】解：∵中，， ∴反比例函数经过第二，四象限，随增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（2025·江苏泰州·一模）已知点，都是反比例函数图像上的点，并且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先判断反比例函数所在的象限，再根据，即可得出答案，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∵， ∴点，在第二象限，随的增大而增大， ∴， 故选：A． 【题型四 由反比例函数的增减性求字母的取值范围】 例题：（2025·上海杨浦·二模）如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，结合题意得出当时，反比例函数中y随x的增大而增大，得到，计算求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像上有两点、， 当时，有， ∴当时，反比例函数中y随x的增大而增大， ∴ 得， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·陕西咸阳·一模）已知点、是反比例函数（）图象上两点．当时，，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【详解】解：∵点、是反比例函数（）图象上两点，且时，， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2025·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题意判断出该反比例函数的增减性，进而即可求解． 根据，，得y随x的增大而减小，得函数图象在第三象限，即得的取值范围． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，且，， ∴时，y随x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 【题型五 由双曲线分布的象限求字母的取值范围】 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键，根据反比例函数（是常数）的图象在第二、四象限得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， 的取值范围是． 【变式训练】 1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第一、三象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解：由图象可知，反比例函数在二、四象限， ， 的值可能是， 故选：C． 【题型六 比例反比例函数值或自变量的大小】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数，则自变量x的取值范围是 ；当时， ；当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象、函数自变量的取值范围，熟练掌握反比例函数性质是关键．根据反比例函数性质及反比例函数图象上点的坐标特征进行解答填空即可． 【详解】解：反比例函数自变量的取值范围是， 当时，代入解析式可得， 当时，代入解析式可得． 故答案为：，，． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·四川内江·期中）在反比例函数的图象上有，，三个点，则，，的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 先分别求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：在反比例函数的图象上有三个点，，， ，，， ， ， 故答案为：． 2．（2025·浙江杭州·一模）函数图象上有两点（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 据此对每个选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一个象限内，y随着x的增大而增大， A、时，则，则在第二象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故A错误，不符合题意； B、可举反例，若，则，则在第二象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故B错误，不符合题意； C、可举反例，若，则，则在第四象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故C错误，不符合题意； D、若，则，则在第四象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 【题型七 反比例函数中的几何变换问题】 例题：（2025·重庆·一模）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将点向下平移2个单位长度得到点，再把点代入反比例函数，利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：点向下平移2个单位长度得到点，则， ∵点恰好在反比例函数的图像上， ∴， 故选A． 【变式训练】 1．（2025·陕西汉中·一模）已知是反比例函数的图象上一点，将点向下平移个单位长度得到点．若点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握基本知识的应用是解题的关键． 先根据是反比例函数的图象上一点，则，然后点向下平移个单位长度得到点，故有，最后通过反比例函数图象上点的坐标特点得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：∵是反比例函数的图象上一点， ∴， ∵点向下平移个单位长度得到点， ∴， ∵点恰好落在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， 解得． 故答案为：． 2．（2025·江苏连云港·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，则的取值范围为__________． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的平移等，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设与的图象交于，两点，求出，，再观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：过点， ， 即反比例函数：， 当时，，即， 过和， 则， 解得， ； （2）解：如图，设与的图象交于，两点， 向下平移两个单位得且， ， 联立， 解得或， ，， ， 或． 故答案为：或． 【题型八 一次函数与反比例函数图象的综合判断】 例题：（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图所示，满足函数和的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 【详解】解：， 函数过点， ∴直线经过点，故不合题意； 当时，函数过第一、三、四象限，函数在一、三象限； 当时，函数过第一、二、四象限，函数在二、四象限；故A不符合题意，符合题意； 故选：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图像，根据一次函数与反比例函数的图像特点进行判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限．故各选项的图像均不符合； 当时，一次函数的图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限．故选项C的图像符合． 故选：C 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、二、三象限可知，两结论一致，故本选项符合题意； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、三、四象限可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象在二、四象限知，由一次函数图象知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：A． 【题型九 一次函数与反比例函数的交点问题】 例题：（2025·陕西宝鸡·二模）已知在平面直角坐标系中，正比例函数（为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象相交于，两点，则的值为 ． 【答案】25 【分析】此题考查了正比例函数和反比例函数交点问题，根据题意得到和关于原点对称，求出，然后代入和求出，，然后代入求解即可． 【详解】∵正比例函数（为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象相交于，两点， ∴和关于原点对称 ∴ ∴ ∴将代入得， ∴； ∴将代入得， ∴； ∴． 故答案为：25． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． (1)求一次函数解析式和反比例函数解析式； (2)请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，利用图像求不等式的解集等知识； （1）把点B的坐标代入反比例函数式中求得k的值，从而求得反比例函数解析式，进而可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）当时，表明一次函数的图像在反比例函数的图像上方，观察图像即可求得自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数相交于点和点， ∴， 解得， 即； 把点A坐标代入中，， 即； 把A、B两点坐标分别代入中，得，解得：， 即． （2）解：由图像知，当时，或． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． (1)反比例函数㳖达式为_________，一次函数的表达式为________； (2)求的面积； (3)当时．根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解含义解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练的利用数形结合的思想解题是关键． （1）将A点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）令直线与x轴的交点为M．由，再计算即可； （3）直接利用函数图象解答即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得，． ∴反比例函数的解析式为． 将、两点坐标代入一次函数解析式得， ，解得． ∴一次函数解析式为． 故答案为：；． （2）解：将代入一次函数解析式得， 即点的坐标为． ∴，， 故． （3）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是：或． 【题型十 反比例函数的实际应用】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）某种灯泡的使用寿命为，它的可使用时间y（天）与每天使用时间之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．根据等量关系“可使用天数=总寿命÷平均每天使用的小时数”即可列出关系式． 【详解】解：由题意得：使用天数与每天使用时间之间的函数关系式为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 2．（2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（    ） A． B． C．3 D．－3 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用正方形的性质求得点B坐标是，根据点D、点B在反比例函数上，列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积等于9， ∴， ∵轴，轴，点D坐标是， ∴点A坐标是，点B坐标是， ∵点D、点B在反比例函数上， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）点都在反比例函数的图像上，并且，下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ∵， 点在第二象限，B、点在第四象限， ∴，， ． 故选：B． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则函数（x为一切实数）的图像经过（    ） A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】D 【分析】该题考查了反比例函数和一次函数的性质，根据题意得出，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵在反比例函数，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴函数（x为一切实数）的图像经过第一、二、三象限， 故选：D． 4．（2025·河南平顶山·二模）如图，在平面直角坐标系中，的面积是6，其中边经过原点O，点C在x轴上，若点A在双曲线上，点B在双曲线上，且，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，设，由三线合一定理可得，求出直线的解析式为，进而可求出，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过A作轴于D． 由题意，设， ，， ． 设直线的解析式为， ， ∴． 直线的解析式为． 联立得，解得， ． ． 又， ， ． 故选：C． 5．（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质、描点法等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键． 根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A、B选项错误，不符合题意； 图像不经过第二象限，经过第四象限， 故C正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6．（2025·云南楚雄·二模）反比例函数的图象在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是关键． 根据反比例函数解析式，反比例函数图象的性质求解即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴图象经过第二、四象限， 当时 ，反比例函数图象在第四象限， 故答案为：四 ． 7．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，已知点，在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点，连接，则点到线段的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数图象的性质是关键． 根据题意得到即，根据两点之间距离的计算，，，根据等面积法即可求解． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ∴， ∴，即， ∵过点的一次函数的图象与轴交于点， ∴，，， ∴， 设点到线段的距离为， 又∵， ∴ 解得，， ∴点到线段的距离为， 故答案为： ． 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，则k的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查反比例函数的求解，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式． 把点代入反比例函数求出k即可． 【详解】解：把代入得， 故答案为：． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先确定反比例函数图象所在象限及单调性． 根据判断点、在第四象限，点在第二象限． 利用单调性得出、、的大小关系即可． 【详解】∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴点，在第四象限，且在第四象限随的增大而增大， ∴ ，而第四象限的值大于， ∴． 故答案为： ． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点A是反比例函数（，）图象上一点，点B与点A关于x轴对称，点C为y轴一点，连接，若的面积为16．则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质及反比例函数中系数的几何意义．连接，，根据对称性得到，轴，推出，由反比例函数中系数的几何意义即可求解． 【详解】解：设交轴于点，连接，， ∵点与点关于轴对称， ∴，轴， ∴， ∴， ∵点在第四象限， 即． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，并且当时，． (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，已知函数值求自变量的值，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式． （1）先设出，再根据“当时，”，求出即可； （2）将代入，求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）当时，，解得：． 12．（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)6 (3)或 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法，根据图形直观得出不等式的解集是数形结合数学的实际应用． （1）把代入，可求出反比例函数的关系式，求出点B坐标，进而确定一次函数关系式； （2）先求得点C的坐标，利用即可求解； （3）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案． 【详解】（1）解：把代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入， 得：， ∴． 把，代入，可得， ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图： 令，则， ∴， ∵ ； （3）当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴当时，或． 13．（2025·河南周口·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将一次函数的图象向下平移1个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为．一次函数的解析式为 (2)存在，交点坐标为 【分析】本题考查了求反比例函数和一次函数解析式、一次函数图象平移问题、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握求函数解析式、正确计算是解题的关键． （1）将点A代入反比例函数，求出解析式，然后求出点坐标，在代入直解析式中计算得出答案即可； （2）根据一次函数图象的平移，得出平移后直线的解析式，结合反比例函数的解析式计算求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得； 反比例函数的解析式为． 在反比例函数中， 当时，， 点的坐标为． 把A，两点的坐标代入，得 解得． 一次函数的解析式为． （2）一次函数的图象向下平移1个单位长度后与的图象仍有一个交点，理由如下： 将直线向下平移个单位长度，平移后所得直线解析式为， 令，整理得， 解得． 把代入，得． 交点坐标为． 14．（2025·河南安阳·一模）如图，已知直线，它与反比例函数相交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象． (3)过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)作图见解析； (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式及图象，熟练掌握反比例函数的解析式及图象是解题的关键． （1）将点代入直线得点的坐标为，将点代入反比例函数，即可得出答案； （2）根据反比例函数的解析式，选择点、、，并画出图象即可； （3）过点A作轴于点H，设点到的距离为，根据点的坐标及的面积为3，易求，即可得出点的横坐标为或，代入反比例函数解析式即可求出答案． 【详解】（1）解：将点代入直线得：，即点的坐标为， 将点代入反比例函数得：，即， 则反比例函数的解析式为； （2）根据反比例函数的解析式，如图所示，选择点、、，先描出这三个点，再画出反比例函数的图象为： （3）如图所示，过点A作轴于点H，设点到的距离为， 点坐标为， ， ， ，即点到的距离为， 点的横坐标为， 点的横坐标为或， 分别代入反比例函数可得：或， 点P的坐标为或． 15．（2025·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标． （1）利用待定系数法求出，再求得点P的坐标为，利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）根据，求出的面积，再根据的面积是面积的一半，构建方程求得的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵点P的纵坐标为3，且点P也在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点P的坐标为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，不等式的解集为：或； （3）解：令，， ∴点的坐标为， ∴， 由题意得，即， ∴， ∴点的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数的性质 目录 【题型一 由反比例函数的解析式确定其性质】 1 【题型二 判断反比例函数图象所在的象限】 2 【题型三 判断反比例函数的增减性】 2 【题型四 由反比例函数的增减性求字母的取值范围】 3 【题型五 由双曲线分布的象限求字母的取值范围】 3 【题型六 比例反比例函数值或自变量的大小】 4 【题型七 反比例函数中的几何变换问题】 4 【题型八 一次函数与反比例函数图象的综合判断】 5 【题型九 一次函数与反比例函数的交点问题】 6 【题型十 反比例函数的实际应用】 7 【题型一 由反比例函数的解析式确定其性质】 例题：（2025·山西忻州·一模）已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 【变式训练】 1．（2025·江西·模拟预测）有下列三个判断，其中正确的是（   ） ①点是原点，射线分别交反比例函数与的图象于点，点，则． ②点在双曲线上． ③双曲线的两支在所在象限内，随的增大而减小． A．①② B．②③ C．① D．③ 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 【题型二 判断反比例函数图象所在的象限】 例题：（24-25九年级下·重庆·期中）反比例函数的图象经过（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如果点在正比例函数的图像上，那么反比例函数的图像所在的象限是 ． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若反比例函数的图像经过，则它的图像位于（   ） A．第四象限 B．第一象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 【题型三 判断反比例函数的增减性】 例题：（24-25九年级下·山西朔州·期中）点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．图象分别位于第一、第三象限 【变式训练】 1．（2025·陕西榆林·一模）在反比例函数（k为常数）的图象上有两点和，若，则 （填“>”“=”“<”）． 2．（2025·江苏泰州·一模）已知点，都是反比例函数图像上的点，并且，则（   ） A． B． C． D． 【题型四 由反比例函数的增减性求字母的取值范围】 例题：（2025·上海杨浦·二模）如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·陕西咸阳·一模）已知点、是反比例函数（）图象上两点．当时，，则的值可以是 ．（写出一个即可） 2．（2025·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ． 【题型五 由双曲线分布的象限求字母的取值范围】 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 【变式训练】 1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【题型六 比例反比例函数值或自变量的大小】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数，则自变量x的取值范围是 ；当时， ；当时， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·四川内江·期中）在反比例函数的图象上有，，三个点，则，，的大小关系为 ． 2．（2025·浙江杭州·一模）函数图象上有两点（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型七 反比例函数中的几何变换问题】 例题：（2025·重庆·一模）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D．20 【变式训练】 1．（2025·陕西汉中·一模）已知是反比例函数的图象上一点，将点向下平移个单位长度得到点．若点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为 ． 2．（2025·江苏连云港·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，则的取值范围为__________． 【题型八 一次函数与反比例函数图象的综合判断】 例题：（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图所示，满足函数和的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图像是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型九 一次函数与反比例函数的交点问题】 例题：（2025·陕西宝鸡·二模）已知在平面直角坐标系中，正比例函数（为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象相交于，两点，则的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． (1)求一次函数解析式和反比例函数解析式； (2)请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． (1)反比例函数㳖达式为_________，一次函数的表达式为________； (2)求的面积； (3)当时．根据图象直接写出的取值范围． 【题型十 反比例函数的实际应用】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）某种灯泡的使用寿命为，它的可使用时间y（天）与每天使用时间之间的函数表达式为 ． 【变式训练】 1．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    2．（2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（    ） A． B． C．3 D．－3 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）点都在反比例函数的图像上，并且，下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则函数（x为一切实数）的图像经过（    ） A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限 4．（2025·河南平顶山·二模）如图，在平面直角坐标系中，的面积是6，其中边经过原点O，点C在x轴上，若点A在双曲线上，点B在双曲线上，且，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 二、填空题 6．（2025·云南楚雄·二模）反比例函数的图象在第 象限． 7．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，已知点，在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点，连接，则点到线段的距离为 ． 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，则k的值为 ． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 10．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点A是反比例函数（，）图象上一点，点B与点A关于x轴对称，点C为y轴一点，连接，若的面积为16．则k的值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，并且当时，． (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，求的值． 12．（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 13．（2025·河南周口·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将一次函数的图象向下平移1个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2025·河南安阳·一模）如图，已知直线，它与反比例函数相交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象． (3)过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标． 15．（2025·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$