精品解析：湖南省长沙市长郡中学集团2025年中考二模考试数学试题(1)

九年级第二次学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列实数中，是无理数的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A选项：是无限不循环小数，故是无理数； B选项：是有理数； C选项：＝3，故是有理数； D选项：＝2，故是有理数； 故选A. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 根据某网站统计数据，截至止2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：278000000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 5. 下列所给的事件中，是随机事件的是（ ） A. 抛掷硬币时，正面朝上 B. 任意画一个三角形，其内角和为 C. 若，互为相反数，则 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据相关概念逐项判断即可． 【详解】解：A、抛掷硬币时，可能正面朝上，也可能是反面朝上，是随机事件，符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和为，是必然事件，不符合题意； C、若，互为相反数，则，是必然事件，不符合题意； D、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 6. 如图， 内接于 ，连接，作交 于点D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理和平行线的性质，先由圆周角定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理得到，根据平行线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点 的位置，使 是一个等腰三角形，则 的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形定义，根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解： 是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：C． 8. 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点坐标特点、一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点，根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： 故选：D． 9. 我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多6枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的三倍．设甲袋原有黄金 枚，乙袋原有黄金枚，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二元一次方程组解古代数学问题，解题的关键是找准两个等量关系． 设甲袋原有黄金 枚，乙袋原有黄金枚，根据“甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多枚”、“从甲袋取枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的三倍”分别列出方程，联立成方程组即可． 【详解】解：设甲袋原有黄金 枚，乙袋原有黄金枚， 根据“甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多枚”可列方程：； 根据“从甲袋取枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的三倍”可列方程：， 可得方程组：． 故选： B． 10. 如图，直线与 轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点 和点，点是 轴上一个动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：连接，设直线与轴交于点 ， ∵直线与 轴平行， ∴， ∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点 和点， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题（每小题3分，18分．） 11. 函数中，自变量 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于解答即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12. 小明同学将自己前7次数学模拟测试成绩（单位：分）统计如下： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 成绩 97 98 100 98 99 99 98 第8次测试成绩为分，若这8次成绩的众数不止一个，则的值为_____． 【答案】99 【解析】 【分析】根据众数的定义作答即可． 【详解】解：∵前7次数学模拟测试成绩97和100各出现了1次，98出现了3次，99出现了2次， 又∵这8次成绩的众数不止一个， ∴第8次测试的成绩为99分， ∴． 故答案为：99． 【点睛】本题考查众数的定义．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．一组数据的众数可以不止一个．理解众数的定义是解题的关键． 13. 已知扇形半径长为，扇形的弧所对的圆心角度数为，则该扇形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算．直接利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：扇形的面积． 故答案为：． 14. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 【答案】１ 【解析】 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 15. 如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm． 【答案】64 【解析】 【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出 CE , EF , DF 即可解决问题； 【详解】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F． ∵AB//EF，AE//BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵∠AEF＝90°， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10（cm）， ∵AE//PC， ∴∠PCA＝∠CAE＝30°， ∴CE＝AC•sin30°＝27（cm）， 同法可得DF＝27（cm）， ∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm）， 故答案为64． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题． 16. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母的卡片写有数字__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了图形和数字类规律探索，解题的关键是理解题意． 根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4，黑1，黑2，黑3，黑4的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片， ∴白1摆在了第一行中的位置， ∴黑1摆在了第一行中 的位置， ∵第一行中 与第二行中肯定有一张为白2， 若第二行中为白2，则第二行中只能是黑1和黑2，而第一行中 为黑1，矛盾， ∴第一行中 为白2， ∵第一行中与第二行中肯定有一张为白3， 若第一行中为白3，则第一行中只能是黑2和黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾， ∴第二行中为白3， ∴第二行中分别为黑2和黑3， ∵第一行中与第二行中肯定有一张为白4， 若第一行中为白4，则只能是黑3和黑4，与第二行中为黑3矛盾， ∴第二行中为白4， ∴第二行中为黑4， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及立方根的定义分别计算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中 ，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，单项式乘多形式，熟练掌握公式和运算法则是解答本题的关键．先根据乘法公式，单项式乘多形式的运算法则计算，再合并同类项，然后把 ，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当 ，时，原式． 19. 如图，点 是边 上一点（不与点 重合），连接 ．用尺规作，点在边上．作法：以 为圆心， 长为半径作弧，交于点，连接 ，则．作法：以点 为圆心， 长为半径作弧，交于点，连接 ，则．以上两种作法中，一定正确的是作法________（填序号），并利用图写出证明过程． 【答案】， 理由如下： 如图，以点 为圆心， 长为半径作弧，交于点，则有两种情况， 或， ∴不一定正确， AI 理由：∵四边形 是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故正确． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，尺规作图，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据以点 为圆心， 长为半径作弧，交于点，则有两种情况， 或，可排除，然后通过平行四边形的判定与性质即可判断正确． 【详解】略 20. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图、图两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）九年级接受调查的同学共有多少名？并补全条形统计图； （2）九年级共有名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名； （3）若喜欢“交流谈心”的名同学中有三名男生和两名女生，心理老师想从名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率． 【答案】（1）九年级接受调查的同学共有名， 补全图形如下： （2）估计该校九年级听音乐减压的学生有名； （3）选取的两名同学都是女生的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可求得总人数，求出听音乐的人数即可补全条形统计图； （）用总人数乘以样本中“听音乐”人数所占比例即可求解； （）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再利用概率公式即可求得答案 ． 【小问1详解】 解：九年级接受调查的同学总数为（名）， 则“听音乐”的人数为（名）； 【小问2详解】 解：估计该校九年级听音乐减压的学生约有（名）， 答：估计该校九年级听音乐减压的学生有名； 【小问3详解】 解：画树状图如图， ∵共有种等可能的结果，同时选出的两名同学都是女生得有种情况， ∴选取的两名同学都是女生的概率为． 21. 如图， 和均为等腰直角三角形，，连接、，且 、 、 三点在一条直线上，与交于点 ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ 和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据证明两个三角形全等即可． （2）利用全等三角形的性质证明，求出即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比 种机器人贵5万元，用1200万元购进 种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． （1）求购买一个 种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批 、两种机器人共100个，且 种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当 种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】（1） 种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． （2）购进了 种机器人个，种机器人个；最大利润万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键． （1）设 种机器人的价格为 万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进 种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可； （2）先运算出 和的售价，设购买 的数量为 个，则的数量为个，列出不等式方程组求出 的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可． 【小问1详解】 解：设 种机器人的价格为 万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴种机器人的价格为（万）， 答： 种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． 【小问2详解】 解：由题意可得： 的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买 的数量为 个，则的数量为个， ∴由题意可得：， 解得：， ∴， ∵利润， ∵ ∴当 越小时，利润最大， 把代入可得：， ∴最大利润为：万，此时购进了 种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了 种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 23. 【知识技能】 （）如图，在 中， 平分，，求证：． 【场景迁移】 （）如图，四边形为平行四边形， 平分交于 ，延长交于 ，若，求的值． 【答案】 （）证明：∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （） 【解析】 【分析】（）由角平分线的定义和平行线的性质可得，进而即可求证； （）由角平分线的定义和平行线的性质可得，由相似三角形的判定和性质可得，即得，，进而可得，再代入计算即可求解． 【详解】（）略 （）∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，等腰三角形的 判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 24. 已知两个函数，如果对于任意的自变量 ，这两个函数对应的函数值记为，恒有点和点关于点对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“双语交互函数”．例如：与互为“双语交互函数”． （1）判断：和；和；和，其中互为“双语交互函数”的是________（填序号）． （2）已知的“双语交互函数”的图象经过两个定点 ，（点 在点的左侧），试在 轴上求一点P，使得的值最大，并求出此时点的坐标； （3）若三个不同的点都在二次函数（，，为常数，且）的“双语交互函数”的图象上，满足：，对任意满足条件的，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）最大值时，； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称的性质，两点间的距离等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据互为“双语交互函数”定义即可求解； （）由，可得该函数的“双语交互函数”为，整理得，令，得出，，作点 关于 轴的对称点，连接，并延长交 轴于点，此时的值最大，为线段的长度，然后求出直线的解析式为，从而可求出点的坐标； （）先求出二次函数的“双语交互函数”为，由，在函数的图象上， 则，，求出，又，的纵坐标相等，则抛物线的对称轴为直线，可得，设，则对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故有，又因为对任意满足条件的，恒成立，则可求出． 【小问1详解】 解：由和， 则，不符合“双语交互函数”； 由和， 则，符合“双语交互函数”； 由和， 则，符合“双语交互函数”； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴该函数的“双语交互函数”为， ∵图象经过两个定点 ，（点 在点的左侧），， ∴令， 解得，， ∴，， 作点 关于 轴的对称点，连接并延长交 轴于点，此时的值最大，为线段的长度， 设直线的解析式为，把，，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 令 ，则，解得：， ∴此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：， ∴二次函数的“双语交互函数”为， ∵，在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴且， ∵， ∴， ∵，的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴对称轴为直线，当时，随的增大而减小， 当时，，当时，， ∴， ∵对任意满足条件的，恒成立， ∴． 25. 如图，为圆O的直径，弦 ，垂足为E点．点G为弧 上的一点，连接 交于点F． （1）若，求的度数； （2）若点G为的中点，且，求 的长度； （3）若点G在线段的延长线上，连接 与 交于点H，连接 ，若，求y与x之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，等角对等边，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理、三角函数等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据垂径定理得出，再根据同弧所对的圆周角相等求解即可； （2）连接，先求得，继而得出长，再由勾股定理得出 长度，进而证明，即可求解； （3）先证明是中位线，再证明，设，则，圆O的直径为r，求得，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵为圆O的直径，弦 ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵ 为圆O的直径， ∴， ∵O、E分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则，圆O的直径为r， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二次学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列实数中，是无理数的是( ) A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据某网站统计数据，截至止2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列所给的事件中，是随机事件的是（ ） A. 抛掷硬币时，正面朝上 B. 任意画一个三角形，其内角和为 C. 若，互为相反数，则 D. 水中捞月 6. 如图， 内接于 ，连接，作交 于点D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点 的位置，使 是一个等腰三角形，则 的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多6枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的三倍．设甲袋原有黄金 枚，乙袋原有黄金 枚，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与 轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是 轴上一个动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（每小题3分，18分．） 11. 函数中，自变量 的取值范围是______． 12. 小明同学将自己前7次数学模拟测试成绩（单位：分）统计如下： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 成绩 97 98 100 98 99 99 98 第8次测试成绩为分，若这8次成绩的众数不止一个，则的值为_____． 13. 已知扇形半径长为，扇形的弧所对的圆心角度数为，则该扇形的面积为_____． 14. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 15. 如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm． 16. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母 的卡片写有数字__________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图 ，点 是边 上一点（不与点 重合），连接．用尺规作，点在边 上．作法：以 为圆心，长为半径作弧，交 于点，连接 ，则．作法：以点为圆心，长为半径作弧，交 于点，连接 ，则．以上两种作法中，一定正确的是作法________（填序号），并利用图 写出证明过程． 20. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图 、图 两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）九年级接受调查的同学共有多少名？并补全条形统计图； （2）九年级共有名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名； （3）若喜欢“交流谈心”的名同学中有三名男生和两名女生，心理老师想从名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率． 21. 如图， 和均为等腰直角三角形，，连接、 ，且 、 、 三点在一条直线上，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． （1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 23. 【知识技能】 （ ）如图 ，在 中，平分，，求证：． 【场景迁移】 （ ）如图 ，四边形为平行四边形，平分交于 ，延长交于，若，求的值． 24. 已知两个函数，如果对于任意的自变量 ，这两个函数对应的函数值记为，恒有点和点关于点对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“双语交互函数”．例如：与互为“双语交互函数”． （1）判断：和；和；和，其中互为“双语交互函数”的是________（填序号）． （2）已知的“双语交互函数”的图象经过两个定点，（点在点的左侧），试在 轴上求一点P，使得的值最大，并求出此时点的坐标； （3）若三个不同的点都在二次函数（，，为常数，且）的“双语交互函数”的图象上，满足：，对任意满足条件的 ，恒成立，求的取值范围． 25. 如图， 为圆O的直径，弦，垂足为E点．点G为弧上的一点，连接交 于点F． （1）若，求的度数； （2）若点G为的中点，且，求 的长度； （3）若点G在线段的延长线上，连接与交于点H，连接 ，若，求y与x之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $