精品解析：江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

丰城中学2024-2025学年下学期初三期中考试试卷 数 学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列运算或化简的结果中，是负数的是（） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 按一定规律排列的代数式：，，，，，，第 个代数式是（ ） A. B. C. D. 4. 鲁班锁是中国传统的智力玩具．如图，这是鲁班锁一个组件的示意图，则该组件的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，，半径为的 经过点 ， ，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，抛物线顶点坐标为．则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为实数）有两个不等实根．正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 台湾是中国不可分割的一部分，其面积约为36000平方千米．数据36000用科学记数法表示为__________． 8. 已知关于 的方程有一个根是，则的值为______． 9. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店客房有_____间． 10. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，若，则________． 11. 如图，面积为24的中，对角线 平分，过点 作交的延长线于点 ，，则的值为_____________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，轴于点A，，，点P是x轴上一点．若三线中，有一条线平分另外两条线所组成的角，则点P的坐标为________ 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2）如图，在中，， 为 的中点，分别是的中点，连接．求证：． 14. 先化简，再求值： ，其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解： 原式=…… 乙同学 解： 原式…… （1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 15. 如图， 内接于 ， 是直径， 是 的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出边 上的中线 ． （2）在图2中作出等腰三角形，使得． 16. 2025年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《熊出没·重启未来》．小明和小红各自独立选择一部电影观看． （1）小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》是 事件；（选填“随机”“不可能”“必然”） （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率． 17. 如图， 是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接 ． （1）点A的坐标为_____，k的值为___； （2）求四边形的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是： A组： B组： C组： D组： E组： 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了_______名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数； （4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？ 19. “垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点 所在的轴旋转．现测得，，，，． （1）如图3，将整体绕点 逆时针旋转角 ，当时，求 的度数． （2）求点 到 的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 如图，在半圆O中， 为直径，为弦，C为的中点，． （1）求证： 是 的切线． （2）若，． ①求 的长； ②的长是 　　 （结果保留π）． 五（本大题共2题，每小题9分，共18分） 21. 定义：如果关于x的一元二次方程（ ， ， 均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 ，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③ （2）若是“邻根方程”，求 的值． （3）若一元二次方程（ ， 均为常数）为“邻根方程”，请写出 ， 满足的数量关系，并说明理由． 22. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点 的坐标为，连接 ． （1）求抛物线的函数解析式． （2）如图，过点作轴，交抛物线于点 ，连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若 是 所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点 的坐标，并直接写出面积的最大值． 六、（本大题共12分） 23. 【课本再现】 （1）如图1， ，都是等边三角形，分别连接 ， ， ， 与 有什么数量关系？请证明； 【特殊感知】 （2）数学兴趣小组的同学继续探究发现：若一个三角形的已知条件符合全等的判定定理，则此三角形可求解； 在图1中，，，，则__________； 【类比应用】 （3）如图2，在四边形 中，，，， ，，求的长；小颖同学发现运用旋转可得到图1中类似的图，运用（2）的方法即可求的长，请你帮小颖求的长； （4）如图3，在四边形 中，，，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025学年下学期初三期中考试试卷 数 学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列运算或化简的结果中，是负数的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，乘法，负责整数指数幂的意义等知识，根据去括号法则，有理数的减法法则，乘法法则，负责整数指数幂的意义逐项判断即可． 【详解】解：A．，是正数，不符合题意； B．，是负数，符合题意； C．，是正数，不符合题意； D．，是正数，不符合题意， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方，分别进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A、不能合并，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误； 故选：B 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断． 3. 按一定规律排列的代数式：，，，，，，第 个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键． 【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，， ∴第 个代数式是， 故选：． 4. 鲁班锁是中国传统的智力玩具．如图，这是鲁班锁一个组件的示意图，则该组件的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的就是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看的图形如下： ． 故选：C． 5. 如图，点，，半径为 的 经过点 ， ，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接 ，过点 作于点 ，轴于点 ，可得四边形是矩形，得出，，利用，，可得，，，利用垂径定理可得，则可得 ，利用勾股定理可得 ，即可得． 【详解】解：如图，连接 ，过点 作于点 ，轴于点 ， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 的半径为 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 已知二次函数的图象如图所示，抛物线顶点坐标为．则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为实数）有两个不等实根．正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数得图象与一次函数得图象之间的关系等知识；根据图象判断系数的符号，判断①；对称轴判断②；特殊值判断③；对称轴结合顶点坐标，以及特殊点，解不等式，判断④；图象法判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为，与 轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴，故①正确，②错误； 由图象可知：当时，，故③错误； ∵， ∴， ∴， 由图象可知：当时：，解得：； 当时：，解得：， ∴，故④正确； ∵， ∴，此方程的根的个数可以通过观察与两个图象的交点个数， ∵，当 时，， ∴直线必过点，如图： 由图可知：与两个图象必有两个交点， ∴有两个不相等的实数根，故⑤正确； 综上：正确的有3个； 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 台湾是中国不可分割的一部分，其面积约为36000平方千米．数据36000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为：． 8. 已知关于 的方程有一个根是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“一元二次方程的根使方程的左右两边相等”是解本题的关键． 把代入原方程，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵关于 的方程有一个根是 ， ， ， 故答案为： ． 9. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店客房有_____间． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可． 【详解】解：设该店有客房x间，根据题意得 ， 解得， 答：该店有客房8间． 故答案为：8． 10. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，若，则________． 【答案】##17度 【解析】 【分析】连接 ，交 于点 ，先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得，又根据等腰三角形的性质可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接 ，交 于点 ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 11. 如图，面积为24的中，对角线 平分，过点 作交 的延长线于点 ，，则的值为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明四边形 是菱形，由面积可求出 长，再由勾股定理得到 的长，进而即可得证． 【详解】连接 交 于点O， ∵ 平分 ， ∴， ∵ 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ 的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定，正确作出辅助线思考问题． 12. 如图，在平面直角坐标系中，轴于点A，，，点P是x轴上一点．若三线中，有一条线平分另外两条线所组成的角，则点P的坐标为________ 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据含30度直角三角形的性质得出，．再分三种情况，分别画出图形利用含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定以及性质以及角平分线的性质定理求解即可． 【详解】解：，， ，． ①如答图1，当 平分时，． ， ． ， ②如答图2，当 平分时， 则， ， ③如答图3，当 平分时， 过点P作于点C， 则． ， ， 故答案为：，或 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，角平分线的定义以及角平分线的性质，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，学会分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2）如图，在中，， 为 的中点，分别是的中点，连接．求证：． 【答案】（1）3 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了零次幂、算术平方根、立方根，斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值、零次幂、算术平方根、立方根，再运算加减，即可作答． （2）先由直角三角形的性质得出，再由三角形中位线定理得出，即可得证． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：在 中，， 为 的中点， ∴． ∵分别是的中点， ∴ 是 的中位线， ∴， ∴． 14. 先化简，再求值： ，其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解： 原式=…… 乙同学 解： 原式…… （1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②，③ （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）若选择甲同学的解法，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，即可解答，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②；③； 【小问2详解】 解：若选择甲同学的解法， 原式 ； 若选择乙同学的解法， 原式 ； ∴当时，原式． 15. 如图， 内接于 ， 是直径， 是 的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出边 上的中线 ． （2）在图2中作出等腰三角形，使得． 【答案】（1） 即为所求作； （2） 等腰三角形为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图 复杂作图、全等三角形的判定与性质、圆周角定理及其推论、三角形的中线、等腰三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接， ，相交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，利用重心可知 即为所求． （2）在（1）的基础上，连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，交 的延长线于点 ，结合圆周角定理及其推论、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定可知， 即为所求． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，相交于点 ，连接 并延长，交 于点 ， ∵ 是 的中点， 是 的中点， ∴点 是 的重心， ∴ 为 的边 上的中线， 【小问2详解】 解：如图，在（1）的基础上，连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ， 可知 为 的边 上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵ 为 的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ 为等腰三角形． 16. 2025年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《熊出没·重启未来》．小明和小红各自独立选择一部电影观看． （1）小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》是 事件；（选填“随机”“不可能”“必然”） （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，列表法求出概率： （1）根据事件的分类作答即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》是随机事件； 故答案为：随机； 【小问2详解】 用分别表示四部电影，列出表格如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中小明和小红选到同一部电影的结果有4种， ∴． 17. 如图， 是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接 ． （1）点A的坐标为_____，k的值为___； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何综合，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）过点A作轴于点E，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，求出点A的坐标为，根据点在反比例函数的图象上，求出k的值即可； （2）过点A作轴，连接 ，根据，得出，根据求出结果即可． 【小问1详解】 解：过点A作轴于点E，如图所示： ∵ 为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴点A的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点A作轴，连接 ， ， ， ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是： A组： B组： C组： D组： E组： 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了_______名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数； （4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？ 【答案】（1）100 （2） 补全统计图如图所示 （3）D组所对应的扇形圆心角度数为 （4）估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人 【解析】 【分析】（1）根据统计图中 组的人数与占比，计算求解即可； （2）根据 组人数占比为，求出 组人数为人，然后作差求出 组人数，最后补全统计图即可； （3）根据 组人数的占比乘以计算求解即可； （4）根据两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，本次共调查了（人）， 故答案为：100． 【小问2详解】 解：由统计图可知， 组人数占比为， ∴ 组人数为（人）， ∴ 组人数为（人）． 【小问3详解】 解：由题意知，D组所对应的扇形圆心角度数为， ∴D组所对应的扇形圆心角度数为． 【小问4详解】 解：由题意知，（人） ∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息． 19. “垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点 所在的轴旋转．现测得，，，，． （1）如图3，将整体绕点 逆时针旋转角 ，当时，求 的度数． （2）求点 到 的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键； （1）根据题意，可以求解和的度数，根据，求得，即可求解； （2）过 点作，垂足为 ，过点作，垂足为 ，根据 平分 ，求得 ，求得的度数，进而求得的长度，从而求解； 【小问1详解】 解：，， ， ∵， ， ， 故； 【小问2详解】 解：如图：过 点作，垂足为 ，过点作，垂足为 ， ，， 平分 ， 而 ∴在中，， 又， ， ∴在中，，， ， ， ， ， 到 的距离为； 20. 如图，在半圆O中， 为直径， 为弦，C为的中点，． （1）求证： 是 的切线． （2）若，． ①求 的长； ②的长是 　　 （结果保留π）． 【答案】（1）详见解析 （2）①3；②π 【解析】 【分析】（1）连接 ，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论． （2）①连接 ，根据平行四边形的性质得到，求得 ，得到，根据等腰三角形的性质得到结论； ②由①知，是等边三角形，求得，根据弧长公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接 ， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 是半圆O的半径， ∴ 是 的切线． 【小问2详解】 解：①连接 ，如图； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由①知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，且， ∴的长的长． 故答案为：π． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，弧长的计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 五（本大题共2题，每小题9分，共18分） 21. 定义：如果关于x的一元二次方程（ ， ， 均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 ，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③ （2）若是“邻根方程”，求 的值． （3）若一元二次方程（ ， 均为常数）为“邻根方程”，请写出 ， 满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于 的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到 ， 的数量关系． 【小问1详解】 解：①解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解：解方程得：，， 该方程式“邻根方程”， 或， 解得：或． 【小问3详解】 解： 一元二次方程（ ， 均为常数）为“邻根方程”， 设方程的两个根为、，则，，，， 得， ， ， ． 22. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点 的坐标为，连接 ． （1）求抛物线的函数解析式． （2）如图，过点作轴，交抛物线于点 ，连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若 是 所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点 的坐标，并直接写出面积的最大值． 【答案】（1） （2）解：当时，，解得， ， ， ， ， 轴， ， 四边形 为平行四边形，根据勾股定理可得， ， 平行四边形 为菱形； （3）点时， 的面积最大为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，菱形的判定，正确做出辅助线表示出的面积是解题的关键． （1）把代入函数解析式即可解答； （2）求得点 的坐标，得到 的长度，即可解答； （3）过点 作 的平行线交直线 于点 ，设 的横坐标为 ，求得 的长，进而表示出的面积，利用二次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：把代入函数解析式， 可得， 解得， 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设直线 的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线 的解析式为， 如图，过点 作 的平行线交直线 于点 ， 设点，则点， ， ， 当，即时， 的面积最大为． 六、（本大题共12分） 23. 【课本再现】 （1）如图1， ，都是等边三角形，分别连接 ， ， ， 与 有什么数量关系？请证明； 【特殊感知】 （2）数学兴趣小组的同学继续探究发现：若一个三角形的已知条件符合全等的判定定理，则此三角形可求解； 在图1中，，，，则__________； 【类比应用】 （3）如图2，在四边形 中，，，， ，，求 的长；小颖同学发现运用旋转可得到图1中类似的图，运用（2）的方法即可求 的长，请你帮小颖求 的长； （4）如图3，在四边形 中，，，，，，直接写出 的长． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明即可得证． （2）过点E作，交 延长线于点M，利用直角三角形的性质，勾股定理解答即可． （3）不妨将绕点D顺时针旋转到，连接 ，根据等边三角形的判定和性质，圆周角，四边形内角和定理，勾股定理解答即可． （4）不妨将 绕点D逆时针旋转到 ，使得，连接 ， ，过点E作，交 延长线于点N，利用三角形相似的判定和性质，三角函数解答即可． 【详解】（1）解：∵ 和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交 延长线于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：由， 不妨将绕点D顺时针旋转到，连接 ，过点E作，交 延长线于点G， 则，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：不妨将 绕点D逆时针旋转到 ，使得，连接 ， ，过点E作，交 延长线于点N， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴, ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $