4.6 两条平行线间的距离 课件2024-2025学年湘教版数学七年级下册

4.6 两条平行线间的距离 （湘教版）七年级下册 第4章平面内的两条直线 同学们，如果要在操场上画两条平行的跑道，如何确保它们的间距处处相等？如果两条铁轨是平行的，工程师如何测量它们的距离？ 情境提问 画两条互相平行的直线 ，从其中一条直线上任取一点A，比较这两点到另一条直线的距离 如图， l1 ∥ l2， 在直线 l1 上任取一点 A ，作AB ⊥ l2 ，垂足分别为点 B，D. 新知探究 于是AB⊥ l1 与两条平行直线都垂直的直线， 叫作这两条平行直线的公垂线 ，这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段. 图中的线段 AB是平行线 l1 与 l2 的公垂线段 . 公垂线段的概念 在两条平行线上另取几个点 ，会发现平行线 l1 与 l2 的公垂线段的长度相等 两平行线上各取一点连结而成的所有线段中， 最短. 公垂线段的性质 由此可得：两条平行线的所有公垂线段都相等 . 工程师需要铺设两条平行铁轨，要求间距为1.5米。他只需要测量一次距离就能保证全程间距一致吗？为什么？ 实际应用 两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. 两条平行直线的距离 点到直线的距离 如上图，线段 AB 是l1 与 l2 的 所以，线段 AB 的长度是直线 与 直线 之间的距离 又因为，线段AB 的长度是点 到直线 的距离 因此 ，l1 与 l2 之间的距离等于 l1 上的点A 到 l2 的距离 由此可知：两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离 新知探究 由上述结论可以进一步猜测 ：平行线 l1 与 l2 之间的距离等于 l1 上任一点到直线 l2 的距离 . 【例1】如图，AB∥ DC ，AB = DC ，DE⊥ AB ，BF ⊥ CD ，垂足分 别为点 E，F ，那么线段AE 与 CF 相等吗？ 解：因为AB∥ DC，DE⊥ AB 所以 ∠CDE + ∠DEB = , ∠DEB = . 因此 ∠CDE = 180°－∠DEB = . 故 ⊥ . 同理可得 ⊥ . 因而 DE∥ FB 又 DF⊥ DE，DF ⊥ FB，EB ⊥ DE，EB ⊥ FB 从而线段 DF，EB 都是平行线 DE 与 FB 的公垂线段 . 故 = . 又AB = DC 所以AB - EB = DC - DF， 即 = . 典例解析 【例 2】 如图，设 a， b， c 是三条互相平行的直线 . 已知 a 与 b 的距离为 5 ，b 与 c 的距离为 2 ，求 a 与c 的距离 解：在 a 上任取一点A ，过点A 作AC ⊥ c ，分别与b ，c 相交于 B ，C 两点 例题讲解 因为 a ，b ，c 是三条互相平行的直线 所以 ∠1 = ∠2 = ∠3 = 90° ,即AB⊥ b，AC ⊥ a 因此 ，线段AB，BC，AC 分别是平行线 a 与 b ，b 与 c ，a 与 c 的公垂线段 . 又AC = AB + BC = 5 + 2 = 7 因此 ，a 与 c 的距离是 7 课堂总结 1. 与两条平行直线都垂直的直线， 叫作这两条平行直线的公垂线 ，这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段.； 2. 公垂线段性质：两条平行线的所有公垂线段都相等； 3. 两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离； 4. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离. 即学即用：公垂线段的性质 1．两条平行线的公垂线段有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 2.如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（ ） A.变大 B.变小 C.不变 D.变大变小要看点向左还是向右移动 D C 1.两条平行线间的距离是指它们的(　　) A．公垂线 B．公垂线段 C．公垂线段的长度 D．以上都不对 2.已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（ ） A.只有AB B.只有AE C.AB和CD均可 D.AE和GF均可 B 即学即用：任务2：两条平行线之间的距离 C 若将例2中的“如图”去掉，a与c的距离会变化吗？将你的结果与同学交流. 设 a， b， c 是三条互相平行的直线 . 已知 a 与 b 的距离为 5 ，b 与 c 的距离为 2 ，求 a 与c 的距离. a b c A B C a b c A B C AC = AB + BC =3+2=5 AC = AB -BC =3-2=1 议一议 再见! $$