江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高三下学期4月调研数学试卷

36740:uId:36740 1165910:fId:1165910 学科网（北京）股份有限公司 数学试卷 1 2024/2025学年第二学期 04月调研试卷 高 三 数 学 一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 2025 2025 i 1 i 1    （ ） A. i B. i C. 1 i D. 1 i  2. 已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为 1 4 个圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 4 B. 2 2 C. 4 2 D. 8 2 3. 记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，公差 0d  ，且 2020 2021 0a a  ，则 nS 取得最小值时 n为（ ） A. 2021 B. 4039 C. 2020 D. 4040 4. 已知圆 2 2( 1) ( 1) 9x y    上的点 P到直线3 4 7 0x y   的距离为1，则满足条件的点 P的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设 0.9 1ln0.9, , e 9 a b c    ，则（ ） A. c a b  B. c b a  C. b c a  D. a c b  6. 男、女各 3名同学排成前后两排合影留念，每排 3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排 法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 7. 已知函数    2sinf x x   ，如图， ,A B是直线 2y  与曲线  y f x 的两个交点，若  π , 0 2 4 AB f  ，则 π 2 f       （ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 2 8. 直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的 10个半径为 r的小球，全部放进棱长为8 4 6 的正四面体盒子中，则 r的最大值为（ ） A． 12 B．1 C． 3 2 D．2 36740:uId:36740 1165910:fId:1165910 学科网（北京）股份有限公司 数学试卷 2 二､多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的左､右焦点分别为 1 2, , ,F F A B为椭圆C上关于原点对称的两点， 且 1 2AB FF ，则（ ） A. 1 2AF AF B. 四边形 1 2AF BF 的周长为 4a C. 四边形 1 2AF BF 的面积为 2b D. 椭圆C的离心率的取值范围为 2[ ,1) 2 10. 函数   e lnxf x a x  的图象可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列 na 满足：  1 13,3 1n na na n a    ，则下列说法正确的是（ ） A. 3 9a  B.  na 是单调递增数列 C. 若 nT 为数列  1 3 n n a n        的前 n项和，则 1nT  D. 若对任意 *nN ，都有 1( 1) n n na a   ，则 3 1   三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 二项式 6 1 2 x x       的展开式的常数项是______. 13. 已知 0a  ，函数     2 1 , 0, , 0. x f x g x ax ax ax x x       „ ，若函数      F x f x g x  有三个零点，则 实数 a的取值范围是______. 14．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的右焦点 F，过点 F作直线 l交双曲线C左右两支于A、B两点， 且 2AB BF   ，过点 F作直线 l的垂线交双曲线C于点M ，若点A、M 两点关于原点对称，则双曲线C的离 心率为 ． 36740:uId:36740 1165910:fId:1165910 学科网（北京）股份有限公司 数学试卷 3 四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本题满分 13分） 如右图所示，五边形 ABCED中， 2 CBA BAD CDE       ， 1BA AD DE   ，连接 BD、CD，将三角 形 ABD和 CDE分别沿 BD、CD折叠，使点 A和点 E重合，将重合的点记作点 P． （1）若 2BC  ，求证： PB CD ； （2）若面 PBC与面 DBC的夹角余弦值为 7 7 ，求 BC的长． 16. （本题满分 15分） 在△ABC中，角 A、B、C所对的边为 a、b、c，且 2sin cos cos sin sin 2 2 C B C BC A A  ． （1）若 2 A  ，求角 C的正切值； （2）求 2 2a b ac  的取值范围． 17. （本题满分 15分） 某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件 的直径进行测量，质检部门随机抽查了 100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米）  1.0,1.2  1.2,1.4  1.4,1.6  1.6,1.8  1.8, 2.0 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布  2,N   ，， 2 分别为这 100个零件的直径的平均数及方差（同一 组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据： 0.052 0.228 ；若随机变量  2~ ,N   ，则   0.6827P          ，  2 2 0.9545P          ，  3 3 0.9973P          . (1)试估计这批零件直径在  1.044,1.5 的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取 4个，记直径在区间  1.2,1.4 内的零件个数为 Z，求 Z的分布 列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的 3倍，甲机器生 产的零件的次品率为 0.3，乙机器生产的零件的次品率为 0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个 零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 学科网（北京）股份有限公司 数学试卷 4 18．（本题满分 17分） 如图 18-1，曲线是   2 2 2 1 04 x y y b    与   2 2 2 1 04 y x y b    组合的． 图 18-1 图 18-2 第 18题图 （1）   2 2 2 1 04 x y y b    过点 31, 2      ，求   2 2 2 1 04 y x y b    的渐近线方程； （2） 2b ，设  0,T t ， 2 ,3 2 2        t ，曲线上找一个点Q，使得  TQ 达到最小； （3）若 1b ，如图 18-2，存在过点 (0,1)P 的两条直线 1l， 2l 与曲线的交点分别是点 A、点M 、点 B、 点 N ,点 A在第二象限，点M 在第一象限．是否存在非零实数  使得    MN AB 成立，请说明理由． 19．（本题满分 17分） 函数  y f x ，其中   3 2 1 1 2 4    f x x x x ，定义域是一切实数． （1） 计算     0 2 2 lim    h f h f h 的值并指出其几何意义； （2） 当 10, 2      x 时，方程    f x a x只有一个解，求实数 a的取值范围； （3） 设  1 10,  n nx x f x ，  1 1 1 , 2   n ny y f y ， 1, n n N，  n n nb y x ． 求证：   1 0,1   n n i b ． 36740:uId:36740 学科网（北京）股份有限公司 5 参考答案 一､选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.B 2. C 3.C 4.D 5.A 6.B 7.B 8.D 二､多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.ABD 10.ABD 11.ABC 三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 15 4 13. 10, 3       14. 5 6.【详解】若第一排有 2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站中间， 不同的排法种数为 1 3 2 2 2 3 2 2C A C A 36 ； 同理可得：若第一排有 1名男生，2名女生，不同的排法种数为36. 根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为36 36 72  . 故选：B. 8.【解析】根据题意利用正四面体的性质得出棱长与高之间的关系，再由 10个球在正四面体盒子内部摆放 规则以及内切关系，利用三角形相似即可求得 r的最大值. 如图所示， 因为正四面体的高等于其棱长的 6 3 倍，所以其高为 8 68 3 AO   . 10个半径为 r的小球放进棱长为8 4 6 的正四面体 A BCD 中，成三棱锥形状，有 3层， 则从上到下每层的小球个数依次为    1, 1 2 , 1 2 3   个， 当 r取最大值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切， 底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切， 位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体 E FGH ， 1166523:fId:1166523 学科网（北京）股份有限公司 6 则该正四面体 E FGH 的棱长为 2 4r r r r   ， 可得正四面体 E FGH 的高 6 4 64 3 3 rEP r   . 连接DO并延长交 BC于点M ，连接 AM ，过点 E作 NE AM 于点 N， 易知 , 3AOM ANE AM DM MO  ∽ ，所以 3 1 AE AM NE MO   ， 所以 3 3AE NE r  ， 所以正四面体 A BCD 的高 4 6 8 63 8 3 3 rAO AE EP PO r r        ， 解得 2r  ，所以 r的最大值为 2.故选：D. 14.【解析】设另一个焦点 1F ，连接 1AF 、 BF、 1FM ，设 BF m ，则 2 ,AB m 再根据双曲线的定义可知： 1 2 2BF BF a m a    ， 1 2 3 2AF AF a m a    ， 由双曲线的对称性可知，O是 AM 的中点，O也是 1F F的中点， 所以四边形 1AFMF是平行四边形，又因为 AF MF ，所以可得 1AF AB ， 所以由勾股定理得：    2 22 2 2 21 1 + 2 3 2 4BF AF AB m a m a m      ， 化简得： 4 3 m a ， 再由勾股定理得：  22 2 2 2 21 1 + 4 3 2 9FF AF AF c m a m     ， 代入 4 3 m a 得： 2 25 5cc a e a     ，故答案为： 5 . 四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.解：（1）由 2 CBA BAD     ， 1BA AD  知 2BD  ， 45ABD  ， 45DBC  ， 2分 由 45DBC  得 2DC  ， 2 2 3CE DE DC   ， 故 2 2 2PB PC BC  ，即 PC PB 4分 由 PB PD 得 PB 平面 CDP，故 PB CD 6分 （2）以 BD中点 O为原点，建立如图所示得空间直角坐标系 Oxyz， eyurp :uId: eyurp 学科网（北京）股份有限公司 7 有 2 ,0,0 2 B        ， 2 ,0,0 2 D        ， 7分 设 2 20, sin , cos 2 2 P         ， 面 BCD法向量  1 0,1,0n ， 8分 设面 PBC法向量为  2 , ,a b cn 由 2 0BP   n ， 2 0BC   n 得 2 2 2sin cos 0 2 2 2 0 a b c a c           取  2 sin ,cos 1, sin    n ， 9分 得   1 2 22 2 7 cos 1 7 sin cos 1 sin            n n 解得 1cos 2   ， 11分 则 6 20, , 4 4 P        ， 2 6 2, , 2 4 4 DP          ，  1,0,2DC   故 3 2 ,0,2 2 2 C        ， 4BC  13分 16.解：（1）代入 2 A  ， 0 sin 2 C B  ， 故 4 C B   ， 则 tan 1C  4分 （2）若 2 A  ，由题 2sin cos sin sin sin 2 2 A C BC A A  即 sin 2 tan cos sin 2 2 A C BC A  即 sin tan 2sin sin 2 2 C AC B C B   即 sin tan cos cos C A B C   即 sin cos sin cos sin cosC A A B A C  ， sin cos sin cos sin cosC A A C A B  故  sin sin cosA C A B  ， sin tanA B 7分 若 2 A  ， sin tanA B 仍成立 8分 有 2 2 2 2 2 2 2sin sin tan sin tan sin sin sin sin sin tan sin sin cos sin cos 1 cos a b A B B B B B A B ac A C B C A B B A A          10分 qqyytwe :fId: qqyytwe 学科网（北京）股份有限公司 8 熟知 sin tan 1 cos 2 A A A   ， 11分 2 2 2 22 2 2 2 4 tantan sin 2sin 1 tan 1 sin 1 tan 4 tan 2 2 A B AB B A A A            12分 令  tan 0, 2 A t   ，     2 2 2 4 2 4 22 2 4 4 0,1 6 11 4 a b t tt ac t tt t        15分 17.【解析】（1）由平均数与方差的计算公式分别得  1 10 1.1 25 1.3 30 1.5 25 1.7 10 1.9 100                1 110 1.1 1.9 25 1.3 1.7 30 1.5 150 1.5 100 100               . 1分          2 2 2 2 22 1 10 1.1 1.5 25 1.3 1.5 30 1.5 1.5 25 1.7 1.5 10 1.9 1.5 100                     1 10 0.16 25 0.04 30 0 25 0.04 10 0.16 100            1 5.2 0.052 100    . 2分 故 1.5  ， 2 0.052  . 设表示零件直径，则   2~ ,N   ，即  ~ 1.5,0.052N . 3分 则    2 2 1.5 2 0.228 1.5 2 0.228 0.9545P P                 ，  2 1.044 1.5 0.9545P    ，即  1.044 1.5 0.47725P    . 4分 （2）由题意知，这批零件直径在  1.2,1.4 的概率为 1 4 . Z的取值范围为 0,1, 2,3, 4 ， 则   4 0 0 4 3 1 810 C 4 4 256 P Z              ， 5分   3 1 1 4 3 1 271 C 4 4 64 P Z              ， 6分   2 2 2 4 3 1 272 C 4 4 128 P Z              ， 7分   1 3 3 4 3 1 33 C 4 4 64 P Z              ， 8分   0 4 4 4 3 1 14 C 4 4 256 P Z              ， 9分 因此可得 Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 因为 Z服从二项分布，则 Z的数学期望   14 1 4 E Z    . 10分 （3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件 1A，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件 2A ， “抽取的零件为次品”记为事件 B， EYURP :uId: EYURP 学科网（北京）股份有限公司 9 则  1 3 4 P A  ，  2 1 4 P A  ，  1 0.3P B A  ，  2 0.2P B A  ， 12分 则          1 1 2 2 3 1 110.3 0.24 4 40P B P A P B A P A P B A       ， 14分            1 11 1 3 0.3 94 11 11 40 P A P B AP A B P A B P B P B      ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为 9 11 . 15分 18.解： （1） 2 2 2 3-1 1 2 4        ， 代入 x y b ，得 2 3b  2分 所以   2 2 1 0 3 4 y x y   ，渐近线方程： 3 2 y x  . 4分 （2）     2 2 2 2 2, 1 0 1 0 4 2 2 4 x y y xb y y       曲线 是 和 的组合 当 2 2 2        ，t 时， 2 2 1 4 2    取到最小值点 一定在 上 x yQT Q ，   2 2 4 1 0 2 2           yx y    22, ,Q x y TQ x y t    设点 则 5分    22 2 2 24 2 2 4 2 0 2           TQ y y ty t y t t y 1分 当 2 2  t 时，存在三个点    2,0 0, 2 或Q Q ，  QT 最小值 3 2 2 6分 当 2 2 2   t 时，存在唯一的点  0, 2Q ，  QT 最小值 2  t 7分 当  2 3 2  ，t 时， 2 2 1 2 4    取到最小值点 一定在 上 y xQT Q   2 2 4 1 2 2          yx y   2 2 2 2 222 4 2 3 4 2 3 3               tTQ y y ty t y t y 8分 22 3 2, 2 3 3      tt 时存在唯一的点  0, 2Q ，  QT 最小值 2t 9分 （3）设 1 1 2 2: 1 : 1   ，l y k x l y k x 设        1 1 2 2 3 3 4 4, , , ,， ， ，A x y B x y M x y N x y 1 12 1 122 1 1 8 10 4 1 21 4              y k x kx kx ky 2 1 1 2 2 1 1 8 4 1, 4 1 4 1          k kA k k 10分 2 22 2 222 2 1 8 1 0 4 1 21 4               y k x kx kx ky 2 2 2 2 2 2 2 8 4 1, 4 1 4 1          k kB k k 11分 1 12 3 122 1 1 8 10 4 1 21 4              y k x kx kx ky 2 1 1 2 2 1 1 8 4 1, 4 1 4 1         k kM k k 12分 QQYYTWE :fId: QQYYTWE 2025-04-22T18:43:49.929学科网（北京）股份有限公司 10 2 22 4 222 2 1 8 1 0 4 1 21 4               y k x kx kx ky 2 2 2 2 2 2 2 8 4 1, 4 1 4 1         k kN k k 13分 计算出 1 2 1 21 4   AB k kk k k ， 1 2 1 21 4   MN k kk k k 14分 当 1 2 0 k k 时，存在非零实数使得    MN AB 成立 16分 当 1 2 0 k k 时，不存在实数使得    MN AB 成立 17分 19、（1）   212 4 f 1分 原式=      3 2 2 0 0 1 1 212 2 2 17 172 4 4lim lim 5 2 2                h h h h h h h h 3分 几何意义是函数在点 212 4       ， 处切线的斜率是 17 2 4分 （2）变形    f x a x得到 3 2 1 1 2 4    a x x x ， 令   3 2 1 1 2 4    h x x x x ，   2 13 2 2    h x x x 在 10 2       ， 内恒小于零， 所以函数   3 2 1 1 2 4    h x x x x 在 10 2       ， 严格递减 6分 得到   3 2 1 1 2 4    h x x x x 值域为 1 1 8 4       - ， ，所以a的取值范围为 1 1 8 4       - ， 8分 （3）由（2）知函数     g x f x x在 10 2       ， 严格减，且存在唯一的零点 0 10, 2      x 使得  0g 0x ，即  0 0f x x 9分  1 2 1 2 1 1 1 10, 0 4 2 4        ，x x f x x x ，根据函数单调性知    2 1 f x f x ， 即 3 2x x ，依次类推，得到 0 1 1 0 2     n nx x x ， 同理 0 1 1 2   n nx y y 10分 即 1 2 0 2 1 10 2                n n n n n nx x x x y y y           2 22 21 1 1 1 1 1 2 2 2 4                             n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n f y f xy x y x y x x y y x y x y x y x y x   21 1 1 10 1, , 2 4 4 2                  n n n ny x y x 1 1 10 2      n n n n y x y x ，所以得到  1 1 10 2     n n n ny x y x 12分      1 1 1 1 1 12 1 1 10 2 2 2             n n n n n n ny x y x y x y x 14分 学科网（北京）股份有限公司 11              1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 i=1 1 1 1 2 2 2                      n n n n n n n nb y x y x y x y x y x y x y x     1 1 11 2 i=1 i=1 11 1 21 1 1 11 012 2 2 21 2 11 0,1 2                                       n n n n n n n n b y x b 17分