精品解析：广东省江门市紫茶中学2024—2025学年下学期七年级数学期中考试卷

2024～2025学年度第二学期中核心素养试题 七年级数学 本试卷共4页，共23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列实数中：无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意开不尽方的数，无限不循环小数都为无理数．如，以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 根据无理数的概念判断． 【详解】解：其中的无理数有：共2个， 故选：B 2. 下列说法中，正确的是（ ）． A. 0.4的算术平方根是0.2 B. 16的平方根是4 C. 的立方根是4 D. 的立方根是 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的运算法则对各选项进行计算判断即可． 【详解】解：A中0.4的算术平方根是，错误； B中16的平方根是，错误； C中，再求8的立方根是2，错误； D中的立方根是，正确． 故选：D． 【点睛】题目主要考查算术平方根、平方根、立方根的运算法则，掌握运算法则是解题关键． 3. 估计的大小在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 10和11之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出的大小范围是解答此题的关键．根据无理数的估算得出的大小范围，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，故A正确． 故选：A． 4. 如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据平行线的判定定理逐个排查即可． 【详解】解：①由于和是同位角，则①可判定； ②由于和是内错角，则②可判定； ③由于和既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定； ④由于和是同旁内角，则④可判定； 即①②④可判定． 故选A． 5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握表示方法是解题关键． 【详解】解：数轴上表示不等式的解集如下： 故选：C． 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是一个无理数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义对A进行判断；根据平方根的定义和无理数的定义对B进行判断；根据不等式的性质对C、D进行判断． 【详解】解：A、若x2=2，则，所以A选项为真命题； B、若x3=3，则，所以x为无理数，所以B选项为真命题； C、若a＞b，则a+c＞b+c，所以C选项为真命题； D、若ac＞bc，当c＞0时，a＞b，所以D选项为假命题． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 7. 平面直角坐标原中，点，若轴．则线段的最小值及此时点C的坐标分别为（ ） A. 6， B. 3， C. 2， D. 1， 【答案】C 【解析】 【分析】由垂线段最短可知点BC⊥AC时，BC有最小值，从而可确定点C的坐标． 【详解】解：如图所示： 由垂线段最短可知：当BC⊥AC时，BC有最小值． ∴点C的坐标为（3，2），线段的最小值为2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是垂线段的性质、点的坐标的定义，掌握垂线段的性质是解题的关键． 8. 如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如下图案，已知，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的坐标表示与长方形的综合运用，根据点的坐标及长方形的摆放位置求出长方形的长和宽后再根据长方形的摆放位置求出新的点坐标 ．设长方形纸片的长为a，宽为b，由B点坐标可以得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可以得到a和b，再根据纸片的摆放可以得到A点坐标． 【详解】解：设长方形纸片的长为a，宽为b， 由B点坐标可以得到： ， 解得：， ∴点A的横坐标为：，纵坐标为， 故选：B． 9. 中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人，那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行．假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键． 设有x个人，有y辆车，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得，由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得： 从而可得答案． 【详解】解：设有x个人，有y辆车，根据题意得： 则 故选：D． 10. 跨物理学科 如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，再求出，根据垂直的定义可得，从而可得，最后根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， 故选：B． 二、填空题 11. 点到轴的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到轴的距离为，点到轴的距离为，由此即可求解． 【详解】解：点到轴的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点与坐标轴距离的问题，理解并掌握点与坐标轴距离的含义是解题的关键． 12. 已知方程，用含y的代数式来表示x，则____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程，用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，解题的关键是将看作已知数求出．将看作已知数求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若关于，的方程组的解互为相反数，则的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】先根据方程组的解互为相反数，则x+y=0，然后化简原方程组可得，最后代入x+y=0，即可求得m的值． 【详解】解：方程组的解互为相反数， ， ∴ ①+②，得， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据解得关系化简方程组成为解答本题的关键． 14. 如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质得出，，则，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， ． 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形的面积相等是解题的关键． 15. 任意实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：72→[]＝8→[]＝2→[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地：对数字900进行了n次操作后变为1，那么n的值为_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】根据题意，计算即可判断n的值. 【详解】900→第一次[]＝30→第二次[]＝5→第三次[]＝2→第四次[]＝1， 即对数字900进行了4次操作后变为1，即n的值为4． 故答案为4． 【点睛】此题考查的是新定义类问题和算术平方根，掌握新定义类问题的定义和求一个数的算术平方根的整数部分是解决此题的关键. 三、解答题（一） 16. 计算：． 【答案】3＋． 【解析】 【分析】先计算1的指数幂，二次根式化简，立方根，以及绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握1的指数幂，二次根式化简，立方根，以及绝对值的计算是解题的关键． 17. 解方程（组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用立方根的定义解方程，解二元一次方程组，掌握立方根的概念以及加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）先系数化1，再利用利用立方根的定义解方程即可； （2）直接利用加减消元法求解． 【小问1详解】 解： ， 解得：； 【小问2详解】 解：， 由得，， 解得：， 将代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为：． 18. 在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点A平移到点，点，分别是B，C的对应点． （1）请画出平移后的三角形，并直接写出点，的坐标； （2）若三角形内部一点P的坐标为，写出点P的对应点的坐标； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）图见解析，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出平移后的△A′B′C′，并写出点B′、C′的坐标即可； （2）先判断平移的方式，再根据平移的方式写出坐标即可； （3）用割补法求出△ABC面积即可． 【小问1详解】 如图，三角形即为所求， 如图所示，为所求三角形， ，； 【小问2详解】 ，， A到是向左移5个单位，向下移2个单位， ∵点P的坐标为， ∴点P的对应点的坐标， 故答案为：． 【小问3详解】 【点睛】此题考查了作图-平移变换，割补法求图形的面积，作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步． 19. 如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． （1）试说明：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：平分 、 ． 20. 已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求a，b的值； （2）求的立方根． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）依据题意将方程重新联立求得x，y值，进而联立求得a，b的值； （2）利用立方根的意义解答即可． 【小问1详解】 ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解方程组得：． ∴是方程组的解， ∴， 解方程组得：． ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ ， ∵8的立方根为2， ∴的立方根为2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，立方根的意义，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键． 21. 小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． 四、解答题（二） 22. 根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 【答案】任务一：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元；任务二：有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台 任务三：学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 任务一：根据素材一的表格列方程组求解； 任务二：根据“总务处预计将3800元采购经费正好用完”列方程，再求正整数解； 任务三：先根据“购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元．”列方程组，再代入求解． 【详解】解：任务一：设2023年购进A型打印机的单价为x元，B型打印机的单价是y元， 则：， 解得：， 答：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元； 任务二：设购买A型打印机a台，B型打印机b台， 则：， ∴方程组的正整数解为：或， ∴有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台； 任务三：方案①共6台打印机，方案②共5台打印机， ∴买6台打印机共需要配置18本A4纸与6盒黑色墨水， 设购买1本A4纸需要m元和1盒黑色墨水需要n元， 则， 方程组可化为：， ∴， ∴学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点B在第一象限内．轴交y轴于点A，轴交x轴于点C，线段和的长分别为m和n，且，点D的坐标为． （1）点B的坐标为____________； （2）点M从D点出发，以每秒6个单位长度的速度沿x轴向右运动，设点M的运动时间为秒，连接，若记为，为β，为． ①如图2，点M在线段 (不包含线段的端点O，C)上运动时，直接写出t的取值范围：并证明：； ②若在点M开始运动的同时，点N从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿轴向上运动，当时，求t的值，并直接写出相应的，β，之间的关系． 【答案】（1） （2）①见解析；②，；， 【解析】 【分析】（1）利用非负性求出的值，即可得到点B的坐标； （2）①根据点M在线段 (不包含线段的端点O，C)上运动，求出的取值范围，过点M作，利用平行线的判定和性质，进行求解即可；②分点M在点C左侧和点M在点C右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， 故答案：． 【小问2详解】 解：①∵D的坐标为，M从D点出发，以每秒6个单位长度的速度沿x轴向右运动， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴到达的时间为：，到达的时间为：， ∴当点M在线段 (不包含线段的端点O，C)上运动时：； 证明∶过点M作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； ②∵点N从出发以每秒4个单位长度的速度沿y轴向上运动， ∴ 当点M在点C左侧时，， ∵， ∴， 解得． 此时，如图，点M在点O左侧， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点M在点C右侧时，， ∵， ∴， 解得． 此时，如图3，点M在点C右侧， 同法可得：． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行线的性质和判定．解题的关键是添加辅助线，构造平行线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期中核心素养试题 七年级数学 本试卷共4页，共23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列实数中：无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法中，正确的是（ ）． A. 0.4的算术平方根是0.2 B. 16的平方根是4 C. 的立方根是4 D. 的立方根是 3. 估计的大小在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 10和11之间 4. 如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是一个无理数 C. 若，则 D. 若，则 7. 平面直角坐标原中，点，若轴．则线段的最小值及此时点C的坐标分别为（ ） A. 6， B. 3， C. 2， D. 1， 8. 如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如下图案，已知，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人，那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行．假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 跨物理学科 如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 点到轴的距离为___________． 12. 已知方程，用含y的代数式来表示x，则____． 13. 若关于，的方程组的解互为相反数，则的值为______． 14. 如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为_____________． 15. 任意实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：72→[]＝8→[]＝2→[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地：对数字900进行了n次操作后变为1，那么n的值为_____． 三、解答题（一） 16. 计算：． 17. 解方程（组） （1） （2） 18. 在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点A平移到点，点，分别是B，C的对应点． （1）请画出平移后的三角形，并直接写出点，的坐标； （2）若三角形内部一点P的坐标为，写出点P的对应点的坐标； （3）求三角形的面积． 19. 如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． （1）试说明：； （2）若平分，，求的度数． 20. 已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求a，b的值； （2）求的立方根． 21. 小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 四、解答题（二） 22. 根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点B在第一象限内．轴交y轴于点A，轴交x轴于点C，线段和的长分别为m和n，且，点D的坐标为． （1）点B的坐标为____________； （2）点M从D点出发，以每秒6个单位长度的速度沿x轴向右运动，设点M的运动时间为秒，连接，若记为，为β，为． ①如图2，点M在线段 (不包含线段的端点O，C)上运动时，直接写出t的取值范围：并证明：； ②若在点M开始运动的同时，点N从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿轴向上运动，当时，求t的值，并直接写出相应的，β，之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $