精品解析：广东省广州市番禺区大龙中学2024—2025学年下学期七年级数学期中试卷

2024学年第二学期期中质量检测试题 七年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是同旁内角 C. 与是同位角 D. 与是内错角 4. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 5. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标F用表示，则表示为的目标是（ ） A. 目标A B. 目标C C. 目标D D. 目标E 7. 如图，直线与相交于点B，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将实数表示在数轴上为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的相反数是_______ ，的立方根是_________，的平方根是_________ 12. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象有___________个． 13. 在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别是，，若点为线段的中点，则点的坐标为______． 14. 已知轴，坐标为，，则点的坐标是_____． 15. 已知，则的值为_____． 16. 如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确有_______（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17 计算： （1） （2） （3） 18. 填空，将本题补充完整. 如图，已知，，，将求过程填写完整． 解：∵（已知）， ∴______，（ ） 又∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴（ ）， ∴______（ ）， ∵（已知）， ∴______°． 19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）写出、两点的坐标； （2）将向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到．画出，并写出，，的坐标． 20. 【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 （1）图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______； （2）在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 21. 解下列二元一次方程组： （1） （2） 22. 如图，，，． （1）与平行吗？为什么？ （2）探索与的数量关系，并说明理由． 23. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 24. 已知如图， ①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）； ②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出结论完成下题 ③已知，，，．若，则______°． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． （1）直接写出点A的坐标___________，B的坐标___________，C的坐标___________； （2）当P，Q分别在线段上时，连接，当时，求出点P的坐标； （3）在P，Q运动的过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期期中质量检测试题 七年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握：无限不循环小数是无理数．据此判断即可．也考查了算术平方根． 【详解】解：A．是小数，不是无理数，故此选项不符合题意； B．是分数，不是无理数，故此选项不符合题意； C．是无理数，故此选项符合题意； D．，是整数，不是无理数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．根据每个象限点的坐标特征进行判断即可． 【详解】解：点位于第二象限， 故选B． 3. 如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是同旁内角 C. 与是同位角 D. 与是内错角 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查邻补角、同位角、内错角、同旁内角，根据邻补角、同位角、内错角、同旁内角对选项进行判断即可求解． 【详解】解：A. 与是同旁内角，说法正确； B. 与是邻补角，原说法错误； C. 与是内错角，原说法错误； D. 与是同旁内角，原说法错误； 故选：A． 4. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故选：B． 5. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行．据此依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，故此选项符合题意； C．∵， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：B． 6. 如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标F用表示，则表示为的目标是（ ） A. 目标A B. 目标C C. 目标D D. 目标E 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，根据题中目标B和目标F的表示方法，得出表示的规则，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，因为目标B用表示，目标F用表示， 所以表示的是目标D． 故选：C． 7. 如图，直线与相交于点B，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查邻补角，掌握邻补角的定义是正确解答的前提． 根据邻补角的定义求出，进而求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，将实数表示在数轴上为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，先观察数轴，判断各点表示数的大小，然后再估算的大小，最后进行判断即可．解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于， ∵， ∴，即， ∴实数表示在数轴上，对应的点可能是点， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意可得 故选D． 10. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的相反数是_______ ，的立方根是_________，的平方根是_________ 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查立方根与平方根，解题关键是根据相反数、立方根及平方根的意义将各个数化简即可． 【详解】解：的相反数是：， 的立方根是：， 的平方根是：． 故答案为：；；． 12. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象有___________个． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．熟记垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：①测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； ②木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； ③弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； ④弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； 故能用“垂线段最短”来解释的现象有1个， 故答案为：1． 13. 在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别是，，若点为线段的中点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．根据中点坐标公式进行解答即可． 【详解】解：，两点的坐标分别是，，若点为线段的中点，则点的坐标为，即， 故答案为： 14. 已知轴，的坐标为，，则点的坐标是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形．由轴，得到、两点纵坐标相同，再根据A、B两点的相对位置分别求解即可． 【详解】解：轴， 、两点纵坐标相同， 的坐标为， 点的纵坐标为6， ， 点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 15. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知式子的值求代数式的值，先由整理得，再代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ，得， 则， ∴． 故答案为： 16. 如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有_______（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 【答案】①②③⑤⑦ 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 若，则：， ∴；故⑦正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤⑦． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算， 掌握相应的运算法则，性质及相关的定义是解题的关键． （1）先利用绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可； （2）先利用立方根和算术平方根将原式化简，再进行加减运算即可； （3）先进行乘法运算，然后利用算术平方根的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 18 填空，将本题补充完整. 如图，已知，，，将求的过程填写完整． 解：∵（已知）， ∴______，（ ） 又∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴（ ）， ∴______（ ）， ∵（已知）， ∴______°． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；． 【解析】 【分析】先利用平行线的性质可得，从而利用等量代换可得，然后利用平行线的判定可得，从而利用平行线的性质可得，进行计算即可解答． 【详解】解：∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴． 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）写出、两点的坐标； （2）将向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到．画出，并写出，，的坐标． 【答案】（1）， （2）作图见解析，，， 【解析】 【分析】本题考查作图—平移变换， 解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）根据点的位置写出坐标； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后连接，，，再写出，，的坐标即可； 【小问1详解】 解：由图知，； 【小问2详解】 如图，即为所作， 由图知，，． 20. 【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 （1）图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______； （2）在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 【答案】（1）； （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，算术平方根应用，等积变换， （1）利用割补法求出正方形的面积，再利用开平方运算求解，即可解题； （2）根据题意，并结合（1）方法分析，再画出图形即可； 利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 小问1详解】 解：∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边：， 故答案为：；； 【小问2详解】 如图，取格点、、、，再顺次连接， ∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边长为， 则正方形即为所作． 21. 解下列二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组， （1）根据“”可得关于的一元一次方程，求解后得再代入，即可得解； （2）根据“”可得关于的一元一次方程，求解后得再代入，即可得解； 解题的关键是掌握消元的方法：代入消元法与加减消元法． 【小问1详解】 解：， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解是； 【小问2详解】 ， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 22. 如图，，，． （1）与平行吗？为什么？ （2）探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）平行，理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． （1）根据“同旁内角互补，两直线平行”求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：平行，理由如下： ，， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 23. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 （2）共有2种购买方案，最大利润是220元 【解析】 【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【小问1详解】 解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． 【小问2详解】 解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 24. 已知如图， ①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）； ②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，，．若，则______°． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）85 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，通过平行线的性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． ①如图（1），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； ②如图（2），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出答案； ③根据题意得：，，由②结合得：，再由②的结论即可求解． 【详解】解：①如图（1）所示：过点作， ∵，， ∴， ，， ， ； ②如图（2）所示：过点作， ∵，， ∴， ，， ； ∴； ③∵，， ，， ∵，由②得， ∵， ∴， ∴， ∵，由①得， ∴． 故答案为：85． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． （1）直接写出点A的坐标___________，B的坐标___________，C的坐标___________； （2）当P，Q分别在线段上时，连接，当时，求出点P的坐标； （3）在P，Q运动的过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）(8,0)，(4,4)，(0,4) （2）点P的坐标为(4,0) （3）∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ＝150° 【解析】 【分析】(1)根据算术平方根和偶次方的非负性求出a、b、c的值，从而得到点A、B、C的坐标； (2)表示出t秒时点P和点Q的坐标，用含t的式子表示出△PAB和△QBC的面积，根据题意列出关于t的方程，求出t即可确定P的坐标； (3)分Q在C的上方、Q在C的下方两种情况，过点Q作QHx轴，交AB与点H，根据平行线的性质即可确定∠OPQ和∠PQB的数量关系； 【小问1详解】 解：∵+|b-4|+=0，，|b-4|≥0，≥0， ∴a-8=0，b-4=0，c-4=0， 解得：a=8，b=4，c=4， ∴A的坐标(8,0)，B的坐标(4,4)，C的坐标(0,4)， 故答案为：(8,0)，(4,4)，(0,4)； 小问2详解】 解：过点B作BD⊥AO，垂足为点D， 由题意可得，BC＝4，BD＝4，OA＝8， 设运动时间经过t秒，则AP＝2t，OQ＝t， ∴CQ＝4﹣t， ∴， ， ∵， ∴4t＝2(8-2t)， 解得，t＝2， ∴AP＝2t＝4， ∴OP＝OA-AP＝4， ∴点P的坐标为(4,0)； 【小问3详解】 解：∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°，理由： 过点Q作QHx轴，交直线AB与点H， ∵B的坐标(4,4)，C的坐标(0,4)； ∴AOBC， ∵QHAO，BCAO， ∴QHBC， ∴∠OPQ=∠PQH，∠CBQ=∠BQH， 如图，当Q在C的下方时，∠PQH=∠PQB-∠HQB， ∴∠OPQ=∠PQB-∠QBC， 当∠QBC=30°时，∠OPQ=∠PQB-30°，即∠PQB-∠OPQ=30°； 如图，当Q在C的上方时， ∵QHBC， ∴∠HQB=∠CBQ=30°， ∵∠HQB+∠PQB=∠HQP=180°-∠OPQ， ∴∠OPQ=150°-∠PQB，即∠PQB+∠OPQ=150°， 综上所述：∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、非负数的性质、平面直角坐标系和三角形的面积公式，解题的关键是能利用非负数的性质求出a和c的值，确定点A，B，C的坐标，灵活运用分情况讨论思想也是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$